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Fiche explicative de la leçon : Angles de tangence Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à identifier un angle entre une tangente et une corde dans un cercle et à déterminer sa mesure en utilisant la mesure de l’arc intercepté par la corde, de l’angle inscrit ou de l’angle au centre interceptant la même corde.

Commençons par rappeler qu’une droite tangente à un cercle est une droite qui coupe le cercle en un seul point, comme illustré ci-dessous.

Le segment allant du point d’intersection 𝐴 au centre 𝑀 du cercle est un rayon du cercle. En outre, ce rayon est perpendiculaire à la tangente (c’est-à-dire que les deux segments forment un angle de 90 degrés).

Dans cette fiche explicative, nous allons nous concentrer sur les angles entre une tangente et une corde. Considérons une tangente à un cercle qui coupe une corde du cercle (un segment à l’intérieur du cercle) au point 𝐴.

Nous allons étudier l’angle 𝜃 entre la corde et la tangente. Nous pouvons calculer la mesure de cet angle à l’aide de plusieurs théorèmes et observations dont nous allons parler dans cette fiche explicative.

Il sera également important de garder à l’esprit certaines des propriétés des triangles. Les triangles isocèles et équilatéraux sont des triangles qui ont respectivement deux et trois côtés égaux, comme illustré ci-dessous.

Il est important de noter que comme les rayons d’un cercle ont tous la même longueur, deux rayons peuvent former les côtés d’un triangle isocèle comme ci-dessous.

Cela peut être utile car cela nous indique que les angles en 𝐴 et 𝐵 sont égaux.

De plus, rappelons le théorème de l’angle au centre, qui sera crucial pour les calculs à venir sur des angles à l’intérieur d’un cercle.

On rappelle que deux points 𝐴 et 𝐵 sur un cercle divisent un cercle en deux arcs:un arc majeur et un arc mineur (lorsque les arcs sont de même longueur, ils divisent le cercle en deux arcs semi-circulaires). On peut également former un angle inscrit avec n’importe quel point 𝐶 sur l’arc majeur comme illustré.

On dit alors que l’angle intercepte l’arc mineur ou que l’arc mineur sous-tend l’angle. Nous avons alors le théorème suivant.

Théorème : Théorème de l’angle au centre

Soient 𝐴 et 𝐵 deux points sur un cercle, 𝑀 le centre du cercle et 𝐶 un point quelconque de l’arc majeur. La mesure de l’angle au centre 𝐴𝑀𝐵 est alors égale au double de la mesure de l’angle inscrit 𝐴𝐶𝐵, comme illustré ci-dessous.

Une autre façon d’énoncer ce théorème est que la mesure de l’angle au centre interceptant l’arc entre deux points sur un cercle est le double de la mesure de l’angle inscrit interceptant ce même arc.

Maintenant que nous avons rappelé ce théorème, énonçons un nouveau théorème sur les angles entre une tangente et une corde dans un cercle.

Théorème : Théorème de l’angle entre une corde et une tangente

Soient 𝐴 et 𝐵 deux points sur un cercle et 𝐶 le point où une tangente (passant par 𝐸, 𝐶 et 𝐷) coupe le cercle. Les angles 𝐴𝐶𝐷 et 𝐵𝐶𝐸, formés par la tangente et une corde, sont alors respectivement égaux aux angles inscrits interceptant leur corde correspondante, 𝐴𝐵𝐶 et𝐵𝐴𝐶. La figure ci-dessous illustre ce résultat.

Démontrons maintenant ce théorème. Tout d’abord, on rappelle qu’une tangente du cercle au point 𝐶 forme un angle droit avec le rayon 𝑀𝐶 au point d’intersection.

Commençons par considérer l’un des angles entre la tangente et une corde, 𝐴𝐶𝐷, que nous identifions par 𝜃 ci-dessous.

Comme la tangente et le rayon forment un angle droit, on sait que 𝑚𝐴𝐶𝐷+𝑚𝐴𝐶𝑀=90. Par conséquent, 𝑚𝐴𝐶𝑀=90𝜃. On sait aussi que le triangle 𝐴𝐶𝑀 est un triangle isocèle car deux de ses côtés sont des rayons et sont donc égaux. Donc, 𝑚𝐶𝐴𝑀=90𝜃 aussi.

Comme la somme des mesures des angles d’un triangle est toujours égale à 180, on a(90𝜃)+(90𝜃)+𝑚𝐴𝑀𝐶=180.

En réarrangeant, on a𝑚𝐴𝑀𝐶=180(90𝜃)(90𝜃)=2𝜃.

La mesure de l’angle au centre entre 𝐴 et 𝐶 est donc égale à 2𝜃. Enfin, en utilisant le théorème de l’angle au centre, on sait que la mesure de 𝐴𝐵𝐶 est égale à la moitié de celle de l’angle au centre 2𝜃, car c’est l’angle inscrit entre 𝐴 et 𝐶. Par conséquent, 𝑚𝐴𝐵𝐶=𝜃.

Notez que la même méthode s’applique à l’autre angle, 𝐵𝐶𝐸, entre la tangente et une corde car nous pouvons simplement répéter le raisonnement avec la corde 𝐵𝐶. Nous avons ainsi prouvé le théorème de l’angle entre une corde et une tangente.

Étudions un exemple où nous pouvons directement utiliser ce théorème.

Exemple 1: Déterminer la mesure d’un angle entre une tangente et une corde à partir de la mesure de l’angle inscrit interceptant le même arc

Sachant que 𝐵𝐶 est une tangente au cercle, déterminez 𝑚𝐴𝐵𝐶.

Réponse

Commençons par identifier l’angle que nous recherchons par 𝜃 sur le schéma.

Pour toute question impliquant un angle entre une tangente et une corde, nous devons nous demander si nous pouvons utiliser le théorème de l’angle entre une corde et une tangente pour nous aider.

Nous savons que 𝐵𝐶 est une tangente au cercle en 𝐵, que 𝐴, 𝐵 et 𝐷 sont trois points sur le cercle et que l’angle que nous recherchons est l’angle 𝐴𝐵𝐶, formé par la tangente et une corde. Par conséquent, nous pouvons utiliser le théorème de l’angle entre une corde et une tangente pour calculer la mesure de cet angle. On a𝑚𝐴𝐵𝐶=𝑚𝐴𝐷𝐵𝑚𝐴𝐵𝐶=78.

Comme 𝐴𝐷𝐵 est un angle interceptant la corde formant un côté de 𝐴𝐵𝐶, nous avons pu utiliser directement le théorème pour déterminer que 𝑚𝐴𝐵𝐶=78.

Nous avons vu comment le théorème de l’angle entre une corde et une tangente peut être utilisé directement pour trouver des angles inscrits en fonction de l’angle entre la tangente et la corde et inversement, mais nous pouvons également utiliser des corollaires de ce théorème pour résoudre d’autres problèmes. Considérons, par exemple, la relation entre l’angle entre une tangente et une corde et l’angle au centre.

Corollaire : Angle entre une tangente et une corde et angle au centre

Soient 𝐴 un point sur un cercle de centre 𝑀 et 𝐵 le point où une tangente (passant par 𝐵 et 𝐶) coupe le cercle. La mesure de l’angle 𝐴𝐵𝐶, formé par la tangente et la corde, est alors égale à la moitié de celle de l’angle au centre 𝐴𝑀𝐵. La figure ci-dessous illustre ce résultat.

Une autre façon de l’énoncer est que la mesure de l’angle entre la tangente et la corde est égale à la moitié de celle l’angle au centre interceptant la même corde ou le même arc (ici, l’arc 𝐴𝐵).

Notez que nous avons déjà démontré ce corollaire lors de la démonstration du théorème de l’angle entre une corde et une tangente. Étudions maintenant un exemple où nous pouvons directement utiliser ce théorème pour déterminer l’angle entre une tangente et une corde.

Exemple 2: Déterminer la mesure d’un angle entre une tangente et une corde à partir de la mesure de l’angle au centre interceptant cette corde

Déterminez 𝑚𝐵𝐴𝐶.

Réponse

Commençons par identifier l’angle que nous recherchons sur le schéma.

Nous voyons alors que nous cherchons la mesure de l’angle 𝐵𝐴𝐶, formé par la tangente et la corde. Notez que l’angle 𝐴𝑀𝐵 est un angle droit car il est marqué par un petit carré, nous indiquant ainsi que sa mesure est de 90. Nous remarquons également que 𝐴𝑀𝐵 est l’angle au centre interceptant la même corde ou le même arc (soit 𝐴𝐵) que l’angle que nous recherchons.

On rappelle que la mesure de l’angle 𝑚𝐵𝐴𝐶, formé par la tangente et la corde, est égale à la moitié de la mesure de l’angle au centre interceptant la même corde, soit 𝑚𝐴𝑀𝐵 dans ce cas. On a donc𝑚𝐵𝐴𝐶=12𝑚𝐴𝑀𝐵=12(90)=45.

Jusqu’à présent, nous avons vu comment calculer un angle entre une tangente et une corde en utilisant un angle au centre ou un angle inscrit. Nous pouvons également calculer l’angle entre une tangente et une corde en utilisant la mesure d’un arc.

On rappelle que la mesure d’un arc est la mesure de l’angle formé par l’arc au centre du cercle. Considérons par exemple le schéma ci-dessous.

Nous pouvons voir ici que la mesure de l’arc majeur du cercle créé par les deux points 𝐴 et 𝐵 (désigné par 𝜃 à l’extérieur du cercle) est égale à la mesure de l’angle entre les rayons formés par 𝐴 et 𝐵 à l’intérieur du cercle.

Rappelons que nous avons déjà un corollaire qui relie l’angle au centre d’un cercle à l’angle entre la tangente et la corde. En utilisant l’équivalence entre l’angle au centre et la mesure de l’arc, nous pouvons étendre ce corollaire à l’arc de cercle. Cette équivalence est illustrée par le schéma suivant.

En d’autres termes, comme la mesure de l’angle au centre et celle de l’arc sont toutes deux égales à 2𝜃, elles sont toutes les deux égales au double de l’angle entre la tangente et la corde. Nous avons ainsi le corollaire suivant.

Corollaire : Angle entre une tangente et une corde et mesure d’un arc

Soient 𝐴 un point sur un cercle et 𝐵 le point où une tangente (passant par 𝐵 et 𝐶) coupe le cercle. La mesure de l’angle 𝐴𝐵𝐶, formé par la tangente et la corde, est alors égale à la moitié de la mesure de l’arc 𝐴𝐵 adjacent à l’angle. La figure ci-dessous illustre ce résultat.

Il est important de savoir à quel arc 𝐴𝐵 fait référence car il y a deux possibilités:l’arc majeur et l’arc mineur. Sur le schéma ci-dessus, il s’agit de l’arc mineur car il est du même côté que l’angle entre la tangente et la corde. L’autre cas serait cependant possible si nous considérions un angle obtus, comme indiqué ci-dessous.

Dans ce cas, 𝐴𝐵 serait l’arc majeur. Il est également important de noter que si nous connaissons l’arc opposé à celui dont nous avons besoin, nous pouvons utiliser le fait que la somme des mesures des deux arcs d’un cercle est égale à 360. Il est donc toujours possible de trouver l’arc majeur si nous connaissons l’arc mineur, ou inversement.

Étudions un exemple où nous pouvons utiliser ce théorème pour calculer un angle entre la tangente et la corde à partir de la mesure d’un arc.

Exemple 3: Déterminer la mesure d’un angle entre une tangente et une corde à partir d’une mesure d’arc

Sachant que 𝐵𝐶 est une tangente au cercle ci-dessous, déterminez 𝑚𝐴𝐵𝐶.

Réponse

Commençons par identifier l’angle que nous recherchons sur le schéma.

On rappelle que la mesure de l’angle 𝐴𝐵𝐶, formé par la tangente et la corde, est égale à la moitié de la mesure de l’arc 𝐴𝐵 adjacent. Dans cet exemple, l’arc dont nous nous connaissons la mesure (190) n’est pas situé du même côté. Nous pouvons trouver la mesure de l’arc approprié en utilisant le fait que la somme des mesures des deux arcs d’un cercle doit être égale à 360. La mesure de l’arc mineur est donc égale à360190=170.

Marquons cette information sur le schéma.

Nous pouvons maintenant utiliser le fait que la mesure de l’angle entre la tangente et la corde est égale à la moitié de la mesure de l’arc du même côté et nous obtenons𝐴𝐵𝐶=12170=85.

Un autre type d’énoncé impliquant des angles entre une tangente et une corde peut également faire intervenir un point en dehors du cercle situé sur deux tangentes différentes. Prenons un exemple de cela.

Exemple 4: Déterminer la mesure de deux angles inscrits à partir des mesures des angles entre une tangente et une corde

Sachant que 𝑚𝐸𝐶𝐷=54 et 𝑚𝐹𝐵𝐷=78, calculez 𝑥 et 𝑦.

Réponse

Commençons par indiquer les informations dont nous disposons, 𝑚𝐸𝐶𝐷=54 et 𝑚𝐹𝐵𝐷=78, sur le schéma.

Nous allons d’abord essayer de déterminer 𝑥. Comme cette question implique des angles entre une tangente et une corde, nous nous demandons si nous pouvons appliquer le théorème de l’angle entre une corde et une tangente. Nous voyons qu’il y a deux angles connus entre une tangente et une corde et trois points sur le cercle, nous pouvons donc utiliser le théorème deux fois dans le triangle inscrit pour déterminer les angles inconnus. Son application est illustrée ci-dessous.

Nous connaissons maintenant deux des trois angles du triangle inscrit. Comme la somme des mesures des angles d’un triangle est égale à 180, on a𝑥+78+54=180𝑥=48.

Maintenant que nous connaissons 𝑥, nous recherchons 𝑦;nous devons pour cela déterminer les mesures des angles du triangle auquel 𝑦 appartient. Pour trouver les deux autres angles, nous pouvons utiliser le fait que la mesure d’un angle plat est égale à 180. Ainsi, en utilisant le même calcul que précédemment, nous trouvons que les angles restants doivent être de 48, ce qui donne la figure suivante.

Comme deux segments tangents de même origine sont de même longueur, ils forment un triangle isocèle lorsqu’ils sont reliés par une corde et cela permet de valider que les deux angles que nous venons de calculer sont bien égaux. Enfin, nous pouvons calculer 𝑦 en utilisant la somme des angles dans un triangle. 48+48+𝑦=180𝑦=84.

Nous concluons donc que 𝑥=48 et 𝑦=84.

Jusqu’à présent, nous avons utilisé le théorème de l’angle entre une corde et une tangente et ses corollaires pour déterminer l’angle qu’une tangente forme avec une corde dans un cercle. Nous pouvons cependant également utiliser sa réciproque de manière similaire pour prouver qu’une demi-droite ou un segment est une tangente au cercle si les angles correspondants sont égaux. Nous énonçons donc le corollaire suivant.

Corollaire : Réciproque du théorème de l’angle entre une corde et une tangente

Si une demi-droite ou un segment coupe une corde d’un cercle sur la circonférence du cercle et que l’angle qu’ils forment avec la corde est égal à l’angle inscrit interceptant cette même corde, alors cette demi-droite ou ce segment est une tangente au cercle.

Si les angles ne sont pas égaux, alors cette demi-droite ou ce segment n’est pas une tangente au cercle.

Illustrons ce corollaire avec un exemple. Considérons la demi-droite 𝐶𝐷 pour laquelle nous connaissons l’angle qu’elle forme avec la corde 𝐴𝐶. Nous avons alors deux possibilités, comme indiqué ci-dessous.

Dans le premier cas, la mesure de 𝐴𝐶𝐷 est égale à celle de la mesure de l’angle inscrit 𝐴𝐵𝐶 interceptant la même corde;par conséquent, 𝐶𝐷 doit être une tangente. Dans le second cas, les angles ne sont pas égaux car 𝑚𝐴𝐶𝐷>𝑚𝐴𝐵𝐶;par conséquent, 𝐶𝐷 ne peut pas être une tangente.

Nous pouvons avoir à utiliser ce corollaire pour des cercles circonscrits. Rappelons que pour tout triangle, il existe exactement un cercle passant par tous les sommets du triangle. Nous appelons ce cercle, le cercle circonscrit.

Certains énoncés peuvent alors porter sur les tangentes au cercle circonscrit à un triangle. Par exemple, nous pouvons avoir à vérifier qu’une demi-droite est tangente à un cercle circonscrit en mesurant son angle avec une corde et en confirmant qu’il satisfait aux propriétés d’un angle entre une tangente et une corde. Explorons cette idée dans l’exemple suivant.

Exemple 5: Déterminer si un segment est tangent au cercle circonscrit à un triangle

Sur le schéma ci-dessous, si 𝐶𝐷𝐷𝐴, lequel des segments suivants est une tangente au cercle qui passe par les sommets du triangle 𝐴𝐵𝐸?

  1. 𝐸𝐷
  2. 𝐸𝐶
  3. 𝐴𝐷
  4. 𝐵𝑌
  5. 𝐵𝐶

Réponse

Pour mieux comprendre cette question, indiquons sur le schéma les informations que nous devons déterminer. En particulier, nous devons étudier le cercle qui passe par les sommets du triangle𝐴𝐵𝐸 (c’est-à-dire, son cercle circonscrit). Mettons ce triangle en évidence.

Bien que nous n’ayons pas encore tracé le cercle circonscrit à 𝐴𝐵𝐸, nous pouvons immédiatement voir que 𝐸𝐷 et 𝐸𝐶 ne peuvent pas être tangents au cercle, car ce sont des extensions des côtés du triangle (en d’autres termes, ce sont des sécantes au cercle). Il reste à vérifier si 𝐴𝐷, 𝐵𝑌 ou 𝐵𝐶 sont tangents au cercle.

Afin d’explorer ces trois options, nous devons examiner les angles environnants et déterminer s’il est possible que ces segments soient tangents. En particulier, nous pouvons utiliser la réciproque du théorème de l’angle entre une corde et une tangente pour prouver dans chaque cas s’ils sont tangents ou non.

Commençons par 𝐴𝐷. On rappelle que l’énoncé indique que 𝐶𝐷𝐷𝐴. En particulier, cela signifie que les arcs correspondants ne sont pas de même longueur. Considérons les arcs 𝐷𝐴 et 𝐶𝐷. Nous remarquons que l’angle 𝐴𝐵𝐸 est un angle inscrit interceptant 𝐷𝐴 et que 𝐷𝐴𝐸 est un angle inscrit interceptant 𝐶𝐷. Ces arcs et les angles inscrits correspondants sont mis en évidence ci-dessous.

On rappelle que la mesure d’un angle inscrit interceptant un arc est égale à la moitié de la mesure de l’arc. Comme les arcs 𝐷𝐴 et 𝐶𝐷 sont de longueurs différentes, cela signifie que 𝑚𝐴𝐵𝐸 et 𝑚𝐷𝐴𝐸 ne sont pas égaux.

Rappelons maintenant la réciproque du théorème de l’angle entre une corde et une tangente:si l’angle entre 𝐴𝐷 et 𝐴𝐸 (qui est une corde du cercle circonscrit) n’est pas égal à l’angle inscrit interceptant cette corde (𝐴𝐵𝐸), alors 𝐴𝐷 n’est pas tangent à ce cercle. Donc, 𝐴𝐷 n’est pas une tangente.

Passons ensuite à 𝐵𝑌. Considérons le triangle 𝐸𝐵𝐶. Nous pouvons voir que 𝐴𝐸𝐵 et un des angles du triangle sont supplémentaires, ce qui signifie qu’il est égal à la somme des deux autres angles du triangle (d’après la propriété de la somme des mesures des angles d’un triangle). En d’autres termes,

𝑚𝐴𝐸𝐵=𝑚𝐴𝐶𝐵+𝑚𝐶𝐵𝐸.()1

Nous le mettons en évidence ci-dessous.

Comme 𝐵𝑌 est une tangente au plus grand cercle, nous pouvons utiliser le théorème de l’angle entre une corde et une tangente. En particulier, si nous considérons le triangle 𝐴𝐵𝐶, nous pouvons voir que

𝑚𝐴𝐶𝐵=𝑚𝐴𝐵𝑌.()2

Nous l’indiquons également sur le schéma.

Et nous pouvons maintenant utiliser la réciproque du théorème de l’angle entre une corde et une tangente dans le triangle 𝐴𝐵𝐸:en substituant l’équation (2) dans l’équation (1), on a𝑚𝐴𝐸𝐵=𝑚𝐴𝐵𝑌+𝑚𝐶𝐵𝐸.

Et comme 𝑚𝐶𝐵𝐸>0, cela signifie que𝑚𝐴𝐸𝐵>𝑚𝐴𝐵𝑌.

Par conséquent, les deux angles ne sont pas égaux, ce qui signifie que 𝐵𝑌 ne peut pas être tangent au cercle circonscrit au triangle 𝐴𝐸𝐵.

Considérons enfin 𝐵𝐶. Pour commencer, utilisons les informations données dans la question. Nous pouvons voir que 𝑋𝐶 et 𝐵𝐸 sont des droites parallèles, car elles ont été marquées avec des flèches doubles. Cela signifie que les angles alternes-internes 𝑋𝐶𝐵 et 𝐶𝐵𝐸 doivent être égaux. Nous l’indiquons ci-dessous.

Nous savons de plus que 𝑋𝐶 est une tangente au grand cercle et il y a plusieurs triangles inscrits dans ce cercle, ce qui nous permet d’utiliser le théorème de l’angle entre une corde et une tangente dans le grand cercle. Considérons en particulier le triangle 𝐴𝐵𝐶. Nous voyons que l’angle 𝐵𝐶𝑋 entre la tangente et la corde est égal à l’angle inscrit interceptant la même corde, 𝐵𝐴𝐸, comme indiqué ci-dessous.

En revenant maintenant au triangle 𝐴𝐵𝐸, nous traçons son cercle circonscrit et mettons en évidence les angles 𝐶𝐵𝐸 et 𝐵𝐴𝐸.

Nous allons maintenant utiliser une dernière fois la réciproque du théorème de l’angle entre une corde et une tangente. Plus précisément, comme les angles 𝐶𝐵𝐸 et 𝐵𝐴𝐸 sont égaux, 𝐵𝐶 est une tangente au cercle.

Par conséquent, la réponse est E:𝐵𝐶.

Terminons par rappeler le théorème de l’angle entre une corde et une tangente et les situations dans lesquelles nous pouvons l’utiliser.

Points clés

  • Soient 𝐴 et 𝐵 deux points sur un cercle et 𝐶 le point où une tangente (passant par 𝐸, 𝐶 et 𝐷) coupe le cercle. Les angles entre la tangente et une corde 𝐴𝐶𝐷 et 𝐵𝐶𝐸 sont alors respectivement égaux aux angles inscrits interceptant leur corde respective, 𝐴𝐵𝐶 et 𝐵𝐴𝐶.
  • Dans le prolongement de ce qui précède, pour un cercle de centre 𝑀, la mesure de l’angle 𝐴𝐵𝐶, formé par la tangente et la corde, est égale à la moitié de la mesure de l’angle au centre 𝐴𝑀𝐵.
  • En outre, la mesure de l’angle 𝐴𝐵𝐶, formé par la tangente et la corde, est égale à la moitié de la mesure de l’arc 𝐴𝐵 adjacent.
  • Réciproquement, si une demi-droite ou un segment coupe une corde sur la circonférence du cercle et que l’angle qu’ils forment avec la corde a la même mesure l’angle inscrit interceptant cette même corde, alors cette demi-droite ou ce segment doit être une tangente au cercle.
    Si les angles ne sont cependant pas égaux, alors cette demi-droite ou ce segment n’est pas une tangente au cercle.

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