شارح الدرس: الحل الأمثل: تطبيقات على القِيَم القُصوى الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نطبِّق المشتقات على مسائل كلامية واقعية لإيجاد القِيَم العظمى والصغرى للدالة تحت شروط معيَّنة.

الفكرة الأساسية لجميع مسائل الحل الأمثل واحدة؛ حيث يكون لدينا كمية محددة، مثل التكلفة أو المساحة أو الحجم، ونريد إيجاد القيمة الصغرى أو العظمى لها. تُعد هذه الكمية متغيرًا تابعًا تصفه دالة في متغير مستقل، مثل الزمن أو الطول أو درجة الحرارة.

من الأمثلة الواقعية على مسائل الحل الأمثل، شركة تريد تقليل تكلفة الإنتاج إلى أدنى حد، أو زيادة الإيرادات أو الأرباح إلى أقصى حد. في مجال الصناعة، يُستحسن عادةً تقليل كمية المواد المستخدمة في تغليف منتج له حجم معين ثابت؛ فالصناديق التي لها أبعاد مختلفة يمكن أن تكون أحجامها واحدة لكن مساحات سطحها مختلفة. كما تشمل العديدُ من مسائل الحل الأمثل شرطًا إضافيًّا أو قيدًا فيما يتعلق بالمتغيرات المستقلة، وهو ما علينا مراعاته. على سبيل المثال، قد نريد إيجاد أقصى مساحة لحديقة مستطيلة الشكل مع وجود قيد محدد فيما يتعلق بطول السياج السلكي لدينا لتكوين ثلاثة أضلاع من المستطيل.

في مسائل الحل الأمثل الواقعية، أول خطوة هي تحديد المتغيرات التابعة والمستقلة؛ وقد يساعدنا رسم شكل في تصور المسألة. بعد ذلك، نحدد الكمية التي نريد إيجاد القيمة الصغرى أو العظمى لها، ونعبِّر عنها في صورة دالة مطلوب إيجاد الحل الأمثل لها، ويشمل ذلك أي قيود إضافية تتعلق بالمتغيرات المستقلة. نحدد بعد ذلك النقاط الحرجة (أو نقاط التوقف) للدالة باستخدام اختبار المشتقة الأولى ونصنِّفها كقيم عظمى أو صغرى (محلية) باستخدام اختبار المشتقة الثانية.

دعونا نذكِّر أنفسنا أولًا بتعريف النقطة الحرجة.

تعريف: النقطة الحرجة

تُسمى النقطة (𞸢،󰎨(𞸢)) نقطة حرجة لـ 𞸑=󰎨(𞸎)، بشرط أن يقع 𞸎=𞸢 ضمن مجال الدالة 󰎨(𞸎)، وأن تكون الدالة 󰎨(𞸎) متصلة عند 𞸎=𞸢، وأن تكون: 󰎨(𞸢)=٠󰎨(𞸢).أو

يمكن تصنيف النقطة الحرجة كقيمة صغرى أو قيمة عظمى وفقًا لاختبار المشتقة الثانية على النحو الآتي.

تعريف: اختبار المشتقة الثانية

نفترض أن 󰎨 دالة قابلة للاشتقاق مرتين ومعرَّفة على فترة ما تتضمن النقطة الحرجة 𞸎=𞸢. إذن:

  • إذا كانت 󰎨(𞸢)<٠، فإن 󰎨(𞸎) لها قيمة عظمى محلية عند 𞸎=𞸢.
  • إذا كانت 󰎨(𞸢)>٠، فإن 󰎨(𞸎) لها قيمة صغرى محلية عند 𞸎=𞸢.
  • إذا كانت 󰎨(𞸢)=٠، فإن 󰎨(𞸎) قد تكون لها نقطة انقلاب عند 𞸎=𞸢.

في هذا الشارح، نركز على القيم العظمى والصغرى للدوال وتطبيقاتها على المسائل الواقعية. إذن سنتجاهل النقاط التي عندها تكون 󰎨(𞸢)=٠؛ حيث لم يَرِد أي شيء في اختبار المشتقة الثانية عن النقطة 𞸎=𞸢، وهي نقطة انقلاب محتملة، فيما يتعلق بالحل الأمثل.

في هذه المسائل، قد يكون من المفيد البدء بمعرفة كيفية تطبيق هذه العملية على مثال يتضمن حجم بالون هواء ساخن. وعلى وجه التحديد، سنطبق الحل الأمثل لإيجاد القيمة العظمى للحجم بمعلومية دالة التمدد مع مرور الزمن.

مثال ١: إيجاد القيمة العظمى لدالة تتضمن دالة كسرية باستخدام قاعدة القسمة

إذا عُلم أن حجم بالون هواء ساخن يزداد طبقًا للعلاقة 󰎨(𞸍)=٠٠٠٧𞸍𞸍+٩٤+٠٠٠٤٢؛ حيث الزمن مقيس بالساعة، فأوجد القيمة العظمى لحجم البالون.

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد القيمة العظمى لحجم بالون هواء ساخن، كما هو موضَّح في الصورة، والذي يزداد طبقًا لعلاقة معينة؛ أي 󰎨(𞸍)؛ حيث 𞸍 هو الزمن مقيسًا بالساعة.

لكي نفعل ذلك، علينا إيجاد النقاط الحرجة للدالة 󰎨(𞸍) من خلال إيجاد المشتقة الأولى بالنسبة إلى الزمن؛ أي 𞸍، وجَعْلها تساوي صفرًا والحل لإيجاد قيمة 𞸍. يمكننا بعد ذلك تحديد طبيعة النقاط الحرجة باستخدام اختبار المشتقة الثانية.

بما أن العلاقة تتضمن دالة كسرية، إذن لكي نتمكن من الاشتقاق، نتذكَّر قاعدة القسمة للدالتين القابلتين للاشتقاق 𞹒(𞸍)، 𞸓(𞸍): 󰃁𞹒𞸓󰃀=𞸓𞹒𞹒𞸓𞸓.٢

باستخدام ذلك عند 𞹒(𞸍)=٠٠٠٧𞸍، 𞸓(𞸍)=𞸍+٩٤٢، يمكننا إيجاد المشتقة الأولى للدالة 󰎨(𞸍) على الصورة: 󰎨(𞸍)=٠٠٠٧󰁓٩٤𞸍󰁒(𞸍+٩٤)=٠.٢٢٢

بالحل لإيجاد قيمة 𞸍، نجد أن ٩٤𞸍=٠٢؛ ومن ثَمَّ، 𞸍=±٧. لكن قيم 𞸍 الموجبة فقط هي القيم الصحيحة؛ لأن قيمة الزمن دائمًا ما تكون موجبة (𞸍٠)؛ إذن النقطة الحرجة الوحيدة هي 𞸍=٧ ونتجاهل الحل 𞸍=٧.

يمكننا تحديد طبيعة هذه النقطة الحرجة باستخدام اختبار المشتقة الثانية. وبتطبيق قاعدة القسمة مرة أخرى مع 𞹒(𞸍)=٠٠٠٧󰁓٩٤𞸍󰁒٢، 𞸓(𞸍)=󰁓𞸍+٩٤󰁒٢٢، نجد أن المشتقة الثانية لدالة الحجم 󰎨(𞸍) تكون على الصورة: 󰎨(𞸍)=٠٠٠٤١𞸍٠٠٠٨٥٠٢𞸍(𞸍+٩٤).٣٢٣

بالتعويض بالنقطة الحرجة 𞸍=٧، نجد أن: 󰎨(٧)=٠٠٠٤١×٧٠٠٠٨٥٠٢×٧(٧+٩٤)=٠٠٥٩٤.٣٢٣

بما أن 󰎨(٧)<٠، ووفقًا لاختبار المشتقة الثانية، إذن تكون النقطة الحرجة 𞸍=٧ قيمة عظمى محلية لدالة الحجم 󰎨(𞸍) لبالون الهواء الساخن. وعند هذه النقطة الحرجة، يُعطى الحجم بالعلاقة: 󰎨(٧)=٠٠٠٧×٧٧+٩٤+٠٠٠٤=٠٠٥+٠٠٠٤=٠٠٥٤.٢

وعليه، فإن القيمة العظمى لحجم بالون الهواء الساخن هي ٤‎ ‎٥٠٠ وحدة مكعبة.

لنتناول تطبيقًا واقعيًّا آخر من تطبيقات الحل الأمثل لزيادة أرباح شركةٍ ما إلى أقصى حد. لنفترض أن هناك علاقة غير خطية بين الميزانية الإعلانية الشهرية لشركةٍ ما، والتي تبلغ س ألفإ،والأرباح التي تبلغ ص ألفإ، تُعطى من خلال الدالة التكعيبية: 𞸑(𞸎)=٥٠٫٠𞸎٨١٫١𞸎+٣٤٫٧𞸎٥٣٫٧.٣٢

الميزانية الإعلانية الشهرية للشركة لا تقل عن ٤‎ ‎٠٠٠ آلاف جنية إسترليني، لكن لا يمكن أن تتجاوز ١٤‎ ‎٠٠٠ جنيه إسترليني؛ بعبارة أخرى، لدينا ٤𞸎٤١. لإيجاد أقصى ربح، نبدأ بإيجاد المشتقة الأولى لهذه الدالة بالنسبة إلى 𞸎 ونساويها بصفر: 𞸑(𞸎)=𞸒𞸑𞸒𞸎=٥١٫٠𞸎٦٣٫٢𞸎+٣٤٫٧=٠.٢

بالحل لإيجاد قيمة 𞸎، باستخدام القانون العام أو غيره، نجد أن النقطتين الحرجتين هما: 𞸎=٥٢٢٥٣٫٤،𞸎=١١٨٣٫١١󰁓٦󰁒.بأرم

تقع هاتان النقطتان الحرجتان في نطاق قيم 𞸎 الممكنة، ٤𞸎٤١. ولتحديد طبيعة هاتين النقطتين، نستخدم اختبار المشتقة الثانية. نحصل على المشتقة الثانية لدالة الربح 𞸑(𞸎) من خلال: 𞸑(𞸎)=٣٫٠𞸎٦٣٫٢.

بالتعويض بالقيمتين الحرجتين في المشتقة الثانية، نجد أن: 𞸑(٢٢٥٣٫٤)=٣٫٠×٥٢٢٥٣٫٤٦٣٫٢=٣٤٥٠٫١،𞸑(١١٨٣٫١١)=٣٫٠×١١٨٣٫١١٦٣٫٢=٣٤٥٠٫١.

بما أن 𞸑(٢٢٥٣٫٤)<٠، 𞸑(١١٨٣٫١١)>٠، ووفقًا لاختبار المشتقة الثانية، إذن تكون 𞸎=٥٢٢٥٣٫٤ قيمة عظمى محلية، 𞸎=١١٨٣٫١١ قيمة صغرى محلية لدالة الربح 𞸑(𞸎). وهذا ما يوضحه التمثيل البياني التالي لدالة الربح.

بمراعاة القيد الذي يحدد أن الميزانية الإعلانية تتراوح بين أربعة آلاف جنيه إسترليني، ١٤‎ ‎٠٠٠ جنيه إسترليني (٤𞸎٤١ )، وبالتعويض بـ 𞸎=٥٢٢٥٣٫٤ في دالة الربح 𞸑، نجد أن أقصى ربح يمكن أن تحققه الشركة خلال شهر هو: 𞸑(٥٢٢٥٣٫٤)=٥٠٫٠(٥٢٢٥٣٫٤)٨١٫١(٥٢٢٥٣٫٤)+٣٤٫٧(٥٢٢٥٣٫٤)٥٣٫٧=٠٦٧٥٧٫٦󰁓٦󰁒،٠٦٫٧٥٧٦.٣٢بأرمأوًإ

نلاحظ أنه عندما يكون هناك قيد معين على قيم 𞸎 المُدخلة، علينا أيضًا التحقق من قيمة الدالة عند حدَّيِ القيد؛ لأنهما قد يُعطِيان قيمة أكبر أو أصغر مقارنة بالقيمة العظمى المحلية أو القيمة الصغرى المحلية، على الترتيب. في هذه المسألة، من الممكن أن تقع القيمة العظمى للربح عند حدَّي القيد، لكن الأمر ليس كذلك هنا، كما هو موضَّح في التمثيل البياني. يمكننا أيضًا التحقق من ذلك بالتعويض بالقيمتين 𞸎=٤، 𞸎=٤١ في دالة الربح: 𞸑(٤)=٥٠٫٠(٤)٨١٫١(٤)+٣٤٫٧(٤)٥٣٫٧=٩٦٫٦،𞸑(٤١)=٥٠٫٠(٤١)٨١٫١(٤١)+٣٤٫٧(٤١)٥٣٫٧=٩٥٫٢.٣٢٣٢

هذا يعطينا قيمتين أقل من القيمة التي حصلنا عليها من القيمة العظمى المحلية 𞸑(٥٢٢٥٣٫٤). إذن 𞸎=٥٢٢٥٣٫٤ هي بالفعل قيمة عظمى محلية لدالة الربح بمعلومية القيد ٤𞸎٤١.

في المثال التالي، سنطبق الحل الأمثل لإيجاد القيمة العظمى لشدة التيار في دائرة كهربية يمر بها تيار متردد.

مثال ٢: إيجاد القيمة العظمى لشدة تيار متردد بمعلومية مقدار يمثله بدلالة الزمن باستخدام الاشتقاق

في دائرة يتخللها تيار متردد، كانت شدة التيار 𞸕، المقيسة بالأمبير في أي لحظة 𞸍 مقيسة بالثانية تُعطى بالعلاقة 𞸕=٦١𞸍+٩١𞸍. ما القيمة العظمى لشدة التيار في الدائرة لأقرب منزلتين عشريتين؟

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد القيمة العظمى لشدة تيار متردد، كما هو موضَّح في الصورة، بمعلومية مقدار يمثله كدالة في الزمن، 𞸕(𞸍).

لفعل ذلك، علينا إيجاد النقاط الحرجة لشدة التيار 𞸕 من خلال إيجاد المشتقة الأولى وجَعْلها تساوي صفرًا والحل لإيجاد قيمة 𞸍. يمكننا بعد ذلك تحديد طبيعة النقاط الحرجة باستخدام اختبار المشتقة الثانية.

بإيجاد المشتقة الأولى لشدة التيار المتردد 𞸕 بالنسبة إلى 𞸍 وجَعْلها تساوي صفرًا، نجد أن: 𞸕(𞸍)=٦١𞸍٩١𞸍=٠.

للحل لإيجاد قيمة 𞸍، يمكننا إعادة ترتيب هذا المقدار لنحصل على: 𞸍=٦١٩١، ومن ثم، فإن النقاط الحرجة، مقيسة بالراديان، من الحل العام؛ حيث 𞸏𞹑، هي: 𞸍=󰂔٦١٩١󰂓+𞸏𝜋=٨٩٩٦٫٠+𞸏𝜋.١

بما أن الدوال المثلثية هي دوال دورية، علينا التفكير في النقطتين الحرجتين لـ 𞸏=٠، 𞸏=١، المناظرتين لـ 𞸍=٨٩٩٦٫٠، 𞸍=٤١٤٨٫٣؛ حيث ستتناوب قيمة شدة التيار المتردد 𞸕 بين هاتين النقطتين الحرجتين؛ أي القيمة العظمى والقيمة الصغرى.

يمكننا تحديد طبيعة هاتين النقطتين الحرجتين باستخدام اختبار المشتقة الثانية. تُعطى المشتقة الثانية لدالة شدة التيار 𞸕(𞸍) من خلال: 𞸕(𞸍)=٦١𞸍٩١𞸍.

بالتعويض بالنقطتين الحرجتين 𞸍=٨٩٩٦٫٠، 𞸍=٤١٤٨٫٣ في المشتقة الثانية، نحصل على: 𞸕(٨٩٩٦٫٠)=٦١(٨٩٩٦٫٠)٩١(٨٩٩٦٫٠)=٧٤٨٤٩٣٨٫٤٢،𞸕(٤١٤٨٫٣)=٦١(٤١٤٨٫٣)٩١(٤١٤٨٫٣)=٤٩٣٨٫٤٢.

بما أن 𞸕(٨٩٩٦٫٠)<٠، 𞸕(٤١٤٨٫٣>٠)، ووفقًا لاختبار المشتقة الثانية، إذن 𞸍=٨٩٩٦٫٠ قيمة عظمى محلية، 𞸍=٤١٤٨٫٣ قيمة صغرى محلية للدالة 𞸕(𞸍) لشدة التيار.

بالنسبة إلى النقاط الحرجة المُعطاة باستخدام الحل العام، 𞸍=٨٩٩٦٫٠+𞸏𝜋، فلدينا قيمة عظمى محلية للأعداد الزوجية لـ 𞸏 وقيمة صغرى محلية للأعداد الفردية لـ 𞸏.

يمكن إيجاد القيمة العظمى لشدة التيار بالتعويض بـ 𞸍=٨٩٩٦٫٠: 𞸕(٨٩٩٦٫٠)=٦١(٨٩٩٦٫٠)+٤٢(٨٩٩٦٫٠)=٤٩٣٨٫٤٢.

إذن القيمة العظمى لشدة التيار لأقرب منزلتين عشريتين هي ٢٤٫٨٤ أمبير.

في الأمثلة التي تناولناها حتى الآن، كان لدينا دالة محددة نريد إيجاد الحل الأمثل لها. لكن في العديد من الأمثلة الواقعية، علينا استنتاج هذه الدالة أولًا باستخدام المعطيات أو من خلال الاعتبارات الفيزيائية.

لنتناول مثالًا علينا فيه استنتاج الدالة التي نريد إيجاد الحل الأمثل لها أولًا. لدينا صندوق مفتوح مكوَّن باستخدام بطاقة مستطيلة الشكل طولا بُعديها ٦٤ سم في ٢٤ سم. قُطِع مربع طول ضلعه 𞸎 سم من كل ركن؛ بحيث يمكن تكوين الصندوق عن طريق الطي، كما هو موضَّح في الشكلين التاليين. الصندوق الناتج عبارة عن متوازي مستطيلات طولا بُعدي قاعدته يساويان ٤٦٢𞸎 سم، ٤٢٢𞸎 سم وارتفاعه يساوي 𞸎 سم.

تذكَّر أن الصيغة المستخدمة لحساب حجم صندوق مستطيل الشكل طولا بُعديه 󰏡، 𞸁 وارتفاعه 𞸏 هي 𞸇=󰏡𞸁𞸏 بالوحدات المكعبة. في هذا المثال، طولا البُعدين هما 󰏡=٤٦٢𞸎، 𞸁=٤٢٢𞸎 والارتفاع هو 𞸏=𞸎، إذن حجم الصندوق هو: 𞸇(𞸎)=(٤٦٢𞸎)(٤٢٢𞸎)𞸎=٤𞸎٦٧١𞸎+٦٣٥١𞸎.٣٢

لإيجاد أكبر حجم 𞸇، علينا إيجاد النقاط الحرجة لـ 𞸇، وتحديد القيم العظمى. بإيجاد المشتقة الأولى وجَعْلها تساوي صفرًا، يصبح لدينا: 𞸇(𞸎)=٢١𞸎٢٥٣𞸎+٦٣٥١=٠.٢

بالحل لإيجاد قيمة 𞸎 باستخدام القانون العام أو غيره، نجد أن: 𞸎=٤٢،𞸎=٦١٣.

والآن، نحسب المشتقة الثانية لدالة الحجم 𞸇(𞸎) لتصنيف هاتين النقطتين الحرجتين: 𞸇(𞸎)=٤٢𞸎٢٥٣.

بالتعويض بالنقطتين الحرجتين في المشتقة الثانية 𞸇(𞸎)، نجد أن: 𞸇(٤٢)=٤٢×٤٢٢٥٣=٤٢٢،𞸇󰂔٦١٣󰂓=٤٢×٦١٣٢٥٣=٤٢٢.

بما أن 𞸇(٤٢)>٠، 𞸇󰂔٦١٣󰂓<٠، ووفقًا لاختبار المشتقة الثانية، إذن 𞸎=٤٢ قيمة صغرى محلية، 𞸎=٦١٣ قيمة عظمى محلية للحجم 𞸇(𞸎) للصندوق المفتوح. ويمكن إيجاد القيمة العظمى لحجم الصندوق المفتوح عن طريق التعويض بـ 𞸎=٦١٣: 𞸇󰂔٦١٣󰂓=٤󰂔٦١٣󰂓٦٧١󰂔٦١٣󰂓+٦٣٥١󰂔٦١٣󰂓=٠٠٤٢٠١٧٢=٩٥٫٢٩٧٣󰁓٦󰁒.٣٢٣بأرم

تضمنت المسائل التي تناولناها حتى الآن إيجاد الحل الأمثل لدالة معينة ذات متغير واحد ومن دون أي قيود على الدالة، لكن عادةً ما تتضمن العديدُ من المسائل الواقعية أكثرَ من متغير واحد، ويكون لها قيد محدد يتعلق بالمتغيرات المستقلة. تكون مسائل الحل الأمثل التي نريد حلها على الصورة: إدااأواىا󰎨(𞸎،𞸑)،𞹟(𞸎،𞸑)=𞸢.

عادةً ما يمكن استخدام القيد 𞹟(𞸎،𞸑)=𞸢 لإعادة كتابة الدالة 󰎨(𞸎،𞸑) على صورة دالة في متغير واحد فقط؛ حيث نطبق بعد ذلك الخطوات نفسها عند إيجاد الحل الأمثل لدالة ذات متغير واحد، كما هو الحال في الأمثلة السابقة.

دعونا نتناول كيفية تطبيق ذلك من خلال مثال واقعي. نفترض أن لدينا علبة عصير كرتونية سعتها ١‎ ‎٠٠٠ سم٣؛ وصُممَت العلبة على شكل متوازي مستطيلات مغلق (صندوق مستطيل الشكل) مَقاس قاعدته يساوي 𞸎 سم في ٢𞸎 سم وارتفاعه يساوي 𞸏 سم.

مساحة سطح العلبة؛ أي 𞸌 سم٢، والحجم؛ أي 𞸇 سم٣، يُعطَيان من خلال: 𞸌=٢󰁓٢𞸎+𞸎𞸏+٢𞸎𞸏󰁒=٤𞸎+٦𞸎𞸏،𞸇=𞸎(٢𞸎)𞸏=٢𞸎𞸏.٢٢٢

لنفترض أننا نريد إيجاد أقل مساحة سطح للعلبة بمعلومية قيد الحجم 𞸇=٠٠٠١٣. إذن تكون مسألة الحل الأمثل التي نريد حلها كالآتي: إدااىا𞸌=٤𞸎+٦𞸎𞸏،𞸇=٢𞸎𞸏=٠٠٠١.٢٢

يمكننا إعادة كتابة القيد على الصورة: 𞸏=٠٠٠١٢𞸎=٠٠٥𞸎،٢٢

بالتعبير عن الارتفاع 𞸏 بدلالة 𞸎. يمكننا بذلك إعادة كتابة مساحة السطح 𞸌 كدالة في 𞸎 فقط: 𞸌(𞸎)=٤𞸎+٦𞸎𞸏=٤𞸎+٦𞸎󰃁٠٠٥𞸎󰃀=٤𞸎+٠٠٠٣𞸎.٢٢٢٢

لإيجاد أقل مساحة سطح، نبدأ بإيجاد المشتقة الأولى لهذه الدالة وجَعْلها تساوي صفرًا: 𞸌(𞸎)=٨𞸎٠٠٠٣𞸎=٠.٢

بالحل لإيجاد قيمة 𞸎، نجد أن النقطة الحرجة هي: 𞸎=󰋺٠٠٠٣٨=٥󰋴٣=٥٢١١٢٫٧󰁓٦󰁒.٣٣بأرم

لتحديد طبيعة هذه النقطة الحرجة، نعوض بها في المشتقة الثانية لمساحة السطح، ونطبق اختبار المشتقة الثانية. نحصل على المشتقة الثانية لدالة المساحة 𞸌(𞸎) من خلال: 𞸌(𞸎)=٨+٠٠٠٦𞸎.٣

وبالتعويض بالنقطة الحرجة 𞸎=٥󰋴٣٣ في المشتقة الثانية، نحصل على: 𞸌󰂔٥󰋴٣󰂓=٨+٠٠٠٦󰂔٥󰋴٣󰂓.٣٣٣

بما أن 𞸌󰂔٥󰋴٣󰂓>٠٣، ووفقًا لاختبار المشتقة الثانية، إذن تكون النقطة الحرجة 𞸎=٥󰋴٣٣ قيمة صغرى محلية لمساحة السطح 𞸌(𞸎). ويمكن إيجاد القيمة الصغرى لمساحة السطح بالتعويض بـ 𞸎=٥󰋴٣٣: 𞸌󰂔٥󰋴٣󰂓=٤󰂔٥󰋴٣󰂓+٠٠٠٣󰂔٥󰋴٣󰂓=٠٠٣󰋴٩=٥٢٠٫٤٢٦󰁓٦󰁒.٣٣٣٣٢٢بأرم

لنتناول الآن بعض الأمثلة بغرض التدريب وزيادة فَهْمنا لمسائل الحل الأمثل وكيفية تطبيقه على المسائل الواقعية. في المثال التالي، نريد إيجاد عددين يمثل مجموعُ مربعيهما أصغر قيمة، بمعلومية مجموعهما. قد تبدو هذه مسألة نظرية، لكنها قد تكون أيضًا مثالًا واقعيًّا، كما سنعرف.

مثال ٣: إيجاد عددين مجموع مربعيهما يمثل أصغر قيمة بمعلومية مجموع العددين باستخدام الاشتقاق

أوجد العددين اللذين مجموعهما ١٥٦، ومجموع مربعيهما أصغر قيمة ممكنة.

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد عددين بمعلومية مجموعهما؛ حيث يمثل مجموع مربعيهما قيمة صغرى.

لنفترض أن 𞸎، 𞸑 يشيران إلى العددين اللذين مجموعهما ١٥٦. تكون مسألة الحل الأمثل التي نريد حلها كالآتي: إدااىا𞸂=𞸎+𞸑،𞸎+𞸑=٦٥١.٢٢

بطرح 𞸎 من طرفي القيد، يصبح لدينا 𞸑=٦٥١𞸎. وهذا يمكِّننا من إعادة كتابة المجموع 𞸂 كدالة في 𞸎 فقط: 𞸂(𞸎)=𞸎+(٦٥١𞸎)=𞸎+󰁓𞸎٢١٣𞸎+٦٣٣٤٢󰁒=٢𞸎٢١٣𞸎+٦٣٣٤٢.٢٢٢٢٢

لإيجاد النقاط الحرجة، نوجد المشتقة الأولى لهذه الدالة بالنسبة إلى 𞸎 ونجعلها تساوي صفرًا: 𞸂(𞸎)=𞸒𞸂𞸒𞸎=٤𞸎٢١٣=٠.

بالحل لإيجاد قيمة 𞸎، نجد أن النقطة الحرجة هي 𞸎=٨٧. لتحديد طبيعة هذه النقطة الحرجة، يمكننا استخدام اختبار المشتقة الثانية. نحصل على المشتقة الثانية لـ 𞸂(𞸎) من خلال: 𞸂(𞸎)=٤.

بما أن قيمة المشتقة الثانية موجبة لجميع قيم 𞸎؛ ومن ثَمَّ، 𞸂(٨٧)>٠، ووفقًا لاختبار المشتقة الثانية، إذن تكون النقطة الحرجة 𞸎=٨٧ قيمة صغرى محلية للدالة 𞸂(𞸎). يمكننا الآن إيجاد العدد الثاني؛ أي 𞸑، بالتعويض بـ 𞸎=٨٧ في القيد: 𞸑=٦٥١𞸎=٦٥١٨٧=٨٧.

وعليه، فإن العددين اللذين مجموعهما ١٥٦ ومجموع مربعيهما أصغر قيمة ممكنة هما ٨٧،٨٧.

على الرغم من أن هذا المثال يتناول مسألة نظرية، لكنه يمكن أن يعبر عن مثال رياضي واقعي. على سبيل المثال، إذا وضعنا درعين مربعين أحدهما بجانب الآخر على فتحة طولها ١٥٦ سم، فإننا نريد أن نفعل ذلك بطريقة تقلل المساحة الكلية للدرعين؛ ومن ثَمَّ، تقل كمية المادة اللازمة لتكوينهما. نجعل 𞸎 هو طول ضلع الدرع الأول (بالسنتيمتر)، 𞸑 طول ضلع الدرع الثاني (بالسنتيمتر). قد يكون لدينا درع صغير وآخر كبير، أو قد يكون كلاهما بالمقاس نفسه تقريبًا، لكن في الحالتين، لِسَدِّ الفتحة التي طولها ١٥٦ سم، فإن مجموع 𞸎، 𞸑 يجب أن يساوي ١٥٦. بالنسبة إلى هذه الحالة، عرفنا من المثال السابق أن المربعين اللذين يجعلان مجموع مساحتيهما قيمة صغرى متساويان، وطول الضلع في كلٍّ منهما يساوي ٧٨ سم.

دعونا الآن نتناول مثالًا مشابهًا نستخدم فيه الحل الأمثل لإيجاد أكبر مساحة لمستطيل بمعلومية محيطه. سنوجد أكبر مساحة للمستطيل بالإضافة إلى أبعاده.

مثال ٤: إيجاد أكبر مساحة لقطعة أرض مستطيلة الشكل بمعلومية محيطها باستخدام الاشتقاق

أوجد أكبر مساحة لقطعة أرض مستطيلة الشكل يُمكن أن تُحاط بسياج طوله ١٢ مترًا.

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد أكبر مساحة لقطعة أرض مستطيلة الشكل بمعلومية محيطها.

لنفترض أن 𞸋، 𞸙 يشيران إلى طول المستطيل وعرضه، على الترتيب، كما هو موضَّح في الشكل؛ ويمكن حساب محيط المستطيل من خلال =٢𞸋+٢𞸙، وهو ما يكافئ طول السياج في هذه المسألة.

تكون مسألة الحل الأمثل التي نريد حلها كالآتي: إدااا𞸌=𞸋𞸙،٢𞸋+٢𞸙=٢١.

بجعل 𞸙 المتغير التابع للقيد، يصبح لدينا: 𞸙=٦𞸋.

باستخدام ذلك، يمكننا إعادة كتابة 𞸌 كدالة في 𞸋 فقط: 𞸌(𞸋)=𞸋(٦𞸋)=٦𞸋𞸋.٢

يمكننا الآن إيجاد النقاط الحرجة للمساحة 𞸌 من خلال إيجاد المشتقة الأولى لهذه الدالة وجَعْلها تساوي صفرًا: 𞸌(𞸋)=٦٢𞸋=٠.

بالحل لإيجاد قيمة 𞸋، نحصل على النقطة الحرجة 𞸋=٣. ولتحديد طبيعة هذه النقطة الحرجة، نستخدم اختبار المشتقة الثانية. نحصل على المشتقة الثانية لدالة المساحة 𞸌(𞸋) من خلال: 𞸌(𞸋)=٢.

بما أن قيمة المشتقة الثانية سالبة لجميع قيم 𞸋؛ ومن ثَمَّ، 𞸌(٣)<٠، ووفقًا لاختبار المشتقة الثانية، إذن تكون النقطة الحرجة 𞸋=٣ قيمة عظمى محلية لدالة المساحة 𞸌(𞸋). وعند هذه النقطة الحرجة، تُعطى المساحة من خلال: 𞸌(٣)=٦(٣)٣=٩.٢

نلاحظ أيضًا أنه يمكننا إيجاد عرض المستطيل؛ أي 𞸙، من القيد؛ حيث 𞸙=٦𞸋=٦٣=٣، فنجد أننا نحصل على أقصى قيمة للمساحة عندما يكون المحيط مربعًا.

إذن أكبر مساحة لقطعة أرض مستطيلة الشكل مُحاطة بسياج طوله ١٢ م تساوي ٩ م٢.

هذه المسألة تشبه المسألة النظرية التي كان مطلوبًا منا فيها إيجادُ عددين مجموعهما 𞸎+𞸑 ويعطيان أكبر قيمة لحاصل الضرب 𞸎𞸑. عادةً ما يمكن استخدام مسائل الحل الأمثل النظرية لحل المسائل الواقعية في السياق المناسب.

هيا نتناول مثالًا علينا فيه إيجاد بُعدَي مقطع عرضي مستطيل الشكل من قطعة خشبية مقطوعة من شجرة أسطوانية الشكل عن طريق زيادة مقاومة قطعة الخشب لأقصى قيمة ممكنة.

مثال ٥: إيجاد بُعدَي جسم مستطيل الشكل باستخدام الاشتقاق

قُطع مقطع عرضي مستطيل من قطعة خشبية مقطوعة من شجرة أسطوانية الشكل قطرها ٦٧ سم. قيمة مقاومة القطعة الخشبية تتناسب مع عرضها ومربع طولها. ما البُعدان اللذان يحققان القيمة العظمى للمقاومة؟

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد بُعدَي المقطع العرضي المستطيل الشكل، وهو قطعة خشبية مقطوعة من شجرة أسطوانية الشكل ذات قطر معلوم، وذلك بحيث تكون المقاومة أكبر ما يمكن. لِنُشِرْ إلى عرض القطعة الخشبية بالحرف 𞸙 وطولها بالحرف 𞸋، كما هو موضَّح في الشكل.

بالنسبة إلى المقاومة، التي يمكن أن نشير إليها بالحرف 𞸌، فهي قياس لقوة القطعة المستطيلة وتكون دائمًا موجبة. وبما أن المقاومة تتناسب مع عرض القطعة؛ أي 𞸙، ومربع طولها؛ أي 𞸋، إذن يصبح لدينا العلاقة: 𞸌=𞸊𞸙𞸋،٢ حيث 𞸊𞸌+. يرتبط العرض والطول أيضًا بقطر الشجرة الأسطوانية باستخدام نظرية فيثاغورس للمثلث القائم الزاوية؛ حيث 𞸙+𞸋=٧٦٢٢٢. وبذلك، تكون مسألة الحل الأمثل التي نريد حلها كالآتي: إدااا𞸌=𞸊𞸙𞸋،𞸙+𞸋=٩٨٤٤.٢٢٢

يمكننا إعادة كتابة القيد على الصورة 𞸋=٩٨٤٤𞸙٢٢، وباستخدام ذلك، يمكننا إعادة كتابة المقاومة 𞸌 بوصفها دالة في 𞸙 فقط: 𞸌(𞸙)=𞸊𞸙󰁓٩٨٤٤𞸙󰁒=٩٨٤٤𞸊𞸙𞸊𞸙.٢٣

يمكننا الآن إيجاد النقاط الحرجة من خلال إيجاد المشتقة الأولى لهذه الدالة وجَعْلها تساوي صفرًا: 𞸌(𞸙)=٩٨٤٤𞸊٣𞸊𞸙=٠.٢

بحل ذلك لإيجاد قيمة 𞸙، نحصل على: 𞸙=±٧٦󰋴٣٣.

بما أن القيم الموجبة فقط للعرض هي القيم الصحيحة، إذن يمكننا تجاهل الحل السالب وتكون النقطة الحرجة الوحيدة هي: 𞸙=٧٦󰋴٣٣.

لتحديد طبيعة هذه النقطة الحرجة، نستخدم اختبار المشتقة الثانية. نحصل على المشتقة الثانية لدالة المقاومة 𞸌(𞸙) من خلال: 𞸌(𞸙)=٦𞸊𞸙.

بالتعويض بالقيمة الحرجة 𞸙=٧٦󰋴٣٣ في المشتقة الثانية، نحصل على: 𞸌󰃭٧٦󰋴٣٣󰃬=٦𞸊󰃭٧٦󰋴٣٣󰃬.

وبما أن 𞸊>٠؛ ومن ثَمَّ، 𞸌󰃭٧٦󰋴٣٣󰃬<٠، ووفقًا لاختبار المشتقة الثانية، إذن تكون النقطة الحرجة 𞸙=٧٦󰋴٣٣ قيمة عظمى محلية لدالة المقاومة 𞸌(𞸙). ويمكن أيضًا إيجاد طول القطعة المستطيلة الشكل من القيد بالتعويض بالنقطة الحرجة 𞸙=٧٦󰋴٣٣ كالآتي: 𞸋=󰋴٩٨٤٤𞸙=󰌁󰌀󰌀󰌂٩٨٤٤󰃭٧٦󰋴٣٣󰃬=󰋺٩٨٤٤٩٨٤٤٣=󰋺٨٧٩٨٣=٧٦󰋴٦٣.٢٢

إذن بُعدا المقطع العرضي المستطيل الشكل اللذان يحققان القيمة العظمى للمقاومة هما ٧٦󰋴٣٣ سم، ٧٦󰋴٦٣ سم.

في المثال التالي، سنوجد أكبر مساحة لملعب على شكل مستطيل ينتهي بنصفَي دائرتين بمعلومية محيطه.

مثال ٦: إيجاد أكبر مساحة ممكنة لقطعة أرض مستطيلة تنتهي بنصفَيْ دائرتين بمعلومية محيطها باستخدام الاشتقاق

ملعب على شكل مستطيل ينتهي بنصفَي دائرتين. إذا كان محيط الملعب ٥٩٤ م، فأوجد أكبر مساحة له.

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد أكبر مساحة لملعب على شكل مستطيل ينتهي بنصفَي دائرتين بمعلومية محيطه.

لِنُشِرْ إلى عرض المستطيل الداخلي بالحرف 𞸎، والذي يمثل أيضًا قطر نصفَي الدائرتين، ونُشِرْ إلى طول المستطيل بالحرف 𞸑. بما أن هناك نصفَي دائرتين؛ حيث يوجد نصف دائرة في كل طرف من طرفَي المستطيل، إذن مساحة الطرفين ومحيطهما معًا يمثلان مساحة دائرة كاملة ومحيطها؛ حيث يُعطى نصف قطرها 𞸓=𞸎٢ بالعلاقة: 𞸌=𝜋𞸓=𝜋󰂔𞸎٢󰂓=𝜋𞸎٤،=٢𝜋𞸓=٢𝜋󰂔𞸎٢󰂓=𝜋𞸎.الدائرةالدائرة٢٢٢

مساحة الملعب؛ أي 𞸌ا، تساوي مجموع مساحة المستطيل الداخلي والمساحة الكلية لنصفَي الدائرتين (أو الدائرة بالكامل): 𞸌=𞸎𞸑+𝜋𞸎٤.الملعب٢

المحيط هو طول الخط الخارجي للملعب، والذي يشمل ضعف طول المستطيل الداخلي ومحيط نصفَي الدائرتين (أو الدائرة بالكامل): الملعب=٢𞸑+𝜋𞸎.

بما أننا نعلم أن محيط الملعب يساوي ٥٩٤ م، إذن تكون مسألة الحل الأمثل التي نريد حلها كالآتي: إدااا𞸌=𞸎𞸑+𝜋𞸎٤،=٢𞸑+𝜋𞸎=٤٩٥.الملعبالملعب٢

بجعل 𞸑 المتغير التابع للقيد، يصبح لدينا: 𞸑=٧٩٢𝜋𞸎٢.

باستخدام ذلك، يمكننا إعادة كتابة المساحة الكلية للملعب؛ أي 𞸌ا، كدالة في 𞸎 فقط: 𞸌(𞸎)=𞸎󰂔٧٩٢𝜋𞸎٢󰂓+𝜋𞸎٤=٧٩٢𞸎𝜋𞸎٤.الملعب٢٢

يمكننا الآن إيجاد النقاط الحرجة من خلال إيجاد المشتقة الأولى لهذه الدالة وجَعْلها تساوي صفرًا: 𞸌(𞸎)=٧٩٢𝜋𞸎٢=٠.الملعب

بالحل لإيجاد قيمة 𞸎، نحصل على: 𞸎=٤٩٥𝜋.

لتحديد طبيعة هذه النقطة الحرجة، نستخدم اختبار المشتقة الثانية. نحصل على المشتقة الثانية لدالة المساحة 𞸌(𞸎)ا من خلال: 𞸌(𞸎)=𝜋٢.الملعب

بما أن قيمة المشتقة الثانية سالبة لجميع قيم 𞸎؛ ومن ثَمَّ، 𞸌󰂔٤٩٥𝜋󰂓<٠، ووفقًا لاختبار المشتقة الثانية، إذن تكون النقطة الحرجة 𞸎=٤٩٥𝜋 قيمة عظمى محلية لدالة المساحة 𞸌(𞸎)ا للملعب. عند هذه النقطة الحرجة، تُعطى المساحة من خلال: 𞸌󰂔٤٩٥𝜋󰂓=٧٩٢󰂔٤٩٥𝜋󰂓+𝜋٤󰂔٤٩٥𝜋󰂓=٨١٤٦٧١𝜋٦٣٨٢٥٣٤𝜋=٩٠٢٨٨𝜋.الملعب٢

إذن أكبر مساحة للملعب الذي محيطه ٥٩٤ م تساوي ٩٠٢٨٨𝜋 م٢.

مرة أخرى، يمكن أن يمثل المحيط في هذا المثال السياج السلكي الموضوع حول الملعب.

لنتناول الآن مثالًا نوجد فيه نصف قطر قطاع دائري بمعلومية مساحة مُعطاة تجعل المحيط أقل ما يمكن.

مثال ٧: إيجاد نصف قطر قطاع دائري بمعلومية مساحة مُعطاة تجعل محيطه أقل ما يمكن باستخدام الاشتقاق

مساحة قطاع دائري تساوي ١٦ سم٢. أوجد طول نصف قطر القطاع الدائري 𞸓 الذي يجعل محيطه أقل ما يمكن، ثم أوجد قياس الزاوية 𝜃 بالراديان.

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد طول نصف قطر قطاع دائري، كما هو موضَّح بالشكل، له أقل محيط ممكن بمعلومية مساحة مُعطاة، كما نريد إيجاد قياس الزاوية 𝜃.

تُعطى مساحة القطاع الدائري؛ أي 𞸌اع، ومحيطه؛ أي اع، الذي نصف قطره 𞸓 وزاويته 𝜃 بالعلاقة: 𞸌=١٢𞸓𝜃،=𞸓𝜃+٢𞸓،القطاعالقطاع٢ حيث 𞸓𝜃 طول قوس القطاع الدائري. تكون مسألة الحل الأمثل التي نريد حلها كالآتي: إدااىا=𞸓𝜃+٢𞸓،١٢𞸓𝜃=٦١.القطاع٢

بجعل 𝜃 المتغير التابع في القيد، يصبح لدينا: 𝜃=٢٣𞸓.٢

باستخدام ذلك، يمكننا إعادة كتابة محيط القطاع اع كدالة في 𞸓 فقط: القطاع(𞸓)=𞸓󰂔٢٣𞸓󰂓+٢𞸓=٢٣𞸓+٢𞸓.٢

والآن، يمكننا إيجاد النقاط الحرجة من خلال إيجاد المشتقة الأولى لهذه الدالة وجَعْلها تساوي صفرًا: القطاع(𞸓)=٢٣𞸓+٢=٠.٢

بحل ذلك لإيجاد قيمة 𞸓، نجد أن 𞸓=±٤. ولكن قيم 𞸓 الموجبة فقط هي القيم الصحيحة؛ لأن قيمة نصف القطر دائمًا ما تكون موجبة (𞸓٠)، وبذلك تكون النقطة الحرجة الوحيدة هي 𞸓=٤. لتحديد طبيعة هذه النقطة الحرجة، نستخدم اختبار المشتقة الثانية. نحصل على المشتقة الثانية لدالة المحيط اع(𞸓) من خلال: القطاع(𞸓)=٤٦𞸓.٣

بالتعويض بالنقطة الحرجة 𞸓=٤ في المشتقة الثانية، يصبح لدينا: القطاع(٤)=٤٦٤.٣

بما أن اع(٤)>٠، ووفقًا لاختبار المشتقة الثانية، إذن تكون النقطة الحرجة 𞸓=٤ قيمة صغرى محلية لدالة المحيط اع(𞸓). يمكننا إيجاد قيمة الزاوية 𝜃 بالتعويض عن 𞸓=٤ في القيد: 𝜃=٢٣𞸓=٢٣٤=٢.٢٢

وبذلك، نجد أن طول نصف القطر 𞸓 وزاوية القطاع 𝜃، مقيسة بالراديان، اللذين يجعلان المحيط أقل ما يمكن هما: 𞸓=٤،𝜃=٢.رادن

يمكن أن يمثِّل القطاع الدائري في هذا المثال شريحة من البيتزا؛ حيث تريد إيجاد طول نصف القطر وقياس زاوية الشريحة اللذين يجعلان المحيط أقل ما يمكن، بمعلومية مساحة ثابتة.

في المثال التالي، سنوجد أكبر حجم لأسطوانة مساحة سطحها مُعطاة.

مثال ٨: إيجاد أكبر حجم لأسطوانة مساحة سطحها مُعطاة

ما أكبر حجم لأسطوانة دائرية قائمة مساحة سطحها ٤٢𝜋 سم٢؟ اكتب إجابتك بدلالة 𝜋.

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد أكبر حجم لأسطوانة مساحة سطحها ثابتة ومُعطاة، كما هو موضَّح في الشكل.

تُعطى مساحة سطح أسطوانة دائرية قائمة وحجمها؛ حيث نصف قطرها 𞸓 وارتفاعها 𞸏، بالعلاقة: 𞸌=٢𝜋𞸓𞸏+٢𝜋𞸓،𞸇=𝜋𞸓𞸏.الأسطوانةالأسطوانة٢٢

تكون مسألة الحل الأمثل التي نريد حلها كالآتي: إدااىا𞸇=𝜋𞸓𞸏،٢𝜋𞸓𞸏+٢𝜋𞸓=٤٢𝜋.الأسطوانة٢٢

بجعل 𞸏 المتغير التابع للقيد، يصبح لدينا: 𞸏=٢١𞸓𞸓.٢

باستخدام ذلك، يمكننا إعادة كتابة حجم الأسطوانة؛ أي 𞸇اا، كدالة في 𞸓 فقط: 𞸇(𞸓)=𝜋𞸓󰃁٢١𞸓𞸓󰃀=𝜋𞸓󰁓٢١𞸓󰁒.الأسطوانة٢٢٢

يمكننا الآن إيجاد النقاط الحرجة من خلال إيجاد المشتقة الأولى لهذه الدالة وجَعْلها تساوي صفرًا: 𞸇(𞸓)=٢١𝜋٣𝜋𞸓=٠.الأسطوانة٢

بحل ذلك لإيجاد قيمة 𞸓، نجد أن 𞸓=±٢. ولكن قيم 𞸓 غير السالبة فقط هي القيم الصحيحة؛ لأن قيمة نصف القطر دائمًا ما تكون غير سالبة (𞸓٠)، وتكون النقطة الحرجة الوحيدة هي 𞸓=٢. يمكننا تحديد طبيعة هذه النقطة الحرجة باستخدام اختبار المشتقة الثانية. ونحصل على المشتقة الثانية لدالة الحجم 𞸇(𞸓)اا من خلال: 𞸇(𞸓)=٦𝜋𞸓.الأسطوانة

بالتعويض بالنقطة الحرجة 𞸓=٢ في المشتقة الثانية، يصبح لدينا: 𞸇(٢)=٢١𝜋.الأسطوانة

بما أن 𞸇(٢)<٠اا، ووفقًا لاختبار المشتقة الثانية، إذن تكون النقطة الحرجة 𞸓=٢ قيمة عظمى محلية لدالة الحجم 𞸇(𞸓)اا. وعند هذه النقطة الحرجة، يُعطى الحجم كالآتي: 𞸇(٢)=𝜋×٢×󰁓٢١٢󰁒=٦١𝜋.الأسطوانة٢

وعليه، فإن أكبر حجم لأسطوانة مساحة سطحها ثابتة يساوي ٦١𝜋 سم٣.

يمكن أن تمثل الأسطوانة في هذا المثال علبة مياه غازية أو علبة طعام معدنية، وتريد إيجاد أكبر حجم للأسطوانة من كمية المادة المتاحة لديك، مثل الألومينيوم، التي تمثل مساحة السطح.

في المثال التالي، سنوضح كيفية استخدام خواص كرة وأسطوانة للحصول على أقصى قيمة لمجموع حجميهما.

مثال ٩: إيجاد نصف قطر كرة وأسطوانة يجعل مجموع حجميهما بأقصى قيمة بمعلومية مجموع مساحتَيْ سطحيهما باستخدام الاشتقاق

إذا كان مجموع مساحتَي سطحَي كرة وأسطوانة دائرية قائمة يساوي ٠٠٠١𝜋 سم٢، ونصفا قطرَيْهما متساويين، فأوجد نصف قطر الكرة الذي يجعل مجموع حجمَيْهما بأقصى قيمة.

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد نصف القطر الذي يجعل مجموع حجمَيْ كرة وأسطوانة بأقصى قيمة، كما هو موضَّح في الشكل، بمعلومية المجموع الثابت لمساحتَيْ سطحيهما.

يمكن حساب مساحة السطح والحجم لكرة وأسطوانة دائرية قائمة نصف قطرها 𞸓 وارتفاعها 𞸏 من خلال: 𞸌=٤𝜋𞸓،𞸇=٤٣𝜋𞸓،𞸌=٢𝜋𞸓𞸏+٢𝜋𞸓،𞸇=𝜋𞸓𞸏.الكرةالكرةالأسطوانةالأسطوانة٢٣٢٢

لدينا قيد يتمثل في أن مجموع مساحتَيْ سطحيهما يساوي ٠٠٠١𝜋 سم٢، إذن: 𞸌=𞸌+𞸌=٤𝜋𞸓+٢𝜋𞸓𞸏+٢𝜋𞸓=٠٠٠١𝜋.الكليالكرةالأسطوانة٢٢

ويمكن تبسيط ذلك إلى القيد ٣𞸓+𞸓𞸏=٠٠٥٢. وبذلك، تكون مسألة الحل الأمثل التي نريد حلها كالآتي: إدااا𞸇=𞸇+𞸇=٤٣𝜋𞸓+𝜋𞸓𞸏،٣𞸓+𞸓𞸏=٠٠٥.الكليالكرةالأسطوانة٣٢٢

بجعل 𞸏 المتغير التابع للقيد، يصبح لدينا: 𞸏=٠٠٥٣𞸓𞸓.٢

باستخدام هذا، يمكننا إعادة كتابة الحجم الكلي 𞸇ا كدالة في 𞸓 فقط: 𞸇(𞸓)=٤٣𝜋𞸓+𝜋𞸓󰃁٠٠٥٣𞸓𞸓󰃀=٤٣𝜋𞸓+٠٠٥𝜋𞸓٣𝜋𞸓.الكلي٣٢٢٣٣

يمكننا الآن إيجاد النقاط الحرجة من خلال إيجاد المشتقة الأولى لهذه الدالة وجَعْلها تساوي صفرًا: 𞸇(𞸓)=٠٠٥𝜋٥𝜋𞸓=٠.الكلي٢

بحل ذلك لإيجاد قيمة 𞸓، نجد أن 𞸓=±٠١. ولكن قيم 𞸓 غير السالبة فقط هي القيم الصحيحة؛ لأن قيمة نصف القطر دائمًا ما تكون غير سالبة (𞸓٠)، وتكون النقطة الحرجة الوحيدة هي 𞸓=٠١. لتحديد طبيعة هذه النقطة الحرجة، نستخدم اختبار المشتقة الثانية. نحصل على المشتقة الثانية لدالة الحجم 𞸇(𞸓)ا من خلال: 𞸇(𞸓)=٠١𝜋𞸓.الكلي

بالتعويض بالقيمة الحرجة 𞸓=٠١ في المشتقة الثانية، نجد أن: 𞸇(٠١)=٠٠١𝜋.الكلي

بما أن 𞸇(٠١)<٠ا، ووفقًا لاختبار المشتقة الثانية، إذن تكون النقطة الحرجة 𞸓=٠١ قيمة عظمى محلية لدالة الحجم الكلي 𞸇(𞸓)ا. إذن نصف قطر الكرة الذي يجعل مجموع حجمَيْ الكرة والأسطوانة بأقصى قيمة يساوي ١٠ سم.

قد يمثل هذا المثال قطعة ديكور في حديقة، مثل كرة خشبية أو مصباح دائري موضوع على دعامة أسطوانية.

في المثال التالي، سنتناول كيفية إيجاد النقاط التي تقع على منحنًى وتكون أقرب من نقطة مُعطاة باستخدام الحل الأمثل.

مثال ١٠: إيجاد نقاط تقع على منحنًى مُعطًى وتكون أقرب من نقطة مُعطاة باستخدام الاشتقاق

أوجد النقطتين اللتين تقعان على المنحنى 𞸑=٢𞸎+١٢٢ وتُعتبران الأقرب من النقطة (٦،٠).

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد النقطتين اللتين تقعان على منحنًى معين، كما هو موضَّح في الشكل التالي، وتبعُدان مسافة قصيرة للغاية عن نقطة مُعطاة.

وفقًا لنظرية فيثاغورس، يمكن حساب المسافة بين نقطتين (𞸎،𞸑)، (󰏡،𞸁) من خلال: 𞸋=󰋴(𞸎󰏡)+(𞸑𞸁).٢٢

ومن ثم، لأي نقطتين (𞸎،𞸑) على المنحنى، وبما أن (󰏡،𞸁)=(٦،٠)، إذن تُحسب هذه المسافة من خلال: 𞸋=󰋴(𞸎+٦)+𞸑.٢٢

إذن تكون مسألة الحل الأمثل التي نريد حلها كالآتي: إدااىا𞸋=󰋴(𞸎+٦)+𞸑،𞸑=٢𞸎+١٢.٢٢٢

باستخدام القيد المُعطى بمعادلة المنحنى، وبالتعويض عن 𞸑٢، يمكننا كتابة 𞸋 كدالة في 𞸎 فقط: 𞸋(𞸎)=󰋴(𞸎+٦)+(٢𞸎+١٢)=󰋴(𞸎+٢١𞸎+٦٣)+(٢𞸎+١٢)=󰋴𞸎+٤١𞸎+٧٥.٢٢٢

يمكننا الآن إيجاد النقاط الحرجة لهذه الدالة من خلال إيجاد المشتقة الأولى وجَعْلها تساوي صفرًا. وباستخدام قاعدة السلسلة للدالتين القابلتين للاشتقاق 󰎨، 𞸓، (󰎨(𞸓(𞸎)))=𞸓(𞸎)󰎨(𞸓(𞸎))؛ حيث 󰎨(𞸎)=󰋴𞸓، 𞸓(𞸎)=𞸎+٤١𞸎+٧٥٢، نجد أن: 𞸋(𞸎)=𞸎+٧󰋴𞸎+٤١𞸎+٧٥=٠.٢

بالحل لإيجاد قيمة 𞸎، نجد أن النقطة الحرجة هي 𞸎=٧. يمكننا تحديد طبيعة هذه النقطة الحرجة باستخدام اختبار المشتقة الثانية. مرة أخرى، باستخدام قاعدة السلسلة، يمكن الحصول على المشتقة الثانية لدالة الطول 𞸋(𞸎) من خلال: 𞸋(𞸎)=٨󰋴(𞸎+٤١𞸎+٧٥).٢٣

بالتعويض عن النقطة الحرجة 𞸎=٧ في المشتقة الثانية، يصبح لدينا: 𞸋(٧)=٨󰋷󰁓(٧)+٤١(٧)+٧٥󰁒=󰋴٢٤.٢٣

بما أن 𞸋(٧)>٠، ووفقًا لاختبار المشتقة الثانية، إذن تكون النقطة الحرجة 𞸎=٧ قيمة صغرى محلية لدالة المسافة 𞸋(𞸎) من المنحنى. ويمكن إيجاد الإحداثي 𞸑 من القيد أو معادلة المنحنى: 𞸑=٢𞸎+١٢=٢(٧)+١٢=٧.٢

إذن 𞸑=±󰋴٧. وعليه، فإن النقطتين اللتين تقعان على المنحنى وتُعتبران الأقرب من النقطة (٦،٠) هما 󰂔٧،󰋴٧󰂓، 󰂔٧،󰋴٧󰂓.

في ميكانيكا الأجرام السماوية، مسار القطع المكافئ هو مدار كبلري باختلاف مركزي يساوي واحدًا، ويقع بالتحديد على الحد الفاصل بين مدار القطع الناقص ومدار القطع الزائد.

يمكن أن يمثِّل منحنى القطع المكافئ 𞸑=٢𞸎+١٢٢ مسار جسم معين حول جسم كبير، مثل الشمس، يقع عند نقطة معينة، وهي (٦،٠)، التي توضحها النقطة الحمراء في التمثيل البياني للمثال السابق. يمكن استخدام مسألة الحل الأمثل النظرية لإيجاد النقاط التي تقع على مسار جسم معين حول جسم كبير؛ حيث يكون عندها الجسم أقرب ما يمكن من الجسم الكبير.

النقاط الرئيسية

يمكن حل مسائل الحل الأمثل الواقعية بالطريقة الآتية:

  • تحديد المسألة: تحديد المتغيرات والدالة المطلوب إيجاد الحل الأمثل لها (إيجاد القيمة الصغرى أو العظمى)، وفقًا لقيد يتعلق بالمتغيرات المستقلة.
  • استخدام القيد لإعادة كتابة الدالة المطلوب إيجاد الحل الأمثل لها كدالة في متغير واحد؛ حيثما أمكن.
  • اشتقاق الدالة المطلوب إيجاد الحل الأمثل لها ومساواة المشتقة بصفر والحل لإيجاد قيمة المتغير لتحديد النقاط الحرجة.
  • إيجاد المشتقة الثانية والتعويض بالنقاط الحرجة لتحديد طبيعتها باستخدام اختبار المشتقة الثانية: 󰎨(𞸎)<٠ في حالة القيم العظمى، 󰎨(𞸎)>٠ في حالة القيم الصغرى.
  • يمكن إيجاد القيمة العظمى أو الصغرى من خلال التعويض بالنقطة الحرجة المناسبة في الدالة المطلوب إيجاد الحل الأمثل لها. ويمكن استخدام القيد أيضًا لتحديد المتغيرات المستقلة الأخرى.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.