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Utilisez la formule du binôme de Newton pour trouver la forme développée de 𝑎 moins 𝑏 à la puissance cinq.
𝑎 moins 𝑏 est une expression binomiale. C’est une expression algébrique composée de deux termes. Elle est élevée à la puissance cinq. Et on nous a dit que nous allons devoir utiliser la formule du binôme de Newton pour trouver son développement. Et donc, nous rappelons que la formule du binôme de Newton énonce que pour les entiers positifs 𝑛, 𝑥 plus 𝑦 à la puissance 𝑛 est égal à la somme de 𝑘 égale zéro à 𝑛 de 𝑛 parmi 𝑘 fois 𝑥 à la puissance 𝑛 moins 𝑘 fois 𝑦 à la puissance 𝑘.
Maintenant, cette expression peut être assez difficile en la traitant, nous pourrions donc envisager sa forme développée. Il s’agit de 𝑥 à la puissance 𝑛 plus 𝑛 parmi un fois 𝑥 à la puissance 𝑛 moins un fois 𝑦 plus 𝑛 parmi deux fois 𝑥 à la puissance 𝑛 moins deux fois 𝑦 au carré jusqu’à 𝑦 à la puissance 𝑛. Remarquez comment les puissances de 𝑥 diminuent de un à chaque fois et les puissances de 𝑦 augmentent.
Comparons cette formule à notre binôme. Nous voyons que nous pouvons poser 𝑥 égal à 𝑎, 𝑦 est égal à moins 𝑏 et 𝑛, l’exposant, est égal à cinq. Ceci signifie que le premier terme de notre développement est simplement 𝑎 à la puissance cinq. Le deuxième terme est 𝑛 parmi un, donc cinq parmi un, fois 𝑎 à la puissance cinq moins un ou 𝑎 à la puissance quatre fois moins 𝑏. Rappelez-vous que les puissances de 𝑥, ou les puissances de 𝑎 ici, diminuent de un à chaque fois, alors que les puissances de 𝑦, qui est moins 𝑏, augmentent de un à chaque fois. Donc, notre troisième terme est cinq parmi deux 𝑎 au cube moins 𝑏 au carré.
Ensuite, nous avons cinq parmi trois 𝑎 au carré fois moins 𝑏 au cube. Notre cinquième terme est cinq parmi quatre 𝑎 fois moins 𝑏 à la puissance quatre. Et notre dernier terme est moins 𝑏 à la puissance cinq. Nous allons calculer cinq parmi un, cinq parmi deux, cinq parmi trois et cinq parmi quatre. Donc, nous rappelons la formule pour nous aider à calculer 𝑛 parmi 𝑟. C’est la factorielle de 𝑛 sur la factorielle de 𝑟 fois la factorielle de moins 𝑟. Ceci signifie que cinq parmi un est cinq factorielle sur la factorielle de un fois la factorielle de cinq moins un ou la factorielle de cinq sur la factorielle de un fois quatre factorielle.
Ensuite, nous rappelons que factorielle de cinq est cinq fois quatre fois trois fois deux fois un. De même, la factorielle de quatre est quatre fois trois fois deux fois un. Et nous voyons que nous pouvons diviser par quatre, trois, deux et un. En fait, ce que nous faisons vraiment, c’est diviser par la factorielle de quatre. Et donc, nous trouvons cinq parmi un est simplement cinq divisé par un, ce qui est cinq. De la même manière, cinq parmi quatre nous donne également un résultat de cinq.
Calculons cinq parmi deux. C’est la factorielle de cinq sur la factorielle de deux fois la factorielle de cinq moins deux. C’est la factorielle de cinq sur la factorielle de deux fois la factorielle de trois. Écrivons la factorielle de cinq cette fois au lieu de cinq fois quatre fois trois fois deux fois un comme cinq fois quatre fois la factorielle de trois. Ensuite, nous voyons que nous pouvons diviser par la factorielle de trois. En écrivant deux comme deux fois un, nous pouvons voir que nous pouvons diviser par deux. Et cinq parmi deux est donc, cinq fois deux divisé par un, soit 10. Cinq parmi trois est aussi 10. Et donc, nous sommes prêts à trouver le développement.
Notre premier terme est toujours 𝑎 à la puissance cinq. Notre terme suivant est cinq 𝑎 à la puissance quatre fois moins 𝑏. Donc, c’est moins cinq 𝑎 à la puissance quatre 𝑏. Maintenant, moins 𝑏 au carré est plus 𝑏 au carré. Donc, notre troisième terme est 10𝑎 au cube 𝑏 au carré. Lorsque nous élevons au cube un nombre négatif, nous obtenons un résultat négatif. Donc, notre quatrième terme est moins 10𝑎 carré 𝑏 cube. Nous avons alors cinq 𝑎𝑏 à la puissance quatre. Et lorsque nous élevons un nombre négatif à la puissance cinq, nous obtenons un résultat négatif. Donc, notre dernier terme est moins 𝑏 à la puissance cinq.
Par conséquent, nous avons terminé. Nous avons utilisé la formule du binôme de Newton pour déterminer le développement de 𝑎 moins 𝑏 à la puissance cinq. C’est 𝑎 à la puissance cinq moins cinq 𝑎 à la puissance quatre 𝑏 plus 10𝑎 au cube 𝑏 au carré moins 10𝑎 au carré 𝑏 au cube plus cinq 𝑎𝑏 à la puissance quatre moins 𝑏 à la puissance cinq.
