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Vidéo de la leçon : Formule du binôme de Newton Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à développer toute expression binomiale de la forme (𝑎 + 𝑏)^𝑛 en utilisant des combinaisons.

17:45

Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à appliquer la formule du binôme de Newton pour développer des expressions de la forme 𝑎 plus 𝑏 puissance n pour des valeurs entières et positives de 𝑛. Nous savons qu’il est possible de développer de petites puissances de binômes telles que des puissances deux ou trois en utilisant des méthodes comme la double distributivité. Ce processus devient cependant assez fastidieux lorsque l’on travaille sur des puissances supérieures, par exemple, 𝑎 plus 𝑏 puissance neuf. Notre objectif de cette vidéo est donc de trouver une méthode plus rapide pour le faire.

Considérons l’expression 𝑎 plus 𝑏 au cube pour voir comment cela pourrait fonctionner. On sait que 𝑎 plus 𝑏 au cube peut être reformulé par 𝑎 plus 𝑏 fois 𝑎 plus 𝑏 fois 𝑎 plus 𝑏. Et lorsque l’on développe cette expression à l’aide des techniques habituelles, on obtient 𝑎 au cube plus trois 𝑎 carré 𝑏 plus trois 𝑎𝑏 carré plus 𝑏 au cube. Mais d’où viennent chacun de ces termes ? Commençons par considérer le premier terme, 𝑎 au cube. Ce terme ne contient aucun 𝑏. En observant alors l’expression, on peut se demander : « De combien de façons peut-on obtenir ce terme ? C’est-à-dire, combien y a-t-il de façons de choisir zéro 𝑏 parmi les trois binômes ? »

Et on voit qu’il n’y a en fait qu’une seule façon. On doit choisir 𝑎 dans chacun des binômes. Formellement, on peut dire que cela correspond à zéro parmi trois. Il s’agit du nombre de façons de choisir zéro élément parmi un ensemble de trois éléments où l’ordre n’a pas d’importance. Et nous savons que cela est bien égal à un. Il s’agit donc du coefficient du premier terme. On pourrait même choisir de l’écrire comme zéro parmi trois fois 𝑎 au cube fois 𝑏 puissance zéro puisque 𝑏 puissance zéro est simplement égal à un.

Qu’en est-il ensuite du deuxième terme ? Cette fois, on se demande : « De combien de façons peut-on choisir un 𝑏 parmi nos trois binômes ? » On peut le calculer à la main mais on peut également utiliser la notation 𝑛C𝑟. Et on peut dire que cela est égal à un parmi trois. C’est le nombre de façons de choisir un élément parmi un ensemble de trois où l’ordre n’a pas d’importance. Et si on choisit un 𝑏, alors on doit avoir deux 𝑎. Donc, le coefficient du deuxième terme est un parmi trois. Et le terme entier est un parmi trois fois 𝑎 au carré fois 𝑏 puissance un.

Passons maintenant au terme suivant Cette fois, on choisit deux 𝑏 parmi trois binômes. Donc le coefficient du terme est deux parmi trois. C’est le nombre de façons de choisir deux b. Bien sûr, si on choisit deux 𝑏, on ne choisit plus qu’un seul 𝑎. Donc, le terme est deux parmi trois fois 𝑎 puissance un fois 𝑏 au carré. Et il ne nous reste plus qu’à réfléchir à l’origine de ce dernier terme. Qui est le terme 𝑏 au cube.

Avez-vous trouvé d’où il vient ? Cette fois, on choisit trois 𝑏 et zéro 𝑎. Donc, le coefficient est trois parmi trois. Et le terme est trois parmi trois fois 𝑎 puissance zéro fois 𝑏 au cube. Et c’est de là que viennent tous les termes. Écrivons donc la totalité de cette expression et voyons si nous pouvons trouver un moyen de la généraliser.

Prenons la forme générale d’un binôme élevé à la puissance 𝑛. C’est-à-dire 𝑎 plus 𝑏 puissance n où 𝑛 est un entier positif. Le premier terme ne contient aucun 𝑏 parmi 𝑛 ensembles de parenthèses. Ce qui signifie que l’on choisit 𝑛 𝑎. Le coefficient est alors zéro parmi 𝑛. C’est le nombre de façons de choisir zéro 𝑏 parmi 𝑛 ensembles de parenthèses. Et le terme entier est zéro parmi 𝑛 fois 𝑎 puissance n fois 𝑏 puissance zéro.

Le terme suivant contient un 𝑏, donc son coefficient est un parmi 𝑛. C’est le nombre de façons de choisir un 𝑏 parmi 𝑛 ensembles de parenthèses. Il y a un 𝑎 en moins. Ce qui donne 𝑎 puissance 𝑛 moins un. Pour le troisième terme, on choisit deux 𝑏 parmi un total de 𝑛 ensembles de parenthèses. Et on a encore une fois un a de moins. Donc, ce troisième terme est deux parmi 𝑛 fois 𝑎 puissance 𝑛 moins deux fois 𝑏 au carré. Nous savons également que le terme final contiendra 𝑛 𝑏 et zéro 𝑎. Et le nombre de façons de choisir 𝑛 𝑏 parmi 𝑛 ensembles de parenthèses est 𝑛 parmi 𝑛. Donc, ce dernier terme est 𝑛 parmi 𝑛 fois 𝑎 puissance zéro fois 𝑏 puissance 𝑛.

Mais que devons-nous faire pour les termes entre le troisième et le dernier termes ? Supposons que nous cherchions le terme qui contient 𝑟 𝑏. Nous savons alors qu’il contiendra 𝑛 moins 𝑟 𝑎. Et le nombre de façons de choisir 𝑟 𝑏 parmi 𝑛 ensembles de parenthèses est 𝑟 parmi 𝑛. On peut donc dire que le terme général du développement du binôme est 𝑟 parmi 𝑛 fois 𝑎 puissance 𝑛 moins 𝑟 fois 𝑏 puissance 𝑟. Il s’agit donc de l’expression développée de ce binôme à la puissance n.

Remarquez que zéro parmi 𝑛 et 𝑛 parmi 𝑛 sont égaux à un, de même que 𝑏 puissance zéro et 𝑎 puissance zéro. On peut donc simplifier légèrement. Et on obtient 𝑎 puissance n plus 1 parmi 𝑛 fois 𝑎 puissance 𝑛 moins un fois 𝑏 jusqu’à 𝑏 puissance 𝑛. Remarquez que l’exposant de 𝑎 diminue de un à chaque terme et que l’exposant de 𝑏 augmente de un à chaque terme. Et que la somme des exposants de 𝑎 et 𝑏 est toujours égale à 𝑛. Et cette valeur ici correspond toujours à l’exposant de 𝑏.

On rappelle que l’on peut également utiliser la notation Σ pour une somme. L’expression est donc égale à la somme de 𝑟 égale zéro à 𝑟 égale 𝑛 de 𝑟 parmi 𝑛 fois 𝑎 puissance 𝑛 moins 𝑟 fois 𝑏 puissance r, où 𝑟 parmi 𝑛 ou 𝑛C𝑟, selon l’endroit où vous êtes dans le monde, est égal à factorielle 𝑛 divisée par factorielle 𝑟 fois factorielle 𝑛 moins 𝑟. Rappelez-vous que cette formule n’est valable que pour des valeurs entières positives ou nulles de 𝑛. Maintenant que nous connaissons cette formule essentielle, voyons comment l’appliquer avec un exemple très simple.

Utilisez la formule du binôme de Newton pour développer un plus 𝑥 puissance quatre.

On rappelle que la formule du binôme de Newton nous permet de développer une expression de la forme 𝑎 plus 𝑏 puissance n, où 𝑛 est un entier supérieur ou égal à 0. On obtient alors 𝑎 puissance n plus 1 parmi 𝑛 𝑎 puissance 𝑛 moins un 𝑏 plus deux parmi 𝑛 𝑎 puissance 𝑛 moins deux 𝑏 au carré et ainsi de suite jusqu’à 𝑏 puissance n.

Nous allons donc utiliser cette formule pour développer un plus 𝑥 puissance quatre. Et nous allons pour cela définir 𝑎, 𝑏 et 𝑛 dans cet exemple. En comparant l’expression un plus 𝑥 puissance quatre avec la formule générale, on voit que l’on doit définir 𝑎 égal à un, 𝑏 égal à 𝑥 et 𝑛 égal à quatre. Et bien que ce ne soit pas intuitif, remarquez que ce développement contient toujours n plus un termes. 𝑛 est ici égal à quatre. Nous nous attendons donc à écrire cinq termes.

Ces termes pourraient éventuellement s’annuler ou se simplifier, mais notre développement initial doit contenir cinq termes. Le premier terme du développement est 𝑎 puissance n. Dans ce cas, cela fait simplement un puissance quatre. Le terme suivant est ensuite un parmi quatre fois un puissance quatre moins un fois 𝑥, soit un au cube fois 𝑥. Le troisième terme est alors deux parmi quatre fois un au carré 𝑥 au carré. Remarquez que l’on diminue l’exposant de un et que l’on augmente l’exposant de 𝑥 à chaque terme. Le terme suivant est ensuite trois parmi quatre fois un fois 𝑥 au cube. Et le tout dernier terme est 𝑥 puissance quatre.

Nous allons à présent évaluer les coefficients en rappelant la formule de 𝑟 parmi 𝑛. Cela est égal à factorielle 𝑛 sur factorielle 𝑟 fois factorielle 𝑛 moins 𝑟. Donc, un parmi quatre est égal à factorielle quatre sur factorielle un fois factorielle quatre moins un. Ce qui fait factorielle quatre sur factorielle un fois factorielle trois. Mais on rappelle que factorielle quatre est égal à quatre fois trois fois deux fois un. Donc, on peut le reformuler par quatre fois factorielle trois. Et comme factorielle un égale un, on peut simplifier cette fraction en annulant le facteur commun factorielle trois. Cela nous donne quatre sur un, ce qui est bien sûr simplement quatre.

De la même manière, le coefficient du troisième terme deux parmi quatre est égal à factorielle quatre sur factorielle deux fois factorielle quatre moins deux. On reformule ensuite factorielle quatre par quatre fois trois fois factorielle deux, mais factorielle deux est simplement égal à deux. On constate ainsi que l’on peut simplifier la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par deux fois deux, ce qui est bien sûr quatre. Ce qui nous laisse trois fois deux sur un. Soit six. On suit le même raisonnement pour trois parmi quatre. Et on trouve que le quatrième terme du développement a un coefficient de quatre.

Vous pouvez mettre la vidéo en pause si vous le souhaitez pour vérifier que c’est vrai en appliquant la formule de 𝑟 parmi 𝑛. Enfin, on remarque que un puissance quatre, un au cube, etc., sont tous égaux à un. On peut donc simplifier chacun des termes comme ceci. Par conséquent, le développement de un plus 𝑥 puissance quatre est un plus quatre 𝑥 plus six 𝑥 au carré plus quatre 𝑥 au cube plus 𝑥 puissance quatre.

Maintenant que nous avons vu une application très simple, nous allons voir comment cette formule s’applique aux binômes incluant des valeurs négatives et des racines carrées.

Développez 𝑥 moins racine carrée de deux au cube.

Nous avons ici une expression avec deux termes. Et il s’agit d’un binôme élevé à la puissance trois. Puisque cet exposant est un entier positif, nous savons que nous pouvons appliquer la formule du binôme de Newton. Elle stipule que 𝑎 plus 𝑏 puissance n, où 𝑛 est un entier positif ou nul, est égal à 𝑎 puissance n plus 1 parmi 𝑛 𝑎 puissance 𝑛 moins un 𝑏 et ainsi de suite. Nous commençons donc par comparer notre expression à la formule générale.

On définit 𝑎 égal à 𝑥. Et nous devons ensuite être très prudents avec 𝑏. Une erreur courante consiste à penser que le signe de ce terme n’a pas d’importance. Mais ce serait faux. Puisque la formule générale est définie pour 𝑎 plus 𝑏, 𝑏 doit être égal à moins racine carrée de deux. Et 𝑛 est égal à trois. Le premier terme du développement est 𝑎 puissance n. Donc, cela correspond à 𝑥 au cube. Le deuxième terme est ensuite 1 parmi 𝑛, donc un parmi trois, fois 𝑎 puissance 𝑛 moins un, donc x puissance trois moins un, c’est-à-dire 𝑥 au carré, fois 𝑏, qui est moins racine carrée de deux.

Le troisième terme est deux parmi trois fois 𝑥 fois moins racine deux au carré. Et puisque nous savons qu’il y a toujours n plus un termes dans le développement initial, nous savons que le prochain terme sera le dernier. Il s’agit du quatrième terme. Et il est égal à 𝑏 puissance n, c’est-à-dire moins racine carrée de deux au cube. Maintenant, un parmi trois est égal à factorielle trois sur factorielle un fois factorielle trois moins un. Ce qui fait trois. Et deux parmi trois est aussi égal à trois, donc on peut remplacer les coefficients un parmi trois et deux parmi trois par trois.

Une fois que nous avons fait cela, tout ce qu’il nous reste à faire est d’évaluer les puissances croissantes de moins racine carrée de deux. Et c’est assez simple. Pour le deuxième terme, on a simplement moins racine carrée de deux. On peut donc reformuler le terme par moins trois racine carrée de deux 𝑥 au carré. Moins racine carrée de deux au carré est ensuite égal à plus deux. Donc, le troisième terme devient trois fois deux fois 𝑥, ce qui est simplement six 𝑥. Et enfin, le dernier terme peut être reformulé par moins racine carrée de deux fois moins racine carrée de deux au carré. Ce qui fait moins racine carrée de deux fois deux ou moins deux racine carrée de deux. Le développement de 𝑥 moins racine carrée de deux au cube est par conséquent 𝑥 au cube moins trois racine carrée de deux 𝑥 au carré plus six 𝑥 moins deux racine carrée de deux.

Maintenant, un des grands avantages de cette formule est qu’elle est également valable pour des fractions. Voyons donc à quoi cela pourrait ressembler.

Développez 𝑥 sur quatre moins un sur 𝑥 puissance cinq.

Il s’agit donc d’un binôme. C’est-à-dire de la somme ou la différence de deux termes. Et nous cherchons à l’élever à la puissance cinq. Comme l’exposant est un entier positif, nous pouvons utiliser la formule du binôme de Newton. Elle stipule que 𝑎 plus 𝑏 puissance n, où 𝑛 est un entier positif ou nul, est égal à 𝑎 puissance n plus 1 parmi 𝑛 𝑎 puissance 𝑛 moins un 𝑏 et ainsi de suite. En comparant notre binôme à la forme générale, nous voyons que nous devons définir 𝑎 égal à 𝑥 sur quatre, 𝑏 égal à moins un sur 𝑥, et 𝑛 égal à l’exposant, donc cinq.

Le premier terme du développement est 𝑎 puissance n. Donc, c’est ici 𝑥 sur quatre puissance cinq. Le terme suivant est ensuite un parmi cinq fois 𝑥 sur quatre puissance quatre fois moins un sur 𝑥. Rappelez-vous que l’on réduit l’exposant de 𝑎 d’une unité à chaque terme. Mais que l’exposant de 𝑏 augmente d’une unité à chaque terme. Donc, le terme suivant est deux parmi cinq fois 𝑥 sur quatre au cube fois moins un sur 𝑥 au carré. Nous en sommes à la moitié. Nous savons qu’il y aura 𝑛 plus un, soit six, termes dans ce développement. Déterminons donc les trois autres.

Ils sont trois parmi cinq fois 𝑥 sur quatre au carré fois moins un sur 𝑥 au cube plus quatre parmi cinq fois 𝑥 sur quatre fois moins un sur 𝑥 puissance quatre plus moins un sur 𝑥 puissance cinq. Notre tâche consiste maintenant à simplifier chacun de ces termes. Pour le premier terme, c’est assez simple. On sait que l’on peut simplement distribuer l’exposant cinq aux deux parties de la fraction. On obtient donc 𝑥 puissance cinq sur quatre puissance cinq. Ce qui fait 𝑥 puissance cinq sur 1 024. Un parmi cinq est tout simplement égal à cinq. On sait que ce terme va être négatif puisque l’on multiplie par moins un sur 𝑥. Et 𝑥 sur quatre puissance quatre égale 𝑥 puissance quatre sur 256.

On voit alors que l’on peut annuler le diviseur commun 𝑥. Et on obtient cinq fois 𝑥 au cube sur 256 fois un, ce qui signifie que le deuxième terme est moins cinq 𝑥 au cube sur 256. Le coefficient du troisième terme est deux parmi cinq. Et cela est égal à 10. Cette fois, le terme sera positif puisque moins un sur 𝑥 au carré est égal à plus un sur 𝑥 au carré. Et 𝑥 sur quatre au cube égale 𝑥 au cube sur 64. On remarque alors que l’on peut diviser le numérateur et le dénominateur par 𝑥 au carré et par deux. 64 divisé par deux égale 32. On obtient donc cinq fois 𝑥 sur 32 fois un, ce qui nous donne cinq 𝑥 sur 32.

Continuons. Trois parmi cinq est aussi égal à 10. Ce terme sera négatif puisque moins un sur 𝑥 au cube égale moins un sur 𝑥 au cube. Et on obtient moins 10 fois 𝑥 au carré sur 16 fois un sur 𝑥 au cube. Et encore une fois, on peut annuler le diviseur commun 𝑥 au carré. On peut également annuler le diviseur commun deux, ce qui nous donne cinq et huit. On a ainsi cinq fois un sur huit fois un sur 𝑥, soit cinq sur huit 𝑥.

Il reste encore deux termes. Quatre parmi cinq égale cinq. Cette fois, on élève ce terme négatif à une puissance paire. Le résultat sera donc positif. Cela fait cinq fois 𝑥 sur quatre fois un sur 𝑥 puissance quatre. On peut ici annuler le diviseur commun 𝑥. On obtient ainsi cinq fois un sur quatre fois un sur 𝑥 au cube. Donc, ce terme est cinq sur quatre 𝑥 au cube. Le dernier terme sera négatif puisque l’on élève une valeur négative à une puissance impaire. Il est égal à moins un sur 𝑥 puissance cinq.

Et nous avons ainsi développé le binôme. 𝑥 sur quatre moins un sur 𝑥 puissance cinq est égal à 𝑥 puissance cinq sur 1 024 moins cinq 𝑥 au cube sur 256 plus cinq 𝑥 sur 32 moins cinq sur huit 𝑥 plus cinq sur quatre 𝑥 au cube moins un sur 𝑥 puissance cinq.

Nous allons maintenant récapituler les points clés de cette leçon. Dans cette vidéo, nous avons appris que l’on peut développer des binômes élevés à des puissances entières positives ou nulles en utilisant la formule 𝑎 plus 𝑏 puissance n égale 𝑎 puissance n plus un 𝑎 puissance 𝑛 moins un 𝑏 plus deux parmi 𝑛 𝑎 puissance 𝑛 moins deux 𝑏 au carré jusqu’à 𝑏 puissance 𝑛. Cela peut être écrit avec la notation Σ comme la somme de 𝑟 égale zéro à 𝑟 égale 𝑛 de 𝑟 parmi 𝑛 fois 𝑎 puissance 𝑛 moins 𝑟 fois 𝑏 puissance 𝑟, où 𝑟 parmi 𝑛 égale factorielle 𝑛 sur factorielle 𝑟 fois factorielle 𝑛 moins 𝑟. Nous avons enfin vu que le développement initial contient toujours 𝑛 plus un termes, bien que certains de ces termes puissent s’annuler ou se simplifier, et que cette formule fonctionne pour des racines carrées, des valeurs négatives et des fractions.

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