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Vidéo de la leçon : Angles de tangence Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à identifier un angle entre une tangente et une corde dans un cercle et à déterminer sa mesure en utilisant la mesure de l’arc intercepté, de l’angle inscrit ou de l’angle au centre interceptant la même corde.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à identifier un angle entre une tangente et une corde dans un cercle et à déterminer sa mesure en utilisant la mesure de l’arc intercepté, de l’angle inscrit ou de l’angle au centre interceptant la même corde. Nous allons commencer par rappeler qu’une tangente à un cercle est une droite qui coupe le cercle en un seul point. Nous notons également que le segment du point d’intersection 𝐴 au centre du cercle 𝑀 est un rayon du cercle. Et ce rayon est perpendiculaire à la droite tangente.

Dans cette vidéo, nous voulons discuter des angles de tangence. Si nous considérons une tangente à un cercle qui coupe une corde du cercle au point 𝐴 comme indiqué, alors l’angle 𝜃 entre la corde et la tangente est appelé l’angle de tangence. Le calcul de cet angle peut être fait à l’aide de plusieurs théorèmes et propriétés d’angles. Au cours de cette vidéo, nous devrons également garder à l’esprit certaines des propriétés des triangles, par exemple, les triangles isocèles et équilatéraux. Plus précisément, comme les rayons d’un cercle ont tous la même longueur, deux rayons peuvent former les côtés d’un triangle isocèle comme indiqué. Cela peut être utile car il nous dit que les mesures des angles 𝑀𝐴𝐵 et 𝑀𝐵𝐴 sont égales.

De plus, nous rappelons le théorème de l’angle au centre. Nous rappelons que deux points sur un cercle 𝐴 et 𝐵 divisent un cercle en deux arcs, un arc majeur et un arc mineur, notant que lorsque les arcs sont de même longueur, ils divisent le cercle en deux arcs semi-circulaires. Nous pouvons alors former un angle inscrit avec n’importe quel point 𝐶 sur l’arc majeur comme indiqué. Cela nous amène au théorème de l’angle au centre, qui stipule que pour 𝐴 et 𝐵 deux points sur un cercle, 𝑀 le centre du cercle, et 𝐶 un point de l’arc majeur. Ensuite, la mesure de l’angle au centre 𝐴𝑀𝐵 est le double de la mesure de l’angle inscrit 𝐴𝐶𝐵. Une autre façon de formuler cela est que la mesure de l’angle au centre sous-tendu par deux points sur un cercle est le double de la mesure de l’angle inscrit sous-tendu par ces points.

Après avoir rappelé ce théorème, apprenons maintenant un nouveau théorème qui traite des angles de tangence dans un cercle. Le théorème de l’angle entre une corde et une tangente énonce ce qui suit. Soit 𝐴 et 𝐵 deux points sur un cercle et 𝐶 le point où une tangente passant par 𝐸, 𝐶 et 𝐷 coupe le cercle. Ensuite, les angles de tangence 𝐴𝐶𝐷 et 𝐵𝐶𝐸 sont égaux aux angles inscrits interceptant leur corde correspondante 𝐴𝐵𝐶 et 𝐵𝐴𝐶, respectivement.

Ce théorème peut être prouvé comme suit. Nous rappelons qu’une tangente du cercle au point 𝐶 forme un angle droit avec le rayon 𝑀𝐶 au point d’intersection. En étiquetant l’un des angles de tangence 𝐴𝐶𝐷 comme 𝜃, alors la mesure de l’angle 𝐴𝐶𝑀 doit être de 90 degrés moins 𝜃. Et puisque nous avons un triangle isocèle, la mesure de l’angle 𝐶𝐴𝑀 doit également être égale à 90 degrés moins 𝜃. Puisque les angles d’un triangle totalisent 180 degrés, la mesure de l’angle 𝐴𝑀𝐶 plus 90 degrés moins 𝜃 plus 90 degrés moins 𝜃 doit être égale à 180 degrés. Le membre gauche de cette équation se simplifie comme indiqué. On peut alors soustraire 180 degrés et ajouter deux 𝜃 des deux membres de telle sorte que la mesure de l’angle 𝐴𝑀𝐶 soit deux 𝜃. Puisque la mesure de l’angle au centre est de deux 𝜃, en utilisant le théorème de l’angle au centre, nous pouvons conclure que la mesure de l’angle 𝐴𝐵𝐶 est la moitié de l’angle au centre deux 𝜃 et est donc égale à 𝜃. Cela confirme que l’angle 𝐴𝐶𝐷 est égal à l’angle 𝐴𝐵𝐶.

Voyons maintenant un exemple où nous pouvons utiliser ce théorème.

Étant donné que la droite 𝐵𝐶 est une tangente au cercle, trouvez la mesure de l’angle 𝐴𝐵𝐶.

Nous commencerons par étiqueter l’angle 𝐴𝐵𝐶 comme 𝜃. Cet angle est un angle de tangence, car 𝜃 se situe entre une corde et une tangente. Puisque 𝐵𝐶 est une tangente au cercle et que 𝐴, 𝐵 et 𝐷 sont trois points sur la circonférence du cercle, nous pouvons utiliser le théorème de l’angle entre une corde et une tangente. Cela stipule qu’un angle de tangence est égal à l’angle inscrit interceptant la corde correspondante. Dans ce cas, la mesure de l’angle 𝐴𝐵𝐶 est égale à la mesure de l’angle 𝐴𝐷𝐵. On nous dit que cela équivaut à 78 degrés. Et nous pouvons donc conclure que la mesure de l’angle 𝐴𝐵𝐶 est égale à 78 degrés via le théorème de l’angle entre une corde et une tangente.

Voyons maintenant comment les angles de tangence sont liés aux angles au centre. En prouvant le théorème de l’angle entre une corde et une tangente, nous avons vu que l’angle de tangence est la moitié de l’angle au centre sous-tendu par le même arc. Cela peut être formellement formulé comme suit. Soit 𝐴 un point sur un cercle de centre 𝑀 et 𝐵 le point où une tangente passant par 𝐵 et 𝐶 coupe le cercle. Ensuite, l’angle de tangence 𝐴𝐵𝐶 est la moitié de l’angle au centre 𝐴𝑀𝐵. Voyons maintenant un exemple où nous pouvons utiliser cela.

Trouvez la mesure de l’angle 𝐵𝐴𝐶.

Commençons par marquer l’angle que nous essayons de trouver sur la figure. L’angle que nous essayons de trouver est un angle de tangence, car il se situe entre une tangente et une corde. On nous dit que l’angle 𝐴𝑀𝐵 est un angle droit et est donc égal à 90 degrés. C’est aussi l’angle au centre sous-tendu par le même arc 𝐴𝐵 que l’angle de tangence. Et nous rappelons que l’angle de tangence est égal à la moitié de l’angle au centre. Cela signifie que la mesure de l’angle 𝐵𝐴𝐶 est égale à la moitié de la mesure de l’angle 𝐴𝑀𝐵. L’angle de tangence est donc égal à la moitié de 90 degrés, ce qui est égal à 45 degrés.

Une autre méthode consisterait à reconnaître que le triangle 𝐴𝑀𝐵 est isocèle. Cela signifie que les angles 𝐵𝐴𝑀 et 𝐴𝐵𝑀 sont de mesure égale. Et comme les angles d’un triangle totalisent 180 degrés, ils doivent être égaux à 45 degrés. On peut alors utiliser le fait qu’une tangente est perpendiculaire au rayon au point de contact, ce qui signifie que 𝜃 plus 45 degrés est égal à 90 degrés. Et en soustrayant 45 degrés des deux membres, nous avons 𝜃 est égal à 45 degrés. Cela confirme que la mesure de l’angle 𝐵𝐴𝐶 est de 45 degrés.

Jusqu’à présent dans cette vidéo, nous avons vu comment calculer un angle de tangence en utilisant un angle au centre et en utilisant un angle inscrit. Nous pouvons également calculer les angles de tangence en utilisant la mesure d’un arc. Nous rappelons que la mesure d’un arc est l’angle que l’arc fait au centre du cercle. Par exemple, dans le diagramme dessiné, la mesure de l’arc majeur du cercle créé par les deux points 𝐴 et 𝐵 est équivalente à la mesure de l’angle entre les rayons formés par 𝐴 et 𝐵 à l’intérieur du cercle.

En rappelant que l’angle au centre d’un cercle est le double de l’angle de tangence, nous pouvons alors l’étendre pour l’appliquer à l’arc de cercle comme indiqué. Puisque la mesure de l’angle au centre et la mesure de l’arc sont toutes deux deux 𝜃, elles sont toutes deux le double de l’angle de tangence. Plus formellement, si 𝐴 est un point sur un cercle et 𝐵 le point où une tangente passant par 𝐵 et 𝐶 coupe le cercle, alors l’angle de tangence 𝐴𝐵𝐶 est la moitié de la mesure de l’arc 𝐴𝐵 adjacent. Il est important de noter que cela est vrai pour les arcs mineurs et majeurs comme indiqué.

Voyons maintenant un exemple où nous pouvons utiliser ce théorème avec le fait que les mesures des deux arcs d’un cercle totalisent 360 degrés.

Étant donné que la droite 𝐵𝐶 est une tangente au cercle ci-dessous, trouvez la mesure de l’angle 𝐴𝐵𝐶.

Nous allons commencer par marquer l’angle que nous devons trouver sur la figure. Nous notons que c’est un angle de tangence, car il se situe entre une tangente et une corde, dans ce cas la tangente 𝐵𝐶 et la corde 𝐴𝐵. Nous savons que l’angle de tangence est la moitié de la mesure de l’arc adjacent formé. Cela signifie que la mesure de l’angle 𝐴𝐵𝐶 est la moitié de la mesure de l’arc 𝐴𝐵 adjacent formé comme indiqué. La mesure de l’arc qu’on nous a donnée, 190 degrés, n’est pas situé du même côté. Cependant, nous pouvons trouver la bonne mesure d’arc en utilisant le fait que les mesures de deux arcs d’un cercle totalisent 360 degrés. La bonne mesure d’arc nommée deux 𝜃 est égale à 360 degrés moins 190 degrés, ce qui est égal à 170 degrés. En ajoutant cela à notre diagramme, nous pouvons maintenant calculer l’angle de tangence. Il est égal à la moitié de 170 degrés, ce qui est égal à 85 degrés. C’est la mesure de l’angle 𝐴𝐵𝐶.

Considérons maintenant un dernier exemple qui combine plusieurs théorèmes.

Étant donné que la mesure de l’angle 𝐸𝐶𝐷 est de 54 degrés et la mesure de l’angle 𝐹𝐵𝐷 est de 78 degrés, trouvez 𝑥 et 𝑦.

Nous allons commencer par ajouter les informations qui nous ont été données sur notre diagramme. On nous dit que l’angle 𝐸𝐶𝐷 est égal à 54 degrés et l’angle 𝐹𝐵𝐷 est égal à 78 degrés. Puisque ces deux angles sont des angles de tangence, c’est-à-dire qu’ils se situent entre une tangente et une corde, nous commencerons par considérer le théorème de l’angle entre une corde et une tangente. Cela stipule que les angles de tangence sont égaux aux angles inscrits interceptant la même corde. Cela signifie que la mesure de l’angle 𝐶𝐵𝐷 est égale à la mesure de l’angle 𝐸𝐶𝐷. Et à partir des informations données, elles sont toutes deux égales à 54 degrés. De même, la mesure de l’angle 𝐵𝐶𝐷 est égale à la mesure de l’angle 𝐹𝐵𝐷. Et les deux sont égales à 78 degrés.

Nous avons maintenant deux des trois angles du triangle intérieur 𝐵𝐶𝐷. Et puisque les angles d’un triangle totalisent 180 degrés, nous avons 𝑥 degrés plus 78 degrés plus 54 degrés est égal à 180 degrés. Comme toutes nos mesures sont en degrés, nous pouvons réécrire l’équation comme indiqué. En soustrayant 78 et 54 des deux membres, on se retrouve avec 𝑥 est égal à 48. La mesure de l’angle 𝐵𝐷𝐶 est de 48 degrés.

Après avoir calculé 𝑥, nous devons maintenant calculer 𝑦. Nous commençons par utiliser à nouveau le théorème de l’angle entre une corde et une tangente ou nous notons que la somme des angles sur une droite est de 180 degrés. En utilisant l’un ou l’autre, nous constatons que les mesures des angles 𝐴𝐶𝐵 et 𝐴𝐵𝐶 sont toutes deux égales à 48 degrés. Cela a du sens, puisque nous rappelons que deux segments tangents se rencontrant en un point ont la même longueur et forment donc un triangle isocèle lorsqu’ils sont reliés par une corde. Le triangle 𝐴𝐵𝐶 est isocèle, où les deux angles égaux sont de 48 degrés. Cela signifie que 𝑦 degrés plus 48 degrés plus 48 degrés est égal à 180 degrés. Encore une fois, nous pouvons simplifier l’équation. Et soustraire 48 et 48 des deux membres nous donne 𝑦 est égal à 84. La mesure de l’angle 𝐵𝐴𝐶 est de 84 degrés. Et nous pouvons donc conclure que les valeurs de 𝑥 et 𝑦 sont respectivement 48 et 84.

Avant de résumer les points clés de cette vidéo, nous allons brièvement examiner la réciproque du théorème de l’angle entre une corde et une tangente. Cela stipule que si un rayon ou un segment coupe une corde d’un cercle sur la circonférence du cercle et que l’angle qu’il forme avec la corde est égal en mesure à l’angle inscrit interceptant cette même corde, alors le rayon ou le segment doit être une tangente au cercle. Si les angles ne sont pas égaux, alors le rayon ou le segment n’est pas tangent au cercle. Cela peut être démontré dans les deux diagrammes comme indiqué. Dans le premier cas, la mesure de l’angle 𝐴𝐶𝐷 est égale à la mesure de l’angle inscrit interceptant la même corde. Cela signifie que la droite 𝐶𝐷 doit être une tangente, alors que dans le deuxième cas, comme les angles ne sont pas égaux, 𝐶𝐷 ne peut pas être une tangente.

Récapitulons maintenant ce que nous avons appris sur les angles de tangence dans cette vidéo. Le théorème de l’angle entre une corde et une tangente nous dit que les angles de tangence 𝐴𝐶𝐷 et 𝐵𝐶𝐸 sont égaux aux angles des segments inscrits interceptant la corde correspondante 𝐴𝐵𝐶 et 𝐵𝐴𝐶, respectivement. Nous avons également vu que pour un cercle de centre 𝑀, l’angle de tangence 𝐴𝐵𝐶 est la moitié de l’angle au centre 𝐴𝑀𝐵. Enfin, nous avons vu que l’angle de tangence 𝐴𝐵𝐶 est la moitié de la mesure de l’arc 𝐴𝐵 adjacent.

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