Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à trouver la longueur d’un segment inclus dans une droite transversale à plusieurs droites parallèles en utilisant les propriétés du parallélisme.
Définition: Transversale
Une transversale est une droite qui coupe au moins deux droites d’un même plan en des points distincts.
Les droites coupées par une transversale ne sont pas nécessairement parallèles ; elles le seront toutefois dans tous les problèmes présentés dans cette fiche explicative.
La figure ci-dessous présente deux exemples de transversales, les droites et , qui coupent chacune des trois droites parallèles en des points distincts. On peut voir que la transversale coupe les droites aux points , et , tandis que la transversale les coupe aux points , et .
Sur les transversales, on peut observer quatre segments distincts définis par les points d’intersection avec les trois droites parallèles. Le segment d’extrémités et , ainsi que celui d’extrémités et sont sur la transversale . De même, le segment d’extrémités et , ainsi que celui d’extrémités et se situent sur la transversale .
Lorsqu’une transversale coupe des droites parallèles, les angles correspondants sont égaux. Par conséquent, sur la figure, les quadrilatères et sont semblables. Chacun de nos quatre segments est un côté de l'un de ces quadrilatères, avec correspondant à et correspondant à . Ce fait nous amène au théorème suivant sur les droites parallèles et leurs transversales.
Théorème: Le théorème de proportionnalité (théorème de Thalès)
Si trois droites parallèles (ou plus) coupent deux transversales, alors elles les coupent proportionnellement.
On déduit de ce théorème que le rapport, sur notre figure, des longueurs de et est égal au rapport des longueurs de et . On a donc la proportion
On remarque que chacun des rapports de cette proportion fait intervenir les longueurs de deux segments d’une même transversale. Cependant, on pourrait aussi écrire une proportion telle que, dans chaque rapport, la première longueur serait celle d’un segment d’une transversale et la seconde, celle du segment correspondant sur l’autre transversale. Autrement dit,
On obtiendra le même résultat que l’on utilise l’une ou l’autre de ces proportions pour déterminer la longueur d’un segment ; en effet, le produit en croix donne l’équation , ou une équation équivalente, quelle que soit la proportion choisie.
Imaginons maintenant que notre figure soit plutôt telle qu’elle apparaît ci-dessous, avec et de même longueur.
On aurait alors et l’on pourrait remplacer , dans la proportion , par pour obtenir
Ainsi, le membre de droite de l’équation vaut 1 et par conséquent . Cette constatation nous mène à un nouveau théorème sur les droites parallèles et leurs transversales.
Théorème: Cas particulier du théorème de Thalès
Si trois droites parallèles (ou plus) coupent l'une de leurs transversales en segments de même longueur, alors elles coupent toutes leurs transversales en segments de mêmes longueurs.
Mettons maintenant en pratique ces deux théorèmes pour trouver la longueur de segments de transversales dans des problèmes impliquant au moins trois droites parallèles coupées par des transversales.
Exemple 1: Utiliser les propriétés des droites parallèles et des transversales pour trouver la longueur d’un segment
Déterminez la longueur de en utilisant les informations de la figure ci-dessous.
Réponse
On observe trois droites parallèles sur la figure :
On constate aussi que deux transversales, et , coupent ces trois droites parallèles. On rappelle qu’une transversale est une droite qui coupe au moins deux droites d’un même plan en des points distincts. D’après le théorème de Thalès, si trois droites parallèles (ou plus) coupent deux transversales, alors elles les coupent proportionnellement. Par conséquent, on sait que le rapport des longueurs de et est égal au rapport des longueurs de et . On peut donc écrire la proportion
On lit sur la figure que , et ; on remplace par ces valeurs dans notre proportion et on obtient
Le produit en croix nous donne ensuite l’équation que l’on peut simplifier en
Enfin, on divise de chaque côté de l’équation par 47 et on trouve
Par conséquent, mesure 144 cm sur notre figure.
Note:
Pour résoudre ce problème, on aurait aussi pu écrire la proportion
On voit que, dans chaque rapport de cette proportion, l’une des longueurs est celle d’un segment de l’une des transversales et l’autre est celle du segment correspondant sur l’autre transversale. Si l’on remplace par les valeurs des longueurs connues, on obtient et si l’on multiplie des deux côtés de l’équation par 141, on trouve
Ainsi, quelle que soit la proportion utilisée, on arrive au même résultat pour la longueur de . On conclut à nouveau que mesure 144 cm.
Dans l’exemple suivant, nous utiliserons à nouveau le théorème de Thalès pour déterminer la longueur d’un segment. Cependant, il nous faudra également utiliser le fait que la longueur d’un segment est égale à la somme des longueurs des segments disjoints qui le composent.
Exemple 2: Utiliser les propriétés des droites parallèles et des transversales pour trouver la longueur d’un segment
Sur la figure ci-dessous, les droites , , et sont parallèles. Sachant que , , et , quelle est la longueur de ?
Réponse
On nous dit dans l’énoncé que
On connaît également les longueurs de , , et , ce qui nous permet de compléter la figure avec ces informations :
On voit que les droites , , et sont toutes coupées par deux transversales, et . On rappelle que d’après le théorème de Thalès, si trois droites parallèles (ou plus) coupent deux transversales, alors elles les coupent proportionnellement. Ainsi, le rapport des longueurs de et est égal au rapport des longueurs de et . On peut donc écrire la proportion
On remarque que les longueurs de et ne sont pas données dans l’énoncé, mais on connaît les longueurs de et . En utilisant le fait que la longueur d’un segment est égale à la somme des longueurs des segments disjoints qui le composent, on va pouvoir réécrire la proportion sous une forme permettant la résolution du problème. En effet, puisque , on a
On remplace par les valeurs de , , et données dans l’énoncé et on obtient que l'on peut simplifier en
Le produit en croix nous donne ensuite l’équation que l'on simplifie en
Enfin, on trouve la valeur de en divisant chaque côté de l’équation par 12 ; on obtient alors
On peut donc conclure que a une longueur de 10 sur notre figure.
Passons maintenant à un problème dans lequel nous utiliserons le cas particulier du théorème de Thalès pour déterminer la longueur d’un segment.
Exemple 3: Trouver les longueurs de segments proportionnels en utilisant les propriétés des droites parallèles et des transversales
Sachant que , déterminez la longueur de .
Réponse
On constate que l’on a quatre droites parallèles dans ce problème :
Deux transversales coupent ces quatre droites pour former les segments , et sur la transversale , où , et les segments , et sur la transversale , où mesure 9 cm. Il nous est demandé, à partir de ces informations, de déterminer la longueur de .
On rappelle que, d’après le cas particulier du théorème de Thalès, si trois droites parallèles (ou plus) coupent l'une de leurs transversales en segments de même longueur, alors elles coupent toutes leurs transversales en segments de mêmes longueurs. Ainsi, puisqu’ici on a , alors on a aussi .
On commence par utiliser le fait que la longueur d’un segment est égale à la somme des longueurs des segments disjoints qui le composent pour écrire l’équation
Puisque , on sait que . On peut donc remplacer par , dans l’équation , à la place de et ; on obtient alors que l'on peut réécrire
Il est dit dans l’énoncé que mesure 9 cm ; ainsi, dans notre équation , on peut remplacer la longueur de par 9 et l’on obtient puis l’on divise par 3 des deux côtés pour trouver
Puisque et sont de même longueur, on a aussi
La longueur d’un segment étant égale à la somme des longueurs des segments qui le composent, on peut écrire l’équation dans laquelle on remplace et par 3 pour trouver
Ainsi, mesure 6 cm sur notre figure.
Note:
On peut aussi résoudre ce problème en utilisant le théorème de Thalès. D’après ce théorème, si trois droites parallèles (ou plus) coupent deux transversales, alors elles les coupent proportionnellement. Pour déterminer la longueur de en utilisant le théorème, on doit poser une proportion à partir des informations données dans l’énoncé et la résoudre.
Pour commencer, supposons que la longueur de est . On pose
La longueur d’un segment étant égale à la somme des longueurs des segments disjoints qui le composent, on peut écrire l’équation
On remplace par dans l’équation , à la place de , et on obtient
Puisque , on sait que . Par conséquent, on peut remplacer par dans l’équation , à la place de et , et on obtient que l'on peut réécrire
On divise ensuite des deux côtés par 3 et l’on obtient
On sait que et sont de même longueur, donc on a également . On peut maintenant trouver la longueur de en fonction de , en utilisant à nouveau le fait que la longueur d’un segment est égale à la somme des longueurs des segments qui le composent :
Maintenant que l'on sait que la longueur de est et que la longueur de est , on peut écrire une proportion que l’on résoudra pour trouver la longueur de . On observe sur la figure que correspond à et que correspond à ; on peut donc écrire
En remplaçant ensuite pa à la place de , par à la place de et par 9 à la place de , on obtient
On simplifie l’équation en et l’on multiplie des deux côtés par 9 pour obtenir
On a donc à nouveau trouvé que mesure 6 cm sur notre figure.
La longueur d’un segment n’est pas toujours un entier. Elle peut aussi être exprimée en fonction de variables. Dans l’exemple suivant, nous utiliserons le théorème de Thalès pour trouver la valeur d’une variable impliquée dans l’expression d’une longueur.
Exemple 4: Déterminer la valeur d’une inconnue ainsi que la longueur d’un segment en utilisant les propriétés des droites parallèles et en résolvant des équations linéaires
Sur la figure ci-dessous, , , , et . Déterminez la valeur de et la longueur de .
Réponse
Commençons par compléter la figure en indiquant les longueurs de , , , et données dans l’énoncé :
On observe quatre droites parallèles sur la figure :
On constate aussi que chacune de ces droites est coupée par deux transversales, et . D’après le théorème de Thalès, si trois droites parallèles (ou plus) coupent deux transversales, alors elles les coupent proportionnellement. Ainsi, le rapport des longueurs de et est égal au rapport des longueurs de et . On peut donc écrire la proportion
Dans cette proportion, on remplace , , et par les valeurs données dans l’énoncé et on obtient puis l’on simplifie le membre de droite et on a
Pour éliminer le dénominateur du membre de gauche, on multiplie chacun des côtés par et l’on obtient puis l’on soustrait 1 de chaque côté pour résoudre l’équation et ainsi trouver la valeur de ,
Nous devons à présent déterminer la longueur de ; pour cela, on peut utiliser à nouveau le théorème de Thalès, qui nous permet d’écrire la proportion
Dans cette proportion, on remplace , et par les valeurs données dans l’énoncé et on obtient
On remarque que les deux fractions de notre proportion ont le même numérateur. Par conséquent, leurs dénominateurs sont eux aussi égaux ; on a donc
On conclut que et sur notre figure.
Dans le dernier exemple, nous devrons trouver la valeur non pas d’une mais de deux variables, en utilisant cette fois le cas particulier du théorème de Thalès.
Exemple 5: Utiliser les propriétés des droites parallèles pour former des équations linéaires et les résoudre pour trouver la longueur de segments
Déterminez les valeurs de et sur la figure ci-dessous.
Réponse
On observe trois droites parallèles sur la figure :
On constate aussi que deux transversales coupent ces trois droites pour former les segments et sur la transversale et les segments et sur la transversale , avec .
On rappelle que, d’après le cas particulier du théorème de Thalès, si trois droites parallèles (ou plus) coupent l'une de leurs transversales en segments de même longueur, alors elles coupent toutes leurs transversales en segments de mêmes longueurs. Ainsi, puisqu’ici , alors .
On a donc deux paires de segments de mêmes longueurs,
On lit sur la figure que , , et ; dans les deux égalités ci-dessous, on peut remplacer chaque longueur par l’expression correspondante pour obtenir les équations
Résolvons ces deux équations l’une après l’autre. Commençons par l’équation ; on soustrait de chaque côté et on obtient puis on ajoute 20 de chaque côté et notre équation devient
Enfin, on divise des deux côtés par 2 pour trouver
Passons maintenant à l’équation ; on soustrait de chaque côté et on obtient puis on ajoute 25 de chaque côté et notre équation devient
Enfin, on divise des deux côtés par 2 pour trouver
On conclut donc que et sur notre figure.
Note:
On peut aussi résoudre ce problème en utilisant le théorème de Thalès. On rappelle que, d’après ce théorème, si trois droites parallèles (ou plus) coupent deux transversales, alors elles les coupent proportionnellement. Ainsi, le rapport des longueurs de et est égal au rapport des longueurs de et . On peut donc écrire la proportion
On peut remplacer chaque longueur de segment par l’expression correspondante pour obtenir
Puisque l’on sait que , on sait également que . Par conséquent, on a que l'on réécrit en deux équations distinctes,
Pour résoudre l’équation , on commence par éliminer le dénominateur du membre de gauche en multipliant de chaque côté par . On obtient soit la même équation que celle que nous avions résolue avec la méthode appliquée précédemment pour trouver la valeur de .
Pour résoudre l’équation , on commence par éliminer le dénominateur du membre de gauche en multipliant par de chaque côté. On obtient alors soit la même équation que celle que nous avions résolue avec la méthode appliquée précédemment pour trouver la valeur de . Par conséquent, nous obtiendrons avec cette méthode les mêmes valeurs que précédemment pour et . On peut donc conclure à nouveau que et .
Récapitulons, pour finir, quelques points clés.
Points clés
- Une transversale est une droite qui coupe au moins deux droites d’un même plan en des points distincts.
- D’après le théorème de Thalès, si trois droites parallèles (ou plus) coupent deux transversales, alors elles les coupent proportionnellement.
- D’après le cas particulier du théorème de Thalès, si trois droites parallèles (ou plus) coupent l'une de leurs transversales en segments de même longueur, alors elles coupent toutes leurs transversales en segments de mêmes longueurs.
- La longueur d’un segment est égale à la somme des longueurs des segments disjoints qui le composent.
