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Sachant que 𝐴𝐶 égale 7,5 centimètres, 𝐵𝐷 égale 14 centimètres, 𝐹𝑌 égale 25,2 centimètres, et 𝐹𝐾 égale 42 centimètres, déterminez les longueurs de 𝐶𝑋 et 𝐷𝐹.
Eh bien, vu que nous avons un ensemble de droites parallèles constituant notre forme, car ce que nous avons est une série de trapèzes. On peut donc dire que les angles qu'on a marqués seront égaux. Les angles en rose seront donc égaux. Les angles orange seront égaux. Les angles bleus seront égaux. Et les angles verts également.
On utilise l'une de nos propriétés sur les angles, la propriété des angles correspondants des droites parallèles, pour déterminer s'ils sont identiques. Et cela signifie que nous avons des angles correspondants. Parfois, il y a des angles en F parce que c'est comme s'ils faisaient un F quand on les regarde deux à deux. D’accord. Mais en quoi cela nous informe-t-il ? Comment ça nous aide ?
Cela nous dit que nos trapèzes au sein du grand trapèze sont tous des trapèzes semblables ou des formes semblables. Pourquoi cela est-il utile ? Quand nous avons des formes mathématiquement semblables, elles sont en fait des agrandissements les unes des autres. Par conséquent, on peut dire que deux formes semblables ont des rapports égaux de la longueur de leurs côtés correspondants.
Nous allons utiliser cette propriété pour nous aider à déterminer les longueurs que nous cherchons. D'abord, on va utiliser les trois longueurs que nous avons. On sait que 𝐵𝐷 égale 14 centimètres. Et que 𝐴𝐶 égale 7,5 centimètres. Ensuite, nous avons 𝐹𝑌 égale 25,2 centimètres. On peut donc utiliser ces distances pour calculer la distance entre 𝐸 et 𝑋. Comme nous l'avons déjà dit, les rapports des longueurs des côtés correspondants sont égaux car ce sont des formes semblables, c'est-à-dire 𝐵𝐷𝐴𝐶 et 𝐹𝑌𝐸𝑋.
On peut donc dire que 𝐹𝑌 sur 𝐵𝐷, parce que ce sont des côtés correspondants, sera égal à 𝐸𝑋 sur 𝐴𝐶. Donc, 25,2 sur 14 sera égale à 𝐸𝑋 sur 7,5. On va donc obtenir 1,8 égale à 𝐸𝑋 sur 7,5. Il est utile de préciser que nous avons en fait trouvé le facteur d'échelle de l'agrandissement. Le facteur d'échelle est en effet égal à la nouvelle longueur par rapport à la longueur initiale. On a donc 𝐹𝑌 sur 𝐵𝐷.
D’accord. Maintenant on sait que 1,8 correspond à 𝐸𝑋 sur 7,5. Il suffit de multiplier les deux côtés par 7,5 pour obtenir la valeur de 𝐸𝑋. Ce qui donne la longueur de 13,5 centimètres. Nous savons donc que 𝐸𝑋 égale 13,5 centimètres. Nous pouvons maintenant utiliser une méthode très similaire pour calculer la distance 𝐸𝑍. Parce que nous savons que la distance 𝐹𝐾 est de 42.
Encore une fois, on peut dire que 𝐹𝐾 sur 𝐵𝐷 - parce que ce sont des côtés correspondants - est égal à 𝐸𝑍 sur 𝐴𝐶. Donc, quand on calcule 𝐹𝐾 sur 𝐵𝐷, on calcule à nouveau notre facteur d'échelle. Donc 42 sur 14 sera égal à 𝐸𝑍 sur 7,5. Ça nous donne trois égale 𝐸𝑍 sur 7,5.
Donc on multiplie les deux côtés par 7,5. On obtient 22,5 centimètres, soit 𝐸𝑍. Là encore, je l'ai marqué sur notre schéma. Nous avons trouvé 𝐸𝑋 et 𝐸𝑍. Mais pourquoi est-ce utile ?
C'est utile parce que nous pouvons maintenant déterminer le segment 𝐶𝐸. Parce que ce segment sera égal à 45 moins 𝐸𝑍. Donc 𝐶𝐸 sera égal à 45 moins 22,5. Alors, 𝐶𝐸 sera aussi égal à 22,5 centimètres. Voilà. On peut donc maintenant calculer la longueur des segments 𝐶𝑋 et 𝐷𝐹 et résoudre le problème.
Pour commencer, le segment 𝐶𝑋 sera égal à 𝐶𝐸 plus 𝐸𝑋. Donc, ce sera égal à 22,5 plus 13,5. Par conséquent, on a résolu la première partie du problème. On sait que le segment 𝐶𝑋 sera égal à 36 centimètres.
D’accord. On peut passer à 𝐷𝐹. On va utiliser la même méthode que précédemment. On peut donc dire que 𝐶𝐸 sur 𝐴𝐶 égale 𝐷𝐹 sur 𝐵𝐷 puisque ce sont des côtés correspondants. Donc on peut dire que 22,5 sur 7,5 égale 𝐷𝐹 sur 14. On peut donc dire que trois égale 𝐷𝐹 sur 14. En multipliant les deux côtés par trois, on obtiendra 42 égale 𝐷𝐹. Par conséquent, on peut dire que le segment 𝐷𝐹 mesure 42 centimètres. On a donc résolu le problème.
Notons que nous aurions également dû savoir que ce segment allait mesurer 42 centimètres, puisque nous savions que 𝐸𝑍 était égal à 22,5 et que 𝐶𝐸 était égal à 22,5. Par conséquent, ils sont identiques. Donc, leurs autres côtés correspondants devraient être égaux. Donc, 𝐷𝐹 devait être égal à 𝐹𝐾, qui était égal à 42 centimètres.
