Transcription de la vidéo
Utilisez la formule du binôme de Newton pour développer deux 𝑥 moins trois 𝑦 le tout au cube.
On nous dit comment résoudre ce problème. On nous demande d’utiliser la formule du binôme de Newton. Eh bien, on utilise la formule du binôme de Newton pour élever les binômes à des puissances entières positives de 𝑛. Il stipule que 𝑎 plus 𝑏 puissance 𝑛 pour les valeurs entières positives de 𝑛 est égal à la somme de 𝑘 égale zéro à 𝑛 de 𝑘 parmi 𝑛 fois 𝑎 puissance 𝑛 moins 𝑘 fois 𝑏 puissance 𝑘. Maintenant, cela peut être un peu difficile à traiter. Donc, nous utilisons parfois la forme développée qui dit que c’est égal à 𝑎 puissance 𝑛 plus un parmi 𝑛 fois 𝑎 puissance 𝑛 moins un fois 𝑏 plus deux parmi 𝑛 fois 𝑎 puissance 𝑛 moins deux fois 𝑏 au carré et ainsi de suite jusqu’à 𝑏 puissance 𝑛.
À présent, nous voulons développer deux 𝑥 moins trois 𝑦 au cube. Donc, nous allons définir 𝑎 comme égal à deux 𝑥. Et 𝑏 doit être égal à moins trois 𝑦. Et bien sûr, 𝑛, notre exposant, vaut trois. Le premier terme est 𝑎 puissance 𝑛, soit deux 𝑥 au cube. Nous avons donc un parmi 𝑛. Eh bien, 𝑛 ici est égal à trois, donc on a un parmi trois, fois deux 𝑥 au carré fois 𝑏, qui est égal à moins trois 𝑦. Notre troisième terme est deux parmi trois fois deux 𝑥 fois moins trois 𝑦 le tout au carré. Et puis, notre dernier terme est 𝑏 puissance 𝑛. Donc, c’est moins trois 𝑦 au cube. Notez ici que les puissances de deux 𝑥 diminuent de un à chaque fois tandis que les puissances de moins trois 𝑦 augmentent de un.
Simplifions un peu. Chaque fois qu’on a un terme entre parenthèses à une certaine puissance, on distribue cette puissance ou exposant sur chaque partie du terme. Ainsi, deux 𝑥 au cube est égal à deux au cube 𝑥 au cube ou huit 𝑥 au cube. Mais qu’en est-il du prochain terme ? Nous avons un parmi trois. Et nous rappelons donc que 𝑟 parmi 𝑛 est égal à factorielle 𝑛 sur factorielle 𝑟 fois factorielle 𝑛 moins 𝑟. Cela signifie que un parmi trois est égal à factorielle trois sur factorielle un fois factorielle trois moins un, ou simplement factorielle trois sur factorielle un fois factorielle deux. Mais nous rappelons que factorielle trois est égal à trois fois deux fois un et factorielle deux est égal à deux fois un. Et puis nous remarquons que nous pouvons diviser le numérateur et le dénominateur de cette fraction par deux fois un ou factorielle deux.
Et nous voyons donc que un parmi trois est égal à trois divisé par un, qui est égal à trois. Notre deuxième terme est trois fois quatre 𝑥 carré fois moins trois 𝑦. Et cela est égal à moins 36 𝑥 carré 𝑦. Deux parmi trois est égal à factorielle trois sur factorielle deux fois factorielle un. Mais nous venons de voir que factorielle trois sur factorielle un fois factorielle deux est égal à trois. Donc, deux parmi trois doit aussi être égal à trois. Ainsi, notre troisième terme est égal à trois fois deux 𝑥 fois moins trois 𝑦 au carré. Et moins fois moins donne plus, ce qui donne neuf 𝑦 carré. Et cela est égal à 54 𝑥 𝑦 carré. Ensuite, le cube d’un nombre négatif est un nombre négatif. Donc, notre quatrième terme est moins 27 𝑦 cube.
Et donc, nous avons développé le binôme deux 𝑥 moins trois 𝑦 le tout au cube. C’est égal à huit 𝑥 cube moins 36 𝑥 carré 𝑦 plus 54 𝑥 𝑦 carré moins 27 𝑦 cube.
