Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment trouver le déterminant d’une matrice triangulaire.
Commençons par rappeler comment trouver le déterminant d’une matrice . Pour faire cela, on doit connaître les définitions des déterminants cofacteurs et des cofacteurs.
Définition : Déterminants cofacteurs
Soit une matrice de dimension . Le déterminant cofacteur de l’élément (noté ) est le déterminant de la matrice obtenue en éliminant la ligne et la colonne de .
Définition : Cofacteurs
Soit une matrice de dimension . Le cofacteur de l’élément (noté ) est où est le déterminant cofacteur de l’élément .
Le déterminant peut être écrit en utilisant le développement par les cofacteurs comme suit.
Définition : Déterminant d’une matrice 3 × 3 (développement par les cofacteurs)
Soit une matrice . Pour tout ou 3, le déterminant de est où chacun des est le cofacteur de l’élément . C’est ce qu’on appelle le développement par les cofacteurs (ou le développement de Laplace) selon une ligne . Alternativement, pour tout ou 3, on a
Ceci est le développement par les cofacteurs selon une colonne .
On note également qu’une autre formule, peut-être plus pratique, consiste à écrire les formules ci-dessus explicitement en fonction des déterminants . Ainsi, pour le développement selon la première ligne, on a
Un aspect important du développement par les cofacteurs à considérer est que nous pouvons choisir la ligne ou la colonne selon laquelle nous souhaitons développer. Il devient clair à quel point cela est important si l’on considère, par exemple, une matrice comme
Si l’on considère la première ligne, alors le calcul du déterminant sera
Bien que cela soit faisable, cela nécessite d’écrire et de calculer trois déterminants . D’autre part, si on utilisait la deuxième ligne à la place, on aurait juste comme et sont tous les deux égaux à 0. Même si ce calcul est beaucoup plus simple, nous obtenons toujours le même résultat à la fin car toutes les formes du développement par les cofacteurs sont équivalentes.
Gardons à l’esprit le fait que choisir une ligne ou une colonne contenant plus de zéros simplifie le calcul en considérant le premier exemple.
Exemple 1: Déterminer le déterminant d’une matrice qui comprend une ligne de zéros
Déterminez la valeur de
Réponse
Pour calculer le déterminant d’une matrice , rappelons que nous pouvons utiliser le développement par les cofacteurs selon n’importe quelle ligne en utilisant la formule où ou 3, et selon n’importe quelle colonne.
Bien que tout choix de ligne ou de colonne nous donne la même valeur pour le déterminant, il est toujours plus facile de choisir celui qui a le plus grand nombre de zéros. En particulier, nous pouvons voir que la troisième ligne est entièrement composée de zéros :
Par conséquent, en posant , le calcul du déterminant sera
Comme le dernier exemple a montré, comme la troisième ligne de la matrice avait des zéros à chaque élément, le déterminant était zéro. Naturellement, comme le développement par les cofacteurs peut être appliqué selon n’importe quelle ligne ou colonne, le même résultat sera vrai si n’importe quelle ligne ou colonne entière d’une matrice est nulle, et cela peut être généralisé à des matrices de n’importe quelle dimension.
Propriété : Déterminants avec ligne ou colonne nulle
Si est une matrice carrée où chaque élément dans une même ligne ou colonne est égale à zéro, alors vaut zéro.
Quelques exemples de ceci incluent
Chaque fois qu’on nous demande de trouver un déterminant, on doit toujours garder à l’esprit de vérifier si des lignes ou des colonnes sont des zéros, car cela nous permet de conclure immédiatement que le déterminant est nul en utilisant cette propriété.
Dans l’exemple suivant, nous considérerons un autre cas particulier du calcul du déterminant.
Exemple 2: Déterminer la valeur du déterminant d’une matrice triangulaire supérieure
Complétez ce qui suit : la valeur du déterminant
Réponse
Lorsqu’on nous demande de trouver le déterminant d’une matrice , rappelons que nous pouvons utiliser le développement par les cofacteurs selon n’importe quelle ligne en utilisant la formule où ou 3, et le long de n’importe quelle colonne.
Il est toujours avantageux pour nous de choisir une ligne ou une colonne, selon laquelle on va développer, qui a le plus grand nombre d’entrées nulles, car cela entraîne moins de calculs nécessaires. Si on observe la matrice donnée, on trouve que la première colonne et la troisième ligne sont les meilleures options car elles contiennent toutes deux, deux éléments qui sont nuls :
Si on choisit la troisième ligne, alors on a . Ainsi, on obtient
Examinons un aspect important de cet exemple. À la fin, le calcul du déterminant consistait simplement à multiplier les trois éléments de la diagonale principale ensemble. La raison pour laquelle le calcul était si simple est que la matrice était une matrice triangulaire supérieure. Rappelons la définition de ce type de matrice.
Définition : Matrice triangulaire
Si les éléments au-dessous de la diagonale principale sont nuls, la matrice est une matrice triangulaire supérieure.
Si les entrées au-dessus de la diagonale principale sont nuls, la matrice est une matrice triangulaire inférieure.
Les matrices triangulaires supérieure et inférieure sont représentées comme suit :
Une matrice est triangulaire si elle est triangulaire supérieure ou inférieure (ou les deux).
La raison pour laquelle le calcul des déterminants des matrices triangulaires est si simple est que les zéros dans la moitié de la matrice simplifient une grande partie du calcul. Pour le voir, considérons le calcul du déterminant pour une matrice triangulaire supérieure générale, en utilisant le développement par les cofacteurs selon la troisième ligne :
En d’autres termes, le résultat final est simplement le produit des trois éléments de la diagonale principale. De même, pour les matrices triangulaires inférieures, le développement par les cofacteurs selon la première ligne nous donne
Cela nous donne la propriété suivante.
Propriété : Déterminants des matrices triangulaires
Le déterminant d’une matrice triangulaire est le produit des éléments de la diagonale principale :
En remarque, cette propriété comprend également la sous-classe des matrices triangulaires : les matrices diagonales. Rappelons qu’une matrice diagonale est une matrice où seuls les éléments de la diagonale principale sont non nuls. Comme les matrices diagonales sont à la fois des matrices triangulaires supérieure et inférieure, elles ont naturellement la même propriété :
Cela est également vrai pour les matrices unités (où le produit des éléments diagonaux est toujours 1) et les matrices nulles (où le produit est toujours 0), car il s’agit à la fois de cas spéciaux de matrices diagonales et, par conséquent, triangulaires.
Voyons comment nous pouvons utiliser cette propriété pour simplifier nos solutions dans l’exemple suivant.
Exemple 3: Comparaison des valeurs des déterminants de deux matrices triangulaires
Vrai ou faux : si alors .
Réponse
Une façon de répondre à cette question serait de calculer chaque déterminant en utilisant le développement par les cofacteurs selon les lignes ou les colonnes. Cependant, nous pouvons répondre plus efficacement à cette question si nous prenons note du fait que est une matrice triangulaire supérieure et est une matrice triangulaire inférieure. Nous pouvons le voir parce que dans , les éléments au-dessous la diagonale principale sont nuls et dans , les éléments au-dessus de la diagonale principale sont nuls :
Ainsi, nous pouvons utiliser la propriété que le déterminant d’une matrice triangulaire est égal au produit des éléments de la diagonale principale. Comme on peut le voir, et ont les mêmes éléments à la diagonale. Par conséquent,
C’est-à-dire , alors la réponse est vraie.
Voyons des exemples où nous devons trouver les déterminants de matrices triangulaires. Dans certains cas, la partie facile consistera à identifier une matrice triangulaire et à appliquer la propriété des déterminants, et la partie difficile impliquera d’autres calculs pour atteindre la réponse requise.
Exemple 4: Résoudre des équations en trouvant le déterminant d’une matrice diagonale
On considère l’équation
Déterminez la valeur de .
Réponse
La première chose à remarquer quand on voit cette matrice est qu’elle est diagonale, ce qui signifie que tous les éléments qui ne sont pas sur la diagonale principale sont nuls :
Les matrices diagonales sont un type spécial de matrice triangulaire, et nous pouvons rappeler que le déterminant d’une telle matrice est trouvé en calculant le produit des éléments de la diagonale principale. Par conséquent, le déterminant est
Maintenant, on veut trouver , en utilisant le fait que ce déterminant est égal à 2. C’est-à-dire
On peut trouver en utilisant les propriétés des puissances, en particulier que . En réarrangeant et en élevant au carrée les deux membres, on obtient
Pour le dernier exemple, cherchons le déterminant d’une matrice donnée connaissant trois variables que nous devrons trouver en calculant les déterminants de matrices plus petites.
Exemple 5: Déterminer la valeur d’un déterminant impliquant des inconnues à l’aide de propriétés des matrices
Si , et , trouvez
Réponse
Comme on nous a donné plusieurs équations avec des déterminants et trois variables inconnues, la chose la plus évidente à faire serait de calculer ces déterminants et de voir si cela nous donne des informations sur les variables, alors faisons-le.
Tout d’abord, pour les matrices , on peut calculer leurs déterminants en utilisant la formule
Pour la première équation, on a
Pour la deuxième équation, on a
Enfin, la troisième équation nous donne
On peut utiliser ces équations par elles-mêmes pour trouver , et , mais cela peut représenter plus de travail que nécessaire. Examinons d’abord le déterminant pour voir quelles informations nous sont demandées. On peut simplifier le calcul de cette matrice en remarquant qu’il s’agit d’une matrice triangulaire supérieure, car les éléments au-dessous de la diagonale principale sont nuls :
Par conséquent, le déterminant ne sera que le produit des éléments de la diagonale principale, ce qui nous donne
Pour trouver , on note qu’on peut calculer le produit de , et (puisque nous avons déjà calculé ces valeurs) puis calculons la racine carrée. C’est-à-dire que nous avons
Puis, en calculant la racine carrée, on obtient
On doit être conscients que plus ou moins 36 sont possibles là. Ces différentes valeurs se produisent en raison des différentes valeurs possibles de , et de sorte que la valeur du déterminant dépende des valeurs des variables.
Par conséquent, le déterminant est soit ou 36.
Considérons les points principaux que nous avons appris dans cette fiche explicative.
Points clés
- On peut simplifier le calcul des déterminants dans certains cas si certaines des éléments sont nuls. En particulier, nous pouvons le faire dans les cas suivants :
- Si une matrice a une ligne ou une colonne nulle, alors son déterminant est nul :
- Si une matrice est triangulaire supérieure, triangulaire inférieure ou diagonale, alors son déterminant est le produit des éléments de la diagonale principale :
- Si une matrice a une ligne ou une colonne nulle, alors son déterminant est nul :
