Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment développer toute expression binomiale de la forme .
Si on développe un binôme élevé à la puissance 2 on obtient :
On peut ensuite utiliser cette expression pour développer un binôme élevé à la puissance 3 :
On pourrait continuer à développer par récurrence les puissances supérieures d’un binôme mais, il faudrait énormément de temps pour obtenir ne serait-ce que la puissance 10 d’un binôme par cette méthode.
La formule du binôme de Newton nous donne une formule permettant de développer un binôme élevé à une puissance entière positive quelconque et de déterminer ainsi l’expression développée de sans passer par les puissances inférieures.
Théorème : Formule du binôme de Newton
Quel que soit l’entier positif ,
Les coefficients , également notés , sont appelés : coefficients binomiaux.
Essayons de démontrer ce théorème.
On peut écrire
Lorsque l’on multiplie cet ensemble de parenthèses pour trouver l’expression développée, on choisit ou dans chaque terme et on les multiplie tous ensemble. Par exemple, si on choisit 4 fois et 6 fois , on forme le terme . Comme ces termes doivent être additionnés, le nombre de façons différentes dont on peut choisir , 4 fois, et , 6 fois, devient le coefficient de . Essayons donc de calculer ces coefficients.
On remarque d’abord qu’il y a facteurs au total dans l’expression initiale, ce qui signifie que l’on doit faire le choix : ou , exactement fois. Si on choisit fois, cela signifie que l’on doit choisir fois et cela conduit au terme dans l’expression finale. Le coefficient de ce terme est alors le nombre de façons différentes de choisir exactement fois.
Considérons par exemple comment le terme pourrait apparaître dans le développement de :
Cela n’illustre cependant qu’une instance de . On pourrait également choisir dans différents facteurs pour obtenir le même terme :
On voit que tant qu’on choisit dans 3 facteurs parmi un total de 8 facteurs, on obtiendra au final le terme . Cela signifie que le nombre d’apparition de ce terme dans le développement est égal au nombre de façons différentes de sélectionner 3 éléments parmi 8 sans tenir compte de l’ordre de sélection. C’est le nombre de combinaisons de 3 éléments parmi 8 noté : .
On peut alors généraliser ce raisonnement et montrer que le nombre d’apparitions de dans le développement de est égal au nombre de façons différentes de choisir facteurs parmi facteurs quand l’ordre des facteurs sélectionnés n’a pas d’importance. Par conséquent, le coefficient de ce terme est . En calculant la somme de ces termes multipliés par leurs coefficients, on obtient la formule du binôme de Newton. Et cela conclut notre démonstration.
On peut vérifier cette formule pour les puissances 2 et 3 que nous avons calculées plus haut. Pour la puissance 2, la formule du binôme de Newton donne
On calcule
En rappelant également que et , on peut écrire comme attendu. Pour la puissance 3, on a
On calcule
Cela conduit à comme attendu.
Dans le premier exemple, nous allons appliquer la formule du binôme de Newton pour développer un binôme à la puissance 4.
Exemple 1: Utiliser la formule du binôme de Newton
Utilisez la formule du binôme de Newton pour développer .
Réponse
Dans cet exemple, nous devons développer un binôme élevé à la puissance 4. On rappelle que la formule du binôme de Newton nous dit que pour tout entier positif ,
Pour l’expression , on peut appliquer la formule du binôme de Newton avec , et . En substituant ces valeurs dans la formule du binôme de Newton, on obtient :
Toute puissance de 1 étant égale à 1, on peut ignorer les dans la somme. On peut alors développer la somme comme suit :
On calcule ensuite les coefficients binomiaux :
Sachant que , en remplaçant les valeurs ci-dessus dans le développement de on obtient :
Il est également possible d’appliquer la formule du binôme de Newton lorsqu’un binôme est une différence au lieu d’une somme. Dans ce cas, il faut alors écrire
Dans le prochain exemple, nous allons développer une différence élevée à la puissance 3.
Exemple 2: Développer la puissance d’un binôme à l’aide de la formule du binôme de Newton
Développez .
Réponse
Dans cet exemple, nous devons développer un binôme élevé à la puissance 3. On rappelle donc la formule du binôme de Newton, qui nous dit que pour tout entier positif ,
Avant de pouvoir appliquer la formule du binôme de Newton à cette expression, il faut remarquer que ce binôme est une différence et non une somme. On reformule donc l’expression ainsi :
On peut ensuite appliquer la formule du binôme de Newton avec , et :
On développe la somme :
Et on calcule les coefficients binomiaux :
On sait de plus que
En remplaçant les valeurs ci-dessus, le développement de devient :
Dans les exemples précédents, nous avons appliqué la formule du binôme de Newton pour développer un binôme élevé à différentes puissances. Bien que ce théorème fournisse une formule permettant de développer directement ces expressions, il peut être fastidieux de calculer les coefficients binomiaux pour des puissances élevées. Heureusement, les coefficients binomiaux vérifient une propriété de symétrie que nous rappelons ci-dessous.
Propriété : Symétrie des coefficients binomiaux
Pour des entiers positifs et tels que ,
Cela signifie que si nous avons calculé la première moitié des coefficients binomiaux (le terme médian inclus s’il y a un nombre impair de termes), les coefficients restants peuvent être déduits de ceux que nous avons déjà calculés.
Dans l’exemple suivant, nous allons utiliser cette méthode pour réduire le nombre de coefficients binomiaux à calculer lors du développement d’un binôme élevé à la puissance 5.
Exemple 3: Développer la puissance d’un binôme à l’aide de la formule du binôme de Newton
Développez .
Réponse
Dans cet exemple, nous devons développer un binôme élevé à la puissance 5. On rappelle donc que la formule du binôme de Newton nous dit que pour tout entier positif ,
Avant de pouvoir appliquer la formule du binôme de Newton à cette expression, il faut remarquer que ce binôme est une différence et non une somme. On commence donc par reformuler l’expression par
On peut ensuite appliquer la formule du binôme de Newton avec , et :
On développe la somme :
Nous devons maintenant calculer les . On peut utiliser la symétrie des coefficients binomiaux pour réduire le nombre de coefficients à calculer. On rappelle que pour tout entiers positifs et tels que ,
Cela signifie que nous avons uniquement besoin de calculer les trois premiers coefficients :
En utilisant la symétrie, on a
En substituant ces valeurs et en développant les puissances, l’expression devient
En simplifiant chaque fraction, on obtient enfin
Nous nous sommes jusqu’à présent concentrés sur le développement d’un binôme élevé à une puissance entière positive. On peut également utiliser la formule du binôme de Newton pour le processus inverse, c'est-à-dire, pour factoriser un polynôme, à condition que les coefficients respectent exactement la formule du binôme de Newton.
Dans l’exemple suivant, nous allons factoriser un polynôme de degré 7 en utilisant la formule du binôme de Newton et utiliser sa forme factorisée pour résoudre une équation.
Exemple 4: Utiliser la formule du binôme de Newton pour résoudre une équation
Déterminez la valeur de vérifiant
Réponse
Dans cet exemple, nous devons résoudre une équation polynomiale de degré 7, pour laquelle il n’existe aucune formule spécifique. Les coefficients du polynôme du membre de gauche de l’équation semblent cependant suivre un schéma familier, donné par la formule du binôme de Newton. On rappelle que la formule du binôme de Newton nous dit que pour tout entier positif ,
Si l’on peut factoriser le polynôme du membre de gauche de l’équation en la puissance d’un binôme, on pourra ensuite trouver la solution de l’équation.
Observons donc en détail les coefficients de ce polynôme. On peut voir que des puissances de 3 apparaissent aux dénominateurs et on peut réécrire le membre de gauche :
Les puissances de 3 sont les mêmes que les celles de , on peut donc les combiner et écrire
À ce stade, on commence à voir que les coefficients ressemblent aux coefficients binomiaux . Comme la puissance la plus élevée est la puissance 7, on peut supposer que . Il est maintenant raisonnable de supposer que cette expression est le développement de , mais nous devons faire quelques manipulations supplémentaires pour nous en assurer.
On peut écrire les coefficients sous cette forme en notant que et le polynôme devient alors
Ce qui est équivalent à
En utilisant la formule du binôme de Newton, ce polynôme peut être factorisé en . Cela signifie que l’équation initiale est équivalente à :
Comme , on prend la racine septième des deux membres de l’équation et on obtient
La résolution de cette équation conduit à .
Dans l’exemple précédent, nous avons factorisé un polynôme de degré 7 pour résoudre une équation. Ce raisonnement peut également permettre de démontrer des propriétés intéressantes sur les coefficients binomiaux, comme nous allons le voir dans l’exemple suivant.
Exemple 5: Calculer la somme de coefficients binomiaux
Calculez .
Réponse
Dans cet exemple, nous devons calculer la somme de coefficients binomiaux . Bien qu’il soit possible de trouver cette valeur en calculant chaque coefficient binomial et en les additionnant, il est plus rapide d’appliquer la formule du binôme de Newton pour cet exemple. On rappelle que la formule du binôme de Newton nous dit que que pour tout entier positif ,
Pour appliquer cette formule à l’expression ci-dessus, on développe la somme pour :
On voit alors que le membre de droite de l’équation ressemble à l’expression initiale, sans aucune puissance de nombres. Si on choisit et , toutes les puissances de et disparaissent. La formule du binôme de Newton nous donne alors
On en déduit que l’expression initiale est égale à . Par conséquent,
Dans l’exemple précédent, nous avons calculé la somme de coefficients binomiaux en utilisant la formule du binôme de Newton. On peut généraliser cela pour tout exposant , ce qui correspond à la formule du binôme de Newton pour un quelconque avec . Cela conduit à la propriété suivante.
Propriété : Somme des coefficients binomiaux
Pour tout entier positif ,
Nous allons maintenant voir comment utiliser la formule du binôme de Newton pour déterminer une valeur approximative d’un nombre réel élevé à une puissance entière positive. Pour calculer un nombre réel élevé à une puissance entière positive, on peut utiliser la formule du binôme de Newton pour approcher sa valeur. On commence pour cela par reformuler le nombre comme la somme d’une partie entière et d’une partie décimale ; on écrit ensuite sa puissance comme , où est un entier et . Par exemple, on peut écrire
Notez que n’est pas toujours positif et que l’entier n’est pas toujours inférieur au nombre donné. Il est en réalité plus avantageux de choisir l’entier le plus proche du nombre donné, puis de définir en conséquence. On peut ensuite développer cette puissance en utilisant la formule du binôme de Newton :
Comme , on sait que les puissances de deviendront de plus en plus petites à mesure que leur exposant augmentera. Les puissances de diminueront également ; en effet, les puissances de seront de plus en plus petites puisque les exposants de diminueront au fur et à mesure du développement. Bien que les valeurs des coefficients binomiaux puissent varier, le comportement des différentes puissances de et de va en fait provoquer une décroissance de la valeur des termes à mesure que l’on avance dans le développement de ce binôme. Autrement dit, chaque terme de la somme développée sera presque toujours plus petit que le terme précédent.
Pour obtenir une valeur avec un certain degré de précision, il n’est donc pas nécessaire de calculer tous les termes du développement. Pour calculer par exemple une valeur arrondie au millième, il est généralement suffisant d’arrêter les calculs lorsque le calcul d’un terme sera inférieur à 0,0001.
Dans le dernier exemple, nous allons utiliser cette méthode pour calculer une valeur approximative de la puissance d’un nombre proche de 1.
Exemple 6: Calculer la valeur approximative d’une puissance à l’aide de la formule du binôme de Newton
En utilisant la formule du binôme de Newton, calculez la valeur de au millième près.
Réponse
Dans cet exemple, nous devons utiliser la formule du binôme de Newton pour calculer la valeur approximative de la puissance d’un nombre proche de 1. On rappelle que la formule du binôme de Newton nous dit que
Pour approcher , on peut commencer par écrire
On peut ensuite développer cette puissance en utilisant la formule du binôme de Newton :
Notez que les puissances supérieures de 0,05 telles que sont faibles par rapport aux deux premiers termes de la somme du membre de droite de cette équation. Par conséquent, les termes de ce développement vont probablement être décroissants à mesure que nous progresserons dans le développement. Comme nous souhaitons calculer ce nombre au millième près, nous allons arrêter les calculs lorsqu’un terme sera inférieur à 0,0001. On calcule les termes
On peut ignorer les termes restants car le dernier terme est déjà inférieur au seuil de 0,0001. On calcule ensuite
La valeur approchée au millième près de est donc 1,340.
Terminons par résumer quelques concepts importants de cette fiche explicative.
Points clés
- Pour tout entier positif , Les coefficients , qui peuvent également être notés , sont appelés : coefficients binomiaux.
- On peut développer un binôme élevé à une puissance entière positive en utilisant la formule du binôme de Newton. Il est également possible de factoriser certains polynômes en utilisant la formule du binôme de Newton.
- Grâce à la propriété de symétrie des coefficients binomiaux , il suffit de calculer la première moitié des coefficients binomiaux (plus le terme médian si le nombre de termes est impair) pour obtenir tous les coefficients du développement.
- En utilisant la formule du binôme de Newton, on peut trouver une valeur approximative d’un nombre élevé à une puissance entière positive en l’écrivant : , où est l’entier le plus proche du nombre et vérifie .
