فيديو: إيجاد الحل الأمثل باستخدام المشتقات

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيفية تطبيق المشتقات على مسائل واقعية لإيجاد الحل الأمثل لدالة حسب قيود معينة.

١٧:٥٦

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتناول أحد التطبيقات العملية للاشتقاق في مسائل لإيجاد الحل الأمثل للدالة. وفي هذه المسائل، يطلب منا تحديد القيمة العظمى أو الصغرى لدالة معطاة مثل الزمن أو المساحة أو المحيط. وسيكون في إمكاننا الإجابة عن أسئلة مثل: ما أقصى مساحة يمكنني إحاطتها بسور محدد الطول، أو ما أعلى نقطة يصل إليها صاروخ يتبع منحنى محددًا. في بعض الأمثلة، سنعرف أيضًا كيف نكون دالة الحل الأمثل وأي قيود عليها بأنفسنا بناء على وصف كلامي معطى.

سنراجع أولًا بعض الحقائق الأساسية حول استخدام الاشتقاق لإيجاد النقاط الحرجة لدالة. النقاط الحرجة للدالة هي النقاط الموجودة في مجال الدالة حيث إن المشتقة الأولى، ‪𝑓‬‏ شرطة لـ ‪𝑥‬‏، تساوي صفرًا أو غير معرفة. لإيجاد قيمة ‪𝑥‬‏ عند نقطة حرجة، يمكننا اشتقاق الدالة لإيجاد انحدارها أو ميلها ثم مساواة ذلك بصفر وحل المعادلة الناتجة. يمكننا إيجاد قيمة الدالة نفسها عند النقطة الحرجة بالتعويض بقيمة أو قيم ‪𝑥‬‏ في الدالة.

علينا أيضًا أن نتذكر التأكد من أن النقطة الحرجة هي بالفعل نقطة قيمة عظمى أو صغرى بتطبيق اختبار المشتقة الثانية. ونذكر أنه عند القيمة العظمى المحلية، تكون المشتقة الثانية ‪𝑓‬‏ شرطتان لـ ‪𝑥‬‏ سالبة، ولكن عند القيمة الصغرى المحلية، تكون المشتقة الثانية ‪𝑓‬‏ شرطتان لـ ‪𝑥‬‏ موجبة. وسنرى الآن كيفية تطبيق هذه المبادئ الأساسية على بعض مسائل الحل الأمثل للدالة.

أطلق صاروخ في الهواء. ارتفاع الصاروخ بالأمتار يعبر عنه بدالة في الزمن تعطى بالعلاقة ‪ℎ‬‏ لـ ‪𝑡‬‏ يساوي سالب ‪4.9𝑡‬‏ تربيع زائد ‪229𝑡‬‏ زائد ‪234‬‏. أوجد أقصى ارتفاع يمكن أن يصل إليه الصاروخ.

لدينا معادلة الارتفاع ‪ℎ‬‏ لهذا الصاروخ بدلالة الزمن ‪𝑡‬‏. ومطلوب منا إيجاد أقصى ارتفاع يمكن أن يصل إليه الصاروخ. يمكننا اتباع بعض الخطوات الأساسية لإيجاد ذلك. في البداية، علينا إيجاد تعبير للمشتقة الأولى للدالة. وفي هذه المسألة، سيكون التعبير هو ‪ℎ‬‏ شرطة لـ ‪𝑡‬‏. وبتطبيق قاعدة القوى للاشتقاق، نلاحظ أن ‪ℎ‬‏ شرطة لـ ‪𝑡‬‏ يساوي سالب اثنين في ‪4.9𝑡‬‏ زائد ‪229‬‏، وهو ما يمكن تبسيطه إلى سالب ‪9.8𝑡‬‏ زائد ‪229‬‏.

نتذكر بعد ذلك أنه عند النقاط الحرجة للدالة، فإن المشتقة الأولى تساوي صفرًا. ومن ثم، نساوي التعبير الذي توصلنا إليه لـ ‪ℎ‬‏ شرطة لـ ‪𝑡‬‏ بصفر، ثم نحل المعادلة الناتجة لإيجاد قيمة ‪𝑡‬‏. نضيف ‪9.8𝑡‬‏ إلى كلا الطرفين ثم نقسم على ‪9.8‬‏ لنحصل على ‪𝑡‬‏ يساوي ‪229‬‏ على ‪9.8‬‏، ويكون هذا الناتج كعدد عشري ‪23.36734‬‏ ، أو ‪23.37‬‏ عند تقريبه لأقرب منزلتين عشريتين. هذه هي قيمة ‪𝑡‬‏ التي تكون للدالة ‪ℎ‬‏ لـ ‪𝑡‬‏ عندها نقطة حرجة. لا نعرف حتى الآن إذا ما كانت هذه نقطة قيمة عظمى أم لا. كما أننا لم نعرف الارتفاع الذي يصل إليه الصاروخ عند هذه النقطة.

خطوتنا التالية هي إيجاد قيمة الدالة ‪ℎ‬‏ لـ ‪𝑡‬‏ عند ‪𝑡‬‏ يساوي ‪23.37‬‏. بالتعويض في معادلة ‪ℎ‬‏ لـ ‪𝑡‬‏، نحصل على ‪ℎ‬‏ لـ ‪23.37‬‏ يساوي سالب ‪4.9‬‏ مضروبًا في ‪23.37‬‏ تربيع زائد ‪229‬‏ مضروبًا في ‪23.37‬‏ زائد ‪234‬‏. هذا يساوي ‪2909.56119‬‏ أو ‪2909.56‬‏ لأقرب منزلتين عشريتين. إذن، هذا هو أقصى ارتفاع يصل إليه الصاروخ حيث يحدث ذلك عند النقطة الحرجة الوحيدة للدالة. لكن يجب أن نتأكد أنها نقطة قيمة عظمى.

للقيام بذلك، سنجري اختبار المشتقة الثانية. سنوجد قيمة المشتقة الثانية، ‪ℎ‬‏ شرطتين لـ ‪𝑡‬‏، عند هذه النقطة الحرجة. باشتقاق التعبير الدال على ‪ℎ‬‏ شرطة لـ ‪𝑡‬‏، وهو سالب ‪9.8𝑡‬‏ زائد ‪229‬‏، نجد أن ‪ℎ‬‏ شرطتين لـ ‪𝑡‬‏ يساوي سالب ‪9.8‬‏. في الواقع، لسنا بحاجة إلى إيجاد قيمة المشتقة الثانية عندما تكون قيمة ‪𝑡‬‏ تساوي ‪23.37‬‏؛ لأن هذه قيمة ثابتة. فالمشتقة الثانية ثابتة لجميع قيم ‪𝑡‬‏.

ولكننا نلاحظ أن هذه القيمة سالبة. ومن ثم، بناء على اختبار المشتقة الثانية، تكون النقطة الحرجة نقطة قيمة عظمى. وكان في إمكاننا أيضًا معرفة ذلك إذا افترضنا أن التعبير المعطى لـ ‪ℎ‬‏ بدلالة ‪𝑡‬‏ هو دالة تربيعية بمعامل رئيسي سالب. وبالتالي، يكون التمثيل البياني لـ ‪𝑡‬‏ لقيم ‪ℎ‬‏ عبارة عن قطع مكافئ مقلوب. ونعرف بذلك أن هذه نقطة قيمة عظمى وليست نقطة قيمة صغرى. إذن، نستنتج من ذلك أن أقصى ارتفاع يصل إليه الصاروخ، والذي تأكدنا أنه نقطة قيمة عظمى بالفعل، هو ‪2909.56‬‏ أمتار لأقرب منزلتين عشريتين.

جدير بالذكر أن لكل من المشتقتين في هذه المسألة تفسيرًا عمليًا. فالمشتقة الأولى للدالة، وهي سالب ‪9.8𝑡‬‏ زائد ‪229‬‏، تعبر عن سرعة الصاروخ التي نعرف أنها تقل بازدياد الزمن. بينما تعبر المشتقة الثانية لدينا، وهي الثابت سالب ‪9.8‬‏، عن عجلة الصاروخ أو تباطئه. وهذه، كما نرى، تساوي سالب ‪9.8‬‏ أمتار لكل ثانية مربعة. وهذا هو مقدار التباطؤ بفعل الجاذبية.

في هذه المسألة، لدينا الدالة التي علينا إيجاد الحل الأمثل لها. لكن في المسائل المتعلقة بإيجاد الحل الأمثل، سيكون علينا في أغلب الأحيان تكوين هذه الدوال بناء على وصف كلامي معطى. لنر كيفية ذلك في المثال التالي.

أوجد العددين اللذين مجموعهما ‪156‬‏ ومجموع مربعيهما أصغر قيمة ممكنة.

لنفترض أن هذين العددين اللذين لا نعرفهما بعد هما ‪𝑥‬‏ و‪𝑦‬‏. يمكننا التعبير عن حقيقة أن مجموعهما يساوي ‪156‬‏ بالمعادلة ‪𝑥‬‏ زائد ‪𝑦‬‏ يساوي ‪156‬‏. نريد إيجاد أدنى مجموع لهذين المربعين، وهو ما يمكن أن نسميه ‪𝑠‬‏. لدينا ‪𝑠‬‏ يساوي ‪𝑥‬‏ تربيع زائد ‪𝑦‬‏ تربيع. للقيام بذلك، علينا إيجاد قيمة كل من ‪𝑥‬‏ و‪𝑦‬‏ التي عندها معدل تغير ‪𝑠‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏ أو ‪𝑦‬‏ يساوي صفرًا. هذا يعني أن علينا اشتقاق ‪𝑠‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏ أو ‪𝑦‬‏.

أولًا، علينا كتابة ‪𝑠‬‏ بدلالة متغير واحد فقط. لك مطلق الاختيار في هذه المسألة. فيمكننا إجراء إعادة ترتيب بسيطة للمعادلة الأولى لنحصل على ‪𝑦‬‏ يساوي ‪156‬‏ ناقص ‪𝑥‬‏ ثم التعويض عن ‪𝑦‬‏ بهذا المقدار في معادلة ‪𝑠‬‏ لنحصل على معادلة بدلالة ‪𝑥‬‏ فقط. وبتوزيع الأقواس ثم التبسيط، نحصل على ‪𝑠‬‏ يساوي اثنين ‪𝑥‬‏ تربيع ناقص ‪312𝑥‬‏ زائد ‪24336‬‏.

تذكر أننا نريد إيجاد أقل قيمة لمجموع هذين المربعين، وبالتالي علينا إيجاد النقاط الحرجة لـ ‪𝑠‬‏. للقيام بذلك، علينا إيجاد الموضع الذي فيه المشتقة الأولى لـ ‪𝑠‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏، أي ‪d𝑠‬‏ على ‪d𝑥‬‏، تساوي صفرًا. يمكننا استخدام قاعدة القوى لإيجاد هذه المشتقة. وعندئذ، نجد أن ‪d𝑠‬‏ على ‪d𝑥‬‏ يساوي أربعة ‪𝑥‬‏ ناقص ‪312‬‏. وبعد ذلك، نساوي هذه المشتقة بصفر ثم نحل لإيجاد قيمة ‪𝑥‬‏. نضيف أولًا ‪312‬‏ إلى كل طرف ثم نقسم على أربعة، وهو ما يعطينا ‪𝑥‬‏ يساوي ‪78‬‏.

وهكذا نكون قد أوجدنا قيمة ‪𝑥‬‏ التي يكون لـ ‪𝑠‬‏ نقطة حرجة عندها. هناك أمران علينا القيام بهما. سنتأكد بعد قليل أن هذه نقطة قيمة صغرى بالفعل. لكن علينا أولًا إيجاد قيمة ‪𝑦‬‏، وهو ما يمكننا فعله بالتعويض بقيمة ‪𝑥‬‏ في المعادلة الخطية لدينا. نجد أن ‪𝑦‬‏ يساوي ‪156‬‏ ناقص ‪78‬‏، وهو ما يساوي ‪78‬‏.

للتأكد أن هذه النقطة الحرجة هي نقطة قيمة صغرى بالفعل. علينا إيجاد المشتقة الثانية للدالة ‪𝑠‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏. باشتقاق ‪d𝑠‬‏ على ‪d𝑥‬‏ مرة أخرى، نحصل على ‪d‬‏ اثنين ‪𝑠‬‏ على ‪d𝑥‬‏ تربيع يساوي أربعة. وبالتالي، فإن المشتقة الثانية لـ ‪𝑠‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏ هي قيمة ثابتة لجميع قيم ‪𝑥‬‏. وأهم من ذلك أنها موجبة، مما يؤكد أن هذه النقطة الحرجة نقطة قيمة صغرى بالفعل. إذن العددان اللذان مجموعهما ‪156‬‏ ومجموع مربعيهما أصغر قيمة ممكنة هما ‪78‬‏ و‪78‬‏.

في هذا المثال، عرفنا كيفية تكوين دالة الحل الأمثل وأي قيود عليها من خلال المعطيات المقدمة في المسألة. وسنرى الآن كيفية القيام بذلك في مثال يتضمن مزيدًا من الخطوات العملية.

استخدم سلك طوله ‪41‬‏ سنتيمترًا لعمل مستطيل. ما الأبعاد التي تعطي أقصى مساحة له؟

من المهم ألا نستخدم هنا أسلوب المحاولة والخطأ. فعلينا استخدام أسلوب مناسب لإيجاد الحل الأمثل لإيجاد الأبعاد التي تعطي أكبر مساحة ممكنة لهذا المستطيل مع مراعاة القيد القائل بأن ما لدينا فقط هو سلك بطول ‪41‬‏ سنتيمترًا.

لنفترض أن طول المستطيل هو ‪𝑙‬‏ سنتيمتر وعرضه ‪𝑤‬‏ سنتيمتر. علينا إيجاد أقصى مساحة له، حيث إن مساحة المستطيل تساوي الطول في العرض. هذا مع مراعاة القيد القائل بأن محيط هذا المستطيل يجب أن يساوي ‪41‬‏. محيط المستطيل يساوي ضعف طوله زائد ضعف عرضه. إذن لدينا القيد اثنان ‪𝑙‬‏ زائد اثنين ‪𝑤‬‏ يساوي ‪41‬‏.

لإيجاد أقصى قيمة لهذه المساحة، علينا استخدام الاشتقاق لإيجاد النقاط الحرجة للدالة ‪𝐴‬‏. لكن قبل أن نتمكن من فعل ذلك، علينا كتابة ‪𝐴‬‏ بدلالة متغير واحد فقط. لك مطلق الاختيار في استخدام ‪𝑙‬‏ أو ‪𝑤‬‏. اخترت إعادة ترتيب المعادلة الخطية لنحصل على ‪𝑙‬‏ يساوي ‪41‬‏ ناقص اثنين ‪𝑤‬‏ على اثنين. وبالتعويض بهذا التعبير الدال على ‪𝑙‬‏ في صيغة المساحة، نحصل على ‪𝐴‬‏ يساوي ‪41‬‏ ناقص اثنين ‪𝑤‬‏ على اثنين في ‪𝑤‬‏. وبتوزيع الأقواس، نحصل على ‪41𝑤‬‏ على اثنين ناقص ‪𝑤‬‏ تربيع.

لإيجاد النقاط الحرجة لـ ‪𝐴‬‏، علينا أولًا إيجاد المشتقة الأولى، وهي ‪d𝐴‬‏ على ‪d𝑤‬‏، والتي تساوي ‪41‬‏ على اثنين ناقص اثنين ‪𝑤‬‏، وذلك باستخدام قاعدة القوى للاشتقاق. ثم نساوي هذا التعبير بصفر ونحل المعادلة الناتجة لإيجاد قيمة ‪𝑤‬‏. نضيف اثنين إلى الطرفين ثم نقسم على اثنين لنحصل على ‪𝑤‬‏ يساوي ‪41‬‏ على أربعة. أوجدنا عرض المستطيل الذي تكون للمساحة نقطة حرجة عنده.

علينا أيضًا إيجاد الطول، وهو ما يمكن فعله بالتعويض بقيمة ‪𝑤‬‏ في التعبير الدال على ‪𝑙‬‏ لنحصل على ‪41‬‏ ناقص اثنين في ‪41‬‏ على أربعة، الكل على اثنين. يمكن تبسيط ذلك إلى ‪41‬‏ على أربعة. ولكننا لم ننته بعد. نعلم أن قيمتي ‪𝑤‬‏ و‪𝑙‬‏ تعطيان نقطة حرجة للمساحة. لكننا لم نتأكد حتى الآن أنها نقطة قيمة عظمى بالفعل. للتأكد من ذلك، علينا إجراء اختبار المشتقة الثانية. نوجد قيمة ‪d‬‏ اثنين ‪𝐴‬‏ على ‪d𝑤‬‏ تربيع، وهو ما يساوي سالب اثنين.

هذه قيمة ثابتة لجميع قيم ‪𝑤‬‏. وبتحديد أكثر، فهو عدد ثابت سالب. بما أن المشتقة الثانية أقل من صفر، فهذا يؤكد أن النقطة الحرجة نقطة قيمة عظمى بالفعل. إذن نجد أن الطول والعرض اللذان يعطيان هذا المستطيل أقصى مساحة له، مع مراعاة قيد المحيط المعطى، كلاهما معًا يساويان ‪10.25‬‏ سنتيمترات كعدد عشري.

نلاحظ أن طول هذا المستطيل وعرضه متساويان بالفعل، مما يجعله مربعًا. يوضح هذا فكرة عامة في مسائل الحل الأمثل حيث نريد إيجاد أقصى قيمة للمساحة بالنسبة إلى قيد متعلق بالطول. ويتم إيجاد أقصى مساحة عندما تكون الأبعاد متماثلة قدر الإمكان، أي عندما تكون النسبة بين البعدين أقرب ما يكون لواحد إلى واحد.

في حالة المسألة التي تتضمن مستطيلًا، يتضح دائمًا أن الشكل يصبح مربعًا. ولكن بالطبع، عليك دائمًا متابعة الحل. لتوضيح ذلك. في المثال الأخير، سنتعرف على كيفية إيجاد أقصى قيمة لمجموع حجمي شكلين ثلاثيي الأبعاد بمراعاة قيد خاص بمساحة السطح.

إذا كان مجموع مساحتي سطحي كرة وأسطوانة دائرية قائمة يساوي ‪1000𝜋‬‏ سنتيمتر مربع، ونصفا قطريهما متساويان، فأوجد نصف قطر الكرة الذي يجعل مجموع حجميهما بأقصى قيمة.

في هذه المسألة، مطلوب منا إيجاد أكبر قيمة لمجموع حجمي شكلين مجسمين ثلاثيي الأبعاد مع مراعاة القيد المتعلق بمجموع مساحتي سطحيهما. لنبدأ بكتابة الصيغة الخاصة بمساحة سطح كل من الكرة والأسطوانة الدائرية القائمة. بما أن نصفي القطرين متساويان، يمكننا استخدام الحرف ‪𝑟‬‏ نفسه لكليهما. مساحة سطح الكرة تساوي أربعة ‪𝜋𝑟‬‏ تربيع. ومساحة سطح الأسطوانة تساوي اثنين ‪𝜋𝑟‬‏ تربيع زائد اثنين ‪𝜋𝑟ℎ‬‏، حيث يمثل ‪ℎ‬‏ ارتفاع الأسطوانة.

بما أن مجموع مساحتي السطحين يساوي ‪1000𝜋‬‏ سنتيمتر مربع، يمكننا صياغة معادلة، وهي: أربعة ‪𝜋𝑟‬‏ تربيع زائد اثنين ‪𝜋𝑟‬‏ تربيع زائد اثنين ‪𝜋𝑟ℎ‬‏ يساوي ‪1000𝜋‬‏. يمكننا بعد ذلك تجميع الحدود المتشابهة في الطرف الأيسر ثم القسمة على ‪𝜋‬‏، حيث إن ‪𝜋‬‏ عامل مشترك في جميع الحدود. يمكننا كذلك القسمة على اثنين، حيث إن جميع المعاملات أعداد زوجية، لنحصل بذلك على ثلاثة ‪𝑟‬‏ تربيع زائد ‪𝑟ℎ‬‏ يساوي ‪500‬‏. ليس ثمة ما نفعله الآن في هذه المعادلة أكثر من ذلك، حيث لدينا مجهولان ‪𝑟‬‏ و‪ℎ‬‏. نسترجع صيغتي حجم الكرة وحجم الأسطوانة.

حجم الكرة يساوي أربعة على ثلاثة مضروبًا في ‪𝜋‬‏ مضروبًا في نصف القطر تكعيب. وحجم الأسطوانة يساوي ‪𝜋‬‏ مضروبًا في نصف القطر تربيع مضروبًا في الارتفاع. إذن الحجم الإجمالي لهذين الشكلين المجسمين يساوي أربعة على ثلاثة ‪𝜋𝑟‬‏ تكعيب زائد ‪𝜋𝑟‬‏ تربيع ‪ℎ‬‏. نريد إيجاد أقصى قيمة لمجموع حجمي هذين الشكلين، أي ‪𝑉‬‏ الكلي. يتم إيجاد أقصى قيمة لذلك عندما يكون معدل التغير بالنسبة إلى ‪𝑟‬‏ أو ‪ℎ‬‏ يساوي صفرًا، وهو ما يحدث عندما تساوي المشتقة الأولى صفرًا. ولكن قبل أن نتمكن من الاشتقاق، علينا التعبير عن ‪𝑉‬‏ الكلي بدلالة متغير واحد.

من الأسهل أن نعيد ترتيب قيد مساحة السطح لنحصل على دالة لـ ‪ℎ‬‏ بدلالة ‪𝑟‬‏ بدلًا من الحصول على دالة لـ ‪𝑟‬‏ بدلالة ‪ℎ‬‏. لدينا ‪ℎ‬‏ يساوي ‪500‬‏ ناقص ثلاثة ‪𝑟‬‏ تربيع على ‪𝑟‬‏. يمكننا التعويض بالتعبير الدال على ‪ℎ‬‏ في تعبير الحجم الإجمالي حتى يكون بدلالة ‪𝑟‬‏ فقط. يمكننا حذف العامل المشترك ‪𝑟‬‏ في الحد الثاني ثم توزيع الأقواس لنحصل على أربعة على ثلاثة ‪𝜋𝑟‬‏ تكعيب زائد ‪500𝜋𝑟‬‏ ناقص ثلاثة ‪𝜋𝑟‬‏ تكعيب. لدينا تعبير ‪𝑉‬‏ الكلي بدلالة ‪𝑟‬‏ فقط.

علينا بعد ذلك إيجاد المشتقة الأولى ‪d𝑣‬‏ الكلي على ‪d𝑟‬‏، إذن نفرغ مساحة للقيام بذلك. بتطبيق قاعدة القوى للاشتقاق، نجد أن مشتقة ‪𝑉‬‏ الكلي بالنسبة إلى ‪𝑟‬‏ تساوي أربعة على ثلاثة ‪𝜋‬‏ في ثلاثة ‪𝑟‬‏ تربيع زائد ‪500𝜋𝑟‬‏ ناقص ثلاثة ‪𝜋‬‏ في ثلاثة ‪𝑟‬‏ تربيع، وهو ما يبسط إلى ‪500𝜋𝑟‬‏ ناقص خمسة ‪𝜋𝑟‬‏ تربيع. ولإيجاد النقاط الحرجة، علينا مساواة هذه المشتقة بصفر والحل لإيجاد قيمة ‪𝑟‬‏.

يمكننا القسمة على خمسة ‪𝜋‬‏ ليكون الناتج صفر يساوي ‪100‬‏ ناقص ‪𝑟‬‏ تربيع. وبإضافة ‪𝑟‬‏ تربيع إلى كلا الطرفين، نحصل على ‪𝑟‬‏ تربيع يساوي ‪100‬‏. ثم نوجد قيمة ‪𝑟‬‏ بأخذ الجذر التربيعي. علينا أخذ الجذر التربيعي الموجب فقط، حيث يجب أن يكون نصف قطر الشكل المجسم قيمة موجبة. ومن ثم، نجد أن ‪𝑟‬‏ يساوي ‪10‬‏. نعلم الآن أن مجموع حجمي الشكلين المجسمين له نقطة حرجة عندما يساوي نصف القطر ‪10‬‏. ولكن، علينا الآن التأكد أن هذه نقطة قيمة عظمى.

نجري اختبار المشتقة الثانية. باشتقاق تعبير ‪d𝑉‬‏ الكلي على ‪d𝑟‬‏ مرة أخرى بالنسبة إلى ‪𝑟‬‏، نحصل على سالب ‪10𝜋𝑟‬‏. وبإيجاد قيمة ذلك عند ‪𝑟‬‏ يساوي ‪10‬‏، نحصل على سالب ‪100𝜋‬‏. هذه قيمة سالبة، وهو ما يؤكد أن النقطة الحرجة نقطة قيمة عظمى بالفعل. إذن، وجدنا أن نصف قطر الكرة ونصف قطر الأسطوانة الدائرية القائمة اللذان يحققان أكبر قيمة لمجموع حجميهما، مع مراعاة قيد مساحة السطح المعطى، هو ‪10‬‏ سنتيمترات.

لنلخص النقاط الأساسية التي تناولناها في هذا الفيديو. أولًا، يمكن تطبيق المبادئ الأساسية للاشتقاق على مسائل الحل الأمثل. وفي هذه المسائل، نكون بصدد إيجاد القيمة العظمى أو الصغرى للدالة. نعلم أن النقاط الحرجة للدالة هي التي عندها تساوي المشتقة الأولى صفرًا أو تكون غير معرفة. وبمجرد إيجاد النقطة الحرجة، علينا التأكد أنها نقطة قيمة عظمى أو صغرى من خلال إجراء اختبار المشتقة الثانية. عرفنا كذلك أنه ربما يتعين علينا تكوين دالة الحل الأمثل وكذلك أي قيود عليها بأنفسنا بناء على وصف كلامي معطى.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.