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Fiche explicative de la leçon : Droites parallèles et transversales: rapports proportionnels Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à trouver la longueur d’un segment inclus dans une droite transversale à plusieurs droites parallèles en utilisant les propriétés du parallélisme.

Définition: Transversale

Une transversale est une droite qui coupe au moins deux droites d’un même plan en des points distincts.

Les droites coupées par une transversale ne sont pas nécessairement parallèles;elles le seront toutefois dans tous les problèmes présentés dans cette fiche explicative.

La figure ci-dessous présente deux exemples de transversales, les droites 𝐴𝐶 et 𝐷𝐹, qui coupent chacune des trois droites parallèles en des points distincts. On peut voir que la transversale 𝐴𝐶 coupe les droites aux points 𝐴, 𝐵 et 𝐶, tandis que la transversale 𝐷𝐹 les coupe aux points 𝐷, 𝐸 et 𝐹.

Sur les transversales, on peut observer quatre segments distincts définis par les points d’intersection avec les trois droites parallèles. Le segment d’extrémités 𝐴 et 𝐵𝐴𝐵, ainsi que celui d’extrémités 𝐵 et 𝐶𝐵𝐶 sont sur la transversale 𝐴𝐶. De même, le segment d’extrémités 𝐷 et 𝐸𝐷𝐸, ainsi que celui d’extrémités 𝐸 et 𝐹𝐸𝐹 se situent sur la transversale 𝐷𝐹.

Lorsqu’une transversale coupe des droites parallèles, les angles correspondants sont égaux. Par conséquent, sur la figure, les quadrilatères 𝐴𝐵𝐸𝐷 et 𝐵𝐶𝐹𝐸 sont semblables. Chacun de nos quatre segments est un côté de l'un de ces quadrilatères, avec 𝐴𝐵 correspondant à 𝐵𝐶 et 𝐷𝐸 correspondant à 𝐸𝐹. Ce fait nous amène au théorème suivant sur les droites parallèles et leurs transversales.

Théorème: Le théorème de proportionnalité (théorème de Thalès)

Si trois droites parallèles (ou plus) coupent deux transversales, alors elles les coupent proportionnellement.

On déduit de ce théorème que le rapport, sur notre figure, des longueurs de 𝐴𝐵 et 𝐵𝐶 est égal au rapport des longueurs de 𝐷𝐸 et 𝐸𝐹. On a donc la proportion  𝐴𝐵𝐵𝐶=𝐷𝐸𝐸𝐹.

On remarque que chacun des rapports de cette proportion fait intervenir les longueurs de deux segments d’une même transversale. Cependant, on pourrait aussi écrire une proportion telle que, dans chaque rapport, la première longueur serait celle d’un segment d’une transversale et la seconde, celle du segment correspondant sur l’autre transversale. Autrement dit,  𝐴𝐵𝐷𝐸=𝐵𝐶𝐸𝐹.

On obtiendra le même résultat que l’on utilise l’une ou l’autre de ces proportions pour déterminer la longueur d’un segment;en effet, le produit en croix donne l’équation (𝐸𝐹)(𝐴𝐵)=(𝐵𝐶)(𝐷𝐸), ou une équation équivalente, quelle que soit la proportion choisie.

Imaginons maintenant que notre figure soit plutôt telle qu’elle apparaît ci-dessous, avec 𝐷𝐸 et 𝐸𝐹 de même longueur.

On aurait alors 𝐷𝐸=𝐸𝐹 et l’on pourrait remplacer 𝐷𝐸, dans la proportion 𝐴𝐵𝐵𝐶=𝐷𝐸𝐸𝐹, par 𝐸𝐹 pour obtenir  𝐴𝐵𝐵𝐶=𝐷𝐸𝐷𝐸.

Ainsi, le membre de droite de l’équation vaut 1 et par conséquent 𝐴𝐵=𝐵𝐶. Cette constatation nous mène à un nouveau théorème sur les droites parallèles et leurs transversales.

Théorème: Cas particulier du théorème de Thalès

Si trois droites parallèles (ou plus) coupent l'une de leurs transversales en segments de même longueur, alors elles coupent toutes leurs transversales en segments de mêmes longueurs.

Mettons maintenant en pratique ces deux théorèmes pour trouver la longueur de segments de transversales dans des problèmes impliquant au moins trois droites parallèles coupées par des transversales.

Exemple 1: Utiliser les propriétés des droites parallèles et des transversales pour trouver la longueur d’un segment

Déterminez la longueur de 𝐸𝐹 en utilisant les informations de la figure ci-dessous.

Réponse

On observe trois droites parallèles sur la figure:𝐴𝐷𝐵𝐸𝐶𝐹.

On constate aussi que deux transversales, 𝐷𝐹 et 𝐴𝐶, coupent ces trois droites parallèles. On rappelle qu’une transversale est une droite qui coupe au moins deux droites d’un même plan en des points distincts. D’après le théorème de Thalès, si trois droites parallèles (ou plus) coupent deux transversales, alors elles les coupent proportionnellement. Par conséquent, on sait que le rapport des longueurs de 𝐷𝐸 et 𝐸𝐹 est égal au rapport des longueurs de 𝐴𝐵 et 𝐵𝐶. On peut donc écrire la proportion  𝐷𝐸𝐸𝐹=𝐴𝐵𝐵𝐶.

On lit sur la figure que 𝐷𝐸=48cm, 𝐴𝐵=47cm et 𝐵𝐶=141cm;on remplace par ces valeurs dans notre proportion et on obtient 48𝐸𝐹=47141.

Le produit en croix nous donne ensuite l’équation  (141)(48)=(𝐸𝐹)(47), que l’on peut simplifier en  6768=47𝐸𝐹.

Enfin, on divise de chaque côté de l’équation par 47 et on trouve  144=𝐸𝐹.

Par conséquent, 𝐸𝐹 mesure 144 cm sur notre figure.

Note:

Pour résoudre ce problème, on aurait aussi pu écrire la proportion  𝐷𝐸𝐴𝐵=𝐸𝐹𝐵𝐶.

On voit que, dans chaque rapport de cette proportion, l’une des longueurs est celle d’un segment de l’une des transversales et l’autre est celle du segment correspondant sur l’autre transversale. Si l’on remplace par les valeurs des longueurs connues, on obtient  4847=𝐸𝐹141, et si l’on multiplie des deux côtés de l’équation par 141, on trouve  144=𝐸𝐹.

Ainsi, quelle que soit la proportion utilisée, on arrive au même résultat pour la longueur de 𝐸𝐹. On conclut à nouveau que 𝐸𝐹 mesure 144 cm.

Dans l’exemple suivant, nous utiliserons à nouveau le théorème de Thalès pour déterminer la longueur d’un segment. Cependant, il nous faudra également utiliser le fait que la longueur d’un segment est égale à la somme des longueurs des segments disjoints qui le composent.

Exemple 2: Utiliser les propriétés des droites parallèles et des transversales pour trouver la longueur d’un segment

Sur la figure ci-dessous, les droites 𝐿, 𝐿, 𝐿 et 𝐿 sont parallèles. Sachant que 𝑋𝑍=12, 𝑍𝑁=8, 𝐴𝐵=10 et 𝐵𝐶=5, quelle est la longueur de 𝐶𝐷?

Réponse

On nous dit dans l’énoncé que  𝐿𝐿𝐿𝐿.

On connaît également les longueurs de 𝑋𝑍, 𝑍𝑁, 𝐴𝐵 et 𝐵𝐶, ce qui nous permet de compléter la figure avec ces informations:

On voit que les droites 𝐿, 𝐿, 𝐿 et  𝐿 sont toutes coupées par deux transversales, 𝑀 et 𝑀. On rappelle que d’après le théorème de Thalès, si trois droites parallèles (ou plus) coupent deux transversales, alors elles les coupent proportionnellement. Ainsi, le rapport des longueurs de 𝑋𝑍 et 𝑍𝑁 est égal au rapport des longueurs de 𝐴𝐶 et 𝐶𝐷. On peut donc écrire la proportion  𝑋𝑍𝑍𝑁=𝐴𝐶𝐶𝐷.

On remarque que les longueurs de 𝐴𝐶 et 𝐶𝐷 ne sont pas données dans l’énoncé, mais on connaît les longueurs de 𝐴𝐵 et 𝐵𝐶. En utilisant le fait que la longueur d’un segment est égale à la somme des longueurs des segments disjoints qui le composent, on va pouvoir réécrire la proportion sous une forme permettant la résolution du problème. En effet, puisque 𝐴𝐶=𝐴𝐵+𝐵𝐶, on a  𝑋𝑍𝑍𝑁=𝐴𝐵+𝐵𝐶𝐶𝐷.

On remplace par les valeurs de 𝑋𝑍, 𝑍𝑁, 𝐴𝐵 et  𝐵𝐶 données dans l’énoncé et on obtient  128=10+5𝐶𝐷. que l'on peut simplifier en  128=15𝐶𝐷.

Le produit en croix nous donne ensuite l’équation  (𝐶𝐷)(12)=(8)(15). que l'on simplifie en  12𝐶𝐷=120.

Enfin, on trouve la valeur de 𝐶𝐷 en divisant chaque côté de l’équation par 12;on obtient alors 𝐶𝐷=10.

On peut donc conclure que 𝐶𝐷 a une longueur de 10 sur notre figure.

Passons maintenant à un problème dans lequel nous utiliserons le cas particulier du théorème de Thalès pour déterminer la longueur d’un segment.

Exemple 3: Trouver les longueurs de segments proportionnels en utilisant les propriétés des droites parallèles et des transversales

Sachant que 𝑋𝐿=9cm, déterminez la longueur de 𝑋𝑍.

Réponse

On constate que l’on a quatre droites parallèles dans ce problème:𝐴𝑋𝐵𝑌𝐶𝑍𝐷𝐿.

Deux transversales coupent ces quatre droites pour former les segments 𝐴𝐵, 𝐵𝐶 et 𝐶𝐷 sur la transversale 𝐴𝐷, où  𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐷, et les segments 𝑋𝑌, 𝑌𝑍 et 𝑍𝐿 sur la transversale 𝑋𝐿, 𝑋𝐿 mesure 9 cm. Il nous est demandé, à partir de ces informations, de déterminer la longueur de 𝑋𝑍.

On rappelle que, d’après le cas particulier du théorème de Thalès, si trois droites parallèles (ou plus) coupent l'une de leurs transversales en segments de même longueur, alors elles coupent toutes leurs transversales en segments de mêmes longueurs. Ainsi, puisqu’ici on a 𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐷, alors on a aussi 𝑋𝑌𝑌𝑍𝑍𝐿.

On commence par utiliser le fait que la longueur d’un segment est égale à la somme des longueurs des segments disjoints qui le composent pour écrire l’équation  𝑋𝐿=𝑋𝑌+𝑌𝑍+𝑍𝐿.

Puisque 𝑋𝑌𝑌𝑍𝑍𝐿, on sait que 𝑋𝑌=𝑌𝑍=𝑍𝐿. On peut donc remplacer par 𝑋𝑌, dans l’équation 𝑋𝐿=𝑋𝑌+𝑌𝑍+𝑍𝐿, à la place de 𝑌𝑍 et 𝑍𝐿;on obtient alors 𝑋𝐿=𝑋𝑌+𝑋𝑌+𝑋𝑌, que l'on peut réécrire 𝑋𝐿=3𝑋𝑌.

Il est dit dans l’énoncé que 𝑋𝐿 mesure 9 cm;ainsi, dans notre équation 𝑋𝐿=3𝑋𝑌, on peut remplacer la longueur de 𝑋𝐿 par 9 et l’on obtient 9=3𝑋𝑌 puis l’on divise par 3 des deux côtés pour trouver 𝑋𝑌=3.

Puisque 𝑋𝑌 et 𝑌𝑍 sont de même longueur, on a aussi  𝑌𝑍=3.

La longueur d’un segment étant égale à la somme des longueurs des segments qui le composent, on peut écrire l’équation  𝑋𝑍=𝑋𝑌+𝑌𝑍, dans laquelle on remplace 𝑋𝑌 et 𝑌𝑍 par 3 pour trouver  𝑋𝑍=3+3,𝑋𝑍=6.ou

Ainsi, 𝑋𝑍 mesure 6 cm sur notre figure.

Note:

On peut aussi résoudre ce problème en utilisant le théorème de Thalès. D’après ce théorème, si trois droites parallèles (ou plus) coupent deux transversales, alors elles les coupent proportionnellement. Pour déterminer la longueur de 𝑋𝑍 en utilisant le théorème, on doit poser une proportion à partir des informations données dans l’énoncé et la résoudre.

Pour commencer, supposons que la longueur de 𝐴𝐷 est 𝑛. On pose  𝐴𝐷=𝑛.

La longueur d’un segment étant égale à la somme des longueurs des segments disjoints qui le composent, on peut écrire l’équation  𝐴𝐷=𝐴𝐵+𝐵𝐶+𝐶𝐷.

On remplace par 𝐴𝐵+𝐵𝐶+𝐶𝐷 dans l’équation 𝐴𝐷=𝑛, à la place de 𝐴𝐷, et on obtient  𝐴𝐵+𝐵𝐶+𝐶𝐷=𝑛.

Puisque 𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐷, on sait que 𝐴𝐵=𝐵𝐶=𝐶𝐷. Par conséquent, on peut remplacer par 𝐴𝐵 dans l’équation 𝐴𝐵+𝐵𝐶+𝐶𝐷=𝑛, à la place de 𝐵𝐶 et 𝐶𝐷, et on obtient  𝐴𝐵+𝐴𝐵+𝐴𝐵=𝑛, que l'on peut réécrire  3𝐴𝐵=𝑛.

On divise ensuite des deux côtés par 3 et l’on obtient  𝐴𝐵=13𝑛.

On sait que 𝐴𝐵 et  𝐵𝐶 sont de même longueur, donc on a également 𝐵𝐶=13𝑛. On peut maintenant trouver la longueur de 𝐴𝐶 en fonction de 𝑛, en utilisant à nouveau le fait que la longueur d’un segment est égale à la somme des longueurs des segments qui le composent:𝐴𝐶=𝐴𝐵+𝐵𝐶=13𝑛+13𝑛=23𝑛.

Maintenant que l'on sait que la longueur de 𝐴𝐷 est 𝑛 et que la longueur de 𝐴𝐶 est 23𝑛, on peut écrire une proportion que l’on résoudra pour trouver la longueur de 𝑋𝑍. On observe sur la figure que 𝐴𝐶 correspond à 𝑋𝑍 et que 𝐴𝐷 correspond à 𝑋𝐿;on peut donc écrire 𝐴𝐶𝐴𝐷=𝑋𝑍𝑋𝐿.

En remplaçant ensuite pa  23𝑛 à la place de 𝐴𝐶, par 𝑛 à la place de 𝐴𝐷 et par 9 à la place de 𝑋𝐿, on obtient  𝑛𝑛=𝑋𝑍9.

On simplifie l’équation en  23=𝑋𝑍9, et l’on multiplie des deux côtés par 9 pour obtenir  6=𝑋𝑍.

On a donc à nouveau trouvé que 𝑋𝑍 mesure 6 cm sur notre figure.

La longueur d’un segment n’est pas toujours un entier. Elle peut aussi être exprimée en fonction de variables. Dans l’exemple suivant, nous utiliserons le théorème de Thalès pour trouver la valeur d’une variable impliquée dans l’expression d’une longueur.

Exemple 4: Déterminer la valeur d’une inconnue ainsi que la longueur d’un segment en utilisant les propriétés des droites parallèles et en résolvant des équations linéaires 

Sur la figure ci-dessous, 𝐴𝐵=10, 𝐵𝐶=(𝑥+1), 𝐶𝐷=20, 𝐸𝐹=10 et 𝐹𝐺=10. Déterminez la valeur de 𝑥 et la longueur de 𝐺𝐻.

Réponse

Commençons par compléter la figure en indiquant les longueurs de 𝐴𝐵, 𝐵𝐶, 𝐶𝐷, 𝐸𝐹 et 𝐹𝐺 données dans l’énoncé:

On observe quatre droites parallèles sur la figure:𝐴𝐸𝐵𝐹𝐶𝐺𝐷𝐻.

On constate aussi que chacune de ces droites est coupée par deux transversales, 𝐴𝐷 et 𝐸𝐻. D’après le théorème de Thalès, si trois droites parallèles (ou plus) coupent deux transversales, alors elles les coupent proportionnellement. Ainsi, le rapport des longueurs de 𝐴𝐵 et 𝐵𝐶 est égal au rapport des longueurs de 𝐸𝐹 et 𝐹𝐺. On peut donc écrire la proportion  𝐴𝐵𝐵𝐶=𝐸𝐹𝐹𝐺.

Dans cette proportion, on remplace 𝐴𝐵, 𝐵𝐶, 𝐸𝐹 et  𝐹𝐺 par les valeurs données dans l’énoncé et on obtient  10𝑥+1=1010, puis l’on simplifie le membre de droite et on a  10𝑥+1=1.

Pour éliminer le dénominateur du membre de gauche, on multiplie chacun des côtés par 𝑥+1 et l’on obtient  10=𝑥+1, puis l’on soustrait 1 de chaque côté pour résoudre l’équation et ainsi trouver la valeur de 𝑥𝑥=9.

Nous devons à présent déterminer la longueur de 𝐺𝐻;pour cela, on peut utiliser à nouveau le théorème de Thalès, qui nous permet d’écrire la proportion 𝐴𝐵𝐶𝐷=𝐸𝐹𝐺𝐻.

Dans cette proportion, on remplace 𝐴𝐵, 𝐶𝐷 et 𝐸𝐹 par les valeurs données dans l’énoncé et on obtient 1020=10𝐺𝐻.

On remarque que les deux fractions de notre proportion ont le même numérateur. Par conséquent, leurs dénominateurs sont eux aussi égaux;on a donc 𝐺𝐻=20.

On conclut que 𝑥=9 et 𝐺𝐻=20 sur notre figure.

Dans le dernier exemple, nous devrons trouver la valeur non pas d’une mais de deux variables, en utilisant cette fois le cas particulier du théorème de Thalès.

Exemple 5: Utiliser les propriétés des droites parallèles pour former des équations linéaires et les résoudre pour trouver la longueur de segments

Déterminez les valeurs de 𝑥 et 𝑦 sur la figure ci-dessous.

Réponse

On observe trois droites parallèles sur la figure:𝐽𝑀𝐾𝑃𝐿𝑄.

On constate aussi que deux transversales coupent ces trois droites pour former les segments 𝐽𝐾 et 𝐾𝐿 sur la transversale 𝐽𝐿 et les segments 𝑀𝑃 et 𝑃𝑄 sur la transversale 𝑀𝑄, avec 𝑀𝑃𝑃𝑄.

On rappelle que, d’après le cas particulier du théorème de Thalès, si trois droites parallèles (ou plus) coupent l'une de leurs transversales en segments de même longueur, alors elles coupent toutes leurs transversales en segments de mêmes longueurs. Ainsi, puisqu’ici 𝑀𝑃𝑃𝑄, alors 𝐽𝐾𝐾𝐿.

On a donc deux paires de segments de mêmes longueurs,  𝑀𝑃=𝑃𝑄𝐽𝐾=𝐾𝐿.et

On lit sur la figure que 𝐽𝐾=6𝑥20, 𝐾𝐿=4𝑥8, 𝑀𝑃=5𝑦25 et 𝑃𝑄=3𝑦7;dans les deux égalités ci-dessous, on peut remplacer chaque longueur par l’expression correspondante pour obtenir les équations 5𝑦25=3𝑦76𝑥20=4𝑥8.et

Résolvons ces deux équations l’une après l’autre. Commençons par l’équation 6𝑥20=4𝑥8;on soustrait 4𝑥 de chaque côté et on obtient 2𝑥20=8, puis on ajoute 20 de chaque côté et notre équation devient 2𝑥=12.

Enfin, on divise des deux côtés par 2 pour trouver  𝑥=6.

Passons maintenant à l’équation 5𝑦25=3𝑦7;on soustrait 3𝑦 de chaque côté et on obtient 2𝑦25=7, puis on ajoute 25 de chaque côté et notre équation devient 2𝑦=18.

Enfin, on divise des deux côtés par 2 pour trouver  𝑦=9.

On conclut donc que 𝑥=6 et 𝑦=9 sur notre figure.

Note:

On peut aussi résoudre ce problème en utilisant le théorème de Thalès. On rappelle que, d’après ce théorème, si trois droites parallèles (ou plus) coupent deux transversales, alors elles les coupent proportionnellement. Ainsi, le rapport des longueurs de 𝐽𝐾 et 𝐾𝐿 est égal au rapport des longueurs de 𝑀𝑃 et 𝑃𝑄. On peut donc écrire la proportion  𝐽𝐾𝐾𝐿=𝑀𝑃𝑃𝑄.

On peut remplacer chaque longueur de segment par l’expression correspondante pour obtenir  6𝑥204𝑥8=5𝑦253𝑦7.

Puisque l’on sait que 𝑀𝑃=𝑃𝑄, on sait également que 𝑀𝑃𝑃𝑄=1. Par conséquent, on a  6𝑥204𝑥8=5𝑦253𝑦7=1, que l'on réécrit en deux équations distinctes,  6𝑥204𝑥8=15𝑦253𝑦7=1.et

Pour résoudre l’équation 6𝑥204𝑥8=1, on commence par éliminer le dénominateur du membre de gauche en multipliant de chaque côté par 4𝑥8. On obtient  6𝑥20=4𝑥8, soit la même équation que celle que nous avions résolue avec la méthode appliquée précédemment pour trouver la valeur de 𝑥.

Pour résoudre l’équation 5𝑦253𝑦7=1, on commence par éliminer le dénominateur du membre de gauche en multipliant par 3𝑦7 de chaque côté. On obtient alors  5𝑦25=3𝑦7, soit la même équation que celle que nous avions résolue avec la méthode appliquée précédemment pour trouver la valeur de 𝑦. Par conséquent, nous obtiendrons avec cette méthode les mêmes valeurs que précédemment pour 𝑥 et 𝑦. On peut donc conclure à nouveau que 𝑥=6 et 𝑦=9.

Récapitulons, pour finir, quelques points clés.

Points clés

  • Une transversale est une droite qui coupe au moins deux droites d’un même plan en des points distincts.
  • D’après le théorème de Thalès, si trois droites parallèles (ou plus) coupent deux transversales, alors elles les coupent proportionnellement.
  • D’après le cas particulier du théorème de Thalès, si trois droites parallèles (ou plus) coupent l'une de leurs transversales en segments de même longueur, alors elles coupent toutes leurs transversales en segments de mêmes longueurs.
  • La longueur d’un segment est égale à la somme des longueurs des segments disjoints qui le composent.

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