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Sachant que 𝑋𝐿 égale neuf centimètres, déterminez la longueur du segment 𝑋𝑍.
On remarque tout d’abord que les droites 𝐴𝑋, 𝐵𝑌, 𝐶𝑍 et 𝐷𝐿 sont parallèles. On remarque ensuite que ces quatre droites parallèles sont coupées par une droite transversale, 𝐴𝐷. La seule information dont on dispose concernant la longueur des segments, en dehors du fait que 𝑋𝐿 est égal à neuf centimètres, est que ces trois segments, 𝐴𝐵, 𝐵𝐶 et 𝐶𝐷, ont la même longueur.
Pour déterminer la longueur du segment 𝑋𝑍, on va utiliser le cas particulier du théorème de Thalès. D’après celui-ci, si au moins trois droites parallèles coupent une transversale en segments de même longueur, alors elles coupent toutes leurs transversales en segments de mêmes longueurs. Étant donné notre diagramme, le cas particulier du théorème de Thalès peut porter à confusion ici. On pourrait en effet se demander s’il implique que les segments 𝐴𝐵 et 𝑋𝑌 ont la même longueur. Ce n’est pas le cas. L’interprétation correcte est que puisque les segments 𝐴𝐵, 𝐵𝐶 et 𝐶𝐷 ont la même longueur, alors les segments 𝑋𝑌, 𝑌𝑍 et 𝑍𝐿 ont la même longueur. Autrement dit, les segments de la transversale de droite sont égaux entre eux, mais ils ne sont pas égaux aux segments de la transversale de gauche.
Pour déterminer la longueur du segment 𝑋𝑍, n’oublions qu’on a un indice: 𝑋𝐿 est égal à neuf centimètres. Notons toutes les informations utiles dont on dispose. Tout d’abord, on sait que 𝑋𝐿 est égal à 𝑋𝑌 plus 𝑌𝑍 plus 𝑍𝐿. Et on sait également que ces trois segments ont la même longueur. On pourrait donc écrire que 𝑌𝑍 est égal à 𝑋𝑌 et que 𝑍𝐿 est aussi égal à 𝑋𝑌. Par conséquent, on a que 𝑋𝐿 est égal à trois fois 𝑋𝑌.
Et comme on sait que 𝑋𝐿 est égal à neuf centimètres, on peut écrire que neuf égale trois fois 𝑋𝑌. On divise ensuite les deux membres de l’équation par trois et on obtient trois égale 𝑋𝑌. Par conséquent, 𝑋𝑌 est égal à trois centimètres. On en déduit que chacun de nos trois segments mesure trois centimètres, ce qui est cohérent avec le fait qu’on a un segment de neuf centimètres divisé en trois segments égaux.
Mais cela n’est bien sûr pas notre réponse finale. Il nous faut encore déterminer 𝑋𝑍. Le segment 𝑋𝑍 est composé de deux segments de trois centimètres, donc notre réponse finale à la question posée est que la longueur du segment 𝑋𝑍 est de six centimètres.
