نسخة الفيديو النصية
أوجد قياس الزاوية 𝜃 المحصورة بين المتجهين ﺃ: خمسة، واحد، سالب اثنين، وﺏ: أربعة، سالب أربعة، ثلاثة. قرب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين.
في هذا السؤال، المطلوب هو إيجاد قياس الزاوية 𝜃 المحصورة بين متجهين هما، المتجه ﺃ والمتجه ﺏ، معطيين في الصورة الإحداثية. وعلينا أن نقرب قياس 𝜃 لأقرب منزلتين عشريتين. لمساعدتنا في الإجابة عن هذا السؤال، يجدر بنا تذكر كيفية إيجاد قياس الزاوية المحصورة بين متجهين. نتذكر أنه إذا كانت 𝜃 هي الزاوية المحصورة بين متجهين ﻕ وﻉ، فإن جتا 𝜃 يساوي حاصل الضرب القياسي للمتجهين ﻕ وﻉ مقسومًا على معيار المتجه ﻕ في معيار المتجه ﻉ. وتجدر الإشارة إلى أن الأمر نفسه ينطبق بطريقة عكسية. فإذا كان قياس 𝜃 يحقق هذه المعادلة، فيمكننا القول إن 𝜃 هي زاوية محصورة بين المتجهين ﻕ وﻉ.
لكن، وفقًا للمتعارف عليه، نعني بالزاوية المحصورة بين متجهين أصغر زاوية غير سالبة بين هذين المتجهين. في هذه الحالة، يمكننا إيجاد ذلك عن طريق حساب الدالة العكسية لجيب التمام لطرفي المعادلة. ما يعنيه هذا حقًّا هو أنه لكي نوجد قياس الزاوية المحصورة بين متجهين، فعلينا معرفة حاصل الضرب القياسي لهما ومعياري المتجهين ﻕ وﻉ. ومن ثم، لإيجاد قياس الزاوية 𝜃 المحصورة بين المتجهين ﺃ وﺏ، علينا إيجاد حاصل الضرب القياسي بين ﺃ وﺏ، ومعيار المتجه ﺃ، ومعيار المتجه ﺏ. هيا نبدأ بإيجاد حاصل الضرب القياسي للمتجه ﺃ في المتجه ﺏ.
للقيام بذلك، علينا أن نتذكر أنه لإيجاد حاصل الضرب القياسي لمتجهين، علينا إيجاد مجموع حواصل ضرب المركبات المتناظرة للمتجهين. وهذا يعطينا في هذه الحالة خمسة مضروبًا في أربعة زائد واحد مضروبًا في سالب أربعة زائد سالب اثنين مضروبًا في ثلاثة، وإذا حسبنا قيمة هذا التعبير، نجد أنه يساوي ١٠. بعد ذلك، علينا حساب معيار كل من المتجهين ﺃ وﺏ. لفعل ذلك، نتذكر أن معيار المتجه يساوي الجذر التربيعي لمجموع مربعات مركباته. بعبارة أخرى، معيار المتجه ﺱ، ﺹ، ﻉ يساوي الجذر التربيعي لـ ﺱ تربيع زائد ﺹ تربيع زائد ﻉ تربيع.
يمكننا استخدام ذلك لإيجاد معيار المتجه ﺃ. أي معيار المتجه خمسة، واحد، سالب اثنين. معيار المتجه ﺃ سيساوي الجذر التربيعي لمجموع مربعات مركباته. ومن ثم، فإن معيار ﺃ يساوي الجذر التربيعي لخمسة تربيع زائد واحد تربيع زائد سالب اثنين الكل تربيع، وهو ما يعطينا إذا حسبنا قيمة التعبير أسفل علامة الجذر التربيعي، الجذر التربيعي لـ٣٠. يمكننا بعد ذلك فعل الشيء نفسه لإيجاد معيار المتجه ﺏ. إنه يساوي الجذر التربيعي لأربعة تربيع زائد سالب أربعة الكل تربيع زائد ثلاثة تربيع، وهو ما يمكن تبسيطه لنحصل على الجذر التربيعي لـ ٤١. نحن الآن جاهزون لإيجاد قياس 𝜃.
أولًا، نعلم أنه بما أن 𝜃 هي الزاوية المحصورة بين المتجهين ﺃ وﺏ، فإن جتا 𝜃 يساوي حاصل الضرب القياسي للمتجه ﺃ في المتجه ﺏ مقسومًا على معيار المتجه ﺃ في معيار المتجه ﺏ. يمكننا بعد ذلك التعويض بالقيم التي أوجدناها لحاصل الضرب القياسي للمتجه ﺃ في المتجه ﺏ، ومعيار كل من المتجه ﺃ والمتجه ﺏ. نجد أن جتا 𝜃 يساوي ١٠ مقسومًا على جذر ٣٠ مضروبًا في جذر ٤١. يمكننا بعد ذلك إيجاد قياس 𝜃 بحساب الدالة العكسية لجيب التمام لكلا طرفي المعادلة. تذكر أن هذا سيعطينا أصغر زاوية غير سالبة بين المتجهين ﺃ وﺏ. نحصل على 𝜃 يساوي الدالة العكسية لـ جتا١٠ مقسومًا على جذر ٣٠ مضروبًا في جذر ٤١.
وأخيرًا، يمكننا حساب هذه القيمة بالدرجات. نحصل على 𝜃 يساوي ٧٣٫٤٣٣ درجة مع توالي الأرقام. لكن تذكر أن السؤال يطلب منا تقريب الإجابة لأقرب منزلتين عشريتين. لإجراء ذلك، ننظر إلى الخانة العشرية الثالثة، وبها ثلاثة. وبما أن هذا الرقم أصغر من خمسة، فهذا يعني أن علينا التقريب لأسفل. وهذا يعطينا الإجابة النهائية. إذن، قياس الزاوية 𝜃 المحصورة بين المتجه ﺃ: خمسة، واحد، سالب اثنين، والمتجه ﺏ: أربعة، سالب أربعة، ثلاثة، لأقرب منزلتين عشريتين؛ يساوي ٧٣٫٤٣ درجة.
