فيديو السؤال: إيجاد أبعاد مستطيل بأكبر مساحة ممكنة بمعلومية محيطه وباستخدام الاشتقاق الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

أوجد أبعاد سياج مستطيل الشكل يحيط بأكبر مساحة ممكنة، إذا كان الطول الكلي للسياج ٢٠٠ قدم.

لحل مسألة كهذه، حيث يطلب منا إيجاد قيمة كبرى أو صغرى، يجب استخدام مفهوم الحل الأمثل. ستظهر القيمتان العظمى والصغرى للدالة عندما تكون قيمة المشتقة ﺩﺹ على ﺩﺱ تساوي صفرًا. إذا كانت المشتقة الثانية ﺩ اثنان ﺹ على ﺩﺱ تربيع أكبر من صفر، فسيكون لدينا قيمة صغرى. وإذا كانت ﺩ اثنان ﺹ على ﺩﺱ تربيع أقل من صفر، فإننا نحصل على قيمة عظمى. هيا نفكر الآن في هذه المسألة. لدينا مستطيل عرضه ﺱ قدم وطوله ﺹ قدم. محيط هذا المستطيل يساوي اثنين ﺱ زائد اثنين ﺹ، ومساحته تساوي ﺱ مضروبًا في ﺹ.

نعلم أن لدينا سياجًا طوله ٢٠٠ قدم. ومن ثم، فإن المحيط يجب أن يساوي ٢٠٠. إذن تصبح المعادلة الأولى اثنان ﺱ زائد اثنين ﺹ يساوي ٢٠٠. وبقسمة طرفي هذه المعادلة على اثنين، نحصل على ﺱ زائد ﺹ يساوي ١٠٠. وبطرح ﺱ من طرفي المعادلة، نحصل على ﺹ يساوي ١٠٠ ناقص ﺱ. يمكننا الآن التعويض بذلك في المعادلة الثانية. إذن مساحة المستطيل تساوي ﺱ مضروبًا في ١٠٠ ناقص ﺱ. وبتوزيع الأقواس، نحصل على ١٠٠ﺱ ناقص ﺱ تربيع. يمكننا الآن إيجاد أبعاد أكبر مساحة عن طريق اشتقاق هذا التعبير.

إذا كان ﺃ يساوي ١٠٠ﺱ ناقص ﺱ تربيع، فإن ﺩﺃ على ﺩﺱ يساوي ١٠٠ ناقص اثنين ﺱ. يمكننا اشتقاق كل حد على حدة. بمساواة ذلك بصفر نحصل على ١٠٠ ناقص اثنين ﺱ يساوي صفرًا. وبإضافة اثنين ﺱ إلى كلا الطرفين، نحصل على اثنين ﺱ يساوي ١٠٠. وأخيرًا، بالقسمة على اثنين نحصل على قيمة ﺱ تساوي ٥٠. نعرف أن ﺹ يساوي ١٠٠ ناقص ﺱ. لذا يمكننا التعويض بالقيمة الناتجة في هذه المعادلة. ١٠٠ ناقص ٥٠ يساوي ٥٠. إذن ﺹ يساوي ٥٠ أيضًا. وبينما يبدو أننا توصلنا إلى الناتجين، من المهم أن نتحقق من أن هذه القيمة تناظر القيمة العظمى أو الكبرى.

‏ﺩﺃ على ﺩﺱ يساوي ١٠٠ ناقص اثنين ﺱ. يمكننا اشتقاق ذلك مرة أخرى لنحصل على ﺩ اثنين ﺃ على ﺩﺱ تربيع. اشتقاق أي ثابت — وهو في هذه الحالة ١٠٠ — يعطينا صفرًا. واشتقاق سالب اثنين ﺱ يعطينا سالب اثنين. إذن، ﺩ اثنان ﺃ على ﺩﺱ تربيع يساوي سالب اثنين. عند الوصول لهذه النقطة، عادة ما نعوض بقيم ﺱ في التعبير. لكن الناتج هنا عبارة عن الثابت سالب اثنين. هذا لأن معادلة ﺃ عبارة عن قطع مكافئ على شكل حرف n، وبالتالي توجد نقطة تحول واحدة فقط. هذه نقطة قيمة عظمى، لأن ﺩ اثنين ﺃ على ﺩﺱ تربيع يساوي قيمة سالبة. إذن، الأبعاد التي نتج عنها أكبر مساحة محصورة هي ٥٠ قدمًا في ٥٠ قدمًا.