تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

شارح الدرس: السرعة المتجهة الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نفرِّق بين السرعة المتجِهة والسرعة ونحل المسائل التي تتضمن السرعة المتجِهة المتوسطة والسرعة المتوسطة.

السرعة هي قياس للمعدل الذي يتحرك به جسم ما. على سبيل المثال، يخبرنا عداد السرعة بمعدل حركة السيارة في أي زمن محدد. أي المعدل الذي تقطع خلاله السيارة مسافة معينة.

السرعة كمية قياسية يمكن قياسها بالمسافة لكل وحدة زمن، مثل: كيلومتر لكل ساعة (كم/س). إلا أن سرعة الجسم لا تحدد الاتجاه الذي يتحرك فيه الجسم. ولهذا نستخدم السرعة المتجهة. والسرعة المتجِهة، وهي كمية متجِهة، تخبرنا بكل من سرعة الحركة واتجاهها.

إذا كانت سيارة تتحرك بمعدل: ٨٠ كم/س، فإن سرعتها هي ٨٠ كم/س. أما إذا قلنا إن هناك سيارة تتحرك في اتجاه شمال الشرق بسرعة ٨٠ كم/س، فإن هذا يخبرنا بالسرعة المتجِهة؛ لأن لدينا سرعة السيارة واتجاه حركتها.

إذا افترضنا أن لدينا جسمًا يتحرك بين نقطتين، فإنه يوجد عدد لا نهائي من المسارات ذات الأطوال المختلفة التي يمكن للجسم أن يتخذها. طول المسار بين نقطتين هو المسافة التي يقطعها الجسم بين هاتين النقطتين، لكن عند التفكير في السرعة المتجهة لجسم ما، فإننا نفكر في إزاحته. والإزاحة تحدد المسافة التي تبعدها النقطة الثانية عن النقطة الأولى، وفي أي اتجاه تقع هذه المسافة.

لنفترض أن طائرًا يُحلِّق مسافة ٣٠ كم في اتجاه الشرق، ثم مسافة ٤٠ كم في اتجاه الشمال.

المسافة الكلية، 𞸐، التي يقطعها الطائر تساوي مجموع المسافتين المقطوعتين في كل من مرحلتي رحلته. بعبارة أخرى: 𞸐=𞸀𞸁+𞸁𞸢=٠٣+٠٤=٠٧. من ناحية أخرى، إزاحة الطائر تمثلها القطعة المستقيمة المتجهة 𞸀𞸢. ووفقًا لنظرية فيثاغورس، طول هذه القطعة المستقيمة يُعطى بالصيغة: 𞸀𞸢=󰋴𞸀𞸁+𞸁𞸢=󰋴٠٣+٠٤=󰋴٠٠٥٢=٠٥.٢٢٢٢

إذن، المسافة التي قطعها الطائر أثناء رحلته تساوي: ٧٠ كم، بينما مقدار إزاحة الطائر، أي المسافة التي يبعدها من نقطة بدايته، تساوي: ٥٠ كم. ونحن نعرف أن 𝜃=٠٤٠٣، وبأخذ دالة الظل العكسية نجد أن: 𝜃=٠٣١٫٣٥. وبالتحويل إلى درجة، دقيقة، ثانية، فإن هذا يساوي ٣٥٧٨٤. ومن ثَمَّ، تكون إزاحة الطائر ٥٠ كم، ٣٥٧٨٤ في اتجاه شمال الشرق: هذه الإزاحة لها مقدار واتجاه.

نستخدم المسافة لتعريف السرعة، والإزاحة لتعريف السرعة المتجهة، كما يلي.

تعريف: السرعة والسرعة المتجهة

السرعة، وهي كمية قياسية، هي المعدل الزمني الذي يقطع به الجسم مسافة معينة: ااا=.

السرعة المتجهة، وهي كمية متجهة، هي مقدار التغير في موضع الجسم بالنسبة للزمن واتجاه هذا التغير: ااازاا=.

إذا فكَّرنا مرة أخرى في الحركة على عدة مراحل، على سبيل المثال، رحلة الطائر المذكورة فيما سبق، فيمكننا التفكير في ذلك بدلالة السرعة المتوسطة. ونعرِّف ذلك كما يلي.

تعريف: السرعة المتوسطة

السرعة المتوسطة تساوي المسافة الكلية التي يقطعها الجسم مقسومة على الزمن الكلي المستغرق: اااااا=.

وهي كمية قياسية تقاس بالمسافة لكل وحدة زمن، على سبيل المثال: كيلومتر لكل ساعة (كم/س).

نعود إلى مثال الطائر المذكور فيما سبق، ونفترض أن المرحلة الأولى (٣٠ كم) تستغرق من الطائر ثلاثة أرباع ساعة وأن المرحلة الثانية (٤٠ كم) تستغرق من الطائر ساعة وربع الساعة. إذن لدينا: ااااااس==٠٣+٠٤٥٧٫٠+٥٢٫١=٠٧٢=٥٣/.

والآن، تذكر أن السرعة المتجهة لأي جسم هي كمية متجهة تقيس إزاحة حركة الجسم بالنسبة للزمن واتجاه الحركة. والسرعة المتجهة المتوسطة، وهي كمية متجهة أيضًا، تُعرَّف على النحو التالي:

تعريف: السرعة المتجهة المتوسطة

السرعة المتجهة المتوسطة لحركة أي جسم تساوي الإزاحة الكلية مقسومة على الزمن الكلي: اااازاااا=، حيث الإزاحة الكلية هي الإزاحة مقيسة مباشرة من موضع بداية الجسم إلى موضعه النهائي. وبما أن الإزاحة كمية متجهة، فإن السرعة المتجهة المتوسطة هي كمية متجهة أيضًا؛ ولذلك يمكن أن تكون موجبة أو سالبة. ويقاس مقدارها، وهو كمية قياسية، بالمسافة لكل وحدة زمن؛ ومن ثَمَّ يكون موجبًا دائمًا.

بالرجوع إلى مثال الطائر، نتذكر أن الإزاحة الكلية كانت ٥٠ كم. ومن ثَمَّ، فإن: اااازااااساهلاق==٠٥٢=٥٢/،.

نلاحظ أن هذه السرعة المتجهة المتوسطة أقل من السرعة المتوسطة للطائر، والتي تساوي ٣٥ كم/س. وهذا لأنه في بسط السرعة المتوسطة نحسب المسافة الكلية بجمع مسافتي مرحلتي الرحلة، بينما في بسط السرعة المتجهة المتوسطة، تكون الإزاحة الكلية هي الإزاحة المباشرة بين موضع البداية وموضع النهاية.

دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة.

مثال ١: حساب السرعة المتجهة المتوسطة لرحلة متعددة الأجزاء بمعلومية المسافات والسرعات

احسب السرعة المتجهة المتوسطة لسيارة تحركت مسافة ١٢٠ م في خط مستقيم بسرعة ٨ م/ث، ثم تحرَّكت مسافة ١٨٠ م في نفس الاتجاه على نفس الخط المستقيم بسرعة ٦ م/ث. اكتب إجابتك بوحدة م/ث لأقرب منزلة عشرية.

الحل

يخبرنا السؤال بالمسافتين المقطوعتين في مرحلتي رحلة السيارة، وسرعتها في المرحلتين واتجاه السيارة.

لحساب السرعة المتجهة المتوسطة للسيارة، سنستخدم الصيغة: اااازاااا=.

في هذه الحالة، بما أن الاتجاه لم يتغير، نلاحظ أن الإزاحة الكلية تساوي المسافة الكلية المقطوعة في اتجاه الخط المستقيم. إذا كانت 𞸐١، 𞸐٢ المسافتين المقطوعتين في المرحلتين الأولي والثانية، فإن مقدار الإزاحة الكلية للسيارة يساوي 𞸐+𞸐=٠٢١+٠٨١=٠٠٣١٢م.

ولإيجاد الزمن الكلي، علينا حساب الزمن المستغرق، 𞸍١، 𞸍٢، لكل مرحلة من مرحلتي الرحلة. ولنفعل ذلك، نستخدم حقيقة أن الزمن يساوي المسافة على السرعة: 𞸍=𞸐𞸏. في المرحلة الأولى، كانت السرعة 𞸏=٨/١مث، وفي المرحلة الثانية، كانت السرعة: 𞸏=٦/٢مث. إذن: ااقثااقث١=𞸍=𞸐𞸏=٠٢١٨=٥١،٢=𞸍=𞸐𞸏=٠٨١٦=٠٣.١١١٢٢٢

ومن ثَمَّ، فإن الزمن الكلي الذي استغرقته السيارة هو ٥١+٠٣=٥٤ث.

وعليه، فإن السرعة المتجهة المتوسطة للسيارة كانت كما يلي: ااامثباها=٠٠٣٥٤=٧٫٦/.

مثال ٢: حساب السرعة المتجهة المتوسطة لرحلة متعددة الأجزاء بمعلومية بعض الأزمنة والسرعات

يتحرك جسم باتجاه الشمال بسرعة ١٢ م/ث لمدة زمنية قدرها ١٠ ثوانٍ ثم يتوقف، ويظل ساكنًا لمدة ١٠ ثوانٍ قبل أن يتحرك باتجاه الشمال بسرعة ١٢ م/ث لمدة ١٠ ثوانٍ أخرى. ما السرعة المتجهة المُتوسِّطة للجسم باتجاه الشمال؟

الحل

في هذا المثال، توجد ٣ مراحل لحركة الجسم.

في المرحلتين الأولى والثالثة، يتحرك الجسم في الاتجاه الموجب، أي في اتجاه الشمال، وفي المرحلة الثانية، يكون الجسم في حالة سكون. لإيجاد السرعة المتجهة المتوسطة للجسم، سنستخدم الصيغة: اااازاااا=.

في هذه الحالة، بما أنه لا يوجد تغير في الاتجاه، نلاحظ أن مقدار الإزاحة الكلية سيساوي المسافة الكلية المقطوعة. إذن، الخطوة الأولى هي إيجاد المسافة المقطوعة في كل جزء من الرحلة. ولنفعل ذلك، نستخدم حقيقة أن المسافة = السرعة × الزمن: امامام١=٢١×٠١=٠٢١،٢=٠×٠١=٠،٣=٢١×٠١=٠٢١.

وعليه، فإن المسافة الكلية المقطوعة في الرحلة هي: ٠٢١+٠+٠٢١=٠٤٢م. وبما أن كل مرحلة من المراحل الثلاث استغرقت ١٠ ثوانٍ، فإن الزمن الكلي يساوي ٠١+٠١+٠١=٠٣ث. وعليه فإن السرعة المتجهة المتوسطة للجسم، في اتجاه الشمال، تساوي: ااامث=٠٤٢٠٣=٨/.

كان بإمكاننا أيضًا التفكير في هذه المسألة باستخدام منحنى الإزاحة - الزمن، حيث كل قطعة مستقيمة تمثل مرحلة معينة من حركة الجسم، كما يوضح الشكل التالي.

بما أن الزمن يقع على المحور الأفقي والإزاحة على المحور الرأسي، سنجد مثلًا أنه إذا بدأنا من الزمن 𞸍=٠، فإن بعد ١٠ ثوانٍ سيكون الجسم قد تحرك ١٢٠ م وله الإحداثيين (٠١،٠٢١). القطعتان المستقيمتان اللتان تمثلان الحركة في الاتجاه الموجب ميلهما موجب، والقطعة المستقيمة الوسطى التي تمثل مرحلة السكون ميلها يساوي صفرًا.

والآن، تذكر أن الميل 𞸌، للقطعة المستقيمة الواصلة بين النقطتين 󰁓𞸎،𞸑󰁒١١، 󰁓𞸎،𞸑󰁒٢٢ يُعطى بالصيغة: 𞸌=𞸑𞸑𞸎𞸎.٢١٢١

إذا استخدمنا موضعي بداية ونهاية حركة الجسم باعتبارهما النقطتين على القطعة المستقيمة الواصلة بينهما، فيمكننا إيجاد السرعة المتجهة المتوسطة للجسم بحساب ميل هذه القطعة المستقيمة.

في هذه الحالة، يكون للنقطتين الإحداثيات (٠،٠)، (٠٣،٠٤٢). ومن ثَمَّ، يكون ميل القطعة المستقيمة، وهو السرعة المتجهة المتوسطة بين موضعي البداية والنهاية، يساوي: 𞸌==٠٤٢٠٠٣٠=٠٤٢٠٣=٨/.ااامث

لننظر مرة أخرى إلى الطريقة الثانية التي استخدمناها لحساب السرعة المتجهة المتوسطة في المثال السابق.

عن طريق تمثيل الزمن على المحور الأفقي والإزاحة على المحور الرأسي، مثَّلنا الحركة المنتظمة، أي حركة الجسم في اتجاهات ثابتة بسرعات ثابتة. كل قطعة مستقيمة من التمثيل البياني تمثل مرحلة من الحركة، حيث توضح الإزاحة، إن وجدت، في اتجاه معين، خلال فترة زمنية محددة.

وهذا النوع من التمثيلات البيانية يسمى منحنى الإزاحة - الزمن. انظر المثال التالي.

من النقطة 𞸀 إلى النقطة 𞸁، يقطع جسمًا مسافة قدرها ٢٠ م، في زمن قدره ٤ ثوانٍ. وبما أن ميل القطعة المستقيمة موجب، فإننا نعرف أن الحركة ستكون في الاتجاه الموجب (أو للأمام). من النقطة 𞸁 إلى النقطة 𞸢، يتحرك الجسم إلى الأمام مرة أخرى ويقطع مسافة قدرها ٣٠ م في زمن قدره ثانيتان. ومن النقطة 𞸢 إلى النقطة 𞸃 يظل الجسم في حالة سكون لمدة ثانيتين، ثم من النقطة 𞸃 إلى النقطة 𞸤، وبما أن الميل سالب، فإننا نعلم أن الجسم يتحرك إلى الخلف مسافة قدرها ٢٠ م في زمن ٤ ثوانٍ.

والآن، تذكر أن: ااا=. إذن، على سبيل المثال، من النقطة 𞸀 إلى النقطة 𞸁 كانت سرعة الجسم ٠٢٤=٥/مث. وتذكر أيضًا أن المسافة المقطوعة من نقطة إلى أخرى في اتجاه ما، أي الإزاحة، تمثل بالنسبة إلى السرعة المتجهة ما تمثله المسافة بالنسبة إلى السرعة: ااازاا=. لذا، على سبيل المثال، السرعة المتجهة أثناء الانتقال من 𞸃 إلى 𞸤 هي: اامث=٠٢٤=٥/، بينما السرعة أثناء الانتقال من 𞸃 إلى 𞸤 هي: امث=٠٢٤=٥/، ونحن نعلم أن السرعة هي مقدار السرعة المتجهة.

دعونا نفكر الآن في السرعة المتجهة المتوسطة، أي الإزاحة الكلية، وهي الإزاحة بين موضعي البداية والنهاية، مقسومة على الزمن الكلي المستغرق. في هذا المثال، الإزاحة الكلية عند الانتقال من 𞸀 إلى 𞸤 هي ٣٠ م في الاتجاه الموجب. والزمن المستغرق لحدوث ذلك هو ١٢ ثانية.

بالنسبة للقطعة المستقيمة الواصلة بين 𞸀، 𞸤، على المستوى الإحداثي، فإن هذا يساوي التغير في 𞸑 على التغير في 𞸎، أي بالتحديد ميل أو انحدار القطعة المستقيمة الواصلة بين النقطتين 𞸀، 𞸤. 𞸌==٠٣٠٢١٠=٠٣٢١=٥٫٢/.ااامثاها

كيفية الحل: استخدام منحنيات الإزاحة - الزمن لحساب السرعة المتجهة

بالنسبة إلى جسم تبدأ حركته من النقطة 𞸀󰁓𞸍،𞸐󰁒١١ وتنتهي عند النقطة 𞸁󰁓𞸍،𞸐󰁒٢٢، فإنه على منحنى الإزاحة – الزمن، تكون السرعة المتجهة المتوسطة للجسم هي ميل القطعة المستقيمة الواصلة من النقطة 𞸀 إلى النقطة 𞸁، أي التغير الكلي في الموضع، أو الإزاحة الكلية، على الزمن الكلي المستغرق: اااازاااا==𞸐𞸐𞸍𞸍.٢١٢١

في المثال التالي، سنتناول الإزاحة والسرعة المتجهة المتوسطة في رحلة متعددة المراحل تتضمن تغيرًا في الاتجاه.

مثال ٣: إيجاد الإزاحة والزمن والسرعة المتجهة في رحلة متعددة الأجزاء

تسبح سمكة مسافة ١٥ م ناحية اليسار بسرعة متوسطة ٢ م/ث، وتُغيِّر اتجاهها على الفور وتسبح نصف تلك المسافة ناحية اليمين. الزمن المستغرق في حدوث ذلك ١٢ ث، كما هو موضح في الشكل. في هذه المسألة، افترض أن الإزاحة إلى اليسار موجبة.

  1. ما إزاحة السمكة من نقطة البدء بعد مرور ١٢ ث من بدء حركتها؟
  2. ما الزمن الذي استغرقته السمكة في السباحة ناحية اليسار؟
  3. ما السرعة المتوسطة للسمكة أثناء تحركها ناحية اليمين؟ اكتب الإجابة لأقرب منزلة عشرية.
  4. ما السرعة المتوسطة للسمكة خلال ١٢ ث التي تحركتها؟

الحل

الجزء الأول

في هذا الجزء، مطلوب منا إيجاد إزاحة السمكة بعد مرور ١٢ ثانية من حركتها، ونحن نعلم أن ١٢ ث هو الزمن الكلي المستغرق في رحلة السمكة بأكملها. ومن ثَمَّ، علينا إيجاد الإزاحة الكلية؛ بعبارة أخرى، المسافة التي تقطعها السمكة من نقطة البدء عندما تكمل رحلتها، وكذلك الاتجاه.

هناك مرحلتان في هذه الرحلة. الأولى هي 𞸐=٥١م باتجاه اليسار (والمحدد على أنه الاتجاه الموجب)، يليها 𞸐٢=٥١٢=٥٫٧م باتجاه اليمين، أي في الاتجاه السالب. وبذلك، تكون الإزاحة الكلية هي: ازااماها=٥١٥٫٧=٥٫٧.

الجزء الثاني

المطلوب منا بعد ذلك هو إيجاد الزمن الذي استغرقته السمكة في السباحة ناحية اليسار. نعلم من المعطيات أن المسافة المقطوعة في هذه المرحلة من الرحلة هي ١٥ م بسرعة متوسطة قدرها ٢ م/ث. إذن، لإيجاد الزمن المستغرق، نستخدم الصيغة: ااا=.

وفي هذه الحالة، فإن هذا يساوي: اث=٥١٢=٥٫٧.

الجزء الثالث

بعد ذلك، مطلوب منا إيجاد السرعة المتوسطة للسمكة أثناء حركتها ناحية اليمين، أي في الاتجاه السالب. ولنفعل ذلك، سنستخدم الصيغة: اااازاااا=.

إزاحة السمكة ناحية اليمين هي 𞸐٢=٥١٢=٥٫٧م، حيث تشير الإشارة السالبة إلى الاتجاه.

والآن، لإيجاد المقام في الصيغة التي لدينا، أي الزمن المستغرق في هذه المرحلة من رحلة السمكة، نلاحظ أنه إذا استغرقت المرحلة الأولى ٧٫٥ ث، كما وجدنا سابقًا، وكان الزمن الكلي المستغرق في الرحلة بأكملها ١٢ ث، فإن الزمن المستغرق في المرحلة الثانية من الرحلة هو: ٢١٥٫٧=٥٫٤ث. لدينا الآن كل ما نحتاج إليه لحساب السرعة المتجهة المتوسطة للسمكة أثناء حركتها ناحية اليمين: ااامثب=٥٫٧٥٫٤=٧٫١/

الجزء الرابع

وأخيرًا، مطلوب منا إيجاد السرعة المتجهة المتوسطة للسمكة خلال الـ ١٢ ث التي تحركتها. مرة أخرى، سنستخدم الصيغة: اااازاااا=، حيث الإزاحة الكلية الآن هي الإزاحة من موضع بداية حركة السمكة إلى موضعها النهائي. وقد وجدناها في الجزء الأول من هذا السؤال، وتساوي: ٧٫٥ م. الزمن الكلي المستغرق كان ١٢ ث. ومن ثَمَّ: ااامث=٥٫٧٢١=٥٢٦٫٠/.

يمكننا أيضًا التفكير في هذه المسألة باستخدام منحنى الإزاحة - الزمن، حيث كل قطعة مستقيمة تمثل مرحلة معينة من حركة السمكة، كما هو موضح أدناه.

وحيث إن الزمن يمثله المحور الأفقي والإزاحة يمثلها المحور الرأسي، فإننا نرى، على سبيل المثال، أنه بدءًا من الزمن 𞸍=٠، وبعد مرور ٧٫٥ ثوانٍ، تكون السمكة قد تحركت ١٥ م. القطعة المستقيمة التي تمثل هذه المرحلة لها ميل موجب وتمثل حركة إلى الأمام، أو في الاتجاه الموجب.

والآن، تذكر أن الميل 𞸌، للقطعة المستقيمة الواصلة بين النقطتين 󰁓𞸎،𞸑󰁒١١، 󰁓𞸎،𞸑󰁒٢٢ يُعطى بالصيغة: 𞸌=𞸑𞸑𞸎𞸎.٢١٢١

إذا استخدمنا موضعي بداية حركة السمكة ونهايتها باعتبارهما النقطتين على القطعة المستقيمة الواصلة بينهما، فسنتمكن من إيجاد السرعة المتوسطة للسمكة بحساب ميل هذه القطعة المستقيمة.

وفي هذه الحالة، يكون للنقطتين الإحداثيات (٠،٠)، (٢١،٥٫٧). ومن ثَمَّ، فإن ميل القطعة المستقيمة، وهو السرعة المتجهة المتوسطة بين موضعي بداية ونهاية حركة السمكة، يساوي: 𞸌==٥٫٧٠٢١٠=٥٫٧٢١=٥٢٦٫٠/.ااامث

يتناول المثال التالي السرعة المتجهة المتوسطة في رحلة متعددة المراحل.

مثال ٤: إيجاد المسافة والزمن والسرعة المتجهة في رحلة متعددة الأجزاء

تأخَّر شخصٌ عن موعدٍ في مكتب يقع في الجهة الأخرى من طريق مستقيم يؤدِّي إلى منزله. غادر الشخص منزله وجرى مُتَّجِهًا إلى مكتبه لمدة ٤٥ ثانية، قبل أن يُدرِك أنه يجب أن يعود إلى منزله ليُحضِر بعض المستندات التي يحتاج إليها في الموعد. جرى الشخص عائدًا إلى المنزل بنفس السرعة التي جرى بها مِنْ قبل، واستغرَقَ ١٨٥ ثانية في البحث عن المستندات، ثم جرى مُتَّجِهًا إلى مكتبه مرة أخرى. في هذه المرة، جرى الشخص بسرعة ٥٫٥ م/ث لمدة ٢٦٠ ثانية، ثم وصل إلى المكتب.

  1. ما الزمن المُستغرَق منذ مغادرة الشخص منزله في المرة الأولى حتى وصوله إلى موعده؟
  2. ما المسافة بين منزل الشخص ومكتبه؟
  3. ما السرعة المتجهة المتوسطة للشخص منذ مغادرته منزله في المرة الأولى حتى وصوله إلى المكتب؟ قرِّب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين.

الحل

تتكون رحلة الشخص من ٤ مراحل: أول مرحلتين لهما نفس المسافة للزمن ٤٥ ث، ولكن في اتجاهين متعاكسين، والمرحلة الثالثة لا تغطي أي مسافة لمدة ١٨٥ ث، وتستغرق المرحلة الأخيرة ٢٦٠ ث بسرعة ٥٫٥ م/ث.

الجزء الأول

مطلوب منا أولًا إيجاد الزمن المستغرق منذ مغادرة الشخص منزله في المرة الأولى حتى وصوله إلى موعده. ولإيجاد ذلك، نجمع زمن كل مرحلة من مراحل الرحلة: ااقث=٥٤+٥٤+٥٨١+٠٦٢=٥٣٥.

الجزء الثاني

بعد ذلك، مطلوب منا إيجاد المسافة بين منزل الشخص ومكتبه. ولإيجاد ذلك، يمكننا ببساطة استخدام المعلومات التي لدينا عن الجزء الأخير من رحلته، حيث إنه يقطع المسافة بأكملها في هذه المرحلة. نستخدم الصيغة: ااا=×.

وبما أننا نعلم أن سرعة هذا الجزء تساوي ٥٫٥ م/ث والزمن المستغرق فيه يساوي ٢٦٠ ث، فإن المسافة ستساوي: ام=٥٫٥×٠٦٢=٠٣٤١.

الجزء الثالث

وأخيرًا، مطلوب منا إيجاد السرعة المتجهة المتوسطة للشخص منذ مغادرته منزله في المرة الأولى حتى وصوله إلى المكتب في النهاية. ولإيجاد ذلك، نستخدم الصيغة: اااازاااا=.

الإزاحة الكلية هي الإزاحة التي مقدارها يساوي المسافة المباشرة بين منزل الشخص والمكتب. ووجدنا أنها تساوي ١‎ ‎٤٣٠ م، ونحن نعلم أن الزمن الكلي المستغرق كان ٥٣٥ ث. ومن ثَمَّ: ااامثب=٠٣٤١٥٣٥=٧٦٫٢/،

بعبارة أخرى، إذا كان الاتجاه الموجب هو من المنزل إلى المكتب، فإن السرعة المتجهة المتوسطة للشخص منذ مغادرته لمنزله في البداية ووصوله في النهاية إلى المكتب، لأقرب منزلتين عشريتين، تساوي: ٢٫٦٧ م/ث.

يوضح المثال التالي كيفية إيجاد السرعة المتوسطة والسرعة المتجهة المتوسطة لجسم متحرك.

مثال ٥: حساب المسافة، والإزاحة، والسرعة، والسرعة المتجهة لجسم متحرك

يركل طفل كرة فتتحرَّك على طول أرض أفقية باتجاه حائط يبعُد مسافة ٢ م. تتحرك الكرة بسرعة ٢٫٢٥ م/ث باتجاه الحائط وتصطدم به، وترتد نصف المسافة بشكل مستقيم عائدة إلى الطفل، ولكن تتحرك فقط بسرعة متوسطة مقدارها ١٫٧٥ م/ث بعد الاصطدام.

  1. ما المسافة الكلية التي تحركتها الكرة؟
  2. ما الإزاحة الكلية للكرة باتجاه الحائط؟
  3. ما المدة الزمنية التي استغرقتها الكرة في الحركة؟ قرِّب الإجابة لأقرب منزلتين عشريتين.
  4. ما السرعة المتوسطة للكرة خلال حركتها لأقرب متر لكل ثانية؟
  5. ما السرعة المتجهة المتوسطة للكرة باتجاه الحائط من الوقت الذي رُكلت فيه الكرة إلى الوقت الذي ارتدت فيه من الحائط وتوقفت؟ قرِّب الإجابة لأقرب منزلتين عشريتين.

الحل

هناك مرحلتان لحركة الكرة في هذا السؤال. المرحلة الأولى هي مسافة ٢ م على أرض أفقية بسرعة ٢٫٢٥ م/ث، أما المرحلة الثانية فتغطي نصف المسافة الأصلية في الاتجاه المعاكس بسرعة متوسطة ١٫٧٥ م/ث.

الجزء الأول

المسافة الكلية التي قطعتها الكرة تساوي مجموع المسافتين للأمام (٢ م) وللخلف (١٢×٢=١م)؛ أي ٢+١=٣م.

الجزء الثاني

الإزاحة الكلية للكرة هي الإزاحة بين موضع بداية الكرة وموضع نهايتها. بعبارة أخرى: ازااممممم=٢١=١.

الجزء الثالث

لإيجاد الزمن الكلي الذي استغرقته الكرة في الحركة، علينا إيجاد زمن كل مرحلة من مراحل رحلتها. ولنفعل ذلك، سنستخدم الصيغة: ااا=.

نفترض أن 𞸍١، 𞸍٢ هما زمنا كل مرحلة، وأن 𞸐١، 𞸐٢ هما مسافتا كل مرحلة، و𞸏١، 𞸏٢ هما سرعتا كل مرحلة، وعليه يصبح لدينا: 𞸍=𞸐𞸏=٢٥٢٫٢=٨٨٨٨٫٠،𞸍=𞸐𞸏=١٥٧٫١=٤١٧٥٫٠.١١١٢٢٢

الزمن الكلي الذي استغرقته الكرة في الحركة هو 𞸍+𞸍=٨٨٨٫٠+٤١٧٥٫٠=٦٤٫١١٢، لأقرب منزلتين عشريتين.

الجزء الرابع

مطلوب منا بعد ذلك إيجاد السرعة المتوسطة للكرة خلال حركتها لأقرب متر لكل ثانية. والسرعة المتوسطة تُعطى بالصيغة: اااااا=، أي في هذه الحالة: اا=٣٦٤٫١=٥٥٠٫٢.

ولأقرب متر لكل ثانية، تكون السرعة المتوسطة إذن ٢ م/ث.

الجزء الخامس

وأخيرًا، السرعة المتجهة المتوسطة للكرة من الوقت الذي رُكلت فيه إلى موضعها النهائي تُعطى بالصيغة: اااازاااا=.

لقد وجدنا بالفعل الإزاحة الكلية باتجاه الحائط وتساوي ١ م. ومن ثم: ااامثب=١٦٤٫١=٨٦٫٠/، في الاتجاه من الولد إلى الحائط.

كان بإمكاننا أيضًا حساب السرعة المتجهة المتوسطة لهذه المسألة باستخدام منحنى الإزاحة - الزمن، حيث تمثل كل قطعة مستقيمة مرحلة معينة من حركة الكرة، كما هو موضح أدناه.

الزمن يمثله المحور الأفقي، والإزاحة يمثلها المحور الرأسي، ومن هنا نلاحظ أنه، على سبيل المثال، بدءًا من الزمن 𞸍=٠، وبعد حوالي ٠٫٨٩ ثانية، ستكون الكرة قد تحركت ٢ م. القطعة المستقيمة التي تمثل هذه المرحلة لها ميل موجب يشير إلى حركة إلى الأمام، أو الاتجاه الموجب.

والآن، تذكر أن الميل 𞸌، للقطعة المستقيمة الواصلة بين النقطتين 󰁓𞸎،𞸑󰁒١١، 󰁓𞸎،𞸑󰁒٢٢ يُعطى بالصيغة: 𞸌=𞸑𞸑𞸎𞸎.٢١٢١

إذا افترضنا أن موضعي البداية والنهاية للكرة هما النقطتين على القطعة المستقيمة، فيمكننا إيجاد السرعة المتجهة المتوسطة للكرة بحساب ميل هذه القطعة المستقيمة.

في هذه الحالة، النقطتان لهما الإحداثيات (٠،٠)، (٦٤٫١،١). ومن ثم، فإن ميل القطعة المستقيمة، وهو السرعة المتجهة المتوسطة بين موضعي البداية والنهاية، يُعطى بالصيغة: 𞸌==١٠٦٤٫١٠=١٦٤٫١=٨٦٫٠/ااامثب

في المثال الأخير، علينا إيجاد السرعة المتجهة المتوسطة بينما يتغير اتجاه الحركة. ويشبه ذلك مثال الطائر الذي يطير ناحية الشرق، ثم الشمال، والذي تناولناه في بداية هذا الشارح.

مثال ٦: حساب السرعة المتجهة المتوسطة في رحلة متعددة الأجزاء مع وجود تغير في الاتجاه

سار رجل مسافة ٦ كم في اتجاه الشرق خلال ١٫٢ ساعة. بعد ذلك التفت وسار ٨ كم في اتجاه الشمال خلال ساعتين. احسب مقدار السرعة المتجهة المتوسطة للرجل.

الحل

تنقسم رحلة الرجل إلى مرحلتين.

ويخبرنا السؤال بالمسافة المقطوعة في كل مرحلة، وهي ٦ كم، و٨ كم، وكذلك يخبرنا بالزمن الذي استغرقه الرجل في كل مرحلة، ١٫٢ ساعة، وساعتان، على الترتيب. ولإيجاد مقدار السرعة المتجهة المتوسطة للرجل، سنستخدم الصيغة: اااازاااا=.

بالنسبة إلى المقام، سنجمع زمني المرحلتين. إذن، الزمن الكلي يساوي ٢٫١+٢=٢٫٣ت. بالنسبة إلى البسط، سيكون علينا إيجاد الإزاحة الكلية، أي الإزاحة بين موضعي البداية والنهاية.

ويمكننا استخدام نظرية فيثاغورس لإيجاد ذلك كما يلي: ازاا=󰋴٦+٨=󰋴٠٠١=٠١.٢٢

علميًا، بما أن الإزاحة كمية متجهة، فعلينا تحديد اتجاه الإزاحة. ولفعل ذلك، يمكننا إيجاد قياس الزاوية المحصورة بين المحور الأفقي واتجاه الإزاحة، أو بدلًا من ذلك، يمكننا أن نشير إلى أن الإزاحة في اتجاه شمال الشرق تقريبًا. لكن، بما أن المطلوب هو إيجاد مقدار السرعة المتجهة المتوسطة، فهذا ليس ضروريًّا هنا.

باستخدام هذه الصيغة، يكون مقدار السرعة المتجهة المتوسطة هو: 󰍸󰍸=٠١٢٫٣=١٫٣/.اااس

يجدر بنا أن نذكر أنفسنا بأننا ناقشنا حالات كانت فيها السرعة المتجهة ثابتة في كل مرحلة من مراحل حركة الجسم. وكما رأينا على منحنى الإزاحة - الزمن، فإن السرعة المتجهة الثابتة هي ميل القطعة المستقيمة التي تمثل هذه المرحلة من الحركة.

والآن، افترض بدلًا من ذلك أن السرعة المتجهة ليست ثابتة. إذن، سيكون التمثيل البياني لحركة الجسم على شكل منحنى. في المثال التالي الحركة لها سرعة متجهة غير ثابتة في الاتجاه الموجب.

لأي نقطة على المنحنى، يمكننا أن نوجد ما يسمى بالسرعة المتجهة اللحظية عن طريق حساب ميل المماس عند هذه النقطة.

وبالرغم من أن هذا خارج نطاق هذا الشارح، يمكننا أن نوجد أيضًا السرعة المتجهة المتوسطة لحركة الجسم كلها أو جزء منها. ونفعل ذلك بإيجاد ميل القطعة المستقيمة، إما من موضعي البداية والنهاية أو بين نقطتين أثناء الحركة.

دعونا نلخص بعض النقاط الرئيسية المتعلقة بالسرعة المتجهة والسرعة المتجهة المتوسطة في هذا الشارح.

النقاط الرئيسية

  • السرعة هي كمية قياسية، وهي المعدل الذي يقطع به الجسم مسافةٍ ما، حيث المسافة هي طول المسار بين نقطتين: ااا=. وتقاس السرعة بالمسافة لكل وحدة من الزمن.
  • السرعة المتجهة، وهي كمية متجهة، تحدد مقدار واتجاه التغير في موضع الجسم بالنسبة للزمن. ااازاا=. إذا كان لدينا نقطتان، فإن الإزاحة تقيس المسافة التي تبعدها النقطة الثانية عن النقطة الأولى، واتجاه هذه المسافة. تُعرَّف السرعة المتجهة بأنها مسافة لكل وحدة من الزمن ولها اتجاه.
  • السرعة المتوسطة لحركة جسم ما هي كمية قياسية تُقاس أيضًا بالمسافة لكل وحدة من الزمن: اااااا=.
  • السرعة المتجهة المتوسطة لحركة الجسم تُعطى بالصيغة: اااازاااا=، حيث الإزاحة الكلية هي إزاحة الجسم من نقطة بدايته إلى نقطة نهايته. وهي كمية متجهة؛ ومن ثَمَّ يكون لها اتجاه، وتقاس بالمسافة لكل وحدة من الزمن.
  • على منحنى الإزاحة - الزمن، تكون السرعة المتجهة المتوسطة لحركة الجسم هي ميل أو انحدار القطعة المستقيمة الواصلة بين موضعي بداية ونهاية الجسم.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.