Vidéo question :: Calculer le déterminant d’une matrice multipliée par un scalaire Mathématiques • Première secondaire

Transcription de la vidéo

Sachant que 𝐴 est une matrice de taille deux-deux telle que le déterminant de 𝐴 est égal à trois, calculez le déterminant de trois 𝐴.

Dans cette question, on nous donne une matrice 𝐴, qui est une matrice carrée. On nous dit qu’elle est d’ordre deux. On nous dit aussi que le déterminant de 𝐴 est égal à trois. On doit utiliser ces informations pour déterminer la valeur du déterminant de trois 𝐴.

Pour répondre à cette question, on pourrait être tenté d’écrire notre matrice 𝐴 sous la forme d’une matrice deux-deux contenant des valeurs inconnues. On pourrait ensuite trouver une expression du déterminant de 𝐴, poser que cette expression est égale à trois et déterminer une expression du déterminant de trois fois 𝐴. Cela fonctionnerait.

Mais on peut résoudre ce problème beaucoup plus facilement en utilisant les propriétés des déterminants. Il suffit de remarquer qu’on nous demande de trouver la valeur du déterminant d’un scalaire multiplié par une matrice carrée. On peut alors rappeler la propriété suivante à propos des déterminants. Si 𝑀 est une matrice carrée d’ordre 𝑛 et 𝑘 est un scalaire, alors le déterminant de 𝑘 fois 𝑀 est égal à 𝑘 puissance 𝑛 multiplié par le déterminant de 𝑀. Autrement dit, on peut sortir la multiplication par le scalaire du calcul du déterminant. Il suffit alors d’élever cette valeur 𝑘 à la puissance 𝑛, où 𝑛 est l’ordre de notre matrice carrée.

Et comme la matrice 𝐴 dont il est question ici est une matrice carrée, on peut appliquer cette propriété pour calculer le déterminant de trois 𝐴. 𝐴 est une matrice d’ordre deux. Donc, lorsqu’on sort le facteur trois de notre calcul du déterminant, on doit l’élever à la puissance deux. On obtient trois au carré fois le déterminant de 𝐴. Trois au carré est égal à neuf. Et il est dit dans l’énoncé que le déterminant de 𝐴 est égal à trois. Donc on remplace trois dans notre équation pour obtenir neuf fois trois, ce qui est égal à 27.

Par conséquent, si 𝐴 est une matrice deux-deux dont le déterminant est égal à trois, alors le déterminant de trois 𝐴 est égal à 27.