فيديو الدرس: الزاوية بين متجهين في الفضاء الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

الزاوية بين متجهين في الفضاء

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد قياس الزاوية المحصورة بين أي متجهين في الفضاء باستخدام حاصل الضرب القياسي. وسنرى كيف نفعل ذلك في بعض الحالات، على سبيل المثال، بمعلومية الصور الإحداثية للمتجه أو التمثيل البياني للمتجهات.

ولكي نفعل هذا، علينا أولًا استرجاع بعض الحقائق الخاصة بالمتجهات. في البداية، نحن نعرف كيفية إيجاد حاصل الضرب القياسي لمتجهين متساويين في الأبعاد. إذا كانت مركبات المتجه ﺃ هي ﺃ واحد، ﺃ اثنين، حتى ﺃﻥ، ومركبات المتجه ﺏ هي ﺏ واحد، ﺏ اثنين، حتى ﺏﻥ، فإن حاصل الضرب القياسي للمتجهين ﺃ وﺏ يساوي مجموع حواصل ضرب المركبات المتناظرة. أي إن ﺃ ضرب قياسي ﺏ يساوي ﺃ واحد ﺏ واحد زائد ﺃ اثنين ﺏ اثنين، وهكذا نجمع حتى نصل إلى ﺃﻥ في ﺏﻥ. وقد عرفنا بعض الحالات التي يمكن خلالها استخدام حاصل الضرب القياسي.

على سبيل المثال، إذا كانت 𝜃 هي الزاوية المحصورة بين المتجهين ﺃ وﺏ، فنحن نعلم أن جتا 𝜃 يساوي حاصل الضرب القياسي للمتجهين ﺃ وﺏ مقسومًا على معيار ﺃ في معيار ﺏ. ومن الجدير بالذكر هنا أن هناك طريقة أخرى لعرض هذه الصيغة. إذا جعلنا ﻱﺃ متجه وحدة يشير إلى اتجاه المتجه ﺃ، وجعلنا ﻱﺏ متجه وحدة يشير إلى اتجاه المتجه ﺏ — بحيث يكون ﻱﺃ يساوي ﺃ مقسومًا على معيار ﺃ، وﻱﺏ يساوي ﺏ مقسومًا على معيار ﺏ — فإن جتا 𝜃 سيساوي أيضًا حاصل الضرب القياسي للمتجهين ﻱﺃ وﻱﺏ. وهذا يعطينا تفسيرًا هندسيًا جيدًا لحاصل الضرب القياسي.

وهذه هي الصيغة التي سنستخدمها لإيجاد قياس الزاوية المحصورة بين المتجهين. سنحسب هذا التعبير ثم نحسب الدالة العكسية لجيب التمام لطرفي المعادلة. لكن، ثمة أمر جدير بالذكر هنا بشأن قيمة 𝜃. نحن نعلم أننا إذا كنا نستخدم الدرجات، فسيكون مدى الدالة العكسية لجيب التمام بين صفر و١٨٠ درجة، متضمنًا العددين. إذن، إذا حسبنا الدالة العكسية لجيب التمام لهذا التعبير، فسيكون الناتج دائمًا بين صفر و١٨٠ درجة، متضمنًا العددين.

وهذا له نتيجة مفيدة هندسيًا. إذا رسمنا المتجهين ﺃ وﺏ بدءًا من النقطة نفسها، فعندئذ باستخدام هذه الصيغة لإيجاد قيمة 𝜃، سنحصل دائمًا على قياس الزاوية الصغرى. وبالطبع، يمكننا إيجاد قياس الزاوية الأخرى مباشرة من الرسم. ذلك لأن مجموع هاتين الزاويتين يساوي ٣٦٠ درجة. ومن ثم، فإن قياس الزاوية هنا يساوي ٣٦٠ درجة ناقص 𝜃. وهناك طريقة بديلة لمعرفة سبب صحة ذلك، وهي أن نفكر فيما يحدث عندما نحسب الدالة العكسية لجيب التمام لطرفي المعادلة.

نحن نعلم أن هناك حلولًا متعددة لذلك. ونعلم أيضًا أنه إذا كانت 𝜃 حلًا لذلك، فإن ٣٦٠ ناقص 𝜃 يعتبر حلًا أيضًا لأن جتا 𝜃 يساوي جتا ٣٦٠ ناقص 𝜃. الأمر الأخير الذي سنشير إليه هو أن كل ما ذكرناه توًا ينطبق أيضًا إذا كنا نستخدم الراديان بدلًا من ذلك. لكن، عندئذ، ستكون قيم 𝜃 بين صفر و𝜋. دعونا الآن نتناول بعض الأمثلة على كيفية تطبيق ذلك لإيجاد قياس الزاوية المحصورة بين متجهين.

إذا كان معيار المتجه ﺃ يساوي ٣٥، ومعيار المتجه ﺏ يساوي ٢٣، وحاصل الضرب القياسي للمتجهين ﺃ وﺏ يساوي سالب ٨٠٥ جذر اثنين مقسومًا على اثنين، فأوجد قياس الزاوية الصغرى بين المتجهين.

في هذا السؤال، لدينا بعض المعطيات عن المتجهين ﺃ وﺏ. ومطلوب منا إيجاد قياس الزاوية الصغرى بين هذين المتجهين. أحيانًا في هذه الأسئلة نفضل أن نرسم صورة لما يحدث. لكن، المعطيات التي لدينا هنا عن المتجهين لن تسمح لنا برسم صورة. فنحن لا نعرف مركبات المتجهين ﺃ وﺏ. وبدلًا من ذلك، نعرف معياريهما أو مقياسيهما وحاصل ضربهما القياسي.

لذا، علينا الاعتماد بالكامل على هذه الصيغة. تذكر أن هذه الصيغة تنص على أنه إذا كانت 𝜃 هي الزاوية المحصورة بين متجهين ﺃ وﺏ، فإن جتا 𝜃 يساوي حاصل الضرب القياسي للمتجهين ﺃ وﺏ مقسومًا على مقياس ﺃ في مقياس ﺏ. وسنوجد قيمة 𝜃 بحساب الدالة العكسية لجيب التمام لطرفي هذه المعادلة. وهذا يعطينا نتيجة مفيدة؛ لأن الدالة العكسية لجيب التمام يتراوح مداها بين صفر و١٨٠ درجة.

وبالتالي، لا يهم حقًا كيف نرسم المتجهين ﺃ وﺏ. إذا كانت قيمة 𝜃 تقع بين صفر و١٨٠، فسنحصل دائمًا على قياس الزاوية الصغرى المحصورة بين هذين المتجهين. الشيء الوحيد الذي علينا الانتباه له هو إذا كان المتجهان يشيران لاتجاهين متعاكسين تمامًا. في هذه الحالة، قياس الزاوية في كلا الاتجاهين سيساوي ١٨٠ درجة. لكن، كما سنرى، هذا ليس ما لدينا بهذا السؤال.

هيا نوجد الآن قياس الزاوية الصغرى بين المتجهين ﺃ وﺏ. يمكننا إيجاده بحل المعادلة جتا 𝜃 يساوي حاصل الضرب القياسي للمتجهين ﺃ وﺏ مقسومًا على مقياس ﺃ في مقياس ﺏ. ومن السؤال علمنا أن حاصل الضرب القياسي للمتجهين ﺃ وﺏ يساوي سالب ٨٠٥ جذر اثنين على اثنين، ومقياس ﺃ يساوي ٣٥، ومقياس ﺏ يساوي ٢٣. إذن، يمكننا التعويض بهذه القيم في هذه الصيغة مباشرة، فنحصل على جتا 𝜃 يساوي سالب ٨٠٥ جذر اثنين على اثنين، الكل مقسوم على ٣٥ في ٢٣.

يمكننا تبسيط ذلك. تذكر أن القسمة على أي عدد تماثل الضرب في مقلوب هذا العدد، ما يعطينا جتا 𝜃 يساوي سالب ٨٠٥ جذر اثنين مقسومًا على اثنين في ٣٥ في ٢٣. وإذا أردنا إيجاد قيمة ٣٥ في ٢٣، فسنجد أنها تساوي ٨٠٥. إذن سنحذف هذين العددين، ليصبح لدينا جتا 𝜃 يساوي سالب جذر اثنين على اثنين.

وأخيرًا، يمكننا الحل لإيجاد قيمة 𝜃 بحساب الدالة العكسية لـ جتا لطرفي المعادلة. تذكر أننا نعلم أن ذلك سيعطينا قياس الزاوية الصغرى المحصورة بين المتجهين. هذا يعطينا 𝜃 تساوي الدالة العكسية لـ جتا لسالب جذر اثنين على اثنين، وهو ما يمكننا حسابه لكي نحصل على ١٣٥ درجة.

هيا نتناول الآن مثالًا على كيفية حساب قياس الزاوية المحصورة بين متجهين بمعلومية صورتيهما الإحداثيتين.

أوجد قياس الزاوية 𝜃 المحصورة بين المتجهين ﺃ يساوي أربعة، اثنين، سالب واحد وﺏ يساوي ثمانية، أربعة، سالب اثنين.

في هذا السؤال، لدينا متجهان على الصورة الإحداثية. والمطلوب هو إيجاد قياس الزاوية 𝜃 المحصورة بين هذين المتجهين. لكي نفعل ذلك، لدينا صيغة لإيجاد قياس الزاوية المحصورة بين أي متجهين. إننا نعرف أنه إذا كانت 𝜃 هي الزاوية المحصورة بين المتجهين ﺃ وﺏ، فإن 𝜃 تحقق المعادلة جتا 𝜃 يساوي حاصل الضرب القياسي للمتجهين ﺃ وﺏ مقسومًا على مقياس ﺃ في مقياس ﺏ.

وبما أن لدينا المتجهين ﺃ وﺏ على الصورة الإحداثية، يمكننا حساب كل هذه القيم. وبالتالي نوجد قيمة 𝜃. لنبدأ بحساب حاصل الضرب القياسي للمتجهين ﺃ وﺏ. إننا نريد إيجاد حاصل الضرب القياسي للمتجهين أربعة، اثنين، سالب واحد؛ وثمانية، أربعة، سالب اثنين. تذكر أنه لإيجاد حاصل الضرب القياسي لأي متجهين، علينا ضرب المركبات المتناظرة ثم جمع كل النواتج معًا.

بضرب أول مركبتين بكل متجه معًا، نحصل على أربعة في ثمانية. وبضرب ثاني مركبتين، نحصل على اثنين في أربعة. وبضرب ثالث مركبتين، نحصل على سالب واحد في سالب اثنين. إذن، حاصل الضرب القياسي لهذين المتجهين يساوي مجموع حواصل الضرب الثلاثة هذه. يمكننا إيجاد قيمة هذا التعبير. وسيصبح لدينا حاصل الضرب القياسي للمتجهين ﺃ وﺏ، وهو ٤٢.

لكن هذا ليس الشيء الوحيد الذي علينا حسابه. علينا أيضًا إيجاد مقياس المتجهين ﺃ وﺏ. ولكي نفعل ذلك، علينا أولًا أن نتذكر الطريقة التي نوجد بها مقياس أي متجه. تذكر أن مقياس المتجه هو الجذر التربيعي لمجموع مربعات مركباته. بعبارة أخرى، مقياس المتجه ﻝ، ﻡ، ﻥ هو الجذر التربيعي لـ ﻝ تربيع زائد ﻡ تربيع زائد ﻥ تربيع. ونحن نعلم أن مركبات المتجه ﺃ هي أربعة، اثنان، سالب واحد. إذن، مقياس المتجه ﺃ يساوي الجذر التربيعي لأربعة تربيع زائد اثنين تربيع زائد سالب واحد تربيع.

وإذا أوجدنا قيمة هذا التعبير، فسنجد أنه يساوي الجذر التربيعي لـ ٢١. يمكننا بعد ذلك إجراء الشيء نفسه لإيجاد مقياس المتجه ﺏ. إنه يساوي الجذر التربيعي لثمانية تربيع زائد أربعة تربيع زائد سالب اثنين الكل تربيع. وإذا أردنا إيجاد قيمة هذا التعبير وتبسيطه، فسنجد أن مقياس ﺏ يساوي اثنين جذر ٢١. والآن بعد أن أوجدنا حاصل الضرب القياسي للمتجهين ﺃ وﺏ، ومقياسي كل من المتجه ﺃ والمتجه ﺏ، يمكننا التعويض بهذه القيم في المعادلة التي تتضمن 𝜃.

لقد أوضحنا أن حاصل الضرب القياسي للمتجهين ﺃ وﺏ يساوي ٤٢، ومقياس ﺃ يساوي جذر ٢١، ومقياس ﺏ يساوي اثنين جذر ٢١. إذن، جتا 𝜃 يساوي ٤٢ على جذر ٢١ في اثنين جذر ٢١. ومع ذلك، إذا بدأنا في إيجاد قيمة هذا التعبير، فسنلاحظ أن هناك شيئًا مثيرًا للاهتمام. في مقام هذا التعبير، يمكن تبسيط جذر ٢١ مضروبًا في اثنين جذر ٢١ لنحصل على ٤٢. و٤٢ على ٤٢ يساوي واحدًا. إذن، يمكننا تبسيط هذه المعادلة بأكملها لنحصل على جتا 𝜃 يساوي واحدًا، ويمكننا الحل لإيجاد قيمة 𝜃. نحسب الدالة العكسية لجيب التمام لطرفي المعادلة، فنحصل على 𝜃 تساوي الدالة العكسية لـ جتا واحد، وهو ما نعلم أنه يساوي صفر درجة.

يمكننا التوقف هنا؛ حيث بإمكاننا استنتاج معلومة مفيدة. إذا كان قياس الزاوية المحصورة بين المتجهين ﺃ وﺏ يساوي صفر درجة، فإن ﺃ وﺏ يشيران إلى الاتجاه نفسه. بعبارة أخرى، لقد أثبتنا بذلك أيضًا أن المتجهين ﺃ وﺏ متوازيان. وفي الواقع، يمكننا إثبات ذلك مباشرة. فسنلاحظ أن المتجه ﺏ يساوي اثنين في المتجه ﺃ. وهناك نتيجة مفيدة يمكننا الحصول عليها من ذلك. بما أن القيمة القياسية هنا موجبة، فإن قياس الزاوية المحصورة بين هذين المتجهين يساوي صفرًا. لكن، إذا كانت القيمة القياسية سالبة، فسيكون قياس الزاوية المحصورة بينهما ١٨٠ درجة؛ لأن حينها سيشير المتجهان إلى اتجاهين متعاكسين تمامًا. في كلتا الحالتين، لقد تمكنا من توضيح أن قياس الزاوية 𝜃 المحصورة بين المتجهين ﺃ وﺏ المعطيين في السؤال يساوي صفر درجة.

دعونا نتناول مثالًا آخر على إيجاد قياس الزاوية المحصورة بين متجهين.

أوجد قياس الزاوية 𝜃 المحصورة بين المتجهين ﺃ يساوي ﺱ وﺏ يساوي ثلاثة ﺱ زائد اثنين ﺹ زائد أربعة ﻉ. قرب إجابتك إلى أقرب منزلتين عشريتين.

في هذا السؤال، لدينا المتجهان ﺃ وﺏ بدلالة متجهات الوحدة ﺱ وﺹ وﻉ. والمطلوب هو إيجاد قياس الزاوية 𝜃 المحصورة بين هذين المتجهين. وعلينا تقريب الإجابة إلى أقرب منزلتين عشريتين.

لكي نفعل ذلك، علينا البدء بتذكر أن لدينا صيغة لإيجاد قياس الزاوية المحصورة بين متجهين. بما أن 𝜃 هي الزاوية المحصورة بين المتجهين ﺃ وﺏ، فإن جتا 𝜃 يجب أن يساوي حاصل الضرب القياسي للمتجهين ﺃ وﺏ مقسومًا على معيار ﺃ في معيار ﺏ. إذن لإيجاد قيمة 𝜃، علينا إيجاد حاصل الضرب القياسي للمتجهين ﺃ وﺏ ومعيار ﺃ ومعيار ﺏ. بعد ذلك، كل ما علينا فعله هو حساب الدالة العكسية لجيب التمام لطرفي المعادلة.

هناك عدة طرق لإجراء ذلك. على سبيل المثال، يمكننا أن نستخدم مباشرة صيغة متجه الوحدة لكل من المتجهين ﺃ وﺏ. لكن، يمكننا كذلك كتابة هذين المتجهين في صورة مركبات من خلال استخدام معاملات متجهات الوحدة. كلتا الطريقتين صحيحتان، وسنستخدم الأفضل بالنسبة إلينا.

سنكتب المتجهين ﺃ وﺏ في صورة مركبات. ‏‏ﺃ هو المتجه واحد، صفر، صفر؛ وﺏ هو المتجه ثلاثة، اثنان، أربعة. هيا نبدأ الآن بإيجاد قيم المعادلة. لنبدأ بإيجاد حاصل الضرب القياسي للمتجهين ﺃ وﺏ. تذكر أنه لإيجاد حاصل الضرب القياسي لأي متجهين، علينا إيجاد حاصل ضرب المركبات المتناظرة، ثم جمع النتائج معًا. في هذه الحالة، المركبة الأولى للمتجه ﺃ في المركبة الأولى للمتجه ﺏ يساوي واحدًا في ثلاثة، والمركبة الثانية للمتجه ﺃ في المركبة الثانية للمتجه ﺏ يساوي صفرًا في اثنين، والمركبة الثالثة للمتجه ﺃ في المركبة الثالثة للمتجه ﺏ يساوي صفرًا في أربعة.

إذن، حاصل الضرب القياسي هو مجموع هذه الأعداد؛ واحد في ثلاثة زائد صفر في اثنين زائد صفر في أربعة. ويمكننا حساب هذا التعبير. الحدان الثاني والثالث يساويان صفرًا. إذن، هذا يعطينا ثلاثة. إننا نريد الآن إيجاد معياري المتجهين. لنبدأ بمعيار المتجه ﺃ. تذكر أن ﺃ هو متجه الوحدة ﺱ. وتذكر أن ﺱ يمثل متجه وحدة. ومعياره واحد.

والآن يمكننا ملاحظة أن إيجاد معيار المتجه ﺏ أكثر صعوبة. لذا، سنكتبه في صورته الإحداثية. ويمكننا تذكر أنه لإيجاد معيار أي متجه، علينا إيجاد الجذر التربيعي لمجموع مربعات المركبات. إذن، معيار المتجه ﻝ، ﻡ، ﻥ يساوي الجذر التربيعي لـ ﻝ تربيع زائد ﻡ تربيع زائد ﻥ تربيع. وبالنسبة إلى المتجه ﺏ، فإن معياره يساوي الجذر التربيعي لثلاثة تربيع زائد اثنين تربيع زائد أربعة تربيع، وهو ما يمكننا حسابه ليعطينا الجذر التربيعي لـ ٢٩.

والآن بعد أن أوجدنا هذه القيم، يمكننا التعويض بها في معادلتنا لإيجاد قيمة 𝜃. لقد أوضحنا أن حاصل الضرب القياسي للمتجهين ﺃ وﺏ يساوي ثلاثة، ومعيار ﺃ يساوي واحدًا، ومعيار ﺏ يساوي جذر ٢٩. وبالتالي، فإن جتا 𝜃 يجب أن يساوي ثلاثة مقسومًا على واحد في الجذر التربيعي لـ ٢٩. والآن يمكننا إيجاد قيمة 𝜃 بحساب الدالة العكسية لـ جتا لطرفي المعادلة. وهذا يعطينا 𝜃 تساوي الدالة العكسية لـ جتا ثلاثة مقسومًا على جذر ٢٩. وإذا حسبنا هذا وقربنا الناتج لأقرب منزلتين عشريتين، فسنجد أن 𝜃 تساوي ٥٦٫١٥ درجة.

دعونا الآن نتناول مثالًا على كيفية إيجاد قياس الزاوية المحصورة بين متجهين موضحين في شكل معطى.

أوجد قياس الزاوية المحصورة بين المتجهين الموضحين في الشكل.

في هذا السؤال، علينا إيجاد قياس الزاوية المحصورة بين متجهين. ولدينا هذان المتجهان في شكل توضيحي. ويمكننا أيضًا رؤية الزاوية المحصورة بين المتجهين المعطيين في الشكل. لدينا عدة خيارات مختلفة لكيفية حساب قياس هذه الزاوية. على سبيل المثال، يمكننا فعل ذلك باستخدام حساب المثلثات. لكننا لدينا أيضًا صيغة لإيجاد قياس الزاوية المحصورة بين متجهين. إننا نتذكر أنه إذا كانت 𝜃 هي الزاوية المحصورة بين المتجهين ﺃ وﺃ، فإن جتا 𝜃 يساوي حاصل الضرب القياسي للمتجهين ﺃ وﺏ مقسومًا على معيار ﺃ في معيار ﺏ. بعد ذلك، يمكننا استخدام هذه الصيغة لإيجاد قيمة 𝜃 بحساب الدالة العكسية لجيب التمام لطرفي المعادلة.

إذن للإجابة عن هذا السؤال، علينا إيجاد حاصل الضرب القياسي للمتجهين ﺃ وﺏ ومعيار ﺃ ومعيار ﺏ. ولكي نفعل ذلك، سنكتب المتجهين على الصورة الإحداثية. وسنفعل ذلك بالاستعانة بالشكل. لنبدأ بالمتجه ﺃ. يمكننا أن نرى من خلال الشكل أنه يبدأ من نقطة الأصل، والإحداثي ﺱ عند طرفه يساوي سالب اثنين جذر ثلاثة. وعليه، التغير في ﺱ يساوي سالب اثنين جذر ثلاثة. وبالمثل، يمكننا أن نرى أن الإحداثي ﺹ له يبدأ من النقطة صفر وينتهي عند اثنين، والتغير في ﺹ يساوي اثنين. إذن، يمكننا تمثيل ﺃ باعتباره المتجه ذا المركبة الأفقية سالب اثنين جذر ثلاثة، والمركبة الرأسية اثنين.

يمكننا إجراء الشيء نفسه مع المتجه ﺏ. حيث نلاحظ أنه يبدأ من نقطة الأصل، ثم ينتهي عند الإحداثي ﺱ يساوي سالب اثنين، ويبدأ من نقطة الأصل وينتهي عند الإحداثي ﺹ يساوي سالب اثنين. حسنًا، التغير في ﺱ يساوي سالب اثنين، والتغير في ﺹ يساوي سالب اثنين. إذن، ﺏ هو المتجه سالب اثنين، سالب اثنين. والآن علينا إيجاد حاصل الضرب القياسي لهذين المتجهين ومعياريهما.

هيا نبدأ بحساب حاصل الضرب القياسي للمتجهين ﺃ وﺏ. تذكر أنه لإيجاد حاصل الضرب القياسي لأي متجهين، علينا إيجاد حواصل ضرب المركبات المتناظرة، ثم جمع كل هذه القيم معًا. إذن، سنضرب أول مركبتين للمتجهين ﺃ وﺏ معًا لنحصل على سالب اثنين جذر ثلاثة في سالب اثنين. بعد ذلك، نجمع حاصل ضرب ثاني مركبتين. أي اثنين مضروبًا في سالب اثنين. وإذا حسبنا هذا التعبير، فسنجد أنه يساوي أربعة جذر ثلاثة ناقص أربعة.

لكننا لم ننته من الإجابة بعد. ما زلنا بحاجة إلى إيجاد معياري ﺃ وﺏ. لنبدأ بإيجاد معيار المتجه ﺃ. تذكر أنه يمكننا إيجاده عن طريق أخذ الجذر التربيعي لمجموع مربعي المركبتين. إذن، معيار ﺃ يساوي الجذر التربيعي لسالب اثنين جذر ثلاثة الكل تربيع زائد اثنين تربيع، وهو ما يمكننا حسابه ليعطينا الجذر التربيعي لـ ١٢ زائد أربعة، أي جذر ١٦، ما يساوي أربعة بالطبع. يمكننا بعد ذلك إجراء الشيء نفسه لإيجاد معيار المتجه ﺏ. سنقوم بتربيع كل مركبة من مركبتي المتجه ﺏ ونجمعهما معًا، ثم نحسب الجذر التربيعي لهذا المجموع. إذن، معيار ﺏ يساوي الجذر التربيعي لسالب اثنين تربيع زائد سالب اثنين تربيع، وهو ما يمكن تبسيطه بالتأكيد لنحصل على الجذر التربيعي لأربعة زائد أربعة، وهو ما يساوي جذر ثمانية.

والآن، بعد أن أوجدنا كل هذه القيم، أصبحنا مستعدين للتعويض بها في المعادلة لإيجاد قيمة 𝜃. بالتعويض عن ﺃ ضرب قياسي ﺃ بأربعة جذر ثلاثة ناقص أربعة، وعن معيار ﺃ بأربعة، وعن معيار ﺏ بجذر ثمانية، نحصل على جتا 𝜃 يساوي أربعة جذر ثلاثة ناقص أربعة الكل مقسوم على أربعة جذر ثمانية. وجدير بالذكر هنا أنه يمكننا تبسيط هذا التعبير لنحصل على جذر ستة ناقص جذر اثنين الكل مقسوم على أربعة. لكن ذلك ليس ضروريًا؛ لأن كل ما علينا فعله الآن هو حساب الدالة العكسية لجيب التمام لطرفي المعادلة.

وهذا يعطينا 𝜃 تساوي الدالة العكسية لـ جتا جذر ستة ناقص جذر اثنين الكل مقسوم على أربعة، وهو ما يمكننا حسابه لكي نحصل على ٧٥ درجة. وهذه هي الإجابة النهائية لأننا إذا نظرنا إلى الشكل، فسنجد أن هناك زاويتين محتملتين محصورتين بين المتجهين ﺏ وﺃ. هناك أيضًا الزاوية الموضحة في الشكل، والزاوية التي يمكننا قياسها في الاتجاه المعاكس. لكن قياس هذه الزاوية الثانوية الموضحة باللون الأخضر أكبر من ٧٥ درجة، إذن لا يمكن أن يكون قياسها ٧٥ درجة. في الحقيقة، قياسها سيكون ٣٦٠ ناقص ٧٥ درجة. وبذلك، نكون قد تمكنا من إثبات أن قياس الزاوية المحصورة بين المتجهين ﺃ وﺏ الموضحين في الشكل يساوي ٧٥ درجة.

والآن دعونا نستعرض مثالًا أخيرًا يوضح كيفية استخدام الصيغة لإيجاد معلومات عن المتجهات.

الزاوية الواقعة بين المتجهين ﺃ وﺏ قياسها ٢٢ درجة. إذا كان معيار المتجه ﺃ يساوي ثلاثة في معيار المتجه ﺏ يساوي ٢٥٫٢، فأوجد حاصل الضرب القياسي للمتجهين ﺃ وﺏ لأقرب جزء من مائة.

في هذا السؤال، لدينا بعض المعطيات عن المتجهين ﺃ وﺏ. علمنا في البداية أن قياس الزاوية المحصورة بين هذين المتجهين يساوي ٢٢ درجة. لدينا أيضًا معطيات عن معياريهما. نحن نعلم أن معيار ﺃ يساوي ٢٥٫٢، ونعلم أن ثلاثة في معيار ﺏ يساوي أيضًا ٢٥٫٢. إذن، معيار ﺃ أكبر من معيار ﺃ بثلاثة أمثال. علينا استخدام هذه المعطيات لإيجاد حاصل الضرب القياسي للمتجهين ﺃ وﺏ. وعلينا تقريب الإجابة لأقرب جزء من مائة.

للإجابة عن هذا السؤال، علينا ملاحظة أن لدينا صيغة تربط بين الزاوية المحصورة بين متجهين وحاصل ضربهما القياسي. إننا نتذكر أنه إذا كانت 𝜃 هي الزاوية المحصورة بين المتجهين ﺃ وﺏ، فإننا نعلم أن جتا 𝜃 يجب أن يساوي حاصل الضرب القياسي بين ﺃ وﺏ مقسومًا على معيار ﺃ في معيار ﺏ. وفي هذا السؤال، نحن بالفعل نعرف بعض هذه القيم. على سبيل المثال، نعلم أن قياس الزاوية المحصورة بين المتجهين يساوي ٢٢ درجة. ونعلم أيضًا أن معيار المتجه ﺃ يساوي ٢٥٫٢.

يمكننا كذلك إيجاد معيار المتجه ﺏ باستخدام المعطيات المذكورة في السؤال. إحدى طرق إجراء ذلك هي ملاحظة أن ثلاثة في معيار ﺏ يساوي ٢٥٫٢. إذن، يمكننا حل هذه المعادلة لإيجاد معيار ﺏ بقسمة طرفي المعادلة على ثلاثة. وبحساب ذلك، نحصل على معيار ﺏ يساوي ٨٫٤. إذن، القيمة المجهولة الوحيدة في هذه المعادلة هي حاصل الضرب القياسي للمتجهين ﺃ وﺏ. وهي القيمة المطلوب حسابها.

حسنًا، سنعوض عن قياس الزاوية 𝜃 بـ ٢٢ درجة، وعن معيار ﺃ بـ ٢٥٫٢، وعن معيار ﺏ بـ ٨٫٤ في المعادلة لدينا. هذا يعطينا جتا ٢٢ درجة يساوي حاصل الضرب القياسي للمتجهين ﺃ وﺏ مقسومًا على ٢٥٫٢ في ٨٫٤. والآن يمكننا إعادة ترتيب هذه المعادلة لكي نحصل على حاصل الضرب القياسي للمتجهين ﺃ وﺏ. سنضرب الطرفين في ٢٥٫٢ في ٨٫٤. وهذا يعطينا ﺃ ضرب قياسي ﺏ يساوي ٢٥٫٢ في ٨٫٤ في جتا ٢٢ درجة. ويمكننا حساب ذلك لأقرب جزء من مائة أو لأقرب منزلتين عشريتين. إذن، هذا يساوي ١٩٦٫٢٧.

دعونا نلق نظرة الآن على النقاط الرئيسية في هذا الفيديو. أولًا، نحن نعلم أنه إذا كانت 𝜃 هي الزاوية المحصورة بين المتجهين ﺃ وﺏ، فإن جتا 𝜃 يساوي حاصل الضرب القياسي للمتجهين ﺃ وﺏ مقسومًا على معيار ﺃ في معيار ﺏ. وهذا ينطبق ما دام أن المتجهين ﺃ وﺏ لا يساويان صفرًا. ولحساب حاصل الضرب القياسي للمتجهين ﺃ وﺏ، يجب أن يكون للمتجهين البعد نفسه. يمكننا أيضًا استخدام هذه الصيغة لإيجاد قياس الزاوية المحصورة بين متجهين من خلال حساب الدالة العكسية لجيب التمام لطرفي هذه المعادلة. لكن علينا أن ننتبه لأن مدى الدالة العكسية لجيب التمام سيكون بين صفر درجة و١٨٠ درجة متضمنًا كلتيهما، أو إذا كنا نستخدم الراديان، فسيكون بين صفر و𝜋 متضمنًا كلتيهما. إذن، ستعطينا هذه الطريقة قياس الزاوية الصغرى من الزاويتين المحصورتين بين المتجهين ﺃ وﺏ.