شارح الدرس: الزاوية بين متجهين في الفضاء الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

مثال ١: إيجاد حاصل الضرب القياسي بين متجهين

الزاوية الواقعة بين ، قياسها . إذا كان ، فأوجد لأقرب جزء من مائة.

الحل

نحن نتذكر أن حاصل الضرب القياسي لمتجهين يساوي حاصل ضرب معياريِ المتجهين مضروبًا في جيب تمام الزاوية المحصورة بينهما. بعبارة أخرى: حيث هي الزاوية المحصورة بين المتجهين. ونحن نعلم أن ، . ومن ثَمَّ، يمكننا حساب:

إذن:

وبالتقريب إلى أقرب جزء من مائة، نحصل على .

مثال ٢: إيجاد حاصل الضرب القياسي بين متجهين باستخدام خواص الضرب القياسي

إذا كان ، متجهيْ وحدة متعامدين، فأوجد .

الحل

نحن نتذكر من خاصية التوزيع للضرب القياسي أنه لأي متجهات ذات الأبعاد نفسها، ، ، :

نلاحظ أن خاصية التوزيع تعمل بالطريقة نفسها عند استخدام علامات الطرح في كلا الطرفين بدلًا من علامات الجمع. وباستخدام هذه الخاصية، فإننا نحسب:

نتذكر أيضًا من خاصية الإبدال للضرب القياسي أنه لأي متجهين في نفس الأبعاد، ، :

إذن، يمكن كتابة الطرف الأيسر من المعادلة (١) على الصورة:

باستخدام خاصية التوزيع مرة أخرى، نجد أن هذا يساوي:

بعد ذلك، نتذكر خاصية الضرب في كمية قياسية للضرب القياسي؛ وهي تخبرنا أنه لأي كمية قياسية ومتجهين في نفس الأبعاد، ، ، فإن:

إذن، المقدار (٢) يساوي:

وأخيرًا، نتذكر أنه لأي متجه :

باستخدام هذه الخاصية وخاصية الإبدال للضرب القياسي، يمكن كتابة المقدار (٣) على الصورة:

نحن نعلم أن كلا المعيارين ، يساوي ١؛ وذلك لأنهما متجها وحدة. ومن ثَمَّ، يتبقى لنا حساب حاصل الضرب القياسي . ونتذكر أن: حيث هي الزاوية المحصورة بين المتجهين. وبما أننا نعلم أن المتجهين متعامدان، فهذا يعني أن . إذن، فإن:

يمكننا بعد ذلك التعويض بهذه القيم في المقدار:

ومن ثَمَّ، .

مثال ٣: إيجاد قياس الزاوية الصغرى المحصورة بين متجهين بمعلومية معياريهما وحاصل ضربهما القياسي

إذا كان، ، ، فأوجد قياس الزاوية الصغرى بين المتجهين.

الحل

نحن نتذكر أن الزاوية بين أي متجهين لا يساويان صفرًا ، تُعطى بالعلاقة

ونحن نعلم أن ، ، ، ومن ثَمَّ، فإن:

إذن، فإن قياس الزاوية المحصورة بين ، يساوي . ونلاحظ أن الإجابة تقع بين ، ، وهذا هو المدى الصحيح.

مثال ٤: إيجاد الزاوية بين متجهين بدلالة متجهات الوحدة الأساسية

إذا كان ، ، فأوجد قياس الزاوية بين المتجهين، وقرب الناتج لأقرب جزء من مائة.

الحل

إننا نتذكر أن الزاوية المحصورة بين أي متجهين لا يساويان صفرًا ، هي الزاوية الواقعة بين ، التي تحقق المعادلة:

وبمعلومية أن المتجه ، فإننا نعرف أن:

وبما أن ، ، فيمكننا حساب:

ونحن نعلم أيضًا أن حاصل الضرب القياسي لأي متجهين ، يساوي:

ومن ثَمَّ، فإن:

كما لاحظنا، فإن الزاوية يجب أن تحقق المعادلة:

وهذا يقودنا إلى:

إذن، فإن قياس الزاوية المحصورة بين المتجهين المعطيين لأقرب جزء من مائة هو . ونلاحظ أن الإجابة تقع بين ، ، وهذا هو المدى الصحيح.

مثال ٥: إيجاد الزاوية المحصورة بين متجهين معطيين في مستوى ثلاثي الأبعاد

أوجد الزاوية بين المتجهين ، .

الحل

في هذا المثال، يمكننا استخدام طريقتين مختلفتين لإيجاد قياس الزاوية بين ، . الطريقة الأولى هي استخدام الضرب القياسي لإيجاد قياس الزاوية بين متجهين، والطريقة الثانية هي استخدام خاصية المتجهات المتوازية.

الطريقة الأولى

نحن نتذكر أن الزاوية المحصورة بين أي متجهين لا يساويان صفرًا ، تُعطى بالعلاقة:

وبما أن ، ، فيمكننا حساب:

ثم نوجد حاصل ضربهما القياسي كما يلي:

وبعد ذلك، نحصل على الزاوية من خلال العلاقة:

وبذلك، نجد أن قياس الزاوية المحصورة بين ، هو .

الطريقة الثانية

نتذكر أن المتجهين ، اللذين لا يساويان صفرًا يكونان متوازيين إذا كانت هناك كمية قياسية تحقق:

فإذا كان ، يكون للمتجهين الاتجاه نفسه. وفي هذه الحالة، نجد أن قياس الزاوية المحصورة بين المتجهين يساوي . وإذا كان ، فإن المتجهين يشيران إلى اتجاهين متضادين، وهو ما يعني أن قياس الزاوية بينهما يساوي .

نحن نعلم أن ، . ونلاحظ أن كل إحداثي من إحداثيات يساوي ثلاثة أمثال الإحداثي المناظر له من إحداثيات . بعبارة أخرى:

إذن، ، وهو ما يعني أن المتجهين ، متوازيان. وبما أن الكمية القياسية ٣ موجبة، فهذا يعني أن المتجهين لهما الاتجاه نفسه.

ومن ثَمَّ، فإن قياس الزاوية المحصورة بين المتجهين يساوي .

مثال ٦: إيجاد الزاوية بين متجهين معطيين من التمثيل البياني

أوجد قياس الزاوية بين المتجهين الموضحين في الشكل. قرب إجابتك لأقرب درجة.

الحل

نحن نتذكر أن الزاوية المحصورة بين أي متجهين لا يساويان صفرًا ، هي الزاوية:

في الشكل المُعطى، لدينا متجهان ممثَّلان بيانيًّا. وسنبدأ بإيجاد مركبات المتجهين من الرسم.

نحن نلاحظ أن المتجهين يبدآن من النقطة . وتقع نقطة نهاية المتجه الأرجواني عند بينما تقع نقطة نهاية المتجه الأحمر عند . ومن ثَمَّ، فإن المتجه الأرجواني يُعطى بالعلاقة:

والمتجه الأحمر يُعطى بالعلاقة:

وبعد ذلك، نحسب معياريهما وحاصل ضربهما القياسي لنحصل على صيغة الزاوية المحصورة بين متجهين:

وبذلك، فإن الزاوية المحصورة بين المتجهين تُعطى بالعلاقة:

إذن، قياس الزاوية المحصورة بين المتجهين المعطيين لأقرب درجة هو . ونلاحظ أن القيمتين تقعان بين ، ، وهذا هو المدى الصحيح.

مثال ٧: إيجاد الزاوية المحصورة بين متجهين

إذا كان ، ، ، ، فأوجد قياس الزاوية بين المتجهين ، لأقرب جزء من مائة.

الحل

نحن نتذكر أن الزاوية المحصورة بين أي متجهين لا يساويان صفرًا ، هي الزاوية:

وعلينا تحديد المتجهين ، قبل حساب معياريهما وحاصل ضربهما القياسي. فنحصل على:

وبعد ذلك، نحسب:

ومن ثَمَّ، نحصل على: وهو ما يساوي لأقرب جزء من مائة.

إذن، قياس الزاوية بين المتجهين ، لأقرب جزء من مائة هو . ونلاحظ أن الإجابة تقع بين ، ، وهذا هو المدى الصحيح.