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Déterminez la mesure de l’angle 𝐶𝐴𝐵.
Commençons par marquer l’angle dont on nous demande de calculer la mesure sur la figure. Nous pouvons alors voir que c’est un angle de tangentiel, car c’est l’angle entre la tangente 𝐴𝐵 et la corde 𝐴𝐶. On peut donc rappeler le théorème suivant. La mesure d’un angle tangentiel est égale à la moitié de la mesure de l’angle au centre sous-tendu par le même arc. L’arc qui relie les extrémités de la corde 𝐴𝐶 est l’arc mineur 𝐴𝐶. Et si nous esquissons les rayons reliant les points 𝐴 et 𝐶 au centre du cercle, alors l’angle au centre sous-tendu par cet arc est l’angle marqué en rose, l’angle 𝐴𝑀𝐶. Nous avons donc que la mesure de l’angle 𝐶𝐴𝐵 est égale à la moitié de la mesure de l’angle 𝐴𝑀𝐶.
Maintenant, nous devons considérer comment trouver la mesure de cet angle. Et pour ce faire, nous devons observer que chaque côté du triangle 𝐴𝐶𝐷 a la même longueur. Il s’agit donc d’un triangle équilatéral. Si nous esquissons ensuite le rayon reliant le point 𝐷 au centre du cercle, nous pouvons conclure que les trois triangles en lesquels nous avons divisé le grand triangle 𝐴𝐶𝐷 sont congruents. En effet, chaque triangle a deux côtés qui sont des rayons du cercle et un côté du triangle d’origine.
Les trois triangles ont donc trois longueurs de côté identiques et sont donc congruents par la condition de congruence côté-côté-côté. Cela signifie également que les angles de chaque triangle situés entre les deux côtés qui sont des rayons du cercle sont tous congruents. Comme les angles autour d’un point totalisent 360 degrés, chacun de ces angles mesure un tiers de 360 degrés, c’est-à-dire 120 degrés. Nous savons donc que, en particulier, la mesure de l’angle 𝐴𝑀𝐶 est de 120 degrés. La mesure de l’angle 𝐶𝐴𝐵 est donc de la moitié de 120 degrés, soit 60 degrés.
Ainsi, en identifiant que l’angle 𝐶𝐴𝐵 est un angle tangentiel, puis en rappelant que la mesure d’un angle tangentiel est la moitié de la mesure de l’angle au centre sous-tendu par le même arc, nous avons constaté que la mesure de l’angle 𝐶𝐴𝐵 est de 60 degrés.
