شارح الدرس: الحل الأمثل: تطبيقات على القِيَم القُصوى الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

مثال ١: إيجاد القيمة العظمى لدالة تتضمن دالة كسرية باستخدام قاعدة القسمة

إذا عُلم أن حجم بالون هواء ساخن يزداد طبقًا للعلاقة ؛ حيث الزمن مقيس بالساعة، فأوجد القيمة العظمى لحجم البالون.

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد القيمة العظمى لحجم بالون هواء ساخن، كما هو موضَّح في الصورة، والذي يزداد طبقًا لعلاقة معينة؛ أي ؛ حيث هو الزمن مقيسًا بالساعة.

لكي نفعل ذلك، علينا إيجاد النقاط الحرجة للدالة من خلال إيجاد المشتقة الأولى بالنسبة إلى الزمن؛ أي ، وجَعْلها تساوي صفرًا والحل لإيجاد قيمة . يمكننا بعد ذلك تحديد طبيعة النقاط الحرجة باستخدام اختبار المشتقة الثانية.

بما أن العلاقة تتضمن دالة كسرية، إذن لكي نتمكن من الاشتقاق، نتذكَّر قاعدة القسمة للدالتين القابلتين للاشتقاق ، :

باستخدام ذلك عند ، ، يمكننا إيجاد المشتقة الأولى للدالة على الصورة:

بالحل لإيجاد قيمة ، نجد أن ؛ ومن ثَمَّ، . لكن قيم الموجبة فقط هي القيم الصحيحة؛ لأن قيمة الزمن دائمًا ما تكون موجبة ()؛ إذن النقطة الحرجة الوحيدة هي ونتجاهل الحل .

يمكننا تحديد طبيعة هذه النقطة الحرجة باستخدام اختبار المشتقة الثانية. وبتطبيق قاعدة القسمة مرة أخرى مع ، ، نجد أن المشتقة الثانية لدالة الحجم تكون على الصورة:

بالتعويض بالنقطة الحرجة ، نجد أن:

بما أن ، ووفقًا لاختبار المشتقة الثانية، إذن تكون النقطة الحرجة قيمة عظمى محلية لدالة الحجم لبالون الهواء الساخن. وعند هذه النقطة الحرجة، يُعطى الحجم بالعلاقة:

وعليه، فإن القيمة العظمى لحجم بالون الهواء الساخن هي ٤‎ ‎٥٠٠ وحدة مكعبة.

مثال ٢: إيجاد القيمة العظمى لشدة تيار متردد بمعلومية مقدار يمثله بدلالة الزمن باستخدام الاشتقاق

في دائرة يتخللها تيار متردد، كانت شدة التيار ، المقيسة بالأمبير في أي لحظة مقيسة بالثانية تُعطى بالعلاقة . ما القيمة العظمى لشدة التيار في الدائرة لأقرب منزلتين عشريتين؟

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد القيمة العظمى لشدة تيار متردد، كما هو موضَّح في الصورة، بمعلومية مقدار يمثله كدالة في الزمن، .

لفعل ذلك، علينا إيجاد النقاط الحرجة لشدة التيار من خلال إيجاد المشتقة الأولى وجَعْلها تساوي صفرًا والحل لإيجاد قيمة . يمكننا بعد ذلك تحديد طبيعة النقاط الحرجة باستخدام اختبار المشتقة الثانية.

بإيجاد المشتقة الأولى لشدة التيار المتردد بالنسبة إلى وجَعْلها تساوي صفرًا، نجد أن:

للحل لإيجاد قيمة ، يمكننا إعادة ترتيب هذا المقدار لنحصل على: ومن ثم، فإن النقاط الحرجة، مقيسة بالراديان، من الحل العام؛ حيث ، هي:

بما أن الدوال المثلثية هي دوال دورية، علينا التفكير في النقطتين الحرجتين لـ ، ، المناظرتين لـ ، ؛ حيث ستتناوب قيمة شدة التيار المتردد بين هاتين النقطتين الحرجتين؛ أي القيمة العظمى والقيمة الصغرى.

يمكننا تحديد طبيعة هاتين النقطتين الحرجتين باستخدام اختبار المشتقة الثانية. تُعطى المشتقة الثانية لدالة شدة التيار من خلال:

بالتعويض بالنقطتين الحرجتين ، في المشتقة الثانية، نحصل على:

بما أن ، ، ووفقًا لاختبار المشتقة الثانية، إذن قيمة عظمى محلية، قيمة صغرى محلية للدالة لشدة التيار.

بالنسبة إلى النقاط الحرجة المُعطاة باستخدام الحل العام، ، فلدينا قيمة عظمى محلية للأعداد الزوجية لـ وقيمة صغرى محلية للأعداد الفردية لـ .

يمكن إيجاد القيمة العظمى لشدة التيار بالتعويض بـ :

إذن القيمة العظمى لشدة التيار لأقرب منزلتين عشريتين هي ٢٤٫٨٤ أمبير.

مثال ٣: إيجاد عددين مجموع مربعيهما يمثل أصغر قيمة بمعلومية مجموع العددين باستخدام الاشتقاق

أوجد العددين اللذين مجموعهما ١٥٦، ومجموع مربعيهما أصغر قيمة ممكنة.

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد عددين بمعلومية مجموعهما؛ حيث يمثل مجموع مربعيهما قيمة صغرى.

لنفترض أن ، يشيران إلى العددين اللذين مجموعهما ١٥٦. تكون مسألة الحل الأمثل التي نريد حلها كالآتي:

بطرح من طرفي القيد، يصبح لدينا . وهذا يمكِّننا من إعادة كتابة المجموع كدالة في فقط:

لإيجاد النقاط الحرجة، نوجد المشتقة الأولى لهذه الدالة بالنسبة إلى ونجعلها تساوي صفرًا:

بالحل لإيجاد قيمة ، نجد أن النقطة الحرجة هي . لتحديد طبيعة هذه النقطة الحرجة، يمكننا استخدام اختبار المشتقة الثانية. نحصل على المشتقة الثانية لـ من خلال:

بما أن قيمة المشتقة الثانية موجبة لجميع قيم ؛ ومن ثَمَّ، ، ووفقًا لاختبار المشتقة الثانية، إذن تكون النقطة الحرجة قيمة صغرى محلية للدالة . يمكننا الآن إيجاد العدد الثاني؛ أي ، بالتعويض بـ في القيد:

وعليه، فإن العددين اللذين مجموعهما ١٥٦ ومجموع مربعيهما أصغر قيمة ممكنة هما .

مثال ٤: إيجاد أكبر مساحة لقطعة أرض مستطيلة الشكل بمعلومية محيطها باستخدام الاشتقاق

أوجد أكبر مساحة لقطعة أرض مستطيلة الشكل يُمكن أن تُحاط بسياج طوله ١٢ مترًا.

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد أكبر مساحة لقطعة أرض مستطيلة الشكل بمعلومية محيطها.

لنفترض أن ، يشيران إلى طول المستطيل وعرضه، على الترتيب، كما هو موضَّح في الشكل؛ ويمكن حساب محيط المستطيل من خلال ، وهو ما يكافئ طول السياج في هذه المسألة.

تكون مسألة الحل الأمثل التي نريد حلها كالآتي:

بجعل المتغير التابع للقيد، يصبح لدينا:

باستخدام ذلك، يمكننا إعادة كتابة كدالة في فقط:

يمكننا الآن إيجاد النقاط الحرجة للمساحة من خلال إيجاد المشتقة الأولى لهذه الدالة وجَعْلها تساوي صفرًا:

بالحل لإيجاد قيمة ، نحصل على النقطة الحرجة . ولتحديد طبيعة هذه النقطة الحرجة، نستخدم اختبار المشتقة الثانية. نحصل على المشتقة الثانية لدالة المساحة من خلال:

بما أن قيمة المشتقة الثانية سالبة لجميع قيم ؛ ومن ثَمَّ، ، ووفقًا لاختبار المشتقة الثانية، إذن تكون النقطة الحرجة قيمة عظمى محلية لدالة المساحة . وعند هذه النقطة الحرجة، تُعطى المساحة من خلال:

نلاحظ أيضًا أنه يمكننا إيجاد عرض المستطيل؛ أي ، من القيد؛ حيث ، فنجد أننا نحصل على أقصى قيمة للمساحة عندما يكون المحيط مربعًا.

إذن أكبر مساحة لقطعة أرض مستطيلة الشكل مُحاطة بسياج طوله ١٢ م تساوي ٩ م^٢.

مثال ٥: إيجاد بُعدَي جسم مستطيل الشكل باستخدام الاشتقاق

قُطع مقطع عرضي مستطيل من قطعة خشبية مقطوعة من شجرة أسطوانية الشكل قطرها ٦٧ سم. قيمة مقاومة القطعة الخشبية تتناسب مع عرضها ومربع طولها. ما البُعدان اللذان يحققان القيمة العظمى للمقاومة؟

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد بُعدَي المقطع العرضي المستطيل الشكل، وهو قطعة خشبية مقطوعة من شجرة أسطوانية الشكل ذات قطر معلوم، وذلك بحيث تكون المقاومة أكبر ما يمكن. لِنُشِرْ إلى عرض القطعة الخشبية بالحرف وطولها بالحرف ، كما هو موضَّح في الشكل.

بالنسبة إلى المقاومة، التي يمكن أن نشير إليها بالحرف ، فهي قياس لقوة القطعة المستطيلة وتكون دائمًا موجبة. وبما أن المقاومة تتناسب مع عرض القطعة؛ أي ، ومربع طولها؛ أي ، إذن يصبح لدينا العلاقة: حيث . يرتبط العرض والطول أيضًا بقطر الشجرة الأسطوانية باستخدام نظرية فيثاغورس للمثلث القائم الزاوية؛ حيث . وبذلك، تكون مسألة الحل الأمثل التي نريد حلها كالآتي:

يمكننا إعادة كتابة القيد على الصورة ، وباستخدام ذلك، يمكننا إعادة كتابة المقاومة بوصفها دالة في فقط:

يمكننا الآن إيجاد النقاط الحرجة من خلال إيجاد المشتقة الأولى لهذه الدالة وجَعْلها تساوي صفرًا:

بحل ذلك لإيجاد قيمة ، نحصل على:

بما أن القيم الموجبة فقط للعرض هي القيم الصحيحة، إذن يمكننا تجاهل الحل السالب وتكون النقطة الحرجة الوحيدة هي:

لتحديد طبيعة هذه النقطة الحرجة، نستخدم اختبار المشتقة الثانية. نحصل على المشتقة الثانية لدالة المقاومة من خلال:

بالتعويض بالقيمة الحرجة في المشتقة الثانية، نحصل على:

وبما أن ؛ ومن ثَمَّ، ، ووفقًا لاختبار المشتقة الثانية، إذن تكون النقطة الحرجة قيمة عظمى محلية لدالة المقاومة . ويمكن أيضًا إيجاد طول القطعة المستطيلة الشكل من القيد بالتعويض بالنقطة الحرجة كالآتي:

إذن بُعدا المقطع العرضي المستطيل الشكل اللذان يحققان القيمة العظمى للمقاومة هما سم، سم.

مثال ٦: إيجاد أكبر مساحة ممكنة لقطعة أرض مستطيلة تنتهي بنصفَيْ دائرتين بمعلومية محيطها باستخدام الاشتقاق

ملعب على شكل مستطيل ينتهي بنصفَي دائرتين. إذا كان محيط الملعب ٥٩٤ م، فأوجد أكبر مساحة له.

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد أكبر مساحة لملعب على شكل مستطيل ينتهي بنصفَي دائرتين بمعلومية محيطه.

لِنُشِرْ إلى عرض المستطيل الداخلي بالحرف ، والذي يمثل أيضًا قطر نصفَي الدائرتين، ونُشِرْ إلى طول المستطيل بالحرف . بما أن هناك نصفَي دائرتين؛ حيث يوجد نصف دائرة في كل طرف من طرفَي المستطيل، إذن مساحة الطرفين ومحيطهما معًا يمثلان مساحة دائرة كاملة ومحيطها؛ حيث يُعطى نصف قطرها بالعلاقة:

مساحة الملعب؛ أي ، تساوي مجموع مساحة المستطيل الداخلي والمساحة الكلية لنصفَي الدائرتين (أو الدائرة بالكامل):

المحيط هو طول الخط الخارجي للملعب، والذي يشمل ضعف طول المستطيل الداخلي ومحيط نصفَي الدائرتين (أو الدائرة بالكامل):

بما أننا نعلم أن محيط الملعب يساوي ٥٩٤ م، إذن تكون مسألة الحل الأمثل التي نريد حلها كالآتي:

بجعل المتغير التابع للقيد، يصبح لدينا:

باستخدام ذلك، يمكننا إعادة كتابة المساحة الكلية للملعب؛ أي ، كدالة في فقط:

يمكننا الآن إيجاد النقاط الحرجة من خلال إيجاد المشتقة الأولى لهذه الدالة وجَعْلها تساوي صفرًا:

بالحل لإيجاد قيمة ، نحصل على:

لتحديد طبيعة هذه النقطة الحرجة، نستخدم اختبار المشتقة الثانية. نحصل على المشتقة الثانية لدالة المساحة من خلال:

بما أن قيمة المشتقة الثانية سالبة لجميع قيم ؛ ومن ثَمَّ، ، ووفقًا لاختبار المشتقة الثانية، إذن تكون النقطة الحرجة قيمة عظمى محلية لدالة المساحة للملعب. عند هذه النقطة الحرجة، تُعطى المساحة من خلال:

إذن أكبر مساحة للملعب الذي محيطه ٥٩٤ م تساوي م^٢.

مثال ٧: إيجاد نصف قطر قطاع دائري بمعلومية مساحة مُعطاة تجعل محيطه أقل ما يمكن باستخدام الاشتقاق

مساحة قطاع دائري تساوي ١٦ سم^٢. أوجد طول نصف قطر القطاع الدائري الذي يجعل محيطه أقل ما يمكن، ثم أوجد قياس الزاوية بالراديان.

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد طول نصف قطر قطاع دائري، كما هو موضَّح بالشكل، له أقل محيط ممكن بمعلومية مساحة مُعطاة، كما نريد إيجاد قياس الزاوية .

تُعطى مساحة القطاع الدائري؛ أي ، ومحيطه؛ أي ، الذي نصف قطره وزاويته بالعلاقة: حيث طول قوس القطاع الدائري. تكون مسألة الحل الأمثل التي نريد حلها كالآتي:

بجعل المتغير التابع في القيد، يصبح لدينا:

باستخدام ذلك، يمكننا إعادة كتابة محيط القطاع كدالة في فقط:

والآن، يمكننا إيجاد النقاط الحرجة من خلال إيجاد المشتقة الأولى لهذه الدالة وجَعْلها تساوي صفرًا:

بحل ذلك لإيجاد قيمة ، نجد أن . ولكن قيم الموجبة فقط هي القيم الصحيحة؛ لأن قيمة نصف القطر دائمًا ما تكون موجبة ()، وبذلك تكون النقطة الحرجة الوحيدة هي . لتحديد طبيعة هذه النقطة الحرجة، نستخدم اختبار المشتقة الثانية. نحصل على المشتقة الثانية لدالة المحيط من خلال:

بالتعويض بالنقطة الحرجة في المشتقة الثانية، يصبح لدينا:

بما أن ، ووفقًا لاختبار المشتقة الثانية، إذن تكون النقطة الحرجة قيمة صغرى محلية لدالة المحيط . يمكننا إيجاد قيمة الزاوية بالتعويض عن في القيد:

وبذلك، نجد أن طول نصف القطر وزاوية القطاع ، مقيسة بالراديان، اللذين يجعلان المحيط أقل ما يمكن هما:

مثال ٨: إيجاد أكبر حجم لأسطوانة مساحة سطحها مُعطاة

ما أكبر حجم لأسطوانة دائرية قائمة مساحة سطحها سم^٢؟ اكتب إجابتك بدلالة .

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد أكبر حجم لأسطوانة مساحة سطحها ثابتة ومُعطاة، كما هو موضَّح في الشكل.

تُعطى مساحة سطح أسطوانة دائرية قائمة وحجمها؛ حيث نصف قطرها وارتفاعها ، بالعلاقة:

تكون مسألة الحل الأمثل التي نريد حلها كالآتي:

بجعل المتغير التابع للقيد، يصبح لدينا:

باستخدام ذلك، يمكننا إعادة كتابة حجم الأسطوانة؛ أي ، كدالة في فقط:

يمكننا الآن إيجاد النقاط الحرجة من خلال إيجاد المشتقة الأولى لهذه الدالة وجَعْلها تساوي صفرًا:

بحل ذلك لإيجاد قيمة ، نجد أن . ولكن قيم غير السالبة فقط هي القيم الصحيحة؛ لأن قيمة نصف القطر دائمًا ما تكون غير سالبة ()، وتكون النقطة الحرجة الوحيدة هي . يمكننا تحديد طبيعة هذه النقطة الحرجة باستخدام اختبار المشتقة الثانية. ونحصل على المشتقة الثانية لدالة الحجم من خلال:

بالتعويض بالنقطة الحرجة في المشتقة الثانية، يصبح لدينا:

بما أن ، ووفقًا لاختبار المشتقة الثانية، إذن تكون النقطة الحرجة قيمة عظمى محلية لدالة الحجم . وعند هذه النقطة الحرجة، يُعطى الحجم كالآتي:

وعليه، فإن أكبر حجم لأسطوانة مساحة سطحها ثابتة يساوي سم^٣.

مثال ٩: إيجاد نصف قطر كرة وأسطوانة يجعل مجموع حجميهما بأقصى قيمة بمعلومية مجموع مساحتَيْ سطحيهما باستخدام الاشتقاق

إذا كان مجموع مساحتَي سطحَي كرة وأسطوانة دائرية قائمة يساوي سم^٢، ونصفا قطرَيْهما متساويين، فأوجد نصف قطر الكرة الذي يجعل مجموع حجمَيْهما بأقصى قيمة.

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد نصف القطر الذي يجعل مجموع حجمَيْ كرة وأسطوانة بأقصى قيمة، كما هو موضَّح في الشكل، بمعلومية المجموع الثابت لمساحتَيْ سطحيهما.

يمكن حساب مساحة السطح والحجم لكرة وأسطوانة دائرية قائمة نصف قطرها وارتفاعها من خلال:

لدينا قيد يتمثل في أن مجموع مساحتَيْ سطحيهما يساوي سم^٢، إذن:

ويمكن تبسيط ذلك إلى القيد . وبذلك، تكون مسألة الحل الأمثل التي نريد حلها كالآتي:

بجعل المتغير التابع للقيد، يصبح لدينا:

باستخدام هذا، يمكننا إعادة كتابة الحجم الكلي كدالة في فقط:

يمكننا الآن إيجاد النقاط الحرجة من خلال إيجاد المشتقة الأولى لهذه الدالة وجَعْلها تساوي صفرًا:

بحل ذلك لإيجاد قيمة ، نجد أن . ولكن قيم غير السالبة فقط هي القيم الصحيحة؛ لأن قيمة نصف القطر دائمًا ما تكون غير سالبة ()، وتكون النقطة الحرجة الوحيدة هي . لتحديد طبيعة هذه النقطة الحرجة، نستخدم اختبار المشتقة الثانية. نحصل على المشتقة الثانية لدالة الحجم من خلال:

بالتعويض بالقيمة الحرجة في المشتقة الثانية، نجد أن:

بما أن ، ووفقًا لاختبار المشتقة الثانية، إذن تكون النقطة الحرجة قيمة عظمى محلية لدالة الحجم الكلي . إذن نصف قطر الكرة الذي يجعل مجموع حجمَيْ الكرة والأسطوانة بأقصى قيمة يساوي ١٠ سم.

مثال ١٠: إيجاد نقاط تقع على منحنًى مُعطًى وتكون أقرب من نقطة مُعطاة باستخدام الاشتقاق

أوجد النقطتين اللتين تقعان على المنحنى وتُعتبران الأقرب من النقطة .

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد النقطتين اللتين تقعان على منحنًى معين، كما هو موضَّح في الشكل التالي، وتبعُدان مسافة قصيرة للغاية عن نقطة مُعطاة.

وفقًا لنظرية فيثاغورس، يمكن حساب المسافة بين نقطتين ، من خلال:

ومن ثم، لأي نقطتين على المنحنى، وبما أن ، إذن تُحسب هذه المسافة من خلال:

إذن تكون مسألة الحل الأمثل التي نريد حلها كالآتي:

باستخدام القيد المُعطى بمعادلة المنحنى، وبالتعويض عن ، يمكننا كتابة كدالة في فقط:

يمكننا الآن إيجاد النقاط الحرجة لهذه الدالة من خلال إيجاد المشتقة الأولى وجَعْلها تساوي صفرًا. وباستخدام قاعدة السلسلة للدالتين القابلتين للاشتقاق ، ، ؛ حيث ، ، نجد أن:

بالحل لإيجاد قيمة ، نجد أن النقطة الحرجة هي . يمكننا تحديد طبيعة هذه النقطة الحرجة باستخدام اختبار المشتقة الثانية. مرة أخرى، باستخدام قاعدة السلسلة، يمكن الحصول على المشتقة الثانية لدالة الطول من خلال:

بالتعويض عن النقطة الحرجة في المشتقة الثانية، يصبح لدينا:

بما أن ، ووفقًا لاختبار المشتقة الثانية، إذن تكون النقطة الحرجة قيمة صغرى محلية لدالة المسافة من المنحنى. ويمكن إيجاد الإحداثي من القيد أو معادلة المنحنى:

إذن . وعليه، فإن النقطتين اللتين تقعان على المنحنى وتُعتبران الأقرب من النقطة هما ، .