فيديو الدرس: النقاط الحرجة ونقاط القيم القصوى المحلية للدالة الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم المقصود بالنقاط الحرجة لدالة. وسوف نتعرف على أنواع النقاط الحرجة الموجودة وكيفية إيجاد النقاط الحرجة لدالة باستخدام الاشتقاق. كما سنرى كيفية تطبيق اختبار المشتقة الأولى لتصنيف النقاط الحرجة.

أولًا، ما النقاط الحرجة؟ تعرف أحيانًا بنقاط التوقف أو نقاط التحول. وهي من السمات المهمة حقًا في التمثيل البياني للدالة. وهي النقاط التي يكون عندها ميل المنحنى، أي ﺩﺹ على ﺩﺱ، مساويًا للصفر أو غير معرف. إذا كانت الدالة معرفة بـ ﺹ يساوي ﺩ في المتغير ﺱ، فإن نقاطها الحرجة تكون عند ﺩ شرطة ﺱ تساوي صفرًا.

ثمة ثلاثة أنواع للنقاط الحرجة علينا أن نعرفها. النوع الأول هو نقاط القيم العظمى المحلية، وهي نقاط تكون الدالة عندها لها أعلى قيمة في منطقة جوار حول تلك النقطة. ويمكن تمييز ذلك بأن ميل المنحنى يكون موجبًا على يسار نقطة القيمة العظمى. وهذا عندما تكون قيم ﺱ أقل من قيمة ﺱ لنقطة القيمة العظمى. ويكون الميل سالبًا على يمين نقطة القيمة العظمى. وهذا عندما تكون قيم ﺱ أكبر من قيمة ﺱ لنقطة القيمة العظمى. مثال ذلك المنحنى ﺹ يساوي سالب ثلاثة ﺱ تربيع.

النوع الثاني من النقاط الحرجة الذي علينا أن نعرفه هو نقاط القيم الصغرى المحلية، وهي نقاط تكون عندها الدالة لها أقل قيمة مما هي عليه في منطقة جوارها. تتسم هذه النقاط بأن الميل يكون سالبًا على اليسار وموجبًا على اليمين، مثل نقطة التحويل على المنحنى ﺹ يساوي ﺱ تربيع.

النوع الأخير من النقاط الحرجة هي نقاط الانقلاب. وهي تتسم بأن إشارة الميل تكون هي نفسها على أي من جانبي النقطة الحرجة. ومن ثم، قد تكون موجبة على كلا الجانبين، مثلما في المنحنى ﺹ يساوي ﺱ تكعيب. أو قد تكون سالبة على كلا الجانبين، مثل منحنى ﺹ يساوي سالب ﺱ تكعيب.

تذكر أنه عند كل نقطة تحول، سيكون الميل ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي صفرًا. ومن ثم، فإنه لإيجاد نقطة حرجة، علينا أولًا إيجاد دالة الميل للمنحنى ﺩﺹ على ﺩﺱ. وبعد ذلك، يمكننا مساواة ﺩﺹ على ﺩﺱ بالصفر ثم نحل المعادلة الناتجة لإيجاد الإحداثي ﺱ للنقطة الحرجة.

وعادة، يطلب منا أيضًا إيجاد الإحداثي ﺹ عند النقطة الحرجة أو قيمة الدالة، وهو ما يمكننا إيجاده بالتعويض بقيمة أو قيم ﺱ في معادلة المنحنى. وسنرى عدة أمثلة على ذلك. كما سنناقش طريقة لتحديد نوع النقطة الحرجة التي لدينا.

أوجد النقاط الحرجة للدالة ﺹ يساوي سالب ثمانية ﺱ تكعيب في الفترة سالب اثنين، واحد.

أولًا، نتذكر أنه عند النقاط الحرجة للدالة، يكون الميل ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي صفرًا. إذن، علينا إيجاد دالة الميل لهذا المنحنى. يمكننا تطبيق قاعدة القوى للاشتقاق. ونستنتج منها أن ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي سالب ثمانية مضروبًا في ثلاثة مضروبًا في ﺱ تربيع، وهو ما يبسط إلى سالب ٢٤ﺱ تربيع.

بعد ذلك، نجعل مقدار ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي صفرًا، وهو ما يعطينا المعادلة سالب ٢٤ﺱ تربيع يساوي صفرًا. علينا الآن أن نحل لإيجاد قيمة ﺱ. كما نرى، سالب ٢٤ لا يساوي صفرًا؛ ومن ثم لا بد أن يكون ﺱ تربيع يساوي صفرًا. وإذا كان ﺱ تربيع يساوي صفرًا، فإن ﺱ نفسه لا بد أن يساوي صفرًا. وهكذا نكون قد وجدنا قيمة ﺱ عند النقطة الحرجة.

المطلوب في هذا السؤال هو تحديد النقاط الحرجة في فترة محددة فقط، وهي الفترة من سالب اثنين إلى واحد. وتقع قيمة ﺱ التي وجدناها ضمن هذه الفترة. وفي الواقع، هي النقطة الحرجة الوحيدة لهذه الدالة.

بعد ذلك، علينا إيجاد قيمة ﺹ عند هذه النقطة الحرجة، وهو ما يمكننا فعله بالتعويض بقيمة ﺱ في معادلة الدالة. كانت الدالة عبارة عن ﺹ يساوي سالب ثمانية ﺱ تكعيب. إذن، لدينا ﺹ يساوي سالب ثمانية مضروبًا في صفر تكعيب، وهو ما يساوي صفرًا فحسب. إذن، إحداثيات النقطة الحرجة الوحيدة في هذه الفترة، وفي الواقع، النقطة الحرجة الوحيدة للدالة بأكملها، هي صفر، صفر. وهذا ما نلاحظه أيضًا إذا رسمنا منحنى ﺹ يساوي سالب ثمانية ﺱ تكعيب.

إذن، هذا هو التمثيل البياني لـ ﺹ يساوي ﺱ تكعيب، وهو ما يجب أن نكون على دراية به. وله نقطة حرجة. وهي في الحقيقة نقطة انقلاب عند نقطة الأصل. الضرب في ثمانية سيتسبب في حدوث تمدد بمعامل القياس ثمانية في الاتجاه الرأسي. ولكن ذلك لا يؤثر على النقطة الحرجة. سنضرب بعد ذلك في سالب واحد وهو ما سيتسبب في حدوث انعكاس في المحور ﺱ. إذن، لدينا باللون الأخضر التمثيل البياني للدالة ﺹ يساوي سالب ثمانية ﺱ تكعيب. وكما نرى، فإن الدالة لها نقطة حرجة، أو نقطة انقلاب عند نقطة الأصل.

ومن ثم، بإيجاد دالة الميل ﺩﺹ على ﺩﺱ أولًا، ثم مساواتها بالصفر وحل المعادلة الناتجة، وجدنا قيمة الإحداثي ﺱ للنقطة الحرجة. ثم نعوض بها في معادلة الدالة الأصلية لإيجاد قيمة الإحداثي ﺹ المناظر، وهو ما يعطينا النقطة الحرجة صفر، صفر. في المثال التالي، سنتعلم كيفية تحديد نوع النقطة الحرجة دون الحاجة إلى رسم تمثيل بياني.

أوجد القيم العظمى والصغرى المحلية للدالة ﺩ(ﺱ) تساوي سالب اثنين ﺱ تكعيب ناقص تسعة ﺱ تربيع ناقص ١٢ﺱ ناقص ١٥، إن وجدت، مع ذكر موضع حدوثها.

في هذا السؤال، المطلوب هو إيجاد القيم العظمى والصغرى المحلية. أي قيم الدالة نفسها. والجزء «مع ذكر موضع حدوثها» يعني أن علينا أيضًا إيجاد قيم ﺱ المناظرة. أولًا، نتذكر أنه عند النقاط الحرجة لدالة يكون الميل، أي ﺩ شرطة ﺱ، يساوي صفرًا. نبدأ إذن باشتقاق الدالة ﺩ(ﺱ)، وهو ما يمكننا فعله باستخدام قاعدة القوى، ليصبح لدينا سالب ستة ﺱ تربيع ناقص سالب ١٨ﺱ ناقص ١٢. عند النقاط الحرجة، ﺩ شرطة ﺱ تساوي صفرًا. ولذا، نساوي تعبير الدالة ﺩ شرطة ﺱ بالصفر.

والآن، سنحل المعادلة الناتجة لإيجاد قيم ﺱ. يمكننا أن نأخذ سالب ستة عاملًا مشتركًا من هذه المعادلة، وهو ما يعطينا سالب ستة مضروبًا في ﺱ تربيع زائد ثلاثة ﺱ زائد اثنين يساوي صفرًا. ونرى أنه داخل الأقواس، لدينا مقدار تربيعي لـ ﺱ يمكن تحليله. وهو ما يساوي ﺱ زائد اثنين مضروبًا في ﺱ زائد واحد. نلاحظ أيضًا عند هذه المرحلة أن سالب ستة لا يساوي صفرًا. إذن، يمكننا حذفها من المعادلة عند هذه المرحلة.

والآن، نساوي كل عامل على حدة بالصفر، وهو ما يعطينا ﺱ زائد اثنين يساوي صفرًا أو ﺱ زائد واحد يساوي صفرًا. يمكن حل المعادلتين بطريقة مباشرة نسبيًا ليصبح لدينا قيمتا الإحداثي ﺱ للنقطتين الحرجتين لهذه الدالة. وهما ﺱ يساوي سالب اثنين أو ﺱ يساوي سالب واحد.

نعرف الآن قيمتي ﺱ عند النقطتين الحرجتين. ولكن، علينا أن نعرف أيضًا قيم الدالة نفسها. ولذا، علينا إيجاد قيمة الدالة ﺩ(ﺱ) عند كل قيمة حرجة. إذا كان ﺱ يساوي سالب اثنين، فإن ﺩ لسالب اثنين يساوي سالب اثنين مضروبًا في سالب اثنين تكعيب ناقص تسعة مضروبًا في سالب اثنين تربيع ناقص ١٢ مضروبًا في سالب اثنين ناقص ١٥، وهو ما يساوي سالب ١١. يمكن حساب قيمة ﺩ لسالب واحد بنفس الطريقة ليعطينا سالب ١٠.

حددنا الآن أن النقطتين الحرجتين لهذه الدالة هما النقطة سالب اثنين، سالب ١١، والنقطة سالب واحد، سالب ١٠. ولكن كيف نحدد ما إذا كانت النقطتان هما نقاط قيم عظمى أو صغرى محلية أم نقاط انقلاب؟ حسنًا، سنستخدم ما يسمى باختبار المشتقة الأولى. سنفكر في إشارة المشتقة على كلا جانبي النقطة الحرجة، وهو ما سنعرف منه ميل الدالة على كلا جانبي النقطة الحرجة. بالتفكير في هذا، سنتمكن من تحديد شكل التمثيل البياني للدالة بالقرب من كل نقطة حرجة.

هذا ما سنفعله. سنوجد قيمة المشتقة الأولى، أي ﺩ شرطة ﺱ، على كلا جانبي قيمتي إحداثيي ﺱ للنقطتين الحرجتين، وهما سالب اثنين وسالب واحد. نحاول عادة أن نستخدم فقط أقرب قيم صحيحة. ولكن، في هذه الحالة، سالب اثنين وسالب واحد عددان صحيحان متتاليان. ولذا، فقد اخترنا بدلًا من ذلك قيمة بينهما لتكون الحد الأعلى بالنسبة إلى سالب اثنين، وتكون الحد الأدنى بالنسبة إلى سالب واحد. اخترنا القيمة سالب ١٫٥.

تذكر أن دالة الميل ﺩ شرطة ﺱ هي سالب ستة ﺱ تربيع ناقص ١٨ﺱ ناقص ١٢. ولذا، عند إيجاد قيمتها عند سالب ثلاثة، فسنحصل على القيمة سالب ١٢. ما يعنينا الآن على وجه التحديد ليس القيمة، وإنما إشارتها. إذن، سالب ١٢ قيمة سالبة. سنوجد أيضًا قيمة دالة الميل عند سالب ١٫٥. وهو ما يعطينا ١٫٥، أي قيمة موجبة.

وأخيرًا، علينا إيجاد قيمة دالة الميل هذه عند الصفر. وهو ما يعطينا سالب ١٢، أي قيمة سالبة. كيف سيساعدنا هذا على تحديد ما إذا كانت النقاط الحرجة هي نقاط قيم عظمى أم صغرى؟ حسنًا، نلاحظ أن ميل هذا المنحنى يكون سالبًا عند ﺱ يساوي سالب ثلاثة. ومن ثم، فإنه يساوي صفرًا عند ﺱ يساوي سالب اثنين، ويكون ميل المنحنى موجبًا عند ﺱ يساوي سالب ١٫٥. برسم هذا الشكل، نلاحظ أن النقطة الحرجة عند سالب اثنين لا بد أن تكون نقطة قيمة صغرى محلية.

وبالطريقة نفسها، يكون ميل هذه الدالة موجبًا عند ﺱ يساوي سالب ١٫٥. ويساوي صفرًا عند ﺱ يساوي سالب واحد. ويكون الميل سالبًا عند ﺱ يساوي صفرًا. ومن ثم، نجد أن النقطة الحرجة عند ﺱ يساوي سالب واحد لا بد أن تكون نقطة قيمة عظمى محلية. إذن، في هذه الطريقة، وهي اختبار المشتقة الأولى، ننظر إلى قيمة المشتقة الأولى، أي الميل، على كلا جانبي النقطة الحرجة. وبالنظر إلى إشارة الميل، يمكننا استنتاج شكل المنحنى عند هذه النقطة. نجد إذن أن هذه الدالة، ﺩ(ﺱ)، لها نقطة قيمة صغرى محلية عند سالب اثنين، سالب ١١، ونقطة قيمة عظمى محلية عند سالب واحد، سالب ١٠.

توجد أيضًا طريقة أخرى لتحديد طبيعة النقاط الحرجة، وتسمى اختبار المشتقة الثانية. وهي تقوم على اشتقاق دالة الميل لتعطينا المشتقة الثانية للدالة الأصلية. وبينما توضح المشتقة الأولى كيف تتغير الدالة نفسها، توضح المشتقة الثانية كيف يتغير الميل. ومن ثم بالتفكير في هذا، يمكننا تحديد ما إذا كانت أي نقطة تمثل نقطة قيمة صغرى محلية، أو نقطة قيمة عظمى محلية، أو نقطة انقلاب. ومع ذلك، فهذا خارج نطاق ما نتناوله في هذا الفيديو.

إذا كانت الدالة ﺩ(ﺱ) تساوي ﺱ تربيع زائد ﻝﺱ زائد ﻡ لها قيمة صغرى تساوي اثنين عند ﺱ يساوي سالب واحد، فأوجد قيمة كل من ﻝ وﻡ.

في هذا السؤال، لدينا القيمة الصغرى للدالة. وهي اثنان. ولدينا أيضًا قيمة ﺱ التي يحدث عندها هذا. وهي سالب واحد. علينا استخدام هذه المعطيات لإيجاد المعاملين المجهولين ﻝ وﻡ في تعريف الدالة ﺩ(ﺱ).

نقطة القيمة الصغرى هي إحدى أنواع النقاط الحرجة. ونتذكر أنه عند النقاط الحرجة، ميل الدالة ﺩ شرطة ﺱ يساوي صفرًا. ويمكننا استخدام قاعدة القوى لاشتقاق ﺩ(ﺱ). ونجد أن ﺩ شرطة ﺱ تساوي اثنين ﺱ زائد ﻝ. وبما أن سالب واحد هو قيمة ﺱ عند نقطة حرجة، فإننا نعرف إذن أنه عند التعويض بـ ﺱ يساوي سالب واحد في تعبير الدالة ﺩ(ﺱ)، لا بد أن يكون الناتج صفرًا. يمكننا إذن تكوين معادلة. اثنان مضروبًا في سالب واحد زائد ﻝ يساوي صفرًا. وهو ما يعطينا المعادلة سالب اثنين زائد ﻝ يساوي صفرًا، والتي يمكننا حلها لتعطينا ﻝ يساوي اثنين.

وجدنا إذن قيمة ﻝ. ولكن ماذا عن قيمة ﻡ؟ حسنًا، نعرف أن الدالة لها قيمة صغرى تساوي اثنين عند ﺱ يساوي سالب واحد. ولذا، عند ﺱ يساوي سالب واحد، قيمة الدالة ﺩ(ﺱ) تساوي اثنين. يمكننا إذن التعويض بسالب واحد عن ﺱ، واثنين عن ﻝ، واثنين عن ﺩ(ﺱ) ليصبح لدينا معادلة ثانية. سالب واحد تربيع زائد اثنين مضروبًا في سالب واحد زائد ﻡ يساوي اثنين. نبسط هذا إلى واحد ناقص اثنين زائد ﻡ يساوي اثنين، ومرة أخرى يمكننا حلها لنجد أن ﻡ يساوي ثلاثة.

هكذا نكون قد وجدنا قيمتي ﻝ وﻡ. ‏‏ﻝ يساوي اثنين، وﻡ يساوي ثلاثة. ولكن لنتأكد أولًا من أن هذه النقطة هي بالفعل نقطة قيمة صغرى. يمكننا القيام بذلك باستخدام اختبار المشتقة الأولى. سنحسب قيمة المشتقة الأولى، ﺩ شرطة ﺱ، على كلا جانبي النقطة الحرجة ﺱ حتى نعرف كيف يتغير ميل هذه الدالة حول النقطة الحرجة.

تذكر، عند النقطة الحرجة نفسها، يساوي الميل صفرًا. كانت دالة الميل ﺩ شرطة ﺱ تساوي اثنين ﺱ زائد ﻝ. ولكننا نعرف الآن أن ﻝ يساوي اثنين. إذن، دالة الميل تساوي اثنين ﺱ زائد اثنين. وعند ﺱ يساوي سالب اثنين، سيعطينا هذا سالب اثنين. وعند ﺱ يساوي صفرًا، سيعطينا هذا موجب اثنين.

في الواقع، لا تعنينا القيمة نفسها بل إشارة القيمة. ونلاحظ أن الميل يكون سالبًا على يسار سالب واحد. ثم يكون صفرًا عند سالب واحد نفسها ويكون موجبًا على يمين سالب واحد. وبرسم هذا النمط، نجد أن النقطة الحرجة عند سالب واحد هي بالفعل نقطة قيمة صغرى محلية.

انتهينا من المسألة إذن. ‏‏ﻝ يساوي اثنين، وﻡ يساوي ثلاثة.

في بعض الأحيان، ستكون الدوال التي نشتقها أكثر تعقيدًا من الدوال كثيرات الحدود، كالدوال الأسية أو المثلثية. قد نحتاج أيضًا إلى استخدام إحدى قواعد الاشتقاق، مثل قاعدة مشتقة حاصل الضرب أو قاعدة مشتقة خارج القسمة أو قاعدة السلسلة. سنرى هذا في المثال التالي.

حدد متى يكون للدالة ﺩ(ﺱ) تساوي ثلاثة ﺱ تربيع ﻫ أس سالب ﺱ قيمة عظمى محلية وأوجد القيمة حينئذ.

نتذكر أولًا أن نقطة القيمة العظمى المحلية هي أحد أنواع النقاط الحرجة. وعند النقاط الحرجة، ﺩ شرطة ﺱ تساوي صفرًا. علينا إذن أن نبدأ بإيجاد مشتقة ﺩ(ﺱ). والآن، بالنظر إلى ﺩ(ﺱ)، نلاحظ أنها في الواقع عبارة عن حاصل ضرب. وتساوي دالة هي ثلاثة ﺱ تربيع، مضروبة في دالة أخرى وهي ﻫ أس سالب ﺱ. إذن، لاشتقاق ﺩ(ﺱ)، سنحتاج إلى تطبيق قاعدة حاصل الضرب.

تنص قاعدة حاصل الضرب على أن مشتقة حاصل الضرب ﻉﻕ تساوي ﻉﻕ شرطة زائد ﻉ شرطة ﻕ. يمكننا تعريف ﻉ لتكون الدالة ثلاثة ﺱ تربيع. ويمكننا تعريف ﻕ لتكون الدالة ﻫ أس سالب ﺱ. علينا الآن اشتقاق كل من هاتين الدالتين. يمكننا تطبيق قاعدة القوى لاشتقاق ﻉ. وهو ما يعطينا ستة ﺱ.

ولاشتقاق ﻕ، علينا أن نتذكر قواعد اشتقاق الدوال الأسية. مشتقة ﻫ أس ﻙﺱ بالنسبة إلى ﺱ تساوي ﻙﻫ أس ﻙﺱ. إذن، مشتقة ﻫ أس سالب ﺱ هي سالب ﻫ أس سالب ﺱ. قيمة ﻙ هنا تساوي سالب واحد. بتطبيق قاعدة حاصل الضرب، ﺩ شرطة ﺱ تساوي ﻉﻕ شرطة، وهو ما يساوي ثلاثة ﺱ تربيع مضروبًا في سالب ﻫ أس سالب ﺱ، زائد ﻉ شرطة ﻕ، وهو ما يساوي ستة ﺱ مضروبًا في ﻫ أس سالب ﺱ.

يمكننا أخذ ثلاثة ﺱﻫ أس سالب ﺱ عاملًا مشتركًا، ويصبح لدينا ثلاثة ﺱﻫ أس سالب ﺱ مضروبًا في سالب ﺱ زائد اثنين. والآن، نساوي ﺩ شرطة ﺱ بالصفر، وهو ما يعطينا ثلاثة ﺱﻫ أس سالب ﺱ في سالب ﺱ زائد اثنين يساوي صفرًا. ثلاثة لا يساوي صفرًا، إذن يمكننا حذفها من المعادلة. يمكنك التفكير في هذا على أنه قسمة الطرفين على ثلاثة.

إذن، نجد أن إما ﺱ يساوي صفرًا أو ﻫ أس سالب ﺱ يساوي صفرًا أو سالب ﺱ زائد اثنين يساوي صفرًا. المعادلتان الأولى والأخيرة تعطيان حلولًا مباشرة لقيمة ﺱ. ولكن ماذا عن المعادلة في الوسط؟ حسنًا، في الواقع، لا يوجد حل لهذه المعادلة. إذا فكرت في التمثيل البياني لـ ﻫ أس سالب ﺱ، فإن المحور ﺱ عبارة عن خط تقارب. لا توجد قيمة لـ ﺱ تجعل ﻫ أس سالب ﺱ يساوي صفرًا. إذن، القيمتان الوحيدتان لـ ﺱ هما صفر واثنان. بعد ذلك، نوجد قيمة ﺩ(ﺱ) عند كل من هاتين النقطتين، وهو ما يعطينا صفرًا و١٢ على ﻫ تربيع.

وأخيرًا، علينا أن نتأكد أي من هاتين النقطتين هي نقطة قيمة عظمى محلية. ويمكننا فعل ذلك بتطبيق اختبار المشتقة الأولى. نحسب قيمة ﺩ شرطة ﺱ عند قيم صحيحة على قيمتي إحداثيي ﺱ للنقطتين الحرجتين صفر واثنين. والمهم هو ملاحظة إشارة هاتين القيمتين. نلاحظ أنه فيما يخص النقطة الحرجة حيث ﺱ يساوي اثنين، تتغير إشارة الميل من الموجب إلى السالب، وهو ما يعني أن هذه هي نقطة القيمة العظمى المحلية. إذن، نستنتج أن نقطة القيمة العظمى المحلية هي ١٢ على ﻫ تربيع عند ﺱ يساوي اثنين.

لنلخص إذن ما تعلمناه. عند النقاط الحرجة لدالة، يكون ﺩﺹ على ﺩﺱ أو ﺩ شرطة ﺱ يساوي صفرًا أو قيمة غير معرفة. وثمة ثلاثة أنواع للنقاط الحرجة علينا أن نعرفها وهي نقاط القيم العظمى المحلية، ونقاط القيم الصغرى المحلية، ونقاط الانقلاب. ويمكننا استخدام اختبار المشتقة الأولى للنظر في الميل على جانبي النقطة الحرجة؛ ومن ثم تصنيف النقطة الحرجة باعتبارها إما نقطة قيمة عظمى محلية أو نقطة قيمة صغرى محلية أو نقطة انقلاب.