فيديو السؤال: إيجاد القيم العظمى والصغرى المحلية لدالة لوغاريتمية ذات سعة تربيعية الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

أوجد القيم العظمى المحلية والقيم الصغرى المحلية للدالة ﺩﺱ تساوي سالب ثلاثة مضروبًا في اللوغاريتم الطبيعي لاثنين ﺱ تربيع زائد ثلاثة.

تعطينا هذه المسألة الدالة ﺩﺱ. والمطلوب هو إيجاد جميع القيم العظمى المحلية والصغرى المحلية لهذه الدالة. أول ما علينا تذكره هو أننا نحصل على القيم القصوى المحلية دائمًا عند النقاط الحرجة للدالة. ونتذكر أن هذه النقطة تكون نقطة حرجة للدالة ﺩﺱ عند ﺱ يساوي ﺃ إذا كانت قيمة مشتقة ﺩ عند ﺃ تساوي صفرًا أو كانت المشتقة غير موجودة عند هذه النقطة.

إذن، لإيجاد القيم القصوى المحلية، علينا إيجاد النقاط الحرجة للدالة. وللقيام بذلك، سيتعين علينا إيجاد تعبير لـ ﺩ شرطة ﺱ. لذا، سيتعين علينا اشتقاق سالب ثلاثة مضروبًا في اللوغاريتم الطبيعي لاثنين ﺱ تربيع زائد ثلاثة. ويمكننا ملاحظة أن هذه دالة مركبة من دالتين. نأخذ اللوغاريتم الطبيعي لكثيرة حدود تربيعية.

وكما نعلم، فإنه لاشتقاق دالة مركبة من دالتين، سنحتاج إلى استخدام قاعدة السلسلة. نتذكر أن قاعدة السلسلة تنص على أنه إذا كانت ﻉ دالة في ﻕ وﻕ بدورها دالة في ﺱ، فإن مشتقة ﻉ المركبة مع ﻕﺱ تساوي ﻕ شرطة ﺱ مضروبة في ﻉ شرطة لـ ﻕﺱ.

إذن لتطبيق قاعدة السلسلة على الدالة ﺩﺱ، علينا أولًا اعتبار ﻕﺱ هي الدالة الداخلية. وهي تساوي اثنين ﺱ تربيع زائد ثلاثة. ثم باستخدام هذا التعريف لـ ﻕﺱ، أعدنا كتابة ﺩﺱ لتصبح سالب ثلاثة مضروبًا في اللوغاريتم الطبيعي لـ ﻕ. ولكي نجعل الرمز المستخدم متسقًا مع قاعدة السلسلة، سنجعل الدالة ﻉﻕ تساوي سالب ثلاثة مضروبًا في اللوغاريتم الطبيعي لـ ﻕ.

باستخدام هذين التعريفين للدالتين ﻉ وﻕ، يمكننا ملاحظة أن ﺩﺱ تساوي ﻉ المركبة مع ﻕ. حيث ﻉ هي دالة في ﻕ، وﻕ، في المقابل، هي دالة في ﺱ. هذا يعني أنه يمكننا الآن تطبيق قاعدة السلسلة لإيجاد ﺩ شرطة ﺱ. فهي تساوي ﻕ شرطة ﺱ مضروبة في ﻉ شرطة ﻕﺱ.

والآن، لاستخدام قاعدة السلسلة، علينا إيجاد تعبيرين للدالتين ﻕ شرطة وﻉ شرطة. لنبدأ بالدالة ﻕ شرطة ﺱ. وهي مشتقة اثنين ﺱ تربيع زائد ثلاثة بالنسبة إلى ﺱ. ويمكننا إيجاد قيمة ذلك باستخدام قاعدة القوى للاشتقاق. فنحصل على ﻕ شرطة ﺱ تساوي أربعة ﺱ.

نريد الآن إيجاد تعبير للدالة ﻉﻕ. وهي مشتقة سالب ثلاثة مضروبًا في اللوغاريتم الطبيعي لـ ﻕ بالنسبة إلى ﻕ. وكما نعلم، فإن مشتقة اللوغاريتم الطبيعي لـ ﻕ بالنسبة إلى ﻕ تساوي واحدًا على ﻕ. إذن، ﻉ شرطة ﻕ تساوي سالب ثلاثة مقسومًا على ﻕ.

وبالتعويض بالتعبيرات الدالة على كل من ﻉ شرطة، وﻕ شرطة وﻕﺱ، نجد أن ﺩ شرطة ﺱ تساوي أربعة ﺱ مضروبًا في سالب ثلاثة مقسومًا على اثنين ﺱ تربيع زائد ثلاثة. وأخيرًا، سنبسط هذا التعبير. فنجد أن ﺩ شرطة ﺱ تساوي سالب ١٢ﺱ مقسومًا على اثنين ﺱ تربيع زائد ثلاثة. تذكر أننا نريد إيجاد النقاط الحرجة للدالة ﺩﺱ. وذلك عندما تكون المشتقة مساوية لصفر، أو عندما تكون المشتقة غير موجودة.

لنبدأ بإيجاد جميع النقاط التي تكون عندها المشتقة غير موجودة. يمكننا ملاحظة أن الدالة ﺩ شرطة ﺱ هي دالة كسرية. وبالتالي، فإن الدالة الكسرية ستكون معرفة لجميع قيم ﺱ إلا إذا كان المقام يساوي صفرًا. لكن إذا حاولنا حل المقام بمساواته بالصفر، فسنجد أن ﺱ تربيع يساوي سالب ثلاثة على اثنين. لكننا نعلم أن ﺱ تربيع أكبر من أو يساوي صفرًا لجميع القيم الحقيقية لـ ﺱ. إذن، لا توجد قيم للمتغير ﺱ تجعل المقام يساوي صفرًا. ما يعني أن النقاط الحرجة الممكنة الوحيدة لهذه الدالة تتحقق عندما تكون المشتقة تساوي صفرًا.

لنحاول إذن إيجاد قيم ﺱ التي تكون عندها قيمة المشتقة تساوي صفرًا. ومرة أخرى، بما أن هذه دالة كسرية، فلكي تساوي هذه الدالة صفرًا، فإن البسط يجب أن يساوي صفرًا. وإذا كان ١٢ﺱ يساوي صفرًا، فسنحصل على ﺱ يساوي صفرًا. وبالطبع، يجب علينا أن نتحقق دائمًا من أن المقام لا يساوي صفرًا عند ﺱ يساوي صفرًا. لكننا أثبتنا بالفعل أن هذا صحيح. وهذا يعني أننا أوضحنا أنه توجد نقطة حرجة عند ﺱ يساوي صفرًا للدالة ﺩﺱ. وفي الواقع، أثبتنا أن هذه هي النقطة الحرجة الوحيدة للدالة ﺩﺱ.

لكننا لم ننته بعد. تذكر أننا نريد إيجاد القيم العظمى المحلية والصغرى المحلية لدالتنا. علينا إذن التحقق مما إذا كانت هذه النقطة الحرجة هي قيمة عظمى محلية أو قيمة صغرى محلية أم غير ذلك. بما أننا أوجدنا بالفعل تعبيرًا لـ ﺩ شرطة ﺱ وعرفنا أنها معرفة لجميع قيم ﺱ، فسنفعل ذلك باستخدام اختبار المشتقة الأولى.

وبما أن النقطة الحرجة الوحيدة هي عند ﺱ يساوي صفرًا، فعلينا التحقق من ميل الدالة أعلى هذه القيمة وأسفلها. سنتناول القيمتين ﺱ يساوي سالب واحد وﺱ يساوي واحدًا. لذا، لنبدأ في ملء الجدول.

أولًا، نعلم بالفعل أن ﺩ شرطة لصفر يساوي صفرًا. بعد ذلك، دعونا نوجد ميل الدالة عند ﺱ يساوي سالب واحد. سنعوض بـ ﺱ يساوي سالب واحد في تعبير ﺩ شرطة ﺱ. وهذا يعطينا سالب ١٢ مضروبًا في سالب واحد مقسومًا على اثنين مضروبًا في سالب واحد تربيع زائد ثلاثة. وإذا حسبنا قيمة هذا المقدار، فسنحصل على ١٢ مقسومًا على خمسة. وبهذا نكون قد أثبتنا أن ﺩ شرطة ﺱ تكون موجبة عند ﺱ يساوي سالب واحد.

يمكننا فعل الأمر نفسه لإيجاد المشتقة عند ﺱ يساوي واحدًا. فنحصل على سالب ١٢ مضروبًا في واحد مقسومًا على اثنين مضروبًا في واحد تربيع زائد ثلاثة. وإذا حسبنا ذلك، فسنحصل على سالب ١٢ مقسومًا على خمسة، أي قيمة سالبة.

لنرسم إذن ما حصلنا عليه. لقد أوضحنا أنه عند ﺱ يساوي سالب واحد، فإن الميل يكون موجبًا. وعند ﺱ يساوي صفرًا، فإن الميل يساوي صفرًا. وعند ﺱ يساوي واحدًا، يكون الميل سالبًا. ومن الرسم، يمكننا أن نرى أنه عند ﺱ يساوي صفرًا، سنحصل على قيمة عظمى محلية.

وآخر ما نريد فعله هو إيجاد هذه القيمة العظمى المحلية. سنفعل ذلك بالتعويض بـ ﺱ يساوي صفرًا في الدالة ﺩﺱ. وهذا يعطينا سالب ثلاثة مضروبًا في اللوغاريتم الطبيعي لاثنين مضروبًا في صفر تربيع زائد ثلاثة. ويمكننا إيجاد قيمة ذلك. نحصل على سالب ثلاثة مضروبًا في اللوغاريتم الطبيعي لثلاثة.

وبذلك، نكون قد تمكنا من توضيح أن الدالة ﺩﺱ تساوي سالب ثلاثة مضروبًا في اللوغاريتم الطبيعي لاثنين ﺱ تربيع زائد ثلاثة لها قيمة قصوى محلية واحدة فقط. وهي القيمة العظمى المحلية للتعبير سالب ثلاثة مضروبًا في اللوغاريتم الطبيعي لثلاثة عند ﺱ يساوي صفرًا.