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Déterminez la valeur de l’intégrale finie de moins quatre sinus 𝜃 entre les bornes 𝜋 sur six et 𝜋.
La première chose à faire est de placer le moins quatre, qui est un terme constant, en dehors de l’intégrale. En effet, ce facteur n’a pas d’impact sur l’intégrale de sinus 𝜃. Maintenant, nous avons moins quatre multiplié par l’intégrale finie de sinus 𝜃 entre les bornes 𝜋 sur six et 𝜋.
Rappelons comment calculer une intégrale finie ; l’intégrale finie d’une fonction entre 𝑎 et 𝑏 est égale à la primitive de cette fonction calculée en 𝑥 égal 𝑏 moins la primitive de cette fonction calculée en 𝑥 égal 𝑎. Ainsi, nous allons obtenir moins quatre multiplié par moins cosinus 𝜃. Notez que nous avons toujours les mêmes bornes. En effet, si nous intégrons sinus 𝜃, soit l’une des primitives standards, nous obtenons moins cosinus 𝜃.
Maintenant, nous utilisons la formule que nous avons écrite précédemment. Nous allons remplacer 𝜃 par 𝜋 et 𝜋 sur six. En faisant cela, nous obtenons moins quatre multiplié par moins cosinus 𝜋 moins moins cosinus 𝜋 sur six. Ce sont des valeurs standards : tout d’abord, nous savons que cosinus 𝜋 est égal à moins un. Alors, nous obtenons moins quatre multiplié par un. Nous obtenons donc un parce que nous avions moins cosinus 𝜋. Or, cosinus 𝜋 est égal à moins un. Puis, moins moins un est égal à un.
Ensuite, cette valeur est égale à moins racine de trois sur deux. En effet, cosinus 𝜋 sur six est égal à racine de trois sur deux. Il s’agit aussi de l’une des valeurs trigonométriques standards que nous devons connaître. Si nous voulons mémoriser la valeur en degrés, si c’est plus facile, alors 𝜋 sur six radians est égal à 30 degrés. Or, nous savons que cosinus 30 est égal à racine de trois sur deux. Parfait.
Maintenant, voyons si nous pouvons simplifier cela. Alors, nous obtenons moins quatre. En effet, moins quatre multiplié par un est égal à moins quatre puis moins quatre racine de trois sur deux. Nous avons moins quatre racine de trois sur deux parce que nous avions moins quatre multiplié par racine de trois sur deux. Notez que nous avions moins et moins. Cela est donc devenu un signe plus. Nous pouvons donc diviser le numérateur et le dénominateur du deuxième terme par deux.
Nous pouvons donc dire que l’intégrale finie de moins quatre sinus 𝜃 entre les bornes 𝜋 sur six et 𝜋 est égale à moins quatre moins deux racine de trois.
