تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

شارح الدرس: الزاوية بين متجهين في الفضاء الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلم كيف نوجد الزاوية بين متجهين في الفضاء باستخدام حاصل ضربهما القياسي.

في البداية، دعونا نتذكر كيف نحسب حاصل الضرب القياسي لمتجهين في الفضاء. إذا افترضنا وجود متجهين في نفس الأبعاد، 󰄮𞸋=󰁓𞸋،𞸋،𞸋،،𞸋󰁒١٢٣𞸍، 󰄮𞸏=󰁓𞸏،𞸏،𞸏،،𞸏󰁒١٢٣𞸍، إذن، حاصل الضرب القياسي للمتجهين يساوي: 󰄮𞸋󰄮𞸏=𞸋𞸏+𞸋𞸏+𞸋𞸏++𞸋𞸏،١١٢٢٣٣𞸍𞸍 وهو كمية قياسية. دعونا نتذكر أيضًا خواص الضرب القياسي التالية.

نظرية: خواص الضرب القياسي

لأي كمية قياسية 𞸊 والمتجهات 󰄮𞸋، 󰄮𞸏، 󰄮󰄮󰄮𞸔 ذات الأبعاد نفسها، تنطبق الخواص التالية: 󰄮𞸋󰄮𞸏=󰄮𞸏󰄮𞸋()،󰂔𞸊󰄮𞸋󰂓󰄮𞸏=𞸊󰂔󰄮𞸋󰄮𞸏󰂓()،󰄮𞸋󰂔󰄮𞸏+󰄮󰄮󰄮𞸔󰂓=󰄮𞸋󰄮𞸏+󰄮𞸋󰄮󰄮󰄮𞸔()،󰄮𞸋󰄮𞸋=󰍼󰄮𞸋󰍼.االاباز٢

هيا نتناول المعنى الهندسي للضرب القياسي باستخدام الشكل التالي.

باستخدام الرموز من الشكل، نجد أن قانون جيب التمام ينص على ما يلي: 󰍼󰄮𞸋󰍼+󰍼󰄮𞸏󰍼٢󰍼󰄮𞸋󰍼󰍼󰄮𞸏󰍼𝜃=󰍼󰄮𞸋󰄮𞸏󰍼.٢٢٢

وباستخدام الخاصية الأخيرة المذكورة في القائمة، يمكننا إعادة كتابة الطرف الأيسر من المعادلة على الصورة 󰂔󰄮𞸋󰄮𞸏󰂓󰂔󰄮𞸋󰄮𞸏󰂓. وباستخدام خاصية التوزيع للضرب القياسي، نحصل على: 󰂔󰄮𞸋󰄮𞸏󰂓󰂔󰄮𞸋󰄮𞸏󰂓=󰄮𞸋󰂔󰄮𞸋󰄮𞸏󰂓󰄮𞸏󰂔󰄮𞸋󰄮𞸏󰂓=󰄮𞸋󰄮𞸋󰄮𞸋󰄮𞸏󰄮𞸏󰄮𞸋󰄮𞸏󰄮𞸏.

إننا نعلم أن 󰄮𞸋󰄮𞸋=󰍼󰄮𞸋󰍼٢، 󰄮𞸏󰄮𞸏=󰍼󰄮𞸏󰍼٢. ووفقًا لخاصية الإبدال، لدينا 󰄮𞸋󰄮𞸏=󰄮𞸏󰄮𞸋. ويمكن تبسيط المعادلة أعلاه بتطبيق هاتين المتطابقتين على الطرف الأيسر؛ ومن ثَمَّ نحصل على: 󰍼󰄮𞸋󰍼+󰍼󰄮𞸏󰍼٢󰄮𞸋󰄮𞸏.٢٢

وهذا يقودنا إلى المعادلة: 󰍼󰄮𞸋󰍼+󰍼󰄮𞸏󰍼٢󰍼󰄮𞸋󰍼󰍼󰄮𞸏󰍼𝜃=󰍼󰄮𞸋󰍼+󰍼󰄮𞸏󰍼٢󰄮𞸋󰄮𞸏.٢٢٢٢

بتبسيط هذه المعادلة، نحصل على: ٢󰍼󰄮𞸋󰍼󰍼󰄮𞸏󰍼𝜃=٢󰄮𞸋󰄮𞸏،󰍼󰄮𞸋󰍼󰍼󰄮𞸏󰍼𝜃=󰄮𞸋󰄮𞸏.

ومن ثَمَّ، فإن حاصل الضرب القياسي لمتجهين يساوي، هندسيًّا، حاصل ضرب معيارَيِ المتجهين مضروبًا في جيب تمام الزاوية المحصورة بينهما.

نظرية: الصيغة الهندسية للضرب القياسي

لنفترض أن 󰄮𞸋، 󰄮𞸏 متجهان لا يساويان صفرًا، وأن 𝜃 هي الزاوية المحصورة بين المتجهين. إذن: 󰄮𞸋󰄮𞸏=󰍼󰄮𞸋󰍼󰍼󰄮𞸏󰍼𝜃.

دعونا نتناول مثالًا على تطبيق هذه الصيغة الهندسية لحساب حاصل الضرب القياسي.

مثال ١: إيجاد حاصل الضرب القياسي بين متجهين

الزاوية الواقعة بين 󰏡، 󰄮󰄮𞸁 قياسها ٢٢. إذا كان 󰍼󰏡󰍼=٣󰍹󰄮󰄮𞸁󰍹=٢٫٥٢، فأوجد 󰏡󰄮󰄮𞸁 لأقرب جزء من مائة.

الحل

نحن نتذكر أن حاصل الضرب القياسي لمتجهين يساوي حاصل ضرب معياريِ المتجهين مضروبًا في جيب تمام الزاوية المحصورة بينهما. بعبارة أخرى: 󰏡󰄮󰄮𞸁=󰍼󰏡󰍼󰍹󰄮󰄮𞸁󰍹𝜃، حيث 𝜃 هي الزاوية المحصورة بين المتجهين. ونحن نعلم أن 𝜃=٢٢، 󰍼󰏡󰍼=٢٫٥٢. ومن ثَمَّ، يمكننا حساب: 󰍹󰄮󰄮𞸁󰍹=٢٫٥٢٣=٤٫٨.

إذن: 󰏡󰄮󰄮𞸁=٢٫٥٢×٤٫٨×٢٢٦٦٢٫٦٩١.

وبالتقريب إلى أقرب جزء من مائة، نحصل على 󰏡󰄮󰄮𞸁=٧٢٫٦٩١.

في المثال التالي، نستخدم خواص العمليات على المتجهات إضافةً إلى التفسير الهندسي للضرب القياسي.

مثال ٢: إيجاد حاصل الضرب القياسي بين متجهين باستخدام خواص الضرب القياسي

إذا كان 󰏡، 󰄮󰄮𞸁 متجهيْ وحدة متعامدين، فأوجد 󰂔٣󰏡󰄮󰄮𞸁󰂓󰂔٢󰏡+󰄮󰄮𞸁󰂓.

الحل

نحن نتذكر من خاصية التوزيع للضرب القياسي أنه لأي متجهات ذات الأبعاد نفسها، 󰄮𞸋، 󰄮𞸏، 󰄮󰄮󰄮𞸔: 󰄮𞸋󰂔󰄮𞸏+󰄮󰄮󰄮𞸔󰂓=󰄮𞸋󰄮𞸏+󰄮𞸋󰄮󰄮󰄮𞸔.

نلاحظ أن خاصية التوزيع تعمل بالطريقة نفسها عند استخدام علامات الطرح في كلا الطرفين بدلًا من علامات الجمع. وباستخدام هذه الخاصية، فإننا نحسب:

󰂔٣󰏡󰄮󰄮𞸁󰂓󰂔٢󰏡+󰄮󰄮𞸁󰂓=󰂔٣󰏡󰄮󰄮𞸁󰂓󰂔٢󰏡󰂓+󰂔٣󰏡󰄮󰄮𞸁󰂓󰄮󰄮𞸁.()١

نتذكر أيضًا من خاصية الإبدال للضرب القياسي أنه لأي متجهين في نفس الأبعاد، 󰄮𞸋، 󰄮𞸏: 󰄮𞸋󰄮𞸏=󰄮𞸏󰄮𞸋.

إذن، يمكن كتابة الطرف الأيسر من المعادلة (١) على الصورة: 󰂔٢󰏡󰂓󰂔٣󰏡󰄮󰄮𞸁󰂓+󰄮󰄮𞸁󰂔٣󰏡󰄮󰄮𞸁󰂓.

باستخدام خاصية التوزيع مرة أخرى، نجد أن هذا يساوي:

󰂔٢󰏡󰂓󰂔٣󰏡󰂓󰂔٢󰏡󰂓󰄮󰄮𞸁󰄮󰄮𞸁󰂔٣󰏡󰂓󰄮󰄮𞸁󰄮󰄮𞸁.()٢

بعد ذلك، نتذكر خاصية الضرب في كمية قياسية للضرب القياسي؛ وهي تخبرنا أنه لأي كمية قياسية 𞸊 ومتجهين في نفس الأبعاد، 󰄮𞸋، 󰄮𞸏، فإن: 󰂔𞸊󰄮𞸋󰂓󰄮𞸏=󰄮𞸋󰂔𞸊󰄮𞸏󰂓=𞸊󰂔󰄮𞸋󰄮𞸏󰂓.

إذن، المقدار (٢) يساوي:

٦󰂔󰏡󰏡󰂓+٢󰂔󰏡󰄮󰄮𞸁󰂓٣󰂔󰄮󰄮𞸁󰏡󰂓󰄮󰄮𞸁󰄮󰄮𞸁.()٣

وأخيرًا، نتذكر أنه لأي متجه 󰄮𞸋: 󰄮𞸋󰄮𞸋=󰍼󰄮𞸋󰍼.٢

باستخدام هذه الخاصية وخاصية الإبدال للضرب القياسي، يمكن كتابة المقدار (٣) على الصورة: ٦󰍼󰏡󰍼+٢󰏡󰄮󰄮𞸁٣󰏡󰄮󰄮𞸁󰍹󰄮󰄮𞸁󰍹،٦󰍼󰏡󰍼󰏡󰄮󰄮𞸁󰍹󰄮󰄮𞸁󰍹.٢٢٢٢وُإ

نحن نعلم أن كلا المعيارين 󰍼󰏡󰍼، 󰍹󰄮󰄮𞸁󰍹 يساوي ١؛ وذلك لأنهما متجها وحدة. ومن ثَمَّ، يتبقى لنا حساب حاصل الضرب القياسي 󰏡󰄮󰄮𞸁. ونتذكر أن: 󰏡󰄮󰄮𞸁=󰍼󰏡󰍼󰍹󰄮󰄮𞸁󰍹𝜃، حيث 𝜃 هي الزاوية المحصورة بين المتجهين. وبما أننا نعلم أن المتجهين متعامدان، فهذا يعني أن 𝜃=٠٩. إذن، فإن: 󰏡󰄮󰄮𞸁=١×١×٠٩=٠.

يمكننا بعد ذلك التعويض بهذه القيم في المقدار: ٦󰍼󰏡󰍼󰏡󰄮󰄮𞸁󰍹󰄮󰄮𞸁󰍹=٦×١٠١=٧.٢٢

ومن ثَمَّ، 󰂔٣󰏡󰄮󰄮𞸁󰂓󰂔٢󰏡+󰄮󰄮𞸁󰂓=٧.

نلاحظ أنه توجد طريقتان مختلفتان لقياس الزاوية 𝜃 المحصورة بين أي متجهين، 󰄮𞸋، 󰄮𞸏، كما هو موضح في الشكل التالي. تذكر أن المتجه هو كمية ذات معيار واتجاه، يمكننا رسمها بدءًا من أي موضع في الفضاء. وهذا يعني أنه يمكننا رسم كل من 󰄮𞸋، 󰄮𞸏 من نقطة البداية نفسها.

تحقق الزاويتان 𝜃١، 𝜃٢ المعادلة 𝜃+𝜃=٠٦٣١٢؛ وهو ما يعني أن 𝜃=٠٦٣𝜃٢١. وتنطبق الصيغة الهندسية في النظرية على كل من 𝜃١، 𝜃٢؛ لأن جيب التمام دالة زوجية ودورية، طول دورتها هو ٠٦٣. بشكل أكثر تحديدًا، لدينا: 𝜃=󰁓𝜃󰁒=󰁓𝜃+٠٦٣󰁒=𝜃.٢٢٢١

نلاحظ أن إحدى الزاويتين (𝜃١ في الصورة أعلاه) تقع بين ٠، ٠٨١، بينما تقع الزاوية الأخرى (𝜃٢ في الصورة أعلاه) بين ٠٨١، ٠٦٣. وكما هو متعارف عليه، عندما نقول إن الزاوية تقع بين متجهين، فإننا نعني أصغر زاوية غير سالبة بين هذين المتجهين، وهي الزاوية التي تقع بين ٠، ٠٨١.

وبهذا نكون قد ناقشنا الصيغة الهندسية للضرب القياسي: 󰄮𞸋󰄮𞸏=󰍼󰄮𞸋󰍼󰍼󰄮𞸏󰍼𝜃.

ولحساب قياس الزاوية بين متجهين، يمكننا إعادة ترتيب هذه المعادلة بحيث يكون 𝜃 المتغير التابع للمعادلة. وإذا كان 󰄮𞸋، 󰄮𞸏 متجهين لا يساويان صفرًا، فإن 󰍼󰄮𞸋󰍼٠، 󰍼󰄮𞸏󰍼٠؛ لذا يمكننا قسمة طرفي المعادلة على: 󰍼󰄮𞸋󰍼󰍼󰄮𞸏󰍼. ومن ثَمَّ، فإن: 𝜃=󰄮𞸋󰄮𞸏󰍼󰄮𞸋󰍼󰍼󰄮𞸏󰍼𝜃=󰄮𞸋󰄮𞸏󰍼󰄮𞸋󰍼󰍼󰄮𞸏󰍼.١

نحن نتذكر أن الدالة العكسية لجيب التمام لها مدى يتراوح بين ٠، ٠٨١، وهو المدى الذي تُعرَّف فيه الزاوية المحصورة بين متجهين.

نظرية: الزاوية المحصورة بين متجهين

لنفترض أن 󰄮𞸋، 󰄮𞸏 متجهان لا يساويان صفرًا. إذن، الزاوية 𝜃 بين المتجهين، والواقعة بين ٠، ٠٨١، تُعطى بالعلاقة: 𝜃=󰄮𞸋󰄮𞸏󰍼󰄮𞸋󰍼󰍼󰄮𞸏󰍼.١

في المثال التالي، نحسب قياس الزاوية المحصورة بين متجهين بمعلومية معياريهما وحاصل ضربهما القياسي.

مثال ٣: إيجاد قياس الزاوية الصغرى المحصورة بين متجهين بمعلومية معياريهما وحاصل ضربهما القياسي

إذا كان󰍼󰏡󰍼=٥٣، 󰍹󰄮󰄮𞸁󰍹=٣٢، 󰏡󰄮󰄮𞸁=٥٠٨󰋴٢٢، فأوجد قياس الزاوية الصغرى بين المتجهين.

الحل

نحن نتذكر أن الزاوية 𝜃 بين أي متجهين لا يساويان صفرًا 󰏡، 󰄮󰄮𞸁 تُعطى بالعلاقة 𝜃=󰏡󰄮󰄮𞸁󰍼󰏡󰍼󰍹󰄮󰄮𞸁󰍹.١

ونحن نعلم أن 󰍼󰏡󰍼=٥٣، 󰍹󰄮󰄮𞸁󰍹=٣٢، 󰏡󰄮󰄮𞸁=٥٠٨󰋴٢٢ ، ومن ثَمَّ، فإن: 𝜃=٥٣×٣٢=󰃭٥٠٨󰋴٢٠١٦١󰃬=󰃭󰋴٢٢󰃬=٥٣١.١٥٠٨󰋴٢٢١١

إذن، فإن قياس الزاوية المحصورة بين 󰏡، 𞸁 يساوي ٥٣١. ونلاحظ أن الإجابة تقع بين ٠، ٠٨١، وهذا هو المدى الصحيح.

في المثال التالي، نحسب قياس الزاوية المحصورة بين متجهين معطيين بدلالة متجهات الوحدة في اتجاهات معينة.

مثال ٤: إيجاد الزاوية بين متجهين بدلالة متجهات الوحدة الأساسية

إذا كان 󰏡=٢󰄮󰄮󰄮𞹎+٥󰄮󰄮𞹏، 󰄮󰄮𞸁=٤󰄮󰄮󰄮𞹎+٣󰄮󰄮󰄮𞹑+󰄮󰄮𞹏، فأوجد قياس الزاوية بين المتجهين، وقرب الناتج لأقرب جزء من مائة.

الحل

إننا نتذكر أن الزاوية المحصورة بين أي متجهين لا يساويان صفرًا 󰏡، 󰄮󰄮𞸁 هي الزاوية 𝜃 الواقعة بين ٠، ٠٨١ التي تحقق المعادلة: 𝜃=󰏡󰄮󰄮𞸁󰍼󰏡󰍼󰍹󰄮󰄮𞸁󰍹.

وبمعلومية أن المتجه 󰄮𞸏=𞸏󰄮󰄮󰄮𞹎+𞸏󰄮󰄮󰄮𞹑+𞸏󰄮󰄮𞹏١٢٣، فإننا نعرف أن: 󰍼󰄮𞸏󰍼=󰋷𞸏+𞸏+𞸏.٢١٢٢٢٣

وبما أن 󰏡=٢󰄮󰄮󰄮𞹎+٥󰄮󰄮𞹏، 󰄮󰄮𞸁=٤󰄮󰄮󰄮𞹎+٣󰄮󰄮󰄮𞹑+󰄮󰄮𞹏، فيمكننا حساب: 󰍼󰏡󰍼=󰋴٢+٠+٥=󰋴٩٢،󰍹󰄮󰄮𞸁󰍹=󰋴٤+٣+١=󰋴٦٢.٢٢٢٢٢٢

ونحن نعلم أيضًا أن حاصل الضرب القياسي لأي متجهين 󰄮𞸋=𞸋󰄮󰄮󰄮𞹎+𞸋󰄮󰄮󰄮𞹑+𞸋󰄮󰄮𞹏١٢٣، 󰄮𞸏=𞸏󰄮󰄮󰄮𞹎+𞸏󰄮󰄮󰄮𞹑+𞸏󰄮󰄮𞹏١٢٣ يساوي: 󰄮𞸋󰄮𞸏=𞸋𞸏+𞸋𞸏+𞸋𞸏.١١٢٢٣٣

ومن ثَمَّ، فإن: 󰏡󰄮󰄮𞸁=٢×٤+٠×٣+٥×١=٣١.

كما لاحظنا، فإن الزاوية 𝜃 يجب أن تحقق المعادلة: 𝜃=٣١󰋴٩٢×󰋴٦٢=٤٣٧٤٫٠.

وهذا يقودنا إلى: 𝜃=(٤٣٧٤٫٠)=٢٤٧٫١٦.١

إذن، فإن قياس الزاوية المحصورة بين المتجهين المعطيين لأقرب جزء من مائة هو ٤٧٫١٦. ونلاحظ أن الإجابة تقع بين ٠، ٠٨١، وهذا هو المدى الصحيح.

في المثال التالي، نحسب قياس الزاوية بين متجهين متوازيين.

مثال ٥: إيجاد الزاوية المحصورة بين متجهين معطيين في مستوى ثلاثي الأبعاد

أوجد الزاوية 𝜃 بين المتجهين 󰄮𞸏=󰄮󰄮󰄮𞹎+٢󰄮󰄮󰄮𞹑+󰄮󰄮𞹏، 󰄮󰄮󰄮𞸔=٣󰄮󰄮󰄮𞹎+٦󰄮󰄮󰄮𞹑+٣󰄮󰄮𞹏.

الحل

في هذا المثال، يمكننا استخدام طريقتين مختلفتين لإيجاد قياس الزاوية بين 󰄮𞸏، 󰄮󰄮󰄮𞸔. الطريقة الأولى هي استخدام الضرب القياسي لإيجاد قياس الزاوية بين متجهين، والطريقة الثانية هي استخدام خاصية المتجهات المتوازية.

الطريقة الأولى

نحن نتذكر أن الزاوية المحصورة بين أي متجهين لا يساويان صفرًا 󰄮𞸏، 󰄮󰄮󰄮𞸔 تُعطى بالعلاقة: 𝜃=󰄮𞸏󰄮󰄮󰄮𞸔󰍼󰄮𞸏󰍼󰍼󰄮󰄮󰄮𞸔󰍼.١

وبما أن 󰄮𞸏=󰄮󰄮󰄮𞹎+٢󰄮󰄮󰄮𞹑+󰄮󰄮𞹏، 󰄮󰄮󰄮𞸔=٣󰄮󰄮󰄮𞹎+٦󰄮󰄮󰄮𞹑+٣󰄮󰄮𞹏، فيمكننا حساب: 󰍼󰄮𞸏󰍼=󰋴(١)+٢+١=󰋴٦،󰍼󰄮󰄮󰄮𞸔󰍼=󰋴(٣)+٦+٣=󰋴٤٥.٢٢٢٢٢٢

ثم نوجد حاصل ضربهما القياسي كما يلي: 󰄮𞸏󰄮󰄮󰄮𞸔=(١)×(٣)+٢×٦+١×٣=٨١.

وبعد ذلك، نحصل على الزاوية 𝜃 من خلال العلاقة: 𝜃=󰄮𞸏󰄮󰄮󰄮𞸔󰍼󰄮𞸏󰍼󰍼󰄮𞸏󰍼=󰃭٨١󰋴٦󰋴٤٥󰃬=(١)=٠.١١١

وبذلك، نجد أن قياس الزاوية المحصورة بين 󰄮𞸏، 󰄮󰄮󰄮𞸔 هو ٠.

الطريقة الثانية

نتذكر أن المتجهين 󰄮𞸏، 󰄮󰄮󰄮𞸔 اللذين لا يساويان صفرًا يكونان متوازيين إذا كانت هناك كمية قياسية 𞸊٠ تحقق: 󰄮𞸏=𞸊󰄮󰄮󰄮𞸔.

فإذا كان 𞸊>٠، يكون للمتجهين الاتجاه نفسه. وفي هذه الحالة، نجد أن قياس الزاوية المحصورة بين المتجهين يساوي ٠. وإذا كان 𞸊<٠، فإن المتجهين يشيران إلى اتجاهين متضادين، وهو ما يعني أن قياس الزاوية بينهما يساوي ٠٨١.

نحن نعلم أن 󰄮𞸏=󰄮󰄮󰄮𞹎+٢󰄮󰄮󰄮𞹑+󰄮󰄮𞹏، 󰄮󰄮󰄮𞸔=٣󰄮󰄮󰄮𞹎+٦󰄮󰄮󰄮𞹑+٣󰄮󰄮𞹏. ونلاحظ أن كل إحداثي من إحداثيات 󰄮󰄮󰄮𞸔 يساوي ثلاثة أمثال الإحداثي المناظر له من إحداثيات 󰄮𞸏. بعبارة أخرى: 󰄮󰄮󰄮𞸔=٣󰄮󰄮󰄮𞹎+٦󰄮󰄮󰄮𞹑+٣󰄮󰄮𞹏=٣󰂔󰄮󰄮󰄮𞹎+٢󰄮󰄮󰄮𞹑+󰄮󰄮𞹏󰂓=٣󰄮𞸏.

إذن، 󰄮󰄮󰄮𞸔=٣󰄮𞸏، وهو ما يعني أن المتجهين 󰄮𞸏، 󰄮󰄮󰄮𞸔 متوازيان. وبما أن الكمية القياسية ٣ موجبة، فهذا يعني أن المتجهين لهما الاتجاه نفسه.

ومن ثَمَّ، فإن قياس الزاوية المحصورة بين المتجهين يساوي ٠.

في المثال التالي، نحدد الزاوية المحصورة بين متجهين معطيين بيانيًّا.

مثال ٦: إيجاد الزاوية بين متجهين معطيين من التمثيل البياني

أوجد قياس الزاوية بين المتجهين الموضحين في الشكل. قرب إجابتك لأقرب درجة.

الحل

نحن نتذكر أن الزاوية المحصورة بين أي متجهين لا يساويان صفرًا 󰄮𞸏، 󰄮󰄮󰄮𞸔 هي الزاوية: 𝜃=󰄮𞸏󰄮󰄮󰄮𞸔󰍼󰄮𞸏󰍼󰍼󰄮󰄮󰄮𞸔󰍼.١

في الشكل المُعطى، لدينا متجهان ممثَّلان بيانيًّا. وسنبدأ بإيجاد مركبات المتجهين من الرسم.

نحن نلاحظ أن المتجهين يبدآن من النقطة (١،٠،٣). وتقع نقطة نهاية المتجه الأرجواني عند (١،٢،٠) بينما تقع نقطة نهاية المتجه الأحمر عند (٠،٢،٠). ومن ثَمَّ، فإن المتجه الأرجواني يُعطى بالعلاقة: (١،٢،٠)(١،٠،٣)=(٠،٢،٣).

والمتجه الأحمر يُعطى بالعلاقة: (٠،٢،٠)(١،٠،٣)=(١،٢،٣).

وبعد ذلك، نحسب معياريهما وحاصل ضربهما القياسي لنحصل على صيغة الزاوية المحصورة بين متجهين: (٠،٢،٣)=󰋴٠+٢+(٣)=󰋴٣١،(١،٢،٣)=󰋴(١)+٢+(٣)=󰋴٤١،(٠،٢،٣)(١،٢،٣)=٠×(١)+٢×٢+(٣)×(٣)=٣١.٢٢٢٢٢٢

وبذلك، فإن الزاوية المحصورة بين المتجهين تُعطى بالعلاقة: 𝜃=󰃭٣١󰋴٣١×󰋴٤١󰃬=(٦٣٦٩٫٠)=١٥٫٥١.١١

إذن، قياس الزاوية المحصورة بين المتجهين المعطيين لأقرب درجة هو ٦١. ونلاحظ أن القيمتين تقعان بين ٠، ٠٨١، وهذا هو المدى الصحيح.

في المثال الأخير، سنحسب قياس الزاوية المحصورة بين متجهين، بمعلومية نقطتي نهايتهما.

مثال ٧: إيجاد الزاوية المحصورة بين متجهين

إذا كان 󰏡(٣،٥،٦)، 𞸁(٠،٣،،٧)، 𞸢(٨،٠١،٢)، 𞸃(٣،٩،٦)، فأوجد قياس الزاوية بين المتجهين 󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁، 󰄮󰄮󰄮𞸢𞸃 لأقرب جزء من مائة.

الحل

نحن نتذكر أن الزاوية المحصورة بين أي متجهين لا يساويان صفرًا 󰄮𞸏، 󰄮󰄮󰄮𞸔 هي الزاوية: 𝜃=󰄮𞸏󰄮󰄮󰄮𞸔󰍼󰄮𞸏󰍼󰍼󰄮󰄮󰄮𞸔󰍼.١

وعلينا تحديد المتجهين 󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁، 󰄮󰄮󰄮𞸢𞸃 قبل حساب معياريهما وحاصل ضربهما القياسي. فنحصل على: 󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁=(٠(٣)،٣(٥)،٧٦)=(٣،٨،٣١)،󰄮󰄮󰄮𞸢𞸃=(٣(٨)،٩٠١،٦(٢))=(٥،١،٤).

وبعد ذلك، نحسب: 󰍼󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁󰍼=󰋴٣+٨+(٣١)=󰋴٢٤٢،󰍹󰄮󰄮󰄮𞸢𞸃󰍹=󰋴٥+(١)+(٤)=󰋴٢٤،󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁󰄮󰄮󰄮𞸢𞸃=٣×٥+٨×(١)+(٣١)×(٤)=٩٥.٢٢٢٢٢٢

ومن ثَمَّ، نحصل على: 𝜃=󰃭٩٥󰋴٢٤٢×󰋴٢٤󰃬=١٨١٫٤٥.١ وهو ما يساوي ٨١٫٤٥ لأقرب جزء من مائة.

إذن، قياس الزاوية بين المتجهين 󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁، 󰄮󰄮󰄮𞸢𞸃 لأقرب جزء من مائة هو ٨١٫٤٥. ونلاحظ أن الإجابة تقع بين ٠، ٠٨١، وهذا هو المدى الصحيح.

هيا نلخص بعض المفاهيم المهمة في هذا الشارح.

النقاط الرئيسية

  • حاصل الضرب القياسي لمتجهين لا يساويان صفرًا 󰄮𞸋، 󰄮𞸏 يُعطى بالعلاقة: 󰄮𞸋󰄮𞸏=󰍼󰄮𞸋󰍼󰍼󰄮𞸏󰍼𝜃، حيث 𝜃 هي الزاوية المحصورة بين المتجهين.
  • الزاوية 𝜃 المحصورة بين متجهين لا يساويان صفرًا 󰄮𞸋، 󰄮𞸏 تُعطى بالعلاقة: 𝜃=󰄮𞸋󰄮𞸏󰍼󰄮𞸋󰍼󰍼󰄮𞸏󰍼.١
  • من المتعارف عليه أن الزاوية المحصورة بين متجهين هي أصغر زاوية غير سالبة بين هذين المتجهين، وهي الزاوية التي تقع بين ٠، ٠٨١.
  • إذا كان قياس الزاوية المحصورة بين متجهين هو ٠ أو ٠٨١، فإن المتجهين متوازيان.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.