شارح الدرس: النقاط الحرجة والقِيَم القُصوى المحلية للدالة الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

مثال ١: إيجاد النقطة الحرجة لدالة تكعيبية في فترة معطاة

أوجد النقاط الحرجة للدالة في الفترة .

الحل

في هذا المثال، علينا إيجاد النقاط الحرجة لدالة تكعيبية كثيرة حدود معرَّفة على فترة محدَّدة.

بما أن الدوال الكثيرات الحدود متصلة وقابلة للاشتقاق على مجالها بالكامل، إذن علينا فقط إيجاد قيم ؛ بحيث تكون المشتقة الأولى لـ تُساوي صفرًا لتحديد النقاط الحرجة:

إذن نقطة حرجة؛ لأنها تقع داخل الفترة . ويمكننا إيجاد قيمة عن طريق التعويض بقيمة هذه في الدالة، لنحصل على:

إذن تقع النقطة الحرجة عند .

مثال ٢: إيجاد القيم العظمى والصغرى المحلية لدالة كثيرة الحدود وقيم س التي تحدث عندها هذه القيم

أوجد القيم العظمى والصغرى المحلية للدالة ، مع ذكر موضع حدوثها.

الحل

في هذا المثال، علينا إيجاد النقاط الحرجة لدالة كثيرة حدود تكعيبية معرَّفة على خط الأعداد الحقيقية كله. وعلى وجه التحديد، علينا إيجاد النقاط التي تناظر القيم العظمى والصغرى المحلية. وبما أن الدوال الكثيرات الحدود متصلة وقابلة للاشتقاق على مجالها بالكامل، إذن لا يهم أن تكون المشتقة غير معرَّفة. نبدأ أولًا بإيجاد مشتقة الدالة ونساويها بصفر:

من ثَمَّ، لتحديد النقاط الحرجة، علينا حل هذه المعادلة التربيعية:

إذن تحدث النقاط الحرجة عند ، وعند . يمكننا التعويض بقيم هذه مرةً أخرى في الدالة لإيجاد:

وهكذا، تقع نقطتان حرجتان عند ، .

لتصنيف هاتين النقطتين إلى نقاط قيم عظمى أو صغرى محلية، يمكننا استخدام اختبار المشتقة الأولى والتحقُّق من إشارة المشتقة الأولى في الفترات التي تقع فيها قيم ، وهي ، ، . يمكننا اختيار قيم الاختبار التي تقع في هذه الفترات على هذا النحو ، ٠ على الترتيب. وتكون قيم المشتقة الأولى المحدَّدة عند هذه النقاط هي:

يمكننا تلخيص ذلك في جدول لتوضيح إشارة المشتقة الأولى أثناء مرورها بالنقاط الحرجة:

يمكننا ملاحظة أن إشارة المشتقة الأولى تتغيَّر من سالب إلى موجب عندما تمر بالنقطة ؛ ما يعني أن النقطة الحرجة عند هي نقطة قيمة صغرى محلية بعد إجراء اختبار المشتقة الأولى. تتغيَّر المشتقة الأولى أيضًا من موجب إلى سالب عندما تمر بالنقطة ؛ ما يعني أن النقطة الحرجة عند هي نقطة قيمة عظمى محلية.

ونلاحظ أنه كان بإمكاننا أيضًا التوصُّل إلى هذا الاستنتاج مباشرةً من الدالة التي أوجدنا قيمتها عند هاتين النقطتين أو إحداثيات ؛ لأن الدالة الكثيرة الحدود متصلة، ولأن هاتين النقطتين هما النقطتان الحرجتان الوحيدتان.

من ثَمَّ، يجب أن تكون إحداهما قيمة عظمى والأخرى قيمة صغرى؛ حيث يمكننا فقط المقارنة بين قيم الدالة التي أوجدناها عند هاتين النقطتين، ؛ ما يعني أن قيمة صغرى، وأن قيمة عظمى.

إذن القيمة العظمى المحلية تساوي عند ، والقيمة الصغرى المحلية تساوي عند .

مثال ٣: إيجاد المعاملات المجهولة في الدالة التربيعية بمعلومية القيمة الصغرى للدالة

إذا كانت الدالة لها قيمة صغرى تساوي ٢ عند ، فأوجد قيمة كلٍّ من ، .

الحل

في هذا المثال، علينا استخدام ما نعرفه عن قيمة النقطة الحرجة؛ لا سيما القيمة الصغرى المحلية، لتحديد المعاملات المجهولة في المعادلة التربيعية.

بما أن ، عددان ثابتان، إذن يمكننا تطبيق القواعد المعتادة لاشتقاق الحدود الأسية وحساب المشتقة الأولى للدالة؛ حيث:

وبما أن قيمة حرجة، إذن يجب أن تختفي المشتقة الأولى عند هذه النقطة. وهذا يساعدنا على تحديد المعامل :

ونعلم من السؤال أن القيمة الصغرى لـ ٢ تحدث عند ؛ لذا، يمكننا استخدام في تحديد المعامل :

ولإكمال الحل، يمكننا أيضًا استخدام اختبار المشتقة الأولى للتحقُّق ممَّا إذا كانت هذه النقطة بالفعل نقطة قيمة صغرى محلية. نختار قيمة اختبار من الفترة ، وقيمة اختبار من الفترة . عند هذه النقاط:

يمكننا ملاحظة أن إشارة المشتقة الأولى تتغيَّر من سالب إلى موجب عندما تمر بالنقطة ؛ ومن ثَمَّ، تكون هذه النقطة بالفعل نقطة قيمة صغرى محلية.

في الواقع، تكون للمنحنى التربيعي نقطة توقُّف واحدة فقط، تتحدَّد طبيعتها بإشارة المعامل الرئيسي (الحد ) للدالة. تكون نقطة التوقُّف هي نقطة قيمة صغرى إذا كان المعامل الرئيسي موجبًا، وقيمة عظمى إذا كان المعامل الرئيسي سالبًا؛ وذلك بسبب شكل المنحنى.

في هذه الحالة، يكون للدالة معامل رئيسي موجب؛ ومن ثَمَّ، يمكننا التأكُّد من وجود قيمة صغرى محلية لها، حتى بدون اختبار المشتقة الأولى.

للتلخيص، تكون القيمتان ، كالآتي:

مثال ٤: إيجاد القيمة العظمى المحلية لدالة تتضمَّن استخدام قاعدة حاصل الضرب باستخدام الدوال الأسية

حدِّد متى تكون للدالة قيمة عظمى محلية، وأوجد القيمة حينئذٍ.

الحل

في هذا المثال، علينا إيجاد القيمة العظمى المحلية لدالة تتضمَّن حاصل ضرب دالة أسية في دالة تربيعية.

نبدأ بإيجاد المشتقة الأولى. تذكَّر أن قاعدة حاصل الضرب لدالتين قابلتين للاشتقاق ، تُعطَى من:

وبما أن ، ، إذن نجد أن ، ؛ ومن ثَمَّ، فإن:

هذه المشتقة معرَّفة دائمًا لـ ؛ ومن ثَمَّ، علينا فقط الاهتمام بالنقاط الحرجة عند ، وعلينا حل المعادلة:

وبما أن لا يمكن أن يساوي صفرًا، إذن يمكننا ضرب هذا المقدار في لإيجاد:

من ثَمَّ، يمكن إيجاد حلول لـ عند ، وعند ، وهي القيم التي تحدث عندها النقاط الحرجة. يمكننا إيجاد قيمة الدالة عند إحداثيات هذه، لنحصل على:

لذا، تقع النقاط الحرجة عند ، . ويمكننا تصنيف هذه النقاط باستخدام اختبار المشتقة الأولى عن طريق التحقُّق من إشاراتَي المشتقة الأولى عند قيم الاختبار التي تقع في الفترات ، ، ، والتي يمكننا اختيارها؛ حيث ، ٣ على الترتيب.

بحساب قيمة المشتقة الأولى عند هذه النقاط:

يمكننا تلخيص ذلك في جدول لتوضيح إشارة المشتقة الأولى التي تمر بالنقاط الحرجة:

يمكننا ملاحظة أن إشارة المشتقة الأولى تتغيَّر من سالب إلى موجب عندما تمر بالنقطة ، فتكون النقطة الحرجة عند قيمة صغرى محلية عند اختبار المشتقة الأولى. تتغيَّر المشتقة الأولى أيضًا من موجب إلى سالب عندما تمر بالنقطة ، فتكون النقطة الحرجة عند قيمة عظمى محلية.

ونلاحظ أنه كان بإمكاننا أيضًا التوصُّل إلى هذا الاستنتاج مباشرةً من الدالة التي أوجدنا قيمتها عند هاتين النقطتين أو إحداثيات ؛ نظرًا لأن الدالة متصلة، وهاتين النقطتين هما النقطتان الحرجتان الوحيدتان.

من ثَمَّ، يجب أن تساوي إحداهما قيمة عظمى والأخرى قيمة صغرى؛ ويمكننا فقط المقارنة بين قيم الدالة التي أوجدناها عند هاتين النقطتين، ؛ ما يعني أن قيمة صغرى، وأن قيمة عظمى.

وبناءً على ذلك، يمكننا معرفة موضع القيمة العظمى المحلية وموقعها من:

مثال ٥: إيجاد القيم العظمى والصغرى المحلية للدالة التي تتضمَّن دالة لوغاريتمية، إن وجدت

أوجد القيم العظمى المحلية والقيم الصغرى المحلية، إن وجدت، للدالة .

الحل

في هذا المثال، علينا إيجاد جميع القيم العظمى والصغرى المحلية لدالة تتضمَّن مجموع دالة لوغاريتمية ودالة تربيعية. وبما أن الدالة اللوغاريتمية تكون معرَّفة فقط للقيم الموجبة، إذن مجال الدالة يكون .

نبدأ بإيجاد المشتقة الأولى للدالة باستخدام الآتي: :

من الواضح أن هذه المشتقة غير معرَّفة عند ، وتساوي صفرًا عند ، وعند . مع ذلك، بما أن مجال يتمثَّل في قيم في الفترة (أي )، إذن علينا فقط الاهتمام بالنقطة . وتكون قيمة الدالة عند هذه النقطة هي:

من ثَمَّ، تقع النقطة الحرجة عند ، ولتصنيف ذلك، نستخدم اختبار المشتقة الأولى. علينا التحقُّق من إشارة المشتقة الأولى عند قيم الاختبار الواقعة في الفترات عندما تكون : ، ؛ حيث ، ٢ على الترتيب. يمكننا إيجاد قيمة المشتقة الأولى عند هذه النقاط، لنحصل على:

يمكننا ملاحظة أن إشارة المشتقة الأولى تتغيَّر من سالب إلى موجب عندما تمر بالنقطة .

إذن القيمة الصغرى المحلية تساوي واحدًا عند .