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Vidéo de la leçon : Droites parallèles et sécantes : parties proportionnelles Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à utiliser certaines propriétés pour trouver la longueur d’un segment sur une droite transversale coupée par des parallèles.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à utiliser certaines propriétés pour trouver la longueur d’un segment sur une droite transversale coupée par des parallèles. Pour cela, nous verrons comment les droites parallèles peuvent générer des rapports proportionnels.

Une des propriétés des droites parallèles est si au moins trois droites parallèles coupent deux transversales, alors elles les coupent proportionnellement. Voyons à quoi cette propriété ressemble. Nous avons trois droites parallèles et deux transversales, toutes deux coupent toutes les trois droites parallèles. On rappelle qu’une transversale est une droite qui coupe au moins deux autres droites. Sur le dessin, on s’intéresse aux droites transversales 𝑙 et 𝑚, car ce sont les deux transversales qui coupent toutes les troisdroites parallèles. Les trois droites parallèles coupées par les deux transversales dans cette figure créent quatre segments.

Ici, on a noté ces segments 𝑎, 𝑏, 𝑐 et 𝑑. Grâce à notre propriété, on sait que le rapport 𝑎 sur 𝑏 est égal au rapport 𝑐 sur 𝑑. Cette proportion peut aussi s’écrire 𝑎 sur 𝑐 égal à 𝑏 sur 𝑑. Avant de poursuivre, mentionnons un cas dans lequel on peut voir et utiliser cette propriété. Cette propriété est valable et applicable dans les polygones. Modifions notre dessin pour visualiser un tel cas.

Si l’on a un quadrilatère 𝐴𝐵𝐶𝐷 et que celui-ci est coupé par le segment 𝐸𝐹 qui est parallèle à 𝐴𝐷 et 𝐵𝐶, alors on a trois segments parallèles coupés par deux transversales. Il en découle que les segments créés seront proportionnels. Autrement dit, le segment 𝐴𝐸 sur le segment 𝐸𝐵 est égal au segment 𝐷𝐹 sur le segment 𝐹𝐶.

Il existe une propriété corollaire que nous devons considérer, segments de même longueur sur les transversales. Si trois parallèles ou plus coupent une transversale en segments de même longueur, elles coupent alors toutes les transversales en segments de même longueur. Nous avons ici trois droites parallèles. Si l’on a une transversale 𝑙 telle que les deux segments créés par les parallèles sont de même longueur, alors toute transversale qui est également coupée par ces trois droites parallèles sera coupée en segments de même longueur. Sur la transversale 𝑚, les deux segments coupés seront de même longueur. Et sur la transversale 𝑛, les deux segments créés sont eux aussi de même longueur.

Attention cependant à bien interpréter cette propriété. Elle nous permet de dire que le segment 𝑎 est égal au segment 𝑏 ou encore que le segment est égal au segment 𝑑. Le fait d’avoir des segments de même longueur est sur la même droite transversale, pas entre les droites. Vous ne pouvez pas dire que le segment 𝑎 est égal au segment 𝑐. Passons maintenant à quelques exemples pour mettre en pratique ces propriétés.

Déterminez la longueur du segment 𝐸𝐹 à partir des informations présentées sur la figure.

Tout d’abord, identifions le segment 𝐸𝐹. Ensuite, listons les informations qui nous sont fournies sur la figure. On observe sur la figure que l’on a trois droites parallèles. Ainsi on peut écrire que 𝐴𝐷 est parallèle à 𝐸𝐵, qui est parallèle à 𝐹𝐶. On peut ensuite écrire que les droites 𝐷𝐹 et 𝐴𝐶 sont transversales aux trois droites parallèles. Étant donné que l’on a trois droites parallèles coupées par deux transversales, on sait que les segments créés sont coupés proportionnellement, en raison des propriétés des droites parallèles et des transversales.

On peut donc écrire que 𝐷𝐸 sur 𝐸𝐹 est égal à 𝐴𝐵 sur 𝐵𝐶. En remplaçant par les longueurs que l’on connaît, on a 48 sur 𝐸𝐹 est égal à 47 sur 141. On fait le produit en croix. On obtient 48 fois 141 est égal à 47 fois 𝐹. Par conséquent, 6768 est égal à 47 fois 𝐸𝐹. En divisant chaque membre par 47, on obtient 144 est égal à 𝐸𝐹. Puisque nos segments sont mesurés en centimètres, donc on peut conclure que 𝐸𝐹 est égal à 144 centimètres.

Dans le prochain exemple, nous allons voir un cas où on a deux droites transversales coupées par quatre droites parallèles.

Sur le dessin, les droites 𝐿 un, 𝐿 deux, 𝐿 trois et 𝐿 quatre sont parallèles. Sachant que 𝑋𝑍 vaut 12, 𝑍𝑁 vaut huit, 𝐴𝐵 vaut 10, et 𝐵𝐶 vaut cinq, quelle est la longueur du segment 𝐶𝐷 ?

Tout d’abord, commençons par compléter la figure avec les informations dont on dispose. On sait que 𝐿 un, 𝐿 deux, 𝐿 trois et 𝐿 quatre sont parallèles. On peut l’indiquer sur notre figure. Le segment 𝑋𝑍 vaut 12 et le segment 𝑍𝑁 vaut huit. Le segment 𝐴𝐵 vaut 10 et 𝐵𝐶 vaut cinq. La longueur inconnue que nous cherchons est 𝐶𝐷. On peut aussi noter que les droites 𝑀 et 𝑀 prime sont transversales aux quatre droites parallèles. Comme on a trois droites parallèles ou plus coupées par deux transversales, par conséquent on sait que les segments créés sur les deux transversales sont proportionnels. Par conséquent, d’après les propriétés des droites parallèles et des transversales, on peut écrire une proportion pour trouver 𝐶𝐷.

On a 𝑍𝑁 sur 𝐶𝐷 est égal à 𝑋𝑍 sur 𝐴𝐶. En remplaçant par les longueurs connues, on obtient huit sur 𝐶𝐷 égal à 12 sur 15. Pour trouver la distance entre 𝐴 et 𝐶, on doit additionner 10 et cinq, ce qui nous donne 15. Pour résoudre, on fait le produit en croix. On obtient huit fois 15 égal à 12 fois 𝐶𝐷. 120 égal à 12 fois 𝐶𝐷. En divisant chaque membre par 12, on trouve que 𝐶𝐷 est égal à 10.

En notant cette longueur sur la figure, on remarque une chose intéressante. Le segment 𝐴𝐵 est égal au segment 𝐶𝐷. Ces deux segments congruents. Puisqu’on connait quelque chose sur les segments de même longueur et les droites transversales, ceci signifie que nous pouvons dire que 𝑋𝑌 et 𝑍𝑁 sont eux aussi de même longueur. Par conséquent 𝑋𝑌 vaut huit, donc 𝑌𝑍 vaut quatre. Cependant, seule la longueur du segment 𝐶𝐷 nous était demandée. Nous avons déjà montré que est égal à 10 unités de longueur.

Passons à un nouvel exemple.

Sachant que 𝑋𝐿 mesure neuf centimètres, trouvez la longueur du segment 𝑋𝑍.

Tout d’abord, commençons par examiner la figure. On observe tout d’abord quatre droites parallèles : 𝐴𝑋, 𝐵𝑌, 𝐶𝑍 et 𝐷𝐿. On remarque que les droites 𝐴𝐷 et 𝑋𝐿 sont transversales aux quatre droites parallèles. On voit aussi que sur la droite 𝐴𝐷, les segments 𝐴𝐵, 𝐵𝐶 et 𝐶𝐷 sont tous de même longueur. Et l’on sait que lorsque trois droites parallèles ou plus coupent une transversale en des segments de même longueur, on sait qu’elles coupent en segments de même longueur toutes leurs transversales coupées par ces droites parallèles. Il s’agit de la propriété des segments de de même longueur sur une transversale, dont il découle que le segment 𝑋𝑌 est de même longueur que le segment 𝑌𝑍, qui est de même longueur que le segment 𝑍𝐿.

On sait également que la distance entre 𝑋 et 𝐿 est de neuf centimètres. Et comme le segment 𝑋𝐿 étant composé de trois segments de même longueur, il suffit de diviser neuf par trois pour trouver la longueur de chaque segment. On constate alors que 𝑋𝑌, 𝑌𝑍 et 𝑍𝐿 mesurent tous trois centimètres. On cherche la longueur du segment 𝑋𝑍, qui est composé de deux segments, 𝑋𝑌 et 𝑌𝑍, qui mesurent tous les deux trois centimètres. On en déduit que le segment 𝑋𝑍 mesure six centimètres.

Dans le dernier exemple, nous aurons trois droites parallèles coupées par deux transversales et nous devrons déterminer deux valeurs.

Sur la figure, trouvez les valeurs de 𝑥 et 𝑦.

Tout d’abord, on observe que l’on a trois droites parallèles, 𝐽𝑀, 𝐾𝑃 et 𝐿𝑄. On voit aussi que les droites 𝐽𝐿 et 𝑀𝑄 sont transversales aux trois droites parallèles. De plus, les segments 𝑀𝑃 et 𝑃𝑄 sont de même longueur. On déduit de ces trois informations, que l’on a ici des segments de même longueur sur des transversales. Puisque trois droites parallèles coupent une transversale en segments de même longueur, elles couperont l’autre transversale en segments de même longueur.

Par conséquent, les segments 𝐽𝐾 et 𝐾𝐿 sont de même longueur. On ajoute cette information sur la figure. Pour trouver 𝑥 et 𝑦, on peut établir deux équations. On peut écrire que 𝑀𝑃 est égal à 𝑃𝑄 et que 𝐽𝐾 est égal à 𝐾𝐿. Commençons par 𝑀𝑃 égal à 𝑃𝑄, on remplace par cinq 𝑦 moins 25 pour 𝑀𝑃 et trois 𝑦 moins sept pour 𝑃𝑄. On ajoute 25 à chaque membre de l’équation, ce qui nous donne cinq 𝑦 est égal à trois 𝑦 plus 18. On soustrait donc trois 𝑦 de chaque membre pour obtenir deux 𝑦 égal à 18. Enfin, on divise chaque membre par deux et on trouve que 𝑦 est égal à neuf.

On va procéder de façon similaire pour trouver 𝑥. On remplace par six 𝑥 moins 20 pour 𝐽𝐾 et quatre 𝑥 moins huit pour 𝐾𝐿. En ajoutant 20 à chaque membre, on obtient six 𝑥 égal à quatre 𝑥 plus 12. On soustrait alors quatre 𝑥 de chaque membre, ce qui nous donne deux 𝑥 égal à 12. En divisant par deux chaque membre, on trouve que 𝑥 est égal à six. On peut utiliser nos valeurs de 𝑥 et 𝑦 si l’on souhaite pour trouver la longueur de chaque segment. 𝐽𝐾 vaut six fois six moins 20, c’est-à-dire 16. Et comme on sait que le segment 𝐾𝐿 est de même longueur que le segment 𝐽𝐾, on en déduit qu’il vaut 16 lui aussi. Ensuite 𝑀𝑃 est égal à cinq fois neuf moins 25, c’est-à-dire 20. Et comme les segments 𝑃𝑄 et 𝑀𝑃 sont de même longueur, ils valent tous les deux 20. Seules les valeurs de 𝑥 et 𝑦 nous étaient demandées, cependant. On peut donc conclure que 𝑥 est égal à six et 𝑦 à neuf.

Pour finir, récapitulons brièvement les points clés de cette vidéo. Si au moins trois droites parallèles coupent deux transversales, alors elles les coupent proportionnellement. Ceci est applicable pour les droites parallèles et transversales dans les polygones. Et enfin, si trois droites parallèles ou plus coupent une transversale en segments de même longueur, elles coupent en segments de même longueur sur chaque transversale.

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