Transcription de la vidéo
Dans cette vidéo, nous allons apprendre à trouver le déterminant d’une matrice triangulaire. Nous verrons d’abord que les déterminants des matrices carrées qui ont une ligne ou une colonne de zéros sont en fait égaux à zéro, puis que le déterminant d’une matrice triangulaire supérieure, diagonale ou triangulaire inférieure n’est que le produit des coefficients dans la diagonale principale.
Nous allons considérer des matrices carrées trois fois trois, alors rappelons-nous d’abord comment nous trouvons le déterminant d’une matrice carrée trois fois trois. Pour faire cela, nous devons rappeler la définition de deux choses : les déterminants cofacteurs d’une matrice et les cofacteurs d’une matrice carré 𝑚 fois 𝑚. Pour les déterminants cofacteurs d’une matrice, si une matrice 𝐴 avec des éléments 𝑎 indice 𝑖𝑗 de dimension 𝑚 fois 𝑚, alors le déterminant cofacteur, noté 𝐴 majuscule indice 𝑖𝑗, est le déterminant de la matrice 𝑚 moins un fois 𝑚 moins un obtenue en supprimant la ligne 𝑖 et la colonne 𝑗 de la matrice 𝐴. Le cofacteur pour l’élément de matrice 𝑎 indice 𝑖𝑗, noté 𝐶 majuscule indice 𝑖𝑗, est égal à moins un élevé à la puissance 𝑖 plus 𝑗 fois 𝐴 indice 𝑖𝑗, où 𝐴 majuscule indice 𝑖𝑗 est le déterminant cofacteur de l’élément de matrice 𝑎 𝑖𝑗.
Ensuite, le déterminant d’une matrice trois fois trois en utilisant le développement par les cofacteurs, pour un 𝑖 fixe égal à un, deux ou trois, est donné par det 𝐴 est égal à 𝑎 indice 𝑖 un fois 𝐶 indice 𝑖 un plus 𝑎 indice 𝑖 deux fois 𝐶 indice 𝑖 deux plus 𝑎 indice 𝑖 trois fois 𝐶 indice 𝑖 trois, où les 𝐶 indice 𝑖𝑗 sont les cofacteurs des éléments 𝑎 indice 𝑖𝑗. Cela s’appelle le développement par les cofacteurs ou le développement de Laplace le long de la ligne 𝑖. Alternativement, nous pouvons utiliser 𝑗 fixe égal à un, deux ou trois, et le déterminant est 𝑎 indice un 𝑗 fois 𝐶 indice un 𝑗 et ainsi de suite. Et cela s’appelle le développement par les cofacteurs le long de la colonne 𝑗.
Nous pouvons l’écrire d’une manière légèrement plus pratique en utilisant des déterminants deux fois deux. Ainsi, par exemple, choisir 𝑖 est égal à un, c’est le développement de la première ligne, nous avons det 𝐴 est égal à 𝑎 indice un fois le déterminant de la matrice deux fois deux avec des éléments 𝑎 deux deux, 𝑎 deux trois, 𝑎 trois deux , 𝑎 trois trois moins 𝑎 indice un deux fois le déterminant de la matrice avec les éléments 𝑎 deux un, 𝑎 deux trois, 𝑎 trois un, 𝑎 trois trois plus 𝑎 indice un trois fois le déterminant de 𝑎 deux un, 𝑎 deux deux, 𝑎 trois un, 𝑎 trois deux.
Une chose à noter avant d’aller plus loin est que nous devons faire attention aux signes de nos cofacteurs. Rappelez-vous, ils contiennent chacun moins un élevé à la somme de 𝑖 et 𝑗. Et si 𝑖 plus 𝑗 est pair, c’est plus un. Et si 𝑖 plus 𝑗 est impair, c’est moins un. Par conséquent, nous avons les signes des cofacteurs pour une matrice trois fois trois, comme indiqué. C’est positif, négatif, positif, négatif, positif, négatif, positif, négatif, positif. Et nous voyons que notre développement de première ligne suit ce modèle.
Il convient de considérer que la ligne ou la colonne que nous choisissons de développer selon laquelle peut faire une grande différence dans la quantité de travail que nous devons consacrer au calcul de notre déterminant. En fait, choisir de développer le long d’une ligne ou d’une colonne contenant un ou plusieurs éléments nuls peut simplifier le calcul. Nous pouvons voir comment cela fonctionne avec un exemple. Supposons que notre matrice 𝐴 possède les éléments cinq, un, sept, zéro, zéro, trois et deux, quatre, un. Si nous décidons de développer le long de la première ligne pour trouver le déterminant, alors nous devrons trouver les déterminants de trois matrices deux fois deux. Ceci est parfaitement faisable en utilisant la formule pour un déterminant deux fois deux pour chacun de ceux-ci. Cependant, il existe un moyen plus facile.
Si nous développons plutôt le long de la deuxième ligne, où nous avons deux éléments nuls, et en nous souvenant des signes de nos cofacteurs, nous voyons qu’il n’est pas nécessaire de calculer les deux premiers déterminants car ils sont tous deux multipliés par zéro. Et par conséquent, les deux premiers termes sont égaux à zéro. Et il suffit de calculer le troisième terme. Cela équivaut à moins trois multiplié par cinq fois quatre moins un fois deux. C’est moins trois fois 18, ce qui vaut moins 54. Le calcul utilisant le développement de la première ligne nous donne bien sûr la même réponse. Mais le développement de la deuxième ligne mène à plutôt moins de travail que cela, ce qui signifie également qu’il y a moins de chance de commettre des erreurs que lors du calcul des trois déterminants.
Nous avons donc vu que le choix d’une ligne ou d’une colonne contenant des éléments nuls simplifie le calcul du déterminant d’une matrice trois fois trois. Gardons cela à l'esprit dans le prochain exemple.
Trouvez la valeur du déterminant de la matrice trois fois trois ayant les éléments cinq, moins un, huit, zéro, deux, 60, zéro, zéro, zéro.
Pour trouver ce déterminant, nous rappelons que pour une matrice 𝐴 trois par trois, nous pouvons utiliser le développement par les cofacteurs sur n’importe quelle ligne en utilisant la formule donnée, où nous choisissons 𝑖 égal à un, deux ou trois et développons le long de cette ligne et où 𝐶 indice 𝑖𝑗 est la matrice des cofacteurs pour l’élément 𝑖𝑗 de la matrice 𝐴 et 𝐴 majuscule indice 𝑖𝑗 est le déterminant cofacteur de l’élément de la ligne 𝑖 colonne 𝑗 de la matrice 𝐴. Maintenant, bien que tout choix de développement le long d’une ligne ou d’une colonne nous donne le même déterminant, le calcul sera plus simple si nous choisissons une ligne ou une colonne avec le plus d’éléments nuls. Et nous voyons que dans la matrice donnée, tous les éléments de la troisième ligne sont nuls.
Donc, en posant 𝑖 égal à trois, nous développons le long de la troisième ligne. Et notre déterminant est 𝑎 indice trois un fois 𝐶 indice trois un plus 𝑎 indice trois deux fois 𝐶 indice trois deux plus 𝑎 indice trois trois fois 𝐶 indice trois trois. Mais notez que puisque tous les éléments 𝑎 indice trois un, 𝑎 indice trois deux et 𝑎 indice trois trois sont égaux à zéro, chacun de nos termes est un multiple de zéro. Par conséquent, notre déterminant est égal à zéro. Et donc, la valeur du déterminant de la matrice donnée est zéro.
Nous avons démontré dans cet exemple qu’une matrice trois fois trois avec une ligne de zéros a un déterminant égal à zéro. Mais comme le développement par les cofacteurs peut être appliqué le long de n’importe quelle ligne ou colonne, le même résultat est vrai si toute ligne ou colonne entière est égale à zéro. Et cela peut être généralisé à des matrices carrées de toute dimension. Par conséquent, si 𝐴 est une matrice carrée 𝑚 fois 𝑚 où chaque élément dans une ligne ou une colonne particulière est égale à zéro, alors le déterminant de la matrice 𝐴 est égal à zéro.
Ainsi, chaque fois qu’on nous demande de trouver un déterminant, nous devons toujours penser à vérifier si une ligne ou une colonne est égale à zéro, car nous savons alors immédiatement que le déterminant sera nul. Dans l’exemple suivant, nous étudierons un autre cas particulier du calcul du déterminant.
La valeur du déterminant de la matrice trois fois trois avec les éléments trois, zéro, moins deux, zéro, cinq, sept et zéro, zéro, quatre est égale à combien.
Quand on nous demande de trouver le déterminant d’une matrice trois fois trois, nous rappelons que nous pouvons utiliser le développement par les cofacteurs le long de n’importe quelle ligne spécifique 𝑖, en utilisant la formule det 𝐴 est égal à 𝑎 indice 𝑖 un fois 𝐶 indice 𝑖 un plus 𝑎 indice 𝑖 deux fois 𝐶 indice 𝑖 deux plus 𝑎 indice 𝑖 trois fois 𝐶 indice 𝑖 trois. Et de même, en choisissant la colonne 𝑗, où 𝑗 est égal à un, deux ou trois, nous avons la même idée en développant le long d’une colonne. Et c’est là que 𝐶 indice 𝑖𝑗 est le cofacteur de l’élément 𝑎 indice 𝑖𝑗 dans la matrice 𝐴, et 𝐴 majuscule indice 𝑖𝑗 est le déterminant cofacteur de l’élément 𝑎 indice 𝑖𝑗.
Lors du calcul d’un déterminant de cette manière, pour limiter la quantité de calcul impliquée, si possible, nous choisissons de développer le long d’une ligne ou d’une colonne avec le plus d’éléments nuls. En examinant la matrice donnée, nous constatons que la première colonne et la troisième ligne seraient de bons éléments, car elles ont deux éléments nuls. Choisissons de développer le long de la troisième ligne de sorte que 𝑖 soit égal à trois. Puisque les éléments 𝑎 indice trois un et 𝑎 indice trois deux sont nuls, cela nous donne zéro moins zéro plus quatre fois le déterminant de la matrice deux fois deux avec les éléments trois, zéro, zéro, cinq. Notez que puisque nous nous développons le long de la troisième ligne, les signes des cofacteurs sont positif, négatif, positif. Et la matrice deux fois deux avec les éléments trois, zéro, zéro, cinq est le déterminant cofacteur de l’élément 𝑎 indice trois trois.
Alors maintenant, puisque les deux premiers termes sont nuls, le déterminant de la matrice trois fois trois donnée est quatre fois le déterminant de la matrice deux fois deux trois, zéro, zéro, cinq. En utilisant la formule du déterminant d’une matrice deux fois deux, nous avons le déterminant de la matrice donnée quatre fois trois fois cinq, soit 60. Par conséquent, la valeur du déterminant de la matrice trois fois trois donnée est 60.
Maintenant, si nous considérons le calcul du déterminant ici, nous pouvons voir qu’il s’agit simplement de la multiplication des trois éléments le long de la diagonale principale. Et la raison pour laquelle c’était si simple est que la matrice elle-même est une matrice triangulaire supérieure. Rappelons-nous comment nous définissons les matrices triangulaires. Si les éléments au-dessous de la diagonale principale sont nuls, la matrice est une matrice triangulaire supérieure. Si les éléments au-dessus de la diagonale principale sont nuls, la matrice est définie comme triangulaire inférieure. Une matrice est triangulaire si elle est triangulaire supérieure ou inférieure ou les deux. Comme nous l’avons vu, la raison pour laquelle le calcul des déterminants des matrices triangulaires est si simple est que les zéros dans la moitié de la matrice annulent la plupart des calculs.
Regardons cela un peu plus près pour une matrice triangulaire supérieure générale. Si nous utilisons le développement par les cofacteurs selon la troisième ligne, le déterminant est alors zéro fois le cofacteur de l’élément de la première colonne de la troisième ligne plus zéro fois le cofacteur de l’élément de la deuxième colonne de la troisième ligne plus 𝑓 fois le cofacteur de l’élément de troisième colonne de la troisième ligne. Ceci est égal à 𝑓 fois le déterminant de la matrice deux fois deux 𝑎, 𝑏, zéro, 𝑑, qui est égal à 𝑎𝑑𝑓. En d’autres termes, le résultat final n’est que le produit des trois éléments de la diagonale principale. De même, pour les matrices triangulaires inférieures, en développant le long de la première ligne, nous trouvons que le résultat est équivalent. Le déterminant est égal à 𝑎𝑐𝑓, qui est le produit des trois éléments de la diagonale principale.
Cela nous donne la propriété du déterminant d’une matrice triangulaire est le produit des éléments de la diagonale principale. Nous notons également que cette propriété s’applique à la sous-classe des matrices triangulaires, des matrices diagonales. Ce sont des matrices où seuls les éléments de la diagonale principale sont non nuls. Comme les matrices diagonales sont à la fois triangulaires supérieure et inférieure, elles ont la même propriété que le déterminant soit le produit des éléments de la diagonale principale ou dominante. Nous notons en outre que cela s’applique également aux matrices unité et nulles, où les éléments de la diagonale principale sont tous égaux à un ou tous égaux à zéro respectivement, et ils sont tous deux des matrices diagonales.
Voyons maintenant un exemple où nous pouvons utiliser cette propriété pour comparer les déterminants de deux matrices.
Vrai ou faux : si 𝐴 est la matrice carrée trois fois trois avec les éléments un, quatre, deux, zéro, trois, six, zéro, zéro, quatre et 𝐵 la matrice trois fois trois avec les éléments un, zéro, zéro, cinq, trois, zéro et six, sept, quatre, alors le déterminant de 𝐴 est égal au déterminant de 𝐵.
Une façon de répondre à cette question serait de calculer chacun des deux déterminants en utilisant le développement par les cofacteurs le long des lignes ou des colonnes et en comparant. Cependant, nous n’avons pas vraiment besoin de le faire, puisque 𝐴 et 𝐵 sont des matrices triangulaires. 𝐴 est une matrice triangulaire supérieure puisque tous les éléments au-dessous de la diagonale principale sont nuls. Et 𝐵 est triangulaire inférieur puisque tous les éléments au-dessus de la diagonale principale sont nuls. Nous savons maintenant que pour les matrices triangulaires supérieures et inférieures, le déterminant n’est que le produit des éléments sur la diagonale principale. Et nous savons que nos matrices 𝐴 et 𝐵 sont triangulaires. Mais leurs déterminants sont-ils égaux ?
Par notre propriété de matrice triangulaire, nous savons que leurs déterminants sont le produit des éléments sur leurs diagonales principales. Et comme les deux matrices ont les mêmes éléments dans leurs diagonales principales, un, trois et quatre, nous concluons que leurs déterminants sont tous deux égaux à 12. Par conséquent, det 𝐴 est égal à det 𝐵 est égal à 12. Et donc, l’affirmation est vraie.
Dans notre dernier exemple, nous allons voir comment résoudre une équation en trouvant le déterminant d’une matrice diagonale.
Considérons l’équation comme le déterminant de la matrice avec les éléments 𝑥 moins un, zéro, zéro, zéro, 𝑥 au carré plus 𝑥 plus un, zéro et zéro, zéro, un égal à deux. Déterminez la valeur de 𝑥 à la puissance six.
Maintenant, cela ressemble à un problème compliqué. Mais en réalité, nous pouvons la simplifier en remarquant que la matrice donnée est une matrice diagonale. Autrement dit, seuls les éléments de la diagonale principale sont non nuls. Et nous savons que pour une matrice diagonale, qui est un type spécial de matrice triangulaire, le déterminant est égal au produit des éléments de la diagonale principale. Dans notre cas, cela signifie que le déterminant est égal à 𝑥 moins un fois 𝑥 au carré plus 𝑥 plus un fois un. En développant les parenthèses et en regroupant les termes semblables, il nous reste le déterminant égal à 𝑥 au cube moins un.
Maintenant, nous voulons trouver 𝑥 à la puissance six, et on nous dit que le déterminant donné est égal à deux. Donc, en égalisant deux avec le déterminant que nous venons de trouver, nous avons 𝑥 au cube moins un égal à deux. Résoudre ce problème pour 𝑥 au cube en ajoutant un aux deux membres donne 𝑥 au cube égal à trois. Et maintenant, en utilisant les règles des puissances, en élevant au carré les deux membres, puisque 𝑥 à la puissance trois au carré est égal à 𝑥 à la puissance six, nous avons 𝑥 à la puissance six est égal à neuf.
Terminons maintenant cette vidéo en récapitulant certains des principaux points que nous avons abordés. Si certains des éléments d’une matrice sont nuls, nous pourrons simplifier le calcul du déterminant. Si une matrice a une ligne ou une colonne de zéros, alors son déterminant est zéro. Et si une matrice est triangulaire supérieure, triangulaire inférieure ou diagonale, alors son déterminant est le produit des éléments sur la diagonale principale.