Transcription de la vidéo
Calculez l’aire de la figure suivante au millième de mètre carré près.
Dans cette vidéo, nous avons un triangle équilatéral comme nous pouvons le voir aux marques sur les côtés du triangle, chaque côté mesure donc 34 mètres. Nous avons également ce triangle rectangle. Puisque nous savons que la somme des angles d’un triangle est égale à 180 degrés et que ce triangle a un angle de 90 degrés et un angle de 60 degrés, alors le troisième angle est égal à 30 degrés.
Ainsi, nous avons un triangle rectangle particulier, un triangle 30-60-90. Il existe une relation qui lie les côtés d’un triangle dont les angles mesurent 30, 60 et 90 degrés. Si la longueur du côté opposé à l’angle de 30 degrés est 𝑥, alors le côté opposé à l’angle de 60 degrés a une longueur de 𝑥 fois la racine carrée de deux et le côté le plus long opposé à l’angle de 90 degrés, l’hypoténuse, a une longueur de deux fois 𝑥.
Nous savons que dans notre triangle rectangle, la longueur de l’hypoténuse est égale à 34. Ainsi, nous pouvons poser l’équation 34 égale 2𝑥 et la résoudre pour déterminer 𝑥. En divisant les deux côtés par deux, nous obtenons que 𝑥 est égal à 17. Si 𝑥 est égal à 17, alors la longueur de ce côté, le côté opposé à l’angle de 30 degrés, est égale à 17. Nous l’indiquons sur notre figure. Enfin, pour le troisième côté, nous remplaçons 𝑥 par 17, nous multiplions par racine carrée de deux et nous obtenons environ 29,4449.
Maintenant que nous connaissons les longueurs de tous les côtés dans nos deux triangles, nous pouvons passer au calcul de l’aire. Pour déterminer l’aire de la figure, nous pouvons calculer séparément l’aire des deux triangles qui la composent et les additionner. Commençons par l’aire du triangle rectangle. L’aire d’un triangle est égale un demi fois la base fois la hauteur.
Heureusement, dans un triangle rectangle, chacun des deux côtés les plus courts peut être utilisé comme base ou comme hauteur. Ainsi, nous pouvons prendre un demi fois 17 pour la base et 29,4449 pour la hauteur. Nous obtenons alors que l’aire de notre triangle rectangle est de 250,28165 mètres carrés.
Maintenant que nous connaissons l’aire de ce triangle, nous devons calculer celle du second. Le problème dans le second triangle est que nous ne connaissons pas sa hauteur, car, peu importe le côté que nous prenons pour base, la hauteur doit lui être perpendiculaire et nous ne connaissons aucune des hauteurs associées.
Cependant, nous pouvons utiliser la formule de Héron. L’aire du triangle est égale à la racine carrée de 𝑝 multiplié par 𝑝 moins 𝑎 multiplié par 𝑝 moins 𝑏 multiplié par 𝑝 moins 𝑐, où 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont les longueurs des côtés du triangle et 𝑝 est son demi-périmètre. Alors, calculons 𝑝. Il s’agit de la moitié du périmètre, sachant que le périmètre est la longueur du contour du triangle, il est donc égal à 34 plus 34 plus 34 dans notre cas. Ainsi, le périmètre de notre triangle est égal à 102.
Pour obtenir 𝑝, il suffit de diviser cela par deux. Ainsi, notre demi-périmètre est égal à 51 mètres et nous pouvons remplacer 𝑝 par 51. Puisque les côtés de notre triangle mesurent tous 34 mètres, nous pouvons remplacer 𝑎 par 34, 𝑏 par 34 et 𝑐 par 34. Simplifions cette expression ; 51 moins 34 est égal à dix-sept. Nous avons donc racine de 51 fois 17 fois 17 fois 17, ce qui est égal à racine de 250563, soit 500,5627 mètres carrés.
Ainsi, le triangle équilatéral a une aire de 500,5627 mètres carrés et le triangle rectangle a une aire de 250,28165 mètres carrés. L’aire totale de la figure est égale à l’aire du triangle équilatéral plus l’aire du triangle rectangle, soit 500,5627 mètres carrés plus 250,28165 mètres carrés, ce qui est égal à 750,844 mètres carrés au millième près.
