شارح الدرس: النقاط الحرجة والقِيَم القُصوى المحلية للدالة الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُوجِد النقاط الحرجة لدالة، ونبحث عن القيم القصوى المحلية باستخدام اختبار المشتقة الأولى.

يمكن تعريف القيمة العظمى المحلية أو الصغرى المحلية بشكل مستقل عن المشتقات.

تعريف: القيمة العظمى المحلية والقيمة الصغرى المحلية

افترض أن دالة 󰎨 معرَّفة خلال فترة ما، وافترض أن القيم القصوى المحلية تكون عند 𞸎=󰏡. لقيم 𝛿>٠ الصغيرة بما فيه الكفاية، ولجميع قيم 𞸎 التي تقع في الفترة ]󰏡𝛿،󰏡+𝛿[:

  • إذا كانت 󰎨(𞸎)󰎨(󰏡)، فإن 𞸎=󰏡 قيمة عظمى محلية؛
  • وإذا كانت 󰎨(𞸎)󰎨(󰏡)، فإن 𞸎=󰏡 قيمة صغرى محلية.

وهذا بديهي؛ لأنه يعني أن قيمة الدالة عند 𞸎=󰏡 أكبر أو أصغر قيمة ممكنة لأيِّ 𞸎 في جوارٍ حول 𞸎=󰏡 الصغير بما فيه الكفاية، وهذا يتوقَّف على إذا ما كانت نقطة قيمة عظمى محلية أو نقطة قيمة صغرى محلية على الترتيب. مع ذلك، من الأسهل عمليًّا تحديد القيم العظمى المحلية والصغرى المحلية عن طريق إيجاد النقاط الحرجة لدالة وتصنيفها باستخدام اختبار المشتقة الأولى.

إذن ما النقطة الحرجة؟

تعريف: النقطة الحرجة

تُسمَّى النقطة (𞸎،𞸑) نقطة حرجة لـ 𞸑=󰎨(𞸎) إذا كانت 𞸎 تقع في مجال الدالة 󰎨(𞸎)، وتكون إما: 󰎨(𞸎)=٠󰎨(𞸎).أو

يمكن تصنيف هذه النقاط إلى قيم صغرى محلية، أو قيم عظمى محلية، أو نقاط انقلاب.

بعبارة أخرى، لتحديد النقاط الحرجة للدالة، نُوجِد المشتقة الأولى للدالة، ونساويها بصفر، ثم نَحُلُّ لإيجاد قيمة 𞸎. يجب أن نتحقَّق أيضًا ممَّا إذا كان أيٌّ من قيم 𞸎 يقع في مجال الدالة التي تجعل المشتقة الأولى غير معرَّفة. بعد ذلك نعوِّض بقيم 𞸎 هذه في الدالة 𞸑=󰎨(𞸎) لإيجاد قيم 𞸑؛ ومن ثَمَّ، إيجاد إحداثيات النقاط الحرجة (𞸎،𞸑).

لأيِّ دالة قابلة للتفاضل، عندما تساوي المشتقة الأولى صفرًا، فإن النقاط الحرجة تُعرَف أيضًا باسم نقاط التوقُّف. وهي النقاط التي لا تكون فيها الدالة تزايدية أو تناقصية؛ لذلك تُسمَّى توقُّف.

نتأمَّل الدالة 󰎨(𞸎)=𞸎٢𞸎٢ المعرَّفة على مجموعة الأعداد الحقيقية 𞹇. تُعطَى مشتقة هذه الدالة من: 󰎨(𞸎)=٢𞸎٢.

بما أن المشتقة الأولى معرَّفة لجميع قيم 𞸎، إذن علينا فقط إيجاد قيم 𞸎 الممكنة؛ بحيث تكون المشتقة الأولى مساوية للصفر. من ثَمَّ، علينا حل: ٢𞸎٢=٠𞸎=١.

وهكذا، تُوجَد نقطة حرجة عند 𞸎=١. يمكننا إيجاد قيمة الدالة عند هذه النقطة لإيجاد: 󰎨(١)=(١)٢(١)=١.٢

إذن (١،١) نقطة حرجة لهذه الدالة.

الآن، نلقي نظرة على الحالة التي تحدث فيها النقطة الحرجة عندما تكون المشتقة الأولى غير معرَّفة بدلًا من أن تكون مساوية للصفر. نفترض أن لدينا الدالة: 󰎨(𞸎)=󰋴𞸎=𞸎.١٢

نحصل على المشتقة الأولى من: 󰎨(𞸎)=١٢𞸎=١٢󰋴𞸎،١٢ ومع أن هذا لا يمكن أن يساوي صفرًا، فمن الواضح أنها غير معرَّفة عند 𞸎=٠؛ لأننا سنضطر إلى القسمة على صفر. ومع ذلك، فالدالة معرَّفة عند هذه النقطة؛ حيث 󰎨(٠)=٠؛ لذا، تكون (٠،٠) نقطة حرجة لهذه الدالة.

لتصنيف هذه النقاط إلى نقاط قيم عظمى محلية، أو نقاط قيم صغرى محلية، أو نقاط انقلاب، يمكننا استخدام اختبار المشتقة الأولى، الذي يتضمَّن التحقُّق من إشارة المشتقة الأولى للقيم القريبة جدًّا من النقطة الحرجة.

ينص اختبار المشتقة الأولى على الآتي.

تعريف: اختبار المشتقة الأولى

افترض أن 󰎨 دالة معرَّفة على فترة ما تحتوي على النقطة الحرجة 𞸎=󰏡. إذن لأيِّ قيم 𝜖>٠ صغيرة بما فيه الكفاية:

  1. إذا كانت 󰎨(󰏡𝜖)>٠، 󰎨(󰏡+𝜖)<٠ (أي إن 󰎨(𞸎) تُغيِّر إشارتها من موجب إلى سالب عندما تمر بالنقطة 𞸎=󰏡)، فإن 𞸎=󰏡 قيمة عظمى محلية؛
  2. وإذا كانت 󰎨(󰏡𝜖)<٠، 󰎨(󰏡+𝜖)>٠ (أي إن 󰎨(𞸎) تُغيِّر إشارتها من سالب إلى موجب عندما تمر بالنقطة 𞸎=󰏡)، فإن 𞸎=󰏡 قيمة صغرى محلية؛
  3. وإذا كانت 󰎨(󰏡𝜖)>٠، 󰎨(󰏡+𝜖)>٠ أو 󰎨(󰏡𝜖)<٠، 󰎨(󰏡+𝜖)<٠ (أي إن 󰎨(𞸎) لا تُغيِّر إشارتها عندما تمر بالنقطة 𞸎=󰏡)، فإن 𞸎=󰏡 نقطة انقلاب.

وهذه إحدى نتائج نظرية القيمة المتوسطة.

عند التعامل مع قيم عظمى وصغرى محلية، فإن النقاط التي تُغيِّر عندها المشتقة إشارتها تُسمَّى نقاط التحوُّل؛ ومع ذلك، لا تُعَدُّ كل النقاط الحرجة نقاط تحوُّل.

وإذا كانت الدالة معرَّفة على فترة ما [𞸋،𞸔]، وكانت 𞸎=󰏡 هي النقطة الحرجة الوحيدة في هذه الفترة، فعلينا التحقُّق من إشارة المشتقة الأولى في فترتَي إحداثيَّي 𞸎، [𞸋،󰏡[، ]󰏡،𞸔]، لمعرفة إذا ما كانت الإشارة قد تغيَّرت. وإذا كان هناك عدد 𞸍 من النقاط الحرجة 𞸎=󰏡،󰏡،،󰏡١٢𞸍 داخل هذه الفترة؛ حيث 󰏡<󰏡<<󰏡١٢𞸍، فعلينا التحقُّق من إشارة المشتقة الأولى في الفترات: 󰁖𞸋،󰏡󰁖،󰁕󰏡،󰏡󰁖،󰁕󰏡،󰏡󰁖،،󰁕󰏡،󰏡󰁖،󰁕󰏡،𞸔󰁕.١١٢٢٣𞸍١𞸍𞸍

إذا كانت الدالة معرَّفة ضمن مجموعة الأعداد الحقيقية كلها 𞹇، وكانت 𞸎=󰏡 هي النقطة الحرجة الوحيدة، فعلينا التحقُّق من إشارة المشتقة التي لها قيمة ما في الفترتين ]،󰏡[، ]󰏡،[. وبالمثل، إذا كان هناك عدد 𞸍 من النقاط الحرجة لهذه الدالة، فعلينا التحقُّق من إشارة المشتقة الأولى في الفترات: 󰁕،󰏡󰁖،󰁕󰏡،󰏡󰁖،󰁕󰏡،󰏡󰁖،،󰁕󰏡،󰏡󰁖،󰁕󰏡،󰁖.١١٢٢٣𞸍١𞸍𞸍

في الواقع، يكفي التحقُّق من قيمة اختبار معيَّنة من هذه الفترات لتحديد إشارة المشتقة الأولى. وهذا يشير إلى إذا ما كانت لدينا نقطة قيمة عظمى محلية أو قيمة صغرى محلية أو نقطة انقلاب.

انظر الدالة 󰎨(𞸎)=𞸎+٣٢𞸎٦𞸎+١٣٢. يمكننا إيجاد النقاط الحرجة من خلال مساواة المشتقة الأولى بصفر: 󰎨(𞸎)=٣𞸎+٣𞸎٦=٠.٢

من ثَمَّ، علينا حل هذه المعادلة التربيعية لتحديد النقاط الحرجة: ٣𞸎+٣𞸎٦=٠٣󰁓𞸎+𞸎٢󰁒=٠٣(𞸎١)(𞸎+٢)=٠.٢٢

ولذلك، نحصل على نقطتين حرجتين عند 𞸎=١، 𞸎=٢. ويمكننا أيضًا إيجاد قيمتَي الدالة عند إحداثيَّي 𞸎 هذين، لنحصل على: 󰎨(١)=(١)+٣٢(١)٦(١)+١=٥٢،󰎨(٢)=(٢)+٣٢(٢)٦(٢)+١=١١.٣٢٣٢

وبذلك، تُوجَد نقطتان حرجتان عند (٢،١١)، 󰂔١،٥٢󰂓.

ولتطبيق اختبار المشتقة الأولى، علينا التحقُّق من إشارة المشتقة الأولى عند قيم الاختبار لـ 𞸎 الواقعة في الفترات ]،٢[، ]٢،١[، ]١،[، والتي يمكننا اختيارها؛ حيث 𞸎=٣،٠، ٢ على الترتيب. وإذا أوجدنا قيم المشتقة الأولى عند هذه النقاط، فسنحصل على: 󰎨(٣)=٣(٣)+٣(٣)٦=٢١>٠،󰎨(٠)=٣(٠)+٣(٠)٦=٦<٠،󰎨(٢)=٣(٢)+٣(٢)٦=٢١>٠.٢٢٢

يمكننا تلخيص ذلك في جدول لتوضيح إشارة المشتقة الأولى التي تمر بالنقاط الحرجة:

𞸎٣٢٠١٢
󰎨(𞸎)> ٠٠< ٠٠> ٠

يمكننا ملاحظة أن إشارة المشتقة الأولى تتغيَّر من موجب إلى سالب عندما تمر بالنقطة 𞸎=٢، أما إشارة المشتقة الأولى فتتغيَّر من سالب إلى موجب عندما تمر بالنقطة 𞸎=١.

وبناءً على ذلك، نحصل على قيمة عظمى محلية عند (٢،١١)، وقيمة صغرى محلية عند 󰂔١،٥٢󰂓. ولا تُوجَد نقاط حرجة تكون نقاطَ انقلاب للدالة.

نفترض أن لدينا الدالة نفسها، لكنها معرَّفة في الفترة [٠،٥]؛ سنتبع الخطوات نفسها لتحديد القيمة الحرجة، لكننا نتجاهل أيَّ قيمة تقع خارج هذه الفترة. بالنسبة إلى هذه الدالة، سنهتم بالقيمة الحرجة فقط عند 𞸎=١، التي تقع داخل هذه الفترة، وبالنسبة إلى اختبار المشتقة الأولى، علينا فقط التحقُّق من إشارة المشتقة الأولى عند قيم الاختبار 𞸎 التي تقع في الفترتين [٠،١[، ]١،٥]. وهذا يعطينا الناتج نفسه كما في حالة قيم الاختبار التي اخترناها للدالة المعرَّفة ضمن مجموعة الأعداد الحقيقية 𞹇، 𞸎=٠، 𞸎=٢، التي تقع بالفعل داخل هاتين الفترتين.

نتناول الآن بعض الأمثلة للتدريب ولتعميق الفهم. في المثال الأول، علينا فقط تحديد القيم الحرجة لدالة معرَّفة خلال فترة ما، وليس تصنيفها.

مثال ١: إيجاد النقطة الحرجة لدالة تكعيبية في فترة معطاة

أوجد النقاط الحرجة للدالة 𞸑=٨𞸎٣ في الفترة [٢،١].

الحل

في هذا المثال، علينا إيجاد النقاط الحرجة (𞸎،𞸑) لدالة تكعيبية كثيرة حدود معرَّفة على فترة محدَّدة.

بما أن الدوال الكثيرات الحدود متصلة وقابلة للاشتقاق على مجالها بالكامل، إذن علينا فقط إيجاد قيم 𞸎؛ بحيث تكون المشتقة الأولى لـ 𞸑 تُساوي صفرًا لتحديد النقاط الحرجة: 𞸑𞸎=٤٢𞸎=٠𞸎=٠.٢

إذن 𞸎=٠ نقطة حرجة؛ لأنها تقع داخل الفترة [٢،١]. ويمكننا إيجاد قيمة 𞸑 عن طريق التعويض بقيمة 𞸎 هذه في الدالة، لنحصل على: 𞸑=٨(٠)=٠.٣

إذن تقع النقطة الحرجة عند (٠،٠).

في المثال التالي، يتعين علينا إيجاد النقاط الحرجة وتصنيفها إلى قيم صغرى محلية أو قيم عظمى محلية، باستخدام اختبار المشتقة الأولى، لدالة كثيرة حدود معرَّفة ضمن مجموعة الأعداد الحقيقية كلها 𞹇.

مثال ٢: إيجاد القيم العظمى والصغرى المحلية لدالة كثيرة الحدود وقيم س التي تحدث عندها هذه القيم

أوجد القيم العظمى والصغرى المحلية للدالة 󰎨(𞸎)=٢𞸎٩𞸎٢١𞸎٥١٣٢، مع ذكر موضع حدوثها.

الحل

في هذا المثال، علينا إيجاد النقاط الحرجة (𞸎،󰎨(𞸎)) لدالة كثيرة حدود تكعيبية معرَّفة على خط الأعداد الحقيقية كله. وعلى وجه التحديد، علينا إيجاد النقاط التي تناظر القيم العظمى والصغرى المحلية. وبما أن الدوال الكثيرات الحدود متصلة وقابلة للاشتقاق على مجالها بالكامل، إذن لا يهم أن تكون المشتقة غير معرَّفة. نبدأ أولًا بإيجاد مشتقة الدالة 󰎨(𞸎) ونساويها بصفر: 󰎨(𞸎)=٦𞸎٨١𞸎٢١=٠.٢

من ثَمَّ، لتحديد النقاط الحرجة، علينا حل هذه المعادلة التربيعية: ٦𞸎٨١𞸎٢١=٠٦󰁓𞸎+٣𞸎+٢󰁒=٠٦(𞸎+٢)(𞸎+١)=٠.٢٢

إذن تحدث النقاط الحرجة عند 𞸎=١، وعند 𞸎=٢. يمكننا التعويض بقيم 𞸎 هذه مرةً أخرى في الدالة لإيجاد: 󰎨(١)=٢(١)٩(١)٢١(١)٥١=٠١،󰎨(٢)=٢(٢)٩(٢)٢١(٢)٥١=١١.٣٢٣٢

وهكذا، تقع نقطتان حرجتان عند (١،٠١)، (٢،١١).

لتصنيف هاتين النقطتين إلى نقاط قيم عظمى أو صغرى محلية، يمكننا استخدام اختبار المشتقة الأولى والتحقُّق من إشارة المشتقة الأولى في الفترات التي تقع فيها قيم 𞸎، وهي ]،٢[، ]٢،١[، ]١،[. يمكننا اختيار قيم الاختبار التي تقع في هذه الفترات على هذا النحو 𞸎=٣،٥٫١، ٠ على الترتيب. وتكون قيم المشتقة الأولى المحدَّدة عند هذه النقاط هي: 󰎨(٣)=٦(٣)٨١(٣)٢١=٢١<٠،󰎨(٥٫١)=٦(٥٫١)٨١(٥٫١)٢١=٥٫١>٠،󰎨(٠)=٦(٠)٨١(٠)٢١=٢١<٠.٢٢٢

يمكننا تلخيص ذلك في جدول لتوضيح إشارة المشتقة الأولى أثناء مرورها بالنقاط الحرجة:

𞸎٣٢٥٫١١٠
󰎨(𞸎)< ٠٠> ٠٠< ٠

يمكننا ملاحظة أن إشارة المشتقة الأولى تتغيَّر من سالب (<٠) إلى موجب (>٠) عندما تمر بالنقطة 𞸎=٢؛ ما يعني أن النقطة الحرجة عند (٢،١١) هي نقطة قيمة صغرى محلية بعد إجراء اختبار المشتقة الأولى. تتغيَّر المشتقة الأولى أيضًا من موجب إلى سالب عندما تمر بالنقطة 𞸎=١؛ ما يعني أن النقطة الحرجة عند (١،٠١) هي نقطة قيمة عظمى محلية.

ونلاحظ أنه كان بإمكاننا أيضًا التوصُّل إلى هذا الاستنتاج مباشرةً من الدالة التي أوجدنا قيمتها عند هاتين النقطتين أو إحداثيات 𞸑؛ لأن الدالة الكثيرة الحدود متصلة، ولأن هاتين النقطتين هما النقطتان الحرجتان الوحيدتان.

من ثَمَّ، يجب أن تكون إحداهما قيمة عظمى والأخرى قيمة صغرى؛ حيث يمكننا فقط المقارنة بين قيم الدالة التي أوجدناها عند هاتين النقطتين، 󰎨(٢)<󰎨(١)؛ ما يعني أن (٢،١١) قيمة صغرى، وأن (١،٠١) قيمة عظمى.

إذن القيمة العظمى المحلية تساوي ٠١ عند 𞸎=١، والقيمة الصغرى المحلية تساوي ١١ عند 𞸎=٢.

هذا المثال مشابه للمثال السابق، لكن بدلًا من إيجاد القيم الحرجة، لدينا قيمة معطاة وعلينا تحديد المعاملات المجهولة التي تظهر في كثيرة الحدود.

مثال ٣: إيجاد المعاملات المجهولة في الدالة التربيعية بمعلومية القيمة الصغرى للدالة

إذا كانت الدالة 󰎨(𞸎)=𞸎+𞸋𞸎+𞸌٢ لها قيمة صغرى تساوي ٢ عند 𞸎=١، فأوجد قيمة كلٍّ من 𞸋، 𞸌.

الحل

في هذا المثال، علينا استخدام ما نعرفه عن قيمة النقطة الحرجة؛ لا سيما القيمة الصغرى المحلية، لتحديد المعاملات المجهولة في المعادلة التربيعية.

بما أن 𞸋، 𞸌 عددان ثابتان، إذن يمكننا تطبيق القواعد المعتادة لاشتقاق الحدود الأسية وحساب المشتقة الأولى للدالة؛ حيث: 󰎨(𞸎)=٢𞸎+𞸋.

وبما أن 𞸎=١ قيمة حرجة، إذن يجب أن تختفي المشتقة الأولى عند هذه النقطة. وهذا يساعدنا على تحديد المعامل 𞸋: 󰎨(١)=٢(١)+𞸋=٠𞸋=٢.

ونعلم من السؤال أن القيمة الصغرى لـ ٢ تحدث عند 𞸎=١؛ لذا، يمكننا استخدام 󰎨(١)=٢ في تحديد المعامل 𞸌: 󰎨(١)=(١)+٢(١)+𞸌=٢𞸌=٣.٢

ولإكمال الحل، يمكننا أيضًا استخدام اختبار المشتقة الأولى للتحقُّق ممَّا إذا كانت هذه النقطة بالفعل نقطة قيمة صغرى محلية. نختار قيمة اختبار 𞸎=٢ من الفترة ]،١[، وقيمة اختبار 𞸎=٠ من الفترة ]١،[. عند هذه النقاط: 󰎨(٢)=٢(٢)+٢=٢<٠،󰎨(٠)=٢(٠)+٢=٢>٠.

𞸎٢١٠
󰎨(𞸎)< ٠٠> ٠

يمكننا ملاحظة أن إشارة المشتقة الأولى تتغيَّر من سالب إلى موجب عندما تمر بالنقطة 𞸎=١؛ ومن ثَمَّ، تكون هذه النقطة بالفعل نقطة قيمة صغرى محلية.

في الواقع، تكون للمنحنى التربيعي نقطة توقُّف واحدة فقط، تتحدَّد طبيعتها بإشارة المعامل الرئيسي (الحد 𞸎٢) للدالة. تكون نقطة التوقُّف هي نقطة قيمة صغرى إذا كان المعامل الرئيسي موجبًا، وقيمة عظمى إذا كان المعامل الرئيسي سالبًا؛ وذلك بسبب شكل المنحنى.

في هذه الحالة، يكون للدالة 󰎨(𞸎) معامل رئيسي موجب؛ ومن ثَمَّ، يمكننا التأكُّد من وجود قيمة صغرى محلية لها، حتى بدون اختبار المشتقة الأولى.

للتلخيص، تكون القيمتان 𞸋، 𞸌 كالآتي: 𞸋=٢،𞸌=٣.

في المثال التالي، نرى كيف نُوجِد قيمة عظمى محلية لدالة باستخدام قاعدة حاصل الضرب باستخدام دوال أسية.

مثال ٤: إيجاد القيمة العظمى المحلية لدالة تتضمَّن استخدام قاعدة حاصل الضرب باستخدام الدوال الأسية

حدِّد متى تكون للدالة 󰎨(𞸎)=٣𞸎𞸤٢𞸎 قيمة عظمى محلية، وأوجد القيمة حينئذٍ.

الحل

في هذا المثال، علينا إيجاد القيمة العظمى المحلية لدالة تتضمَّن حاصل ضرب دالة أسية في دالة تربيعية.

نبدأ بإيجاد المشتقة الأولى. تذكَّر أن قاعدة حاصل الضرب لدالتين قابلتين للاشتقاق 𞸏، 𞸒 تُعطَى من: (𞸏𞸒)=𞸏𞸒+𞸏𞸒.

وبما أن 𞸏=٣𞸎٢، 𞸒=𞸤𞸎، إذن نجد أن 𞸏=٦𞸎، 𞸒=𞸤𞸎؛ ومن ثَمَّ، فإن: 󰎨(𞸎)=󰁓٣𞸎󰁒󰁓𞸤󰁒+(٦𞸎)󰁓𞸤󰁒=٣𞸎𞸤(٢𞸎).٢𞸎𞸎𞸎

هذه المشتقة معرَّفة دائمًا لـ 𞸎𞹇؛ ومن ثَمَّ، علينا فقط الاهتمام بالنقاط الحرجة عند 󰎨(𞸎)=٠، وعلينا حل المعادلة: ٣𞸎𞸤(٢𞸎)=٠.𞸎

وبما أن 𞸤𞸎 لا يمكن أن يساوي صفرًا، إذن يمكننا ضرب هذا المقدار في 𞸤𞸎 لإيجاد: ٣𞸎(٢𞸎)=٠.

من ثَمَّ، يمكن إيجاد حلول لـ 󰎨(𞸎)=٠ عند 𞸎=٠، وعند 𞸎=٢، وهي القيم التي تحدث عندها النقاط الحرجة. يمكننا إيجاد قيمة الدالة عند إحداثيات 𞸎 هذه، لنحصل على: 󰎨(٠)=٣(٠)𞸤=٠،󰎨(٢)=٣(٢)𞸤=٢١𞸤.٢(٠)٢٢٢

لذا، تقع النقاط الحرجة عند (٠،٠)، 󰁓٢،٢١𞸤󰁒٢. ويمكننا تصنيف هذه النقاط باستخدام اختبار المشتقة الأولى عن طريق التحقُّق من إشاراتَي المشتقة الأولى عند قيم الاختبار التي تقع في الفترات ]،٠[، ]٠،٢[، ]٢،[، والتي يمكننا اختيارها؛ حيث 𞸎=١،١، ٣ على الترتيب.

بحساب قيمة المشتقة الأولى عند هذه النقاط: 󰎨(١)=٣(١)𞸤(٢+١)=٩𞸤<٠،󰎨(١)=٣(١)𞸤(٢١)=٣𞸤>٠،󰎨(٣)=٣(٣)𞸤(٢٣)=٩𞸤<٠.١١٣٣

يمكننا تلخيص ذلك في جدول لتوضيح إشارة المشتقة الأولى التي تمر بالنقاط الحرجة:

𞸎١٠١٢٣
󰎨(𞸎)< ٠٠> ٠٠< ٠

يمكننا ملاحظة أن إشارة المشتقة الأولى تتغيَّر من سالب إلى موجب عندما تمر بالنقطة 𞸎=٠، فتكون النقطة الحرجة عند (٠،٠) قيمة صغرى محلية عند اختبار المشتقة الأولى. تتغيَّر المشتقة الأولى أيضًا من موجب إلى سالب عندما تمر بالنقطة 𞸎=٢، فتكون النقطة الحرجة عند 󰁓٢،٢١𞸤󰁒٢ قيمة عظمى محلية.

ونلاحظ أنه كان بإمكاننا أيضًا التوصُّل إلى هذا الاستنتاج مباشرةً من الدالة التي أوجدنا قيمتها عند هاتين النقطتين أو إحداثيات 𞸑؛ نظرًا لأن الدالة متصلة، وهاتين النقطتين هما النقطتان الحرجتان الوحيدتان.

من ثَمَّ، يجب أن تساوي إحداهما قيمة عظمى والأخرى قيمة صغرى؛ ويمكننا فقط المقارنة بين قيم الدالة التي أوجدناها عند هاتين النقطتين، 󰎨(٠)<󰎨(٢)؛ ما يعني أن (٠،٠) قيمة صغرى، وأن 󰁓٢،٢١𞸤󰁒٢ قيمة عظمى.

وبناءً على ذلك، يمكننا معرفة موضع القيمة العظمى المحلية وموقعها من: 𞸎=٢،󰎨=٢١𞸤.٢

في المثال الأخير، نتعلَّم كيف نُحدِّد أيَّ نقاط حرجة لدالة تتضمَّن دالة لوغاريتمية، ونصنِّفها باستخدام اختبار المشتقة الأولى.

مثال ٥: إيجاد القيم العظمى والصغرى المحلية للدالة التي تتضمَّن دالة لوغاريتمية، إن وجدت

أوجد القيم العظمى المحلية والقيم الصغرى المحلية، إن وجدت، للدالة 󰎨(𞸎)=٣𞸎٢𞸎٤𞸎٢𞸤.

الحل

في هذا المثال، علينا إيجاد جميع القيم العظمى والصغرى المحلية لدالة تتضمَّن مجموع دالة لوغاريتمية ودالة تربيعية. وبما أن الدالة اللوغاريتمية تكون معرَّفة فقط للقيم الموجبة، إذن مجال الدالة يكون 𞸎>٠.

نبدأ بإيجاد المشتقة الأولى للدالة باستخدام الآتي: 󰁓𞸎󰁒=١𞸎𞸤: 󰎨(𞸎)=٦𞸎٢٤𞸎=٦𞸎٢𞸎٤𞸎=٢(٣𞸎+٢)(𞸎١)𞸎.٢

من الواضح أن هذه المشتقة غير معرَّفة عند 𞸎=٠، وتساوي صفرًا عند 𞸎=٢٣، وعند 𞸎=١. مع ذلك، بما أن مجال 󰎨(𞸎) يتمثَّل في قيم 𞸎 في الفترة ]٠،[ (أي 𞸎>٠)، إذن علينا فقط الاهتمام بالنقطة 𞸎=١. وتكون قيمة الدالة عند هذه النقطة هي: 󰎨(١)=٣(١)٢(١)٤١=١.٢𞸤

من ثَمَّ، تقع النقطة الحرجة عند (١،١)، ولتصنيف ذلك، نستخدم اختبار المشتقة الأولى. علينا التحقُّق من إشارة المشتقة الأولى عند قيم الاختبار الواقعة في الفترات عندما تكون 𞸎>٠: ]٠،١[، ]١،[؛ حيث 𞸎=٥٫٠، ٢ على الترتيب. يمكننا إيجاد قيمة المشتقة الأولى عند هذه النقاط، لنحصل على: 󰎨(٥٫٠)=٦(٥٫٠)٢٤٥٫٠=٧<٠،󰎨(٢)=٦(٢)٢٤٢=٨>٠.

𞸎٠٫٥١٢
󰎨(𞸎)< ٠٠> ٠

يمكننا ملاحظة أن إشارة المشتقة الأولى تتغيَّر من سالب إلى موجب عندما تمر بالنقطة 𞸎=١.

إذن القيمة الصغرى المحلية تساوي واحدًا عند 𞸎=١.

بعد تحديد النقاط الحرجة للدالة، يمكن أيضًا استخدام اختبار المشتقة الثانية لتحديد إذا ما كانت لدينا قيمة عظمى محلية أو قيمة صغرى محلية. وعلى وجه التحديد، إذا كانت 𞸎=𞸢 هي النقطة الحرجة (أي 󰎨(𞸢)=٠ أو غير معرَّفة)، فما يلي يكون صحيحًا:

  • إذا كانت 󰎨(𞸢)<٠، فإن 󰎨(𞸎) لها قيمة عظمى محلية عند 𞸎=𞸢؛
  • وإذا كانت 󰎨(𞸢)>٠، فإن 󰎨(𞸎) لها قيمة صغرى محلية عند 𞸎=𞸢؛
  • وإذا كانت 󰎨(𞸢)=٠، فإن 󰎨(𞸎) قد يكون لها نقطة انقلاب عند 𞸎=𞸢 (لكن هذا ينبغي تحديده).

تقع نقاط الانقلاب حيث تُغيِّر الدالة تقعُّرها. يناظر التقعُّر لأعلى مشتقة ثانية موجبة، ويناظر التقعُّر لأسفل مشتقة ثانية سالبة. وبما أن الدالة تتغيَّر من التقعُّر لأعلى إلى التقعُّر لأسفل (أو العكس)، إذن المشتقة الثانية لا بد أن تساوي صفرًا عند هذه النقطة. وهكذا، لتحديد إذا ما كانت نقطة الانقلاب تحدث عند 󰎨(𞸢)=٠، ننظر إلى التقعُّر على جانبَي النقطة 𞸎=𞸢.

ولكن هذا خارج نطاق هذا الشارح، وسنتناوله في مكان آخر بمزيد من التفصيل.

النقاط الرئيسية

  • عند النقاط الحرجة لدالة 󰎨(𞸎)، تكون 󰎨(𞸎)=٠ أو غير معرَّفة. علينا أيضًا التحقُّق من أن هذه القيم تقع في مجال الدالة.
  • تُصنَّف النقطة الحرجة إلى نقطة قيمة عظمى محلية، أو نقطة قيمة صغرى محلية، أو نقطة انقلاب.
  • يمكن استخدام اختبار المشتقة الأولى في تصنيف النقاط الحرجة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.