شارح الدرس: السرعة المتجهة الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

مثال ١: حساب السرعة المتجهة المتوسطة لرحلة متعددة الأجزاء بمعلومية المسافات والسرعات

احسب السرعة المتجهة المتوسطة لسيارة تحركت مسافة ١٢٠ م في خط مستقيم بسرعة ٨ م/ث، ثم تحرَّكت مسافة ١٨٠ م في نفس الاتجاه على نفس الخط المستقيم بسرعة ٦ م/ث. اكتب إجابتك بوحدة م/ث لأقرب منزلة عشرية.

الحل

يخبرنا السؤال بالمسافتين المقطوعتين في مرحلتي رحلة السيارة، وسرعتها في المرحلتين واتجاه السيارة.

لحساب السرعة المتجهة المتوسطة للسيارة، سنستخدم الصيغة:

في هذه الحالة، بما أن الاتجاه لم يتغير، نلاحظ أن الإزاحة الكلية تساوي المسافة الكلية المقطوعة في اتجاه الخط المستقيم. إذا كانت ، المسافتين المقطوعتين في المرحلتين الأولي والثانية، فإن مقدار الإزاحة الكلية للسيارة يساوي .

ولإيجاد الزمن الكلي، علينا حساب الزمن المستغرق، ، ، لكل مرحلة من مرحلتي الرحلة. ولنفعل ذلك، نستخدم حقيقة أن الزمن يساوي المسافة على السرعة: . في المرحلة الأولى، كانت السرعة ، وفي المرحلة الثانية، كانت السرعة: . إذن:

ومن ثَمَّ، فإن الزمن الكلي الذي استغرقته السيارة هو .

وعليه، فإن السرعة المتجهة المتوسطة للسيارة كانت كما يلي:

مثال ٢: حساب السرعة المتجهة المتوسطة لرحلة متعددة الأجزاء بمعلومية بعض الأزمنة والسرعات

يتحرك جسم باتجاه الشمال بسرعة ١٢ م/ث لمدة زمنية قدرها ١٠ ثوانٍ ثم يتوقف، ويظل ساكنًا لمدة ١٠ ثوانٍ قبل أن يتحرك باتجاه الشمال بسرعة ١٢ م/ث لمدة ١٠ ثوانٍ أخرى. ما السرعة المتجهة المُتوسِّطة للجسم باتجاه الشمال؟

الحل

في هذا المثال، توجد ٣ مراحل لحركة الجسم.

في المرحلتين الأولى والثالثة، يتحرك الجسم في الاتجاه الموجب، أي في اتجاه الشمال، وفي المرحلة الثانية، يكون الجسم في حالة سكون. لإيجاد السرعة المتجهة المتوسطة للجسم، سنستخدم الصيغة:

في هذه الحالة، بما أنه لا يوجد تغير في الاتجاه، نلاحظ أن مقدار الإزاحة الكلية سيساوي المسافة الكلية المقطوعة. إذن، الخطوة الأولى هي إيجاد المسافة المقطوعة في كل جزء من الرحلة. ولنفعل ذلك، نستخدم حقيقة أن المسافة السرعة الزمن:

وعليه، فإن المسافة الكلية المقطوعة في الرحلة هي: . وبما أن كل مرحلة من المراحل الثلاث استغرقت ١٠ ثوانٍ، فإن الزمن الكلي يساوي . وعليه فإن السرعة المتجهة المتوسطة للجسم، في اتجاه الشمال، تساوي:

كان بإمكاننا أيضًا التفكير في هذه المسألة باستخدام منحنى الإزاحة - الزمن، حيث كل قطعة مستقيمة تمثل مرحلة معينة من حركة الجسم، كما يوضح الشكل التالي.

بما أن الزمن يقع على المحور الأفقي والإزاحة على المحور الرأسي، سنجد مثلًا أنه إذا بدأنا من الزمن ، فإن بعد ١٠ ثوانٍ سيكون الجسم قد تحرك ١٢٠ م وله الإحداثيين . القطعتان المستقيمتان اللتان تمثلان الحركة في الاتجاه الموجب ميلهما موجب، والقطعة المستقيمة الوسطى التي تمثل مرحلة السكون ميلها يساوي صفرًا.

والآن، تذكر أن الميل ، للقطعة المستقيمة الواصلة بين النقطتين ، يُعطى بالصيغة:

إذا استخدمنا موضعي بداية ونهاية حركة الجسم باعتبارهما النقطتين على القطعة المستقيمة الواصلة بينهما، فيمكننا إيجاد السرعة المتجهة المتوسطة للجسم بحساب ميل هذه القطعة المستقيمة.

في هذه الحالة، يكون للنقطتين الإحداثيات ، . ومن ثَمَّ، يكون ميل القطعة المستقيمة، وهو السرعة المتجهة المتوسطة بين موضعي البداية والنهاية، يساوي:

مثال ٣: إيجاد الإزاحة والزمن والسرعة المتجهة في رحلة متعددة الأجزاء

تسبح سمكة مسافة ١٥ م ناحية اليسار بسرعة متوسطة ٢ م/ث، وتُغيِّر اتجاهها على الفور وتسبح نصف تلك المسافة ناحية اليمين. الزمن المستغرق في حدوث ذلك ١٢ ث، كما هو موضح في الشكل. في هذه المسألة، افترض أن الإزاحة إلى اليسار موجبة.

1. ما إزاحة السمكة من نقطة البدء بعد مرور ١٢ ث من بدء حركتها؟
2. ما الزمن الذي استغرقته السمكة في السباحة ناحية اليسار؟
3. ما السرعة المتوسطة للسمكة أثناء تحركها ناحية اليمين؟ اكتب الإجابة لأقرب منزلة عشرية.
4. ما السرعة المتوسطة للسمكة خلال ١٢ ث التي تحركتها؟

الحل

الجزء الأول

في هذا الجزء، مطلوب منا إيجاد إزاحة السمكة بعد مرور ١٢ ثانية من حركتها، ونحن نعلم أن ١٢ ث هو الزمن الكلي المستغرق في رحلة السمكة بأكملها. ومن ثَمَّ، علينا إيجاد الإزاحة الكلية؛ بعبارة أخرى، المسافة التي تقطعها السمكة من نقطة البدء عندما تكمل رحلتها، وكذلك الاتجاه.

هناك مرحلتان في هذه الرحلة. الأولى هي باتجاه اليسار (والمحدد على أنه الاتجاه الموجب)، يليها باتجاه اليمين، أي في الاتجاه السالب. وبذلك، تكون الإزاحة الكلية هي:

الجزء الثاني

المطلوب منا بعد ذلك هو إيجاد الزمن الذي استغرقته السمكة في السباحة ناحية اليسار. نعلم من المعطيات أن المسافة المقطوعة في هذه المرحلة من الرحلة هي ١٥ م بسرعة متوسطة قدرها ٢ م/ث. إذن، لإيجاد الزمن المستغرق، نستخدم الصيغة:

وفي هذه الحالة، فإن هذا يساوي:

الجزء الثالث

بعد ذلك، مطلوب منا إيجاد السرعة المتوسطة للسمكة أثناء حركتها ناحية اليمين، أي في الاتجاه السالب. ولنفعل ذلك، سنستخدم الصيغة:

إزاحة السمكة ناحية اليمين هي ، حيث تشير الإشارة السالبة إلى الاتجاه.

والآن، لإيجاد المقام في الصيغة التي لدينا، أي الزمن المستغرق في هذه المرحلة من رحلة السمكة، نلاحظ أنه إذا استغرقت المرحلة الأولى ٧٫٥ ث، كما وجدنا سابقًا، وكان الزمن الكلي المستغرق في الرحلة بأكملها ١٢ ث، فإن الزمن المستغرق في المرحلة الثانية من الرحلة هو: . لدينا الآن كل ما نحتاج إليه لحساب السرعة المتجهة المتوسطة للسمكة أثناء حركتها ناحية اليمين:

الجزء الرابع

وأخيرًا، مطلوب منا إيجاد السرعة المتجهة المتوسطة للسمكة خلال الـ ١٢ ث التي تحركتها. مرة أخرى، سنستخدم الصيغة: حيث الإزاحة الكلية الآن هي الإزاحة من موضع بداية حركة السمكة إلى موضعها النهائي. وقد وجدناها في الجزء الأول من هذا السؤال، وتساوي: ٧٫٥ م. الزمن الكلي المستغرق كان ١٢ ث. ومن ثَمَّ:

يمكننا أيضًا التفكير في هذه المسألة باستخدام منحنى الإزاحة - الزمن، حيث كل قطعة مستقيمة تمثل مرحلة معينة من حركة السمكة، كما هو موضح أدناه.

وحيث إن الزمن يمثله المحور الأفقي والإزاحة يمثلها المحور الرأسي، فإننا نرى، على سبيل المثال، أنه بدءًا من الزمن ، وبعد مرور ٧٫٥ ثوانٍ، تكون السمكة قد تحركت ١٥ م. القطعة المستقيمة التي تمثل هذه المرحلة لها ميل موجب وتمثل حركة إلى الأمام، أو في الاتجاه الموجب.

والآن، تذكر أن الميل ، للقطعة المستقيمة الواصلة بين النقطتين ، يُعطى بالصيغة:

إذا استخدمنا موضعي بداية حركة السمكة ونهايتها باعتبارهما النقطتين على القطعة المستقيمة الواصلة بينهما، فسنتمكن من إيجاد السرعة المتوسطة للسمكة بحساب ميل هذه القطعة المستقيمة.

وفي هذه الحالة، يكون للنقطتين الإحداثيات ، . ومن ثَمَّ، فإن ميل القطعة المستقيمة، وهو السرعة المتجهة المتوسطة بين موضعي بداية ونهاية حركة السمكة، يساوي:

مثال ٤: إيجاد المسافة والزمن والسرعة المتجهة في رحلة متعددة الأجزاء

تأخَّر شخصٌ عن موعدٍ في مكتب يقع في الجهة الأخرى من طريق مستقيم يؤدِّي إلى منزله. غادر الشخص منزله وجرى مُتَّجِهًا إلى مكتبه لمدة ٤٥ ثانية، قبل أن يُدرِك أنه يجب أن يعود إلى منزله ليُحضِر بعض المستندات التي يحتاج إليها في الموعد. جرى الشخص عائدًا إلى المنزل بنفس السرعة التي جرى بها مِنْ قبل، واستغرَقَ ١٨٥ ثانية في البحث عن المستندات، ثم جرى مُتَّجِهًا إلى مكتبه مرة أخرى. في هذه المرة، جرى الشخص بسرعة ٥٫٥ م/ث لمدة ٢٦٠ ثانية، ثم وصل إلى المكتب.

1. ما الزمن المُستغرَق منذ مغادرة الشخص منزله في المرة الأولى حتى وصوله إلى موعده؟
2. ما المسافة بين منزل الشخص ومكتبه؟
3. ما السرعة المتجهة المتوسطة للشخص منذ مغادرته منزله في المرة الأولى حتى وصوله إلى المكتب؟ قرِّب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين.

الحل

تتكون رحلة الشخص من ٤ مراحل: أول مرحلتين لهما نفس المسافة للزمن ٤٥ ث، ولكن في اتجاهين متعاكسين، والمرحلة الثالثة لا تغطي أي مسافة لمدة ١٨٥ ث، وتستغرق المرحلة الأخيرة ٢٦٠ ث بسرعة ٥٫٥ م/ث.

الجزء الأول

مطلوب منا أولًا إيجاد الزمن المستغرق منذ مغادرة الشخص منزله في المرة الأولى حتى وصوله إلى موعده. ولإيجاد ذلك، نجمع زمن كل مرحلة من مراحل الرحلة:

الجزء الثاني

بعد ذلك، مطلوب منا إيجاد المسافة بين منزل الشخص ومكتبه. ولإيجاد ذلك، يمكننا ببساطة استخدام المعلومات التي لدينا عن الجزء الأخير من رحلته، حيث إنه يقطع المسافة بأكملها في هذه المرحلة. نستخدم الصيغة:

وبما أننا نعلم أن سرعة هذا الجزء تساوي ٥٫٥ م/ث والزمن المستغرق فيه يساوي ٢٦٠ ث، فإن المسافة ستساوي:

الجزء الثالث

وأخيرًا، مطلوب منا إيجاد السرعة المتجهة المتوسطة للشخص منذ مغادرته منزله في المرة الأولى حتى وصوله إلى المكتب في النهاية. ولإيجاد ذلك، نستخدم الصيغة:

الإزاحة الكلية هي الإزاحة التي مقدارها يساوي المسافة المباشرة بين منزل الشخص والمكتب. ووجدنا أنها تساوي ١‎ ‎٤٣٠ م، ونحن نعلم أن الزمن الكلي المستغرق كان ٥٣٥ ث. ومن ثَمَّ:

بعبارة أخرى، إذا كان الاتجاه الموجب هو من المنزل إلى المكتب، فإن السرعة المتجهة المتوسطة للشخص منذ مغادرته لمنزله في البداية ووصوله في النهاية إلى المكتب، لأقرب منزلتين عشريتين، تساوي: ٢٫٦٧ م/ث.

مثال ٥: حساب المسافة، والإزاحة، والسرعة، والسرعة المتجهة لجسم متحرك

يركل طفل كرة فتتحرَّك على طول أرض أفقية باتجاه حائط يبعُد مسافة ٢ م. تتحرك الكرة بسرعة ٢٫٢٥ م/ث باتجاه الحائط وتصطدم به، وترتد نصف المسافة بشكل مستقيم عائدة إلى الطفل، ولكن تتحرك فقط بسرعة متوسطة مقدارها ١٫٧٥ م/ث بعد الاصطدام.

1. ما المسافة الكلية التي تحركتها الكرة؟
2. ما الإزاحة الكلية للكرة باتجاه الحائط؟
3. ما المدة الزمنية التي استغرقتها الكرة في الحركة؟ قرِّب الإجابة لأقرب منزلتين عشريتين.
4. ما السرعة المتوسطة للكرة خلال حركتها لأقرب متر لكل ثانية؟
5. ما السرعة المتجهة المتوسطة للكرة باتجاه الحائط من الوقت الذي رُكلت فيه الكرة إلى الوقت الذي ارتدت فيه من الحائط وتوقفت؟ قرِّب الإجابة لأقرب منزلتين عشريتين.

الحل

هناك مرحلتان لحركة الكرة في هذا السؤال. المرحلة الأولى هي مسافة ٢ م على أرض أفقية بسرعة ٢٫٢٥ م/ث، أما المرحلة الثانية فتغطي نصف المسافة الأصلية في الاتجاه المعاكس بسرعة متوسطة ١٫٧٥ م/ث.

الجزء الأول

المسافة الكلية التي قطعتها الكرة تساوي مجموع المسافتين للأمام (٢ م) وللخلف ()؛ أي .

الجزء الثاني

الإزاحة الكلية للكرة هي الإزاحة بين موضع بداية الكرة وموضع نهايتها. بعبارة أخرى:

الجزء الثالث

لإيجاد الزمن الكلي الذي استغرقته الكرة في الحركة، علينا إيجاد زمن كل مرحلة من مراحل رحلتها. ولنفعل ذلك، سنستخدم الصيغة:

نفترض أن ، هما زمنا كل مرحلة، وأن ، هما مسافتا كل مرحلة، و، هما سرعتا كل مرحلة، وعليه يصبح لدينا:

الزمن الكلي الذي استغرقته الكرة في الحركة هو ، لأقرب منزلتين عشريتين.

الجزء الرابع

مطلوب منا بعد ذلك إيجاد السرعة المتوسطة للكرة خلال حركتها لأقرب متر لكل ثانية. والسرعة المتوسطة تُعطى بالصيغة: أي في هذه الحالة:

ولأقرب متر لكل ثانية، تكون السرعة المتوسطة إذن ٢ م/ث.

الجزء الخامس

وأخيرًا، السرعة المتجهة المتوسطة للكرة من الوقت الذي رُكلت فيه إلى موضعها النهائي تُعطى بالصيغة:

لقد وجدنا بالفعل الإزاحة الكلية باتجاه الحائط وتساوي ١ م. ومن ثم: في الاتجاه من الولد إلى الحائط.

كان بإمكاننا أيضًا حساب السرعة المتجهة المتوسطة لهذه المسألة باستخدام منحنى الإزاحة - الزمن، حيث تمثل كل قطعة مستقيمة مرحلة معينة من حركة الكرة، كما هو موضح أدناه.

الزمن يمثله المحور الأفقي، والإزاحة يمثلها المحور الرأسي، ومن هنا نلاحظ أنه، على سبيل المثال، بدءًا من الزمن ، وبعد حوالي ٠٫٨٩ ثانية، ستكون الكرة قد تحركت ٢ م. القطعة المستقيمة التي تمثل هذه المرحلة لها ميل موجب يشير إلى حركة إلى الأمام، أو الاتجاه الموجب.

والآن، تذكر أن الميل ، للقطعة المستقيمة الواصلة بين النقطتين ، يُعطى بالصيغة:

إذا افترضنا أن موضعي البداية والنهاية للكرة هما النقطتين على القطعة المستقيمة، فيمكننا إيجاد السرعة المتجهة المتوسطة للكرة بحساب ميل هذه القطعة المستقيمة.

في هذه الحالة، النقطتان لهما الإحداثيات ، . ومن ثم، فإن ميل القطعة المستقيمة، وهو السرعة المتجهة المتوسطة بين موضعي البداية والنهاية، يُعطى بالصيغة:

مثال ٦: حساب السرعة المتجهة المتوسطة في رحلة متعددة الأجزاء مع وجود تغير في الاتجاه

سار رجل مسافة ٦ كم في اتجاه الشرق خلال ١٫٢ ساعة. بعد ذلك التفت وسار ٨ كم في اتجاه الشمال خلال ساعتين. احسب مقدار السرعة المتجهة المتوسطة للرجل.

الحل

تنقسم رحلة الرجل إلى مرحلتين.

ويخبرنا السؤال بالمسافة المقطوعة في كل مرحلة، وهي ٦ كم، و٨ كم، وكذلك يخبرنا بالزمن الذي استغرقه الرجل في كل مرحلة، ١٫٢ ساعة، وساعتان، على الترتيب. ولإيجاد مقدار السرعة المتجهة المتوسطة للرجل، سنستخدم الصيغة:

بالنسبة إلى المقام، سنجمع زمني المرحلتين. إذن، الزمن الكلي يساوي . بالنسبة إلى البسط، سيكون علينا إيجاد الإزاحة الكلية، أي الإزاحة بين موضعي البداية والنهاية.

ويمكننا استخدام نظرية فيثاغورس لإيجاد ذلك كما يلي:

علميًا، بما أن الإزاحة كمية متجهة، فعلينا تحديد اتجاه الإزاحة. ولفعل ذلك، يمكننا إيجاد قياس الزاوية المحصورة بين المحور الأفقي واتجاه الإزاحة، أو بدلًا من ذلك، يمكننا أن نشير إلى أن الإزاحة في اتجاه شمال الشرق تقريبًا. لكن، بما أن المطلوب هو إيجاد مقدار السرعة المتجهة المتوسطة، فهذا ليس ضروريًّا هنا.

باستخدام هذه الصيغة، يكون مقدار السرعة المتجهة المتوسطة هو: