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Leçon : Formule du binôme de Newton

Dans cette leçon, apprends à utiliser le triangle de Pascal pour déterminer les coefficients d’un développement algébrique de n’importe quel expression binomiale de la forme (a+b)^n.

Feuille d'activités • 25 Questions

Q1:

Développe ( 7 + 2 𝑥 ) 3 .

  • A 8 𝑥 + 8 4 𝑥 + 2 9 4 𝑥 + 3 4 3 3 2
  • B 𝑥 + 2 1 𝑥 + 1 4 7 𝑥 + 3 4 3 3 2
  • C − 𝑥 + 2 1 𝑥 − 1 4 7 𝑥 + 3 4 3 3 2
  • D − 8 𝑥 + 8 4 𝑥 − 2 9 4 𝑥 + 3 4 3 3 2

Q2:

Détermine le coefficient de 𝑥 1 0 dans le développement de 1 + 𝑥 − 𝑥 2 8 .

Q3:

Considère le développement 𝑥 + 𝑥 6 − 6 5 avec les puissances de 𝑥 en ordre décroissant. Quelles sont ses valeurs possibles sachant que le troisième terme de ce développement est égal à 640 ?

  • A 2 ; − 2
  • B12
  • C 4 ; − 4
  • D10

Q4:

Réponds aux questions suivantes pour le développement de ( 1 − 3 𝑥 ) .

Sachant que le coefficient de 𝑥 est 189, détermine 𝑛 .

  • A 𝑛 = 7
  • B 𝑛 = 8
  • C 𝑛 = 1 0
  • D 𝑛 = 9
  • E 𝑛 = 6

Ainsi, calcule la valeur du coefficient de 𝑥 .

Q5:

Utilise la formule du binôme de Newton pour déterminer le développement de ( 1 + 𝑥 ) 4 .

  • A 1 + 4 𝑥 + 6 𝑥 + 4 𝑥 + 𝑥 2 3 4
  • B 1 + 4 𝑥 + 6 𝑥 + 4 𝑥 + 4 𝑥 2 3 4
  • C 1 + 𝑥 4
  • D 1 + 3 𝑥 + 6 𝑥 + 1 0 𝑥 + 1 5 𝑥 2 3 4
  • E 𝑥 + 4 𝑥 + 4 𝑥 + 𝑥 2 3 4

Q6:

Sachant que ( 1 + 𝑐 𝑥 ) = 1 + 6 𝑥 + 𝑎 𝑥 + 𝑎 𝑥 + ⋯ + 𝑎 𝑥 et 2 𝑎 = 3 𝑎 , détermine les valeurs de 𝑛 et 𝑐 où 𝑐 ≠ 0 .

  • A 𝑛 = 3 , 𝑐 = 2
  • B 𝑛 = 4 , 𝑐 = 2
  • C 𝑛 = 4 , 𝑐 = 3
  • D 𝑛 = 3 , 𝑐 = 3

Q7:

Réponds aux questions suivantes pour le développement de ( 2 + 𝑘 𝑥 ) .

Sachant que le coefficient de 𝑥 est égal à 60 et que 𝑘 est positif, détermine 𝑘 .

  • A 𝑘 = 1 2
  • B 𝑘 = √ 1 5 4
  • C 𝑘 = 2
  • D 𝑘 = 1 4
  • E 𝑘 = 1

Ainsi, en utilisant ta valeur de 𝑘 , calcule le coefficient de 𝑥 dans le développement.

  • A 3 8
  • B 1 5
  • C384
  • D 3 2 5 6
  • E12

Q8:

Détermine le troisième terme dans le développement du binôme 1 0 𝑥 + 2 3 𝑥 2 4 .

  • A 8 0 0 3 𝑥 2
  • B 8 0 0 3 𝑥 4
  • C 4 0 0 9 𝑥 4
  • D 4 0 0 9 𝑥 2

Q9:

Détermine le troisième terme dans le développement du binôme 3 𝑥 + 7 6 𝑥 2 4 .

  • A 1 4 7 2 𝑥 2
  • B 1 4 7 2 𝑥 4
  • C 4 9 4 𝑥 4
  • D 4 9 4 𝑥 2

Q10:

Développe 6 𝑥 − 1 3 𝑥 2 2 .

  • A 3 6 𝑥 − 4 𝑥 + 1 9 𝑥 4 2
  • B 3 6 𝑥 − 1 2 𝑥 + 1 𝑥 4 2
  • C 3 6 𝑥 + 4 𝑥 + 1 9 𝑥 4 2
  • D 𝑥 − 2 𝑥 3 + 1 9 𝑥 4 2

Q11:

Développe ( 5 𝑥 + 4 𝑦 ) 4 .

  • A 6 2 5 𝑥 + 2 0 0 0 𝑥 𝑦 + 2 4 0 0 𝑥 𝑦 + 1 2 8 0 𝑥 𝑦 + 2 5 6 𝑦 4 3 2 2 3 4
  • B 𝑥 + 4 𝑥 𝑦 + 6 𝑥 𝑦 + 4 𝑥 𝑦 + 𝑦 4 3 2 2 3 4
  • C 𝑥 + 1 6 𝑥 𝑦 + 9 6 𝑥 𝑦 + 2 5 6 𝑥 𝑦 + 2 5 6 𝑦 4 3 2 2 3 4
  • D 6 2 5 𝑥 + 5 0 0 𝑥 𝑦 + 1 5 0 𝑥 𝑦 + 2 0 𝑥 𝑦 + 𝑦 4 3 2 2 3 4

Q12:

Développe l'expression ( 𝑥 + 2 𝑦 ) 2 2 .

  • A 𝑥 + 4 𝑥 𝑦 + 4 𝑦 4 2 2
  • B 𝑥 + 4 𝑥 𝑦 + 4 𝑦 2 2
  • C 𝑥 + 2 𝑥 𝑦 + 𝑦 2 2
  • D 𝑥 + 2 𝑥 𝑦 + 𝑦 4 2 2

Q13:

Développe 𝑥 4 − 1 𝑥 5 .

  • A 𝑥 1 0 2 4 − 5 𝑥 2 5 6 + 5 𝑥 3 2 − 5 8 𝑥 + 5 4 𝑥 − 1 𝑥 5 3 3 5
  • B 𝑥 − 5 𝑥 + 1 0 𝑥 − 1 0 𝑥 + 5 𝑥 − 1 𝑥 5 3 3 5
  • C 𝑥 − 2 0 𝑥 + 1 6 0 𝑥 − 6 4 0 𝑥 + 1 2 8 0 𝑥 − 1 0 2 4 𝑥 1 0 7 4 2 5
  • D 𝑥 − 2 0 𝑥 + 1 6 0 𝑥 − 6 4 0 𝑥 + 1 2 8 0 𝑥 − 1 0 2 4 1 0 8 6 4 2

Q14:

Réponds aux questions suivantes pour le développement de ( 2 + 4 𝑥 ) 𝑛 .

Sachant que le coefficient de 𝑥 2 est égal à 3 8 4 0 , détermine 𝑛 .

  • A 𝑛 = 6
  • B 𝑛 = 9
  • C 𝑛 = 7
  • D 𝑛 = 5
  • E 𝑛 = 8

Ainsi, calcule la valeur du coefficient de 𝑥 5 .

Q15:

Considère le développement de 𝑎 𝑥 + 𝑥 . Sachant que la constante de ce développement est 720, détermine toutes les valeurs possibles de 𝑎 .

  • A 4 , − 4
  • B 1 6 , − 1 6
  • C 8 , − 8
  • D 2 , − 2

Q16:

Utilise la formule du binôme de Newton pour déterminer la forme développée de ( 𝑎 + 2 𝑏 ) 4 .

  • A 𝑎 + 8 𝑎 𝑏 + 2 4 𝑎 𝑏 + 3 2 𝑎 𝑏 + 1 6 𝑏 4 3 2 2 3 4
  • B 𝑎 + 4 𝑎 𝑏 + 6 𝑎 𝑏 + 4 𝑎 𝑏 + 𝑏 4 3 2 2 3 4
  • C 𝑎 + 4 𝑎 𝑏 + 2 4 𝑎 𝑏 + 3 2 𝑎 𝑏 + 1 6 𝑏 4 3 2 2 3 4
  • D 𝑎 + 8 𝑎 𝑏 + 2 4 𝑎 𝑏 + 3 2 𝑎 𝑏 + 6 4 𝑏 4 3 2 2 3 4
  • E 𝑎 + 1 6 𝑏 4 4

Q17:

Détermine 𝑥 sachant que le rapport de ses termes médians dans le développement de ( 1 + 𝑥 ) est de 1 ∶ 2 .

Q18:

Détermine les deux termes du milieu dans le développement de ( 1 4 𝑥 + 𝑦 ) 3 .

  • A 5 8 8 𝑥 𝑦 2 , 4 2 𝑥 𝑦 2
  • B 1 9 6 𝑥 𝑦 2 , 4 2 𝑥 𝑦 2
  • C 1 9 6 𝑥 𝑦 2 , 1 4 𝑥 𝑦 2
  • D 2 7 4 4 𝑥 𝑦 2 , 1 4 𝑥 𝑦 2

Q19:

Détermine le coefficient du quatrième terme dans le développement de 𝑥 + 1 𝑥 4 .

  • A4
  • B8
  • C6
  • D14

Q20:

Lequel des nombres suivants est égal à

  • A 1 4 × 2 1 3
  • B 1 3 × 2 1 4
  • C 1 4 × 2 1 4
  • D 2 1 4
  • E 2 1 3

Q21:

Lequel des nombres suivants est égal à

  • A 1 0 × 2 9
  • B 9 × 2 1 0
  • C 1 0 × 2 1 0
  • D 2 1 0
  • E 2 9

Q22:

Évalue √ 3 + 1 + √ 3 − 1 3 3 en utilisant le théorème du développement binomial.

  • A 1 2 √ 3
  • B27
  • C12
  • D 2 7 √ 3
  • E36

Q23:

Utilise le théorème du binôme de Newton pour développer ( 2 𝑥 − 3 𝑦 ) 3 .

  • A 8 𝑥 − 3 6 𝑥 𝑦 + 5 4 𝑥 𝑦 − 2 7 𝑦 3 2 2 3
  • B 8 𝑥 − 1 2 𝑥 𝑦 + 1 8 𝑥 𝑦 − 2 7 𝑦 3 2 2 3
  • C 8 𝑥 + 3 6 𝑥 𝑦 − 5 4 𝑥 𝑦 + 2 7 𝑦 3 2 2 3
  • D 8 𝑥 − 3 6 𝑥 𝑦 − 5 4 𝑥 𝑦 − 2 7 𝑦 3 2 2 3
  • E 8 𝑥 + 3 6 𝑥 𝑦 + 5 4 𝑥 𝑦 + 2 7 𝑦 3 2 2 3

Q24:

Utilise la formule du binôme de Newton pour déterminer la forme développée de ( 𝑎 − 𝑏 ) 5 .

  • A 𝑎 − 5 𝑎 𝑏 + 1 0 𝑎 𝑏 − 1 0 𝑎 𝑏 + 5 𝑎 𝑏 − 𝑏 5 4 3 2 2 3 4 5
  • B 𝑎 + 5 𝑎 𝑏 − 1 0 𝑎 𝑏 + 1 0 𝑎 𝑏 − 5 𝑎 𝑏 + 𝑏 5 4 3 2 2 3 4 5
  • C 𝑎 + 5 𝑎 𝑏 + 1 0 𝑎 𝑏 + 1 0 𝑎 𝑏 + 5 𝑎 𝑏 + 𝑏 5 4 3 2 2 3 4 5
  • D 𝑎 − 5 𝑎 𝑏 − 1 0 𝑎 𝑏 − 1 0 𝑎 𝑏 − 5 𝑎 𝑏 − 𝑏 5 4 3 2 2 3 4 5
  • E 5 𝑎 − 5 𝑎 𝑏 + 1 0 𝑎 𝑏 − 1 0 𝑎 𝑏 + 5 𝑎 𝑏 − 𝑏 5 4 3 2 2 3 4 5

Q25:

Détermine les coefficients des termes qui résultent du développement de ( 𝑥 + 𝑦 ) 4 .

  • A 1 , 4 , 6 , 4 , 1
  • B 1 , 2 , 1
  • C 1 , 5 , 1 0 , 5 , 1
  • D 1 , 3 , 3 , 1
  • E 1 , 4 , 4 , 1
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