في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نصنِّف القيم القصوى المحلِّية باستخدام اختبار المشتقة الثانية.
إن إيجاد القيم العظمى والصغرى المحلِّية أمر ضروري لحلِّ إلى العديد من المسائل في الرياضيات والفيزياء. على سبيل المثال، ينتقل الضوء على طول المسار الذي يقلِّل الزمن الكلِّي، ووضع الاتزان بالنسبة إلى العديد من الأنظمة هو الوضع الذي تكون فيه الطاقة عند حدِّها الأدنى. تدفع مثل هذه الأمثلة علماء الرياضيات والفيزياء إلى تطوير نظرية متقدِّمة وتقنيات عديدة لإيجاد القيم العظمى والصغرى. في هذا الشارح، سنركِّز على تقنية محدَّدة لتصنيف نقاط التوقُّف باعتبارها نقاط قيم عظمى أو صغرى باستخدام المشتقة الثانية.
لِنبدأْ بتذكُّر تعريف نقاط القيم القصوى المحلِّية ونقاط التوقُّف.
تعريف: القيم القصوى المحلِّية
لدالَّةٍ ما قيمة عظمى محلِّية عند إذا كان: لجميع قيم القريبة من . عندما نقول القريبة من ، ولتحرِّي الدِّقة، فإننا نعني أن هناك فترة ما مفتوحة حول التي خلالها تكون لجميع قيم . بالمثل، الدالة لها قيمة صغرى محلِّية عند إذا كان: لجميع قيم القريبة من .
نقاط التوقُّف
نقطة التوقُّف لدالَّةٍ ما قابلة للاشتقاق هي نقطة على الرسم البياني لـ ؛ حيث تساوي قيمة المشتقة صفرًا. أي، عندما تكون ، نقول إن لها نقطة توقُّف عند .
هناك نظرية مهمَّة في التفاضل والتكامل تربط بين القيم القصوى المحلِّية ونقاط التوقُّف، تُسمى نظرية فيرما. وتنصُّ النظرية على الآتي:
نظرية فيرما
إذا كان لدالَّةٍ ما قيمة عظمى أو قيمة صغرى محلِّية عند ، وكانت ، إذن فسيكون للدالَّةِ نقطة توقُّف عند ؛ حيث .
لِنتذكَّرْ أن العبارة العكسية لنظرية فيرما غير صحيحة؛ حيث يمكن أن توجد نقطة توقُّف ليست نقطة قيمة عظمى أو صغرى.
في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نستخدم المشتقة الثانية لتصنيف نقاط التوقُّف باعتبارها نقاط قيم عظمى أو صغرى.
تتحدَّث المشتقة الثانية عن معدَّل تغيُّر ميل المنحنى. لذا، لِننظرْ كيف يتغيَّر ميل المنحنى حول نقطة توقُّف. نبدأ بالنظر إلى القيمة الصغرى المحلِّية. على يسار القيمة الصغرى المحلِّية تكون قيمة المشتقة سالبة، وعند القيمة الصغرى المحلِّية تكون قيمة المشتقة صفرًا، وعلى يمين القيمة الصغرى المحلِّية تكون قيمة المشتقة موجبة.
يخبرنا هذا بأن قيمة المشتقة تزداد مرورًا بالقيمة الصغرى المحلِّية. إذا كان لدينا مشتقة الدالة فيمكن اعتبارها دالَّةً، ويمكننا استخدام خواص المشتقة للحصول على استنتاجات تتعلَّق بسلوكها. وتحديدًا، تذكَّرْ أنه إذا كان لدالَّةٍ معطاة مشتقة قيمتها موجبة، فإنها تزايدية. لذا، إذا كانت قيمة مشتقة المشتقة — التي نسميها المشتقة الثانية— موجبة، فيمكننا استنتاج أن المشتقة تزايدية، وبناءً عليه يكون لدينا قيمة صغرى محلِّية. يُسمى استخدام هذه الطريقة لتصنيف نقاط التوقُّف؛ اختبار المشتقة الثانية.
كذلك يمكننا بالمثل تناول كيفية تغيُّر قيمة المشتقة حول قيمة عظمى محلِّية. على يسار القيمة العظمى المحلِّية تكون قيمة المشتقة موجبة، وعند القيمة العظمى المحلِّية تساوي قيمة صفرًا، وعلى يمين القيمة المحلِّية العظمى تكون قيمة المشتقة سالبة.
إذن، باستخدام برهان مشابه، يمكننا استنتاج أنه إذا كانت قيمة المشتقة الثانية سالبة، تكون نقطة التوقُّف نقطة قيمة عظمى محلِّية.
من المثير للاهتمام، إذا كانت قيمة المشتقة الثانية صفرًا، إذن فلا يمكننا استنتاج أي شيء عن طبيعة نقطة التوقُّف. على سبيل المثال، لِننظرْ إلى الدالتين ، ؛ لكلٍّ منهما نقطة توقُّف عند ، وقيمة المشتقة الثانية لكلٍّ منهما عند هذه النقطة تساوي صفرًا. ومع ذلك, تكون نقطة توقُّف الدالة نقطة انقلاب، في حين أنها بالنسبة إلى الدالَّةِ نقطة قيمة صغرى.
الأمر بإيجاز، يمكننا استخدام اختبار المشتقة الثانية لتحديد القيم القصوى المحلِّية.
اختبار المشتقة الثانية للقيم القصوى المحلِّية
لدالَّةٍ ما قابلة للاشتقاق نقطة توقُّف عند ,
- وإذا كان ، تكون النقطة نقطة قيمة صغرى محلِّية؛
- وإذا كان ، تكون النقطة نقطة قيمة عظمى محلِّية.
إذا كان ، يكون اختبار المشتقة الثانية غير حاسم، فقد تكون النقطة نقطة قيمة عظمى محلِّية أو نقطة قيمة صغرى محلِّية أو نقطة انقلاب. في هذه الحالات، سيكون من الضروري النظر إلى النقاط بجوار لتصنيف نقطة التوقُّف.
والآن، سنتناول عددًا من الأمثلة نطبِّق فيها اختبار المشتقة الثانية لتصنيف القيم القصوى.
مثال ١: إيجاد القيم العظمى والصغرى المحلِّية
أوجد النقطة ؛ حيث لها قيمة عظمى أو صغرى محلِّية، إن وُجدت.
الحل
لدالَّةٍ ما قابلة للاشتقاق، يمكننا استخدام اختبار المشتقة الثانية، الذي ينصُّ على أنه إذا كان و عند قيمةٍ ما ، فإذن يكون للدالَّةِ قيمة عظمى محلِّية عند ، أمَّا إذا كان و ، فإذن يكون لها قيمة صغرى محلِّية . إذن نبدأ بحساب مشتقة الدالة . وبما أن لدينا دالة كثيرة الحدود،إذن يمكننا استخدام قاعدة القوى لِنشتقَّ كلَّ حدٍّ لِنحصلَ على:
يمكننا إيجاد نقاط التوقُّف للدالَّةِ من خلال حلِّ لإيجاد قيم على النحو التالي:
وبإضافة لكلا طرفَي المعادلة، نحصل على:
يمكننا الآن إيجاد قيمة المشتقة الثانية للدالَّة:ِ
وبما أن قيمتها سالبة لجميع قيم ، إذن تكون قيمتها سالبة أيضًا عند . إذن، الدالة لها قيمة عظمى محلِّية عند .
يمكننا الآن التعويض بـ في المعادلة لإيجاد القيمة العظمى:
وبذلك، سيكون للدالَّةِ قيمة عظمى عند .
يستحقُّ الأمر في أغلب الأحيان إجراء فحص صحَّة الإجابة باستخدام معرفتنا الرياضية العامَّة. على سبيل المثال، الدالة التي كانت لدينا هي دالة تربيعية، ومعامل سالب؛ وبناءً عليه، نتوقَّع أن يكون للدالَّةِ قيمة عظمى واحدة، وهي التي حصلنا عليها.
مثال ٢: استخدام اختبار المشتقة الثانية
أوجد النقاط ؛ حيث يكون لها قيم عظمى أو صغرى محلِّية، إن وُجدت.
الحل
لدالَّةٍ قابلة للاشتقاق، يمكننا استخدام اختبار المشتقة الثانية، الذي ينصُّ على أنه إذا كان و عند فإذن يكون للدالَّةِ قيمة عظمى محلِّية عند ، أمَّا إذا كان و، فإذن يكون لها قيمة صغرى محلِّية عند . لِنبدأْ إذن بحساب المشتقة الأولى والثانية للدالَّةِ . وبما أن لدينا دالة كثيرة الحدود، إذن يمكننا استخدام قاعدة القوى لنشتقَّ كلَّ حدٍّ لِنحصلَ على:
ومن خلال الاشتقاق مرةً أخرى، نحصل على:
يمكننا إيجاد نقاط التوقُّف للدالَّةِ من خلال وضع والحلِّ لِنوجدَ قيم على النحو التالي: من خلال التحليل، نحصل على:
إذن، يكون للدالَّةِ نقاط توقُّف عند ،. يمكننا الآن إيجاد قيمة المشتقة الثانية عند كلِّ قيمة لتحديد طبيعة نقطة التوقُّف. من خلال البدء بـ ، نعوِّض بهذه القيمة في المعادلة لِنوجدَ قيمة المشتقة الثانية، على النحو التالي:
وبما أن عند ، إذن يكون لدينا قيمة صغرى محلِّية عند . يمكننا الآن إيجاد قيمة الدالة عند هذه النقطة من خلال التعويض بـ في تعبير على النحو التالي:
إذن، عند ، يكون للدالَّةِ قيمة صغرى محلِّية.
وبالمثل، بالنسبة إلى ، يمكننا إيجاد قيمة عند هذه النقطة بالتعويض بـ في تعبير المشتقة الثانية، على النحو التالي:
وبما أن عند ، إذن تصبح لدينا قيمة عظمى محلِّية عند . يمكننا الآن إيجاد قيمة الدالة عند هذه النقطة من خلال التعويض بـ في تعبير على النحو التالي:
إذن، الدالة ، لها قيمة صغرى محلِّية عند وقيمة عظمى محلِّية عند .
يمكننا تطبيق الحدْس الرياضي للتحقُّق من صحَّة الإجابة. الدالة التي لدينا هي دالة تكعيبية مع معامل موجب. ويمكننا بناءً على ذلك أن نتوقَّع أن يكون للدالَّةِ إما نقطة انقلاب واحدة أو نقطتَا تحوُّل: إحداهما عظمى والأخرى صغرى. هذا بالضبط ما وجدناه. علاوةً على ذلك، بمعلومية معامل الموجب, نتوقَّع أن تقع القيمة العظمى المحلِّية عند نقطة ما إلى يسار القيمة الصغرى المحلِّية. مرةً أخرى، تؤكِّد إجابتنا صحَّة ذلك.
والآن، سنتناول مثالًا يكون فيه اختبار المشتقة الثانية غير حاسم.
مثال ٣: تصنيف نقاط التوقُّف
أوجد القيمة العظمى المحلِّية والصغرى المحلِّية للدالَّةِ .
الحل
لدالَّةٍ ما قابلة للاشتقاق، يمكننا استخدام اختبار المشتقة الثانية الذي ينصُّ على أنه إذا كان عند قيمة ما ،، ، فإذن يكون للدالَّةِ قيمة قصوى محلِّية عند ، أمَّا إذا كان ، ، فإذن يكون للدالَّةِ قيمة صغرى محلِّية عند .
نبدأ بإيجاد المشتقتين الأولى والثانية للدالَّةِ . وبما أن دالة كثيرة الحدود، إذن يمكننا استخدام قاعدة القوى لِنشتقَّ كلَّ حدٍّ لِنحصلَ على:
ومن خلال الاشتقاق مرةً أخرى، يصبح لدينا:
ولإيجاد نقاط التوقُّف للدالَّةِ ، نضع ونحلُّ المعادلة لِنوجدَ قيم :
ومن خلال تحليل حدود ، نحصل على:
إذن، يكون للدالَّةِ نقاط توقُّف عندما تكون أو . سنحاول تطبيق اختبار المشتقة الثانية من خلال إيجاد قيمة المشتقة الثانية عند القيمتين ، . من خلال البدء بـ ، والتعويض بهذه القيمة في معادلة المشتقة الثانية، نجد أن:
في هذه الحالة، لا يكون اختبار المشتقة الثانية حاسمًا، ونحتاج إلى النظر في قيمة في المنطقة المجاورة لـ . وبكتابة في الصورة التحليلية، نحصل على:
وبما أن لجميع ، إذن تُحدَّد إشارة بجوار الصفر بالكامل من خلال . يكون هذا سالبًا بالنسبة إلى جميع قيم ، لجميع قيم . إذن، تكون نقطة التوقُّف نقطة انقلاب.
ثم ننظر الآن إلى النقطة حيث . بالتعويض بهذه القيمة في تعبير المشتقة الثانية، نحصل على:
وبما أن ، إذن يكون للدالَّةِ قيمة صغرى محلِّية عند . وأخيرًا, يمكننا إيجاد القيمة الصغرى من خلال التعويض بـ في تعبير على النحو التالي:
إذن، هي نقطة قيمة صغرى محلِّية للدالَّةِ .
في الرسم البياني للدالَّةِ، يمكننا رؤية كلٍّ من نقطة الانقلاب ونقطة القيمة الصغرى.
مثال ٤: استخدام اختبار المشتقة الثانية مع الدوال الجذرية
أوجد القيم العظمى والصغرى المحلِّية لـ .
الحل
علمًا بأن لدينا دالة جذرية ذات جذور زوجية، تكون الدالة معرَّفة فقط لـ . إذا قيَّدنا مجال الدالة إلى ، يكون لدينا دالة قابلة للاشتقاق؛ ومن ثم يمكننا تطبيق اختبار المشتقة الثانية. لدالَّةٍ ما قابلة للاشتقاق نقطة توقُّف عند ،
- وإذا كان ، تكون النقطة نقطة قيمة صغرى محلِّية؛
- وإذا كان ، تكون النقطة نقطة قيمة عظمى محلِّية.
نبدأ بإيجاد المشتقتين الأولى والثانية للدالَّةِ. وبما أن لدينا دوال جذرية، إذن يمكننا تطبيق قاعدة القوى. نبدأ بإعادة كتابة الجذور في صورة أُسُس على النحو التالي:
يمكننا الآن تطبيق قاعدة القوى لِنشتقَّ كلَّ حدٍّ:
ومن خلال الاشتقاق مرةً أخرى، يصبح لدينا:
يمكننا الآن إيجاد نقاط توقُّف الدالة من خلال جعل المشتقة الأولى تساوي صفرًا، وحلِّ المعادلة لإيجاد قيم على النحو التالي:
بضرب طرفَي المعادلة في ، نحصل على:
إذن:
إذن، لها نقطة توقُّف عند . يمكننا الآن إيجاد قيمة المشتقة الثانية عند هذه النقطة لتحديد طبيعة نقطة التوقُّف. بالتعويض بـ في تعبير المشتقة الثانية، نحصل على:
وبما أن ، إذن لها قيمة صغرى محلِّية عند . لإيجاد القيمة الصغرى، نعوِّض بـ في تعبير على النحو التالي:
إذن، الدالة لها قيمة صغرى محلِّية عند .
في الرسم البياني للدالَّةِ، يمكننا أن نرى القيمة الصغرى بوضوح.
مثال ٥: استخدام اختبار المشتقة الثانية لإيجاد القيم العظمى والصغرى
أوجد القيم العظمى والصغرى المحلِّية للدالَّةِ ، إن وجدت.
الحل
بما أن الدالة قابلة للاشتقاق لجميع ، إذن يمكننا تطبيق اختبار المشتقة الثانية. تذكَّرْ أن اختبار المشتقة الثانية ينصُّ على أنه لدالَّةٍ ما قابلة للاشتقاق نقطة توقُّف عند ،
- وإذا كان ، تكون النقطة نقطة قيمة صغرى محلِّية؛
- وإذا كان ، تكون النقطة نقطة قيمة عظمى محلِّية.
نبدأ بإيجاد المشتقتين الأولى والثانية للدوال. باستخدام قاعدة القوى لاشتقاق كلِّ حدٍّ، نحصل على:
ومن خلال الاشتقاق مرةً أخرى، يصبح لدينا:
نجد الآن نقاط التوقُّف للدالَّةِ من خلال وضع وحلِّها لإيجاد قيم على النحو التالي:
وبضرب طرفَي المعادلة في: والقسمة على سبعة، نحصل على
إذن، يكون للدالَّةِ نقاط توقُّف عند ،.
من خلال البدء بـ ، نعوِّض بهذه القيمة في معادلة المشتقة الثانية لإيجاد قيمتها:
وبما أن ، إذن يكون للدالَّةِ قيمة صغرى محلِّية عند . يمكننا الآن إيجاد هذه القيمة الصغرى المحلِّية من خلال التعويض بـ في المعادلة :
إذن، يكون للدالَّةِ قيمة صغرى محلِّية تساوي ١٤ عند .
لِننظرِ الآن إلى نقطة التوقُّف الثانية. بالتعويض بـ في معادلة المشتقة الثانية، نحصل على:
وبما أن ، إذن يكون للدالَّةِ قيمة صغرى محلِّية عند . وأخيرًا، يمكننا إيجاد هذه القيمة العظمى المحلِّية من خلال التعويض بـ في المعادلة لِنحصلَ على:
إذن، يكون للدالَّةِ قيمة عظمى محلِّية تساوي عند ، وقيمة صغرى محلِّية تساوي ١٤ عند .
في البداية، قد يبدو من الغريب أن القيمة العظمى المحلِّية أقل من القيمة الصغرى المحلِّية. ومع ذلك، يوضِّح الرسم البياني سبب حدوث هذا.
مثال ٦: استخدام اختبار المشتقة الثانية لإيجاد القيم العظمى والصغرى
أوجد القيم العظمى والصغرى المحلِّية للدالَّةِ ، إن وُجدت.
الحل
بما أن معرَّفة فقط لقيمة الموجبة، إذن يكون مجال الدالة هو . خلال هذا المجال، تكون الدالة قابلة للاشتقاق. إذن، يمكننا استخدام اختبار المشتقة الثانية لتصنيف نقاط التوقُّف. لِنتذكَّرْ اختبار المشتقة الثانية: بالنسبة إلى دالَّةٍ ما قابلة للاشتقاق ولها نقطة توقُّف عند ،
- وإذا كان ، تكون النقطة نقطة قيمة صغرى محلِّية؛
- وإذا كان ، تكون النقطة نقطة قيمة عظمى محلِّية.
نبدأ بإيجاد المشتقتين الأولى والثانية للدالَّةِ . تذكَّرْ أن المشتقة . وبناءً عليه، باستخدام قاعدة القوى مع الحدود الأخرى، نحصل على:
ومن خلال الاشتقاق مرةً أخرى، يصبح لدينا:
نجد الآن نقاط التوقُّف للدالَّةِ من خلال وضع وحلِّها لإيجاد قيم على النحو التالي:
بضرب طرفَي المعادلة في، نحصل على:
ويمكن تحليل هذه المعادلة على النحو التالي:
إذن:، يكون لها نقاط توقُّف عند ، . يمكننا الآن النظر إلى قيمة المشتقة الثانية عند كلٍّ من هذه القيم لتحديد القيم العظمى والصغرى. من خلال البدء بـ والتعويض بهذا في تعبير المشتقة الثانية، نحصل على
وبما أن , إذن يكون للدالَّةِ قيمة صغرى محلِّية عند . يمكننا الآن إيجاد هذه القيمة الصغرى من خلال التعويض بـ في تعبير على النحو التالي:
إذن، يكون للدالَّةِ قيمة صغرى محلِّية تساوي عند .
يمكننا الآن النظر إلى طبيعة نقطة التوقُّف الأخرى . بالتعويض بهذه القيمة في تعبير المشتقة الثانية، نحصل على:
وبما أن ، إذن يكون للدالَّةِ قيمة عظمى محلِّية عند . يمكننا الآن إيجاد هذه القيمة العظمى من خلال التعويض بـ في تعبير على النحو التالي:
إذن، يكون للدالَّةِ قيمة عظمى محلِّية تساوي عند ، وقيمة صغرى محلِّية تساوي عند .
يوضِّح الرسم البياني بوضوح القيم العظمى والصغرى المحلِّية للدالَّةِ.
النقاط الرئيسية
- يمكن استخدام المشتقة الثانية للمساعدة في تصنيف القيمتين العظمى والصغرى لدالَّةٍ ما.
- ينصُّ اختبار المشتقة الثانية على أن، لدالَّةٍ ما قابلة للاشتقاق
نقطة توقُّف عند ,
- إذا كان ، تكون النقطة نقطة قيمة صغرى محلِّية؛
- وإذا كان ، تكون النقطة نقطة قيمة عظمى محلِّية.
- ولتطبيق اختبار المشتقة الثانية، نتَّبع الطريقة التالية:
- التحقُّق من قابلية الدالة للاشتقاق.
- إيجاد المشتقتين الأولى والثانية.
- مساواة المشتقة الأولى بصفرٍ، والحلُّ لإيجاد قيم المتغيِّر المستقلِّ.
- إيجاد قيمة المشتقة الثانية عند أصفار المشتقة الأولى، وتطبيق اختبار المشتقة الثانية.
- لإيجاد القيم العظمى والصغرى، نعوِّض بأصفار المشتقة الأولى في الدالة الأصلية.
