فيديو الدرس: اختبار المشتقة الثانية لإيجاد القيم القصوى المحلية الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نرى كيف نطبق اختبار المشتقة الثانية لتصنيف نقطة حرجة باعتبارها نقطة قيمة صغرى محلية أو نقطة قيمة عظمى محلية أو نقطة انقلاب.

يجب أن نكون بالفعل على علم بتعريف النقاط الحرجة بوصفها نقاط الدالة التي يكون ميل مماس منحنى الدالة عندها يساوي صفرًا أو يكون غير معرف، وأن نكون على علم أيضًا بكيفية إيجاد النقاط الحرجة للدالة باستخدام الاشتقاق. قد تكون على دراية أيضًا باختبار المشتقة الأولى لتصنيف النقاط الحرجة، والمسمى أيضًا بتحديد طبيعة النقاط الحرجة. يمكن أن تكون النقاط الحرجة نقاط قيم صغرى محلية أو نقاط قيم عظمى محلية أو نقاط انقلاب. وتصنف حسب شكل المنحنى عند هذه النقطة. يتحدد ذلك وفقًا لسلوك ميل المنحنى حول النقطة.

تذكر أنه، من المشتقة الأولى لدالة ما ﺩ شرطة ﺱ أو ﺩﺹ على ﺩﺱ، إذا كنا نستخدم صيغة لايبينز، فإننا نعرف منها ميل منحنى الدالة. وهو معدل تغير الدالة نفسها. وعند النقاط الحرجة، قيمة المشتقة الأولى تساوي صفرًا. ولذا، فإننا نعرف من المشتقة الثانية للدالة، وهي مشتقة المشتقة الأولى، ميل الميل. أو على نحو أكثر فائدة، نعرف منها معدل تغير ميل المنحنى. لنر كيفية تغير ميل المنحنى حول نقطة حرجة بدءًا من نقطة قيمة صغرى محلية.

برسم مماسين للمنحنى على جانبي النقطة الحرجة، نلاحظ أن ميل المنحنى؛ ومن ثم قيمة المشتقة الأولى للدالة، يكون سالبًا على يسار النقطة الحرجة وموجبًا على يمينها. يتغير الميل، ومن ثم قيمة ﺩ شرطة ﺱ، من سالب إلى صفر إلى موجب. ولذا، تزداد قيمة الميل. تذكر أنه إذا كانت الدالة تزايدية، فإن مشتقتها تكون موجبة. ونستنتج من ذلك أنه إذا كانت دالة الميل تزايدية، تكون مشتقتها موجبة.

ومشتقة دالة الميل هي المشتقة الثانية للدالة الأصلية. وعليه، يمكننا استنتاج أنه عند نقطة قيمة صغرى محلية، تكون قيمة المشتقة الثانية للدالة موجبة، حيث ﺩ شرطتان ﺱ أكبر من صفر. يمكننا تطبيق المنطق نفسه على نقطة قيمة عظمى محلية. هذه المرة، يتغير الميل ﺩ شرطة ﺱ من موجب إلى صفر إلى سالب؛ ومن ثم تتناقص قيمة ﺩ شرطة ﺱ. وإذا كانت الدالة تناقصية، فإن مشتقتها تكون سالبة. إذن، يمكننا استنتاج أنه عند نقطة قيمة عظمى محلية، تكون مشتقة ﺩ شرطة ﺱ، وهي ﺩ شرطتان ﺱ، أي قيمة المشتقة الثانية للدالة الأصلية، سالبة.

وللأسف، لا يكون اختبار المشتقة الثانية مفيدًا كثيرًا في تحديد نقاط الانقلاب. عند نقطة الانقلاب، يتغير الميل من موجب إلى صفر إلى موجب أو من سالب إلى صفر إلى سالب. ولذا، تكون إشارة ﺩ شرطة ﺱ هي نفسها على كلا جانبي نقطة الانقلاب. وبناء عليه، لا يمكننا استخدام النتائج المتعلقة بالدوال التزايدية أو التناقصية لاستخدام اختبار المشتقة الثانية في تصنيف نقطة الانقلاب. في الواقع، يتضح أنه عند نقاط الانقلاب، تكون قيمة المشتقة الثانية للدالة مساوية لصفر. ولكن يمكن أن يكون هذا صحيحًا أيضًا عند بعض نقاط القيم الصغرى المحلية أو نقاط القيم العظمى المحلية. ولذا، لا يكفي هذا لاستنتاج أن النقطة الحرجة يجب أن تكون نقطة انقلاب.

على سبيل المثال، افترض أن الدالة ﺩ ﺱ تساوي ﺱ أس أربعة. نعلم من الرسم أن للدالة نقطة قيمة صغرى محلية عند نقطة الأصل. إذا أوجدنا المشتقة الأولى ﺩ شرطة ﺱ، نجد أنها تساوي أربعة ﺱ تكعيب. وبمساواة هذا بصفر، نتأكد أنه توجد بالفعل نقطة حرجة عند ﺱ يساوي صفرًا. المشتقة الثانية للدالة ﺩ شرطتين ﺱ تساوي ١٢ﺱ تربيع. وإذا عوضنا عن ﺱ بصفر في المشتقة الثانية، فسنحصل على صفر. ولكن، كما لاحظنا، هذه النقطة الحرجة هي نقطة قيمة صغرى محلية وليست نقطة انقلاب. نستنتج من ذلك أنه إذا كانت قيمة المشتقة الثانية عند نقطة حرجة تساوي صفرًا، فعلينا استخدام اختبار المشتقة الأولى بدلًا من ذلك لتحديد طبيعة النقطة الحرجة؛ لأنها قد تكون نقطة انقلاب، ولكن قد تكون أيضًا نقطة قيمة صغرى محلية أو نقطة قيمة عظمى محلية. لنتناول الآن بعض الأمثلة.

أوجد القيم العظمى المحلية والقيم الصغرى المحلية للدالة ﺹ يساوي سالب ثلاثة ﺱ تربيع ناقص ستة ﺱ ناقص أربعة.

أولًا، نتذكر أنه عند النقاط الحرجة، فإن المشتقة الأولى للدالة، وهي ﺩﺹ على ﺩﺱ في هذه الحالة، تساوي صفرًا. إذن، خطوتنا الأولى ستكون إيجاد المشتقة الأولى لهذه الدالة. بتطبيق قاعدة القوى للاشتقاق، نجد أن ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي سالب ستة ﺱ ناقص ستة. بعد ذلك نساوي تعبير ﺩﺹ على ﺩﺱ بالصفر ونوجد قيمة ﺱ لنحصل على ﺱ يساوي سالب واحد. إذن، للدالة نقطة حرجة واحدة عند ﺱ يساوي سالب واحد.

علينا بعد ذلك إيجاد قيمة الدالة عند النقطة الحرجة، وهو ما يمكننا فعله بالتعويض عن ﺱ بسالب واحد في المعادلة المعطاة. فنحصل على ﺹ يساوي سالب ثلاثة مضروبًا في سالب واحد تربيع ناقص ستة في سالب واحد ناقص أربعة، وهو ما يبسط إلى سالب واحد. نستنتج من ذلك أن النقطة الحرجة الوحيدة لهذه الدالة هي النقطة التي إحداثياتها هي سالب واحد، سالب واحد. ولكن علينا تحديد ما إذا كانت هذه نقطة قيمة صغرى محلية أم نقطة قيمة عظمى محلية، وهو ما سنفعله من خلال تطبيق اختبار المشتقة الثانية.

لإيجاد المشتقة الثانية، علينا اشتقاق المشتقة الأولى بالنسبة إلى ﺱ. إذن، نوجد مشتقة سالب ستة ﺱ ناقص ستة بالنسبة إلى ﺱ. بتطبيق قاعدة القوى، نلاحظ أن هذه المشتقة تساوي سالب ستة. هذه المشتقة الثانية هي في الحقيقة مجرد ثابت؛ لأننا اشتققنا مقدارًا تربيعيًا مرتين. ولذا، ليس علينا التعويض بالإحداثي ﺱ عند النقطة الحرجة لإيجاد القيمة؛ لأن المشتقة الثانية عبارة عن ثابت لجميع قيم ﺱ. نلاحظ أن سالب ستة أصغر من صفر. نتذكر أنه إذا كانت قيمة المشتقة الثانية للدالة سالبة عند النقطة الحرجة، تكون النقطة الحرجة نقطة قيمة عظمى محلية. إذن، النقطة سالب واحد، سالب واحد؛ هي بالفعل نقطة قيمة عظمى محلية لهذه الدالة.

يمكننا استنتاج أن هذه الدالة ليس لها قيمة صغرى محلية، ولكن لها قيمة عظمى محلية، وهي سالب واحد. لاحظ أن هذه هي قيمة الدالة نفسها التي لدينا هنا، وليست قيمة ﺱ، على الرغم من أنهما متساويتان في هذا المثال. يمكننا التأكد من هذه النتيجة باستخدام معرفتنا بالتمثيل البياني للدوال التربيعية. بما أن معامل ﺱ تربيع في معادلة هذا المنحنى سالب، فسيكون التمثيل البياني لهذه المعادلة التربيعية عبارة عن قطع مكافئ مفتوح رأسيًا لأسفل. نعلم أن القطع المكافئ له نقطة حرجة واحدة فقط. وإذا كان معامل ﺱ تربيع سالبًا، فإن النقطة الحرجة ستكون نقطة قيمة عظمى محلية.

دعونا نتناول مثالًا آخر.

أوجد النقاط ﺱ وﺹ حيث للدالة ﺹ يساوي تسعة ﺱ زائد تسعة على ﺱ نقطة قيمة عظمى محلية أو نقطة قيمة صغرى محلية.

نقاط القيم العظمى المحلية ونقاط القيم الصغرى المحلية هي أنواع من النقاط الحرجة. ونتذكر أنه عند النقاط الحرجة لدالة، فإن المشتقة الأولى ﺩﺹ على ﺩﺱ تساوي صفرًا. قبل الاشتقاق، قد يكون من المفيد إعادة كتابة الحد الثاني في الدالة على الصورة تسعة ﺱ أس سالب واحد. يمكننا استخدام قاعدة القوى للاشتقاق لإيجاد المشتقة الأولى ﺩﺹ على ﺩﺱ. تذكر أنه عند الاشتقاق، نطرح واحدًا من الأس. ولذا، عند طرح واحد من الأس سالب واحد، فإننا نحصل على سالب اثنين وليس صفر. انتبه لذلك! فهذا خطأ شائع. يمكننا إعادة كتابة هذه المشتقة على الصورة تسعة ناقص تسعة على ﺱ تربيع ثم نساويها بالصفر.

والآن سنحل المعادلة الناتجة لإيجاد قيم ﺱ عند النقاط الحرجة. نبدأ بضرب كل حد في المعادلة في ﺱ تربيع. يمكننا بعد ذلك القسمة على تسعة لنحصل على ﺱ تربيع ناقص واحد يساوي صفرًا. نضيف واحدًا إلى كلا الطرفين ثم نحسب الجذر التربيعي في النهاية، مع تذكر أن لدينا حلًا سالبًا وحلًا موجبًا. نجد أن ﺱ يساوي موجب أو سالب واحد. إذن، لهذه الدالة نقطتان حرجتان.

علينا بعد ذلك إيجاد قيم ﺹ عند كل نقطة من النقطتين الحرجتين من خلال إيجاد قيمة الدالة نفسها. عندما تكون ﺱ تساوي موجب واحد، فإن ﺹ يساوي تسعة مضروبًا في واحد زائد تسعة على واحد، وهو ما يساوي ١٨؛ ومن ثم النقطة الحرجة هي واحد، ١٨. وعند ﺱ يساوي سالب واحد، فإن ﺹ يساوي سالب ١٨. إذن، إحداثيات النقطة الحرجة الثانية هي سالب واحد، سالب ١٨. علينا الآن تحديد ما إذا كانت هاتان النقطتان الحرجتان هما نقاط قيم صغرى محلية أو نقاط قيم عظمى محلية، وهو ما سنفعله باستخدام اختبار المشتقة الثانية. نفرغ بعض المساحة للقيام بذلك.

لإيجاد المشتقة الثانية ﺩ اثنان ﺹ على ﺩﺱ تربيع، علينا اشتقاق المشتقة الأولى وهي تسعة ناقص تسعة ﺱ أس سالب اثنين بالنسبة إلى ﺱ. بالقيام بذلك، نحصل على سالب تسعة مضروبًا في سالب اثنين ﺱ أس سالب ثلاثة، وهو ما يمكننا كتابته على الصورة ١٨ على ﺱ تكعيب. علينا بعد ذلك إيجاد قيمة هذه المشتقة الثانية عند كل نقطة من النقطتين الحرجتين. عند ﺱ يساوي سالب واحد، فإن قيمة المشتقة الثانية تساوي ١٨ على سالب واحد تكعيب، وهو ما يساوي سالب ١٨. هذا أصغر من صفر. ونتذكر أنه إذا كانت قيمة المشتقة الثانية للدالة سالبة عند نقطة حرجة، فإن النقطة الحرجة تكون نقطة قيمة عظمى محلية. بحساب قيمة المشتقة الثانية عند ﺱ يساوي موجب واحد، نحصل على ١٨ على واحد تكعيب، وهو ما يساوي ١٨. وبما أن هذا أكبر من صفر، نستنتج أن النقطة الحرجة عند ﺱ يساوي واحدًا هي نقطة قيمة صغرى حرجة.

بذلك نكون قد أكملنا المسألة. وإجابتنا هي أن النقطة واحد، ١٨؛ هي نقطة قيمة صغرى محلية والنقطة سالب واحد، سالب ١٨؛ هي نقطة قيمة عظمى محلية.

في المثال التالي، سنطبق ما نعرفه عن اختبار المشتقة الثانية لنقاط القيم القصوى المحلية على مسألة تتضمن اشتقاق دوال مثلثية.

أوجد القيم العظمى المحلية والصغرى المحلية للدالة ﺩ ﺱ يساوي ١٩ جا ﺱ زائد ١٥ جتا ﺱ، إن وجدت، مع ذكر نوعها.

نتذكر أولًا أنه عند النقاط الحرجة للدالة، فإن قيمة المشتقة الأولى ﺩ شرطة ﺱ تساوي صفرًا. علينا أيضًا أن نتذكر الدورة التي يمكننا استخدامها لاشتقاق دالتي الجيب وجيب التمام. ‏‏ﺩ شرطة ﺱ تساوي ١٩ جتا ﺱ ناقص ١٥ جا ﺱ ثم نساوي هذا بالصفر. لحل هذه المعادلة، يمكننا أولًا عزل الحدين في كلا طرفي المعادلة ثم قسمة كل منهما على جتا ﺱ و١٥، فنحصل على جا ﺱ على جتا ﺱ يساوي ١٩ على ١٥. عند هذه المرحلة، نتذكر إحدى المتطابقات المثلثية: ظا 𝜃 يساوي جا 𝜃 على جتا 𝜃. إذن، لدينا ظا ﺱ يساوي ١٩ على ١٥.

للحل، نستخدم الدالة العكسية للظل. يجب أن نتذكر عند هذه المرحلة أنه لاشتقاق الدوال المثلثية، علينا استخدام قياس الزوايا بالراديان حيث إن الشرط للنهايات المستخدمة عند استنتاج المشتقات في البداية بواسطة التعريفات الأساسية للنهايات لا تكون صحيحة إلا بالراديان. إذن، عند إيجاد قيمة ﺱ على الآلة الحاسبة، يجب أن نتأكد أننا نستخدم الراديان. نجد أن ﺱ يساوي ٠٫٩٠٢٥ راديان. ولكن ظا ﺱ دالة دورية دورتها 𝜋. إذن، توجد حلول أخرى لهذه المعادلة تناظر نقاطًا حرجة أخرى للدالة ﺩ. هذا يعني أن النقاط الحرجة توجد عند قيمة ﺱ التي وجدناها زائد أو ناقص المضاعفات الصحيحة لـ 𝜋. بإضافة 𝜋 إلى القيمة ٠٫٩٠٢٥، نحصل على ٤٫٠٤٤١ راديان. إذن، هذه هي قيمة ﺱ الثانية التي توجد عندها نقطة قيمة عظمى محلية أو نقطة قيمة صغرى محلية.

علينا بعد ذلك إيجاد قيمة الدالة ﺩ ﺱ عند كل نقطة من النقطتين الحرجتين. بالنسبة إلى النقطة الحرجة الأولى، عندما تكون قيمة ﺱ هي ٠٫٩٠٢٥، نحصل على ٢٤٫٢١ لأقرب منزلتين عشريتين. وعند النقطة الحرجة الثانية، عندما تكون قيمة ﺱ هي ٤٫٠٤٤١، نحصل على سالب ٢٤٫٢١ لأقرب منزلتين عشريتين. يبدو هذا منطقيًا؛ لأن لكل من دالتي الجيب وجيب التمام خط تماثل أفقيًا ينطبق على المحور ﺱ، وكذلك سيكون الحال للمجموع أو للفرق بين دالتي الجيب وجيب التمام؛ ما يعني أن القيمة المطلقة للقيمة العظمى المحلية ستساوي القيمة المطلقة للقيمة الصغرى المحلية.

وأخيرًا، علينا تطبيق اختبار المشتقة الثانية لتصنيف هاتين النقطتين الحرجتين. لذا دعونا نفرغ بعض المساحة. نشتق الدالة ﺩ شرطة ﺱ لنحصل على سالب ١٩ جا ﺱ ناقص ١٥ جتا ﺱ. علينا الآن حساب قيمة هذه الدالة عند كل نقطة من النقطتين الحرجتين، ولكن توجد حيلة يمكننا استخدامها هنا. بما أننا اشتققنا مرتين، فإننا في منتصف دورة الاشتقاق؛ ما يعني أن قيمة المشتقة الثانية في الواقع مطابقة تقريبًا للدالة الأصلية. يتمثل الاختلاف في أن الحدين سالبان وليسا موجبين. ولكن إذا أخذنا سالب واحد عاملًا مشتركًا خارج هذا المقدار، فإننا نلاحظ أن في هذا المثال ﺩ شرطة ﺱ تساوي سالب ﺩ ﺱ.

وهذا مفيد؛ لأننا وجدنا قيمة ﺩ ﺱ بالفعل عند كل نقطة من النقطتين الحرجتين. إذن، يمكننا استخدام القيمتين اللتين وجدناهما بالفعل لتحديد قيمتي المشتقة الثانية عند النقطتين الحرجتين. عند النقطة الحرجة الأولى، حيث ﺱ يساوي ٠٫٩٠٢٥، فإن ﺩﺱ يساوي ٢٤٫٢١. ولذا، فإن قيمة المشتقة الثانية ﺩ شرطتان ﺱ تساوي سالب ٢٤٫٢١. وبما أن هذا أصغر من صفر، نستنتج أن هذه النقطة الحرجة هي نقطة قيمة عظمى محلية. عند النقطة الحرجة الثانية، قيمة ﺩ ﺱ تساوي سالب ٢٤٫٢١. إذن، قيمة ﺩ شرطتين ﺱ تساوي موجب ٢٤٫٢١، وبما أن هذا أكبر من صفر، فإن النقطة الحرجة الثانية نقطة قيمة صغرى محلية.

إذن، لدينا القيمة الصغرى المحلية والقيمة العظمى المحلية. ولكن بسبب شكل التمثيل البياني للدالة ﺩ ﺱ، فهما يمثلان القيمة العظمى المطلقة والقيمة الصغرى المطلقة للدالة. ومن ثم، يمكننا أن نستنتج أن القيمة الصغرى المحلية والمطلقة للدالة تساوي سالب ٢٤٫٢١، والقيمة العظمى المحلية والمطلقة للدالة تساوي ٢٤٫٢١.

لنتناول المثال الأخير.

افترض أن ﺩ شرطة لأربعة تساوي صفرًا وﺩ شرطتين لأربعة تساوي سالب أربعة. ما الذي يمكن أن يقال عن ﺩ عند ﺱ يساوي أربعة؟ ‏‏ﺩ لها قيمة صغرى محلية عند ﺱ يساوي أربعة. ‏‏ﺩ لها قيمة عظمى محلية عند ﺱ يساوي أربعة. ‏‏ﺩ لها نقطة انقلاب عند ﺱ يساوي أربعة. لا يمكن تحديد طبيعة نقطة التحول لـ ﺩ عند ﺱ يساوي أربعة. أو أن ﺩ لها مماس رأسي عند ﺱ يساوي أربعة.

لنستعرض كل المعطيات تباعًا. أولًا، تخبرنا المسألة أن ﺩ شرطة لأربعة تساوي صفرًا. وإذا كانت قيمة المشتقة الأولى للدالة تساوي صفرًا عند نقطة محددة، فللدالة نقطة حرجة عند تلك النقطة. إذن، نعلم أن للدالة ﺩ نقطة حرجة عند ﺱ يساوي أربعة. وتخبرنا المسألة أن ﺩ شرطتين لأربعة تساوي سالب أربعة. إذن، فإن قيمة المشتقة الثانية للدالة ﺩ سالبة عند ﺱ يساوي أربعة. وقيمة المشتقة الثانية تكون سالبة عند نقطة قيمة عظمى محلية. إذن، يمكننا استنتاج أن للدالة ﺩ نقطة قيمة عظمى محلية عند ﺱ يساوي أربعة.

هذا هو الخيار الثاني في القائمة لدينا. ومن ثم، فالخيار الأول والثالث والرابع خيارات غير صحيحة. إذا كانت النقطة هي نقطة قيمة عظمى محلية، فلا يمكن أن تكون نقطة قيمة صغرى محلية أو نقطة انقلاب. ويمكننا تحديد طبيعة نقطة التحول هذه. لنتأمل الخيار الخامس. نعلم أن قيمة المشتقة الأولى للدالة ﺩ تساوي صفرًا عند ﺱ يساوي أربعة؛ ما يعني أن كلًا من ميل المنحنى وميل المماس يساوي صفرًا. إذن، يكون لـ ﺩ مماس أفقي وليس رأسيًا عند ﺱ يساوي أربعة. بذلك نكون قد أكملنا المسألة. للدالة ﺩ نقطة قيمة عظمى محلية عند ﺱ يساوي أربعة.

دعونا نلخص ما تعلمناه في هذا الفيديو.

إذا كانت الدالة ﺩ دالة قابلة للاشتقاق حيث قيمة المشتقة الأولى ﺩ شرطة لـ ﺃ تساوي صفرًا، فللدالة ﺩ نقطة حرجة عند ﺱ يساوي ﺃ. وإذا كانت قيمة المشتقة الثانية ﺩ شرطتين لـ ﺃ موجبة، فالنقطة الحرجة هي نقطة قيمة صغرى محلية. ولكن إذا كانت قيمة المشتقة الثانية ﺩ شرطتين لـ ﺃ سالبة، فالنقطة الحرجة هي نقطة قيمة عظمى محلية. وإذا كانت قيمة المشتقة الثانية ﺩ شرطتين لـ ﺃ تساوي صفرًا، فيمكن أن تكون النقطة الحرجة نقطة انقلاب. ولكن من الممكن أيضًا أن تكون نقطة قيمة صغرى محلية أو نقطة قيمة عظمى محلية. وفي هذه الحالة، علينا إذن استخدام اختبار المشتقة الأولى لتصنيف النقطة الحرجة.