Fiche explicative de la leçon : Déterminer l'aire d'un triangle en utilisant la trigonométrie Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à déterminer l'aire d'un triangle à partir des longueurs de deux côtés et le sinus de l'angle compris entre eux.

Nous savons dès le début de notre parcours mathématique comment calculer l'aire d'un triangle en utilisant sa base et sa hauteur. Cependant, cette méthode est limitée, vue qu’on ne peut pas toujours disposer de ces deux mesures. Dans cette fiche explicative, nous allons prolonger nos connaissances en introduisant la formule trigonométrique pour calculer l'aire d'un triangle, que nous dérivons maintenant.

On considère le triangle 𝐴𝐵𝐶 dont on connaît les longueurs des deux côtés 𝑎 et 𝑏 et la mesure de l’angle compris entre eux, l’angle 𝐶. Nous appelons cela l’angle inclus ou l’angle compris. Les informations connues sont représentées en gras sur la figure ci-dessous.

Afin d’appliquer la formule usuelle pour calculer l’aire d’un triangle, on doit connaître les longueurs de sa base et sa hauteur. On trace une droite à partir du sommet 𝐵 qui est perpendiculaire à la base 𝐴𝐶, qu’on note .

L’aire du triangle 𝐴𝐵𝐶, en utilisant la formule usuelle, est aire=𝑏2. On a besoin d’exprimer la hauteur en fonction des longueurs des côtés connues et l’angle connu. On considère le triangle 𝐵𝐶𝐷 sur la figure ci-dessus. Comme c’est un triangle rectangle, nous pouvons appliquer le rapport sinus pour exprimer en fonction de 𝑎 et 𝐶. Rappelant que le sinus est le rapport entre la longueur du côté opposé et la longueur de l’hypoténuse, on a sinopphypsin𝐶=𝐶=𝑎.

En multipliant par 𝑎, on trouve =𝑎𝐶.sin

Nous avons maintenant exprimé la hauteur du triangle en fonction de la langueur du côté 𝑎 et l’angle 𝐶, supposés connus. Maintenant, on remplace par cette expression dans la formule usuelle de l’aire d’un triangle pour obtenir la formule trigonométrique airesinsin=𝑏2=𝑏×𝑎𝐶2=12𝑎𝑏𝐶.

Définition : La formule trigonométrique de l’aire d’un triangle

La formule trigonométrique de l’aire d’un triangle est Airesin=12𝑎𝑏𝐶;𝑎 et 𝑏 sont les longueurs des deux côtés et 𝐶 est la mesure de l’angle compris entre eux.

Cette formule est valable en degrés et en radians et peut être appliquée à n’importe quel triangle. Il serait possible de calculer explicitement la hauteur de chaque triangle en utilisant la trigonométrie, et après on applique la formule la plus basique, mais ces étapes sont combinées implicitement dans la formule trigonométrique. Donc, elle est plus efficace.

Il est important de noter que cette formule peut être appliquée chaque fois que nous connaissons deux côtés d’un triangle et l’angle compris entre eux. Pour le triangle 𝐴𝐵𝐶 ci-dessus, la formule peut être exprimée de manière équivalente comme Airesin=12𝑏𝑐𝐴 ou bien Airesin=12𝑎𝑐𝐵.

Mais il vaut mieux ne pas être trop attentif par les lettres exactes utilisées et plutôt comprendre ce qu’elles représentent en termes de positionnement relatif des côtés et d’angle.

Examinons maintenant comment appliquer cette formule pour calculer l’aire d’un triangle sachant les longueurs des deux côtés et de la mesure de l’angle compris entre eux.

Exemple 1: Utiliser la formule trigonométrique pour le calcul d’aire des triangles

𝐴𝐵𝐶 est un triangle, où 𝐵𝐶=15cm , 𝐴𝐶=25cm et 𝑚𝐶=41. Trouvez l’aire de 𝐴𝐵𝐶, en donnant les réponses au millième près.

Réponse

Il est utile de dessiner le triangle 𝐴𝐵𝐶 comme illustré ci-dessous (sans échelle).

D’après notre dessin, il est clair que les données disponibles sont les longueurs des deux côtés du triangle et la mesure de l’angle compris entre eux. On rappelle que la formule trigonométrique de l’aire d’un triangle est donnée par : airesin=12𝑎𝑏𝐶.

En remplaçant les longueurs des côtés par 15 cm et 25 cm et l’angle compris par 41, on obtient airesinsin=12×15×25×41=375412=123,01106123,011.

L’aire du triangle 𝐴𝐵𝐶, au millième près, est 123,011 cm2.

Dans l’exemple précédent, on nous a explicitement donné deux longueurs de côtés et leur angle compris. Dans d’autres problèmes, on peut se retrouver avec des informations un peu différentes. Il peut être alors nécessaire de calculer les longueurs et les angles requis en utilisant d’autres propriétés géométriques, telle que la somme des angles dans un triangle. Nous allons maintenant considérer un exemple.

Exemple 2: Utiliser la formule trigonométrique pour les aires des triangles pour déterminer l’aire d’un triangle isocèle

Un triangle isocèle a deux côtés de longueur 48 cm et des angles de base de 75. Déterminez l’aire du triangle en donnant la réponse au millième près, si nécessaire.

Réponse

On commence par dessiner le triangle (sans échelle). On rappelle que les angles de base d’un triangle isocèle sont les angles formés par chacun des côtés égaux avec le troisième côté.

On rappelle maintenant la formule trigonométrique de l’aire d’un triangle : airesin=12𝑎𝑏𝐶.

Nous connaissons les longueurs des deux côtés du triangle et on peut calculer l’angle compris entre eux, l’angle 𝐶 sur notre dessin, en utilisant la somme des angles dans un triangle. En soustrayant les mesures des deux autres angles de 180, on obtient 𝑚𝐶=1807575=30.

En remplaçant les longueurs des deux côtés par 48 cm et l’angle compris entre eux par 30 dans la formule trigonométrique de l’aire d’un triangle et après le calcul on trouve airesin=12×48×48×30=12×48×48×12=576.

Comme il s’agit d’un nombre entier, il n’est pas nécessaire d’arrondir notre réponse au millième près.

L’aire du triangle est 576 cm2.

Dans le problème précédent, l’angle inclus était l’un des angles remarquables pour lesquels les valeurs des trois rapports trigonométriques peuvent être exprimées exactement en termes de quotients et de radicaux. L’utilisation de tels angles nous permet de résoudre des problèmes pareils lorsqu’on n’a pas une calculatrice.

Nous récapitulons maintenant les étapes clés à suivre lors de l’application de la formule trigonométrique de l’aire des triangles.

Comment calculer l’aire des triangles à l’aide de la formule trigonométrique

  1. Identifier les longueurs de deux côtés et l’angle compris entre eux.
  2. Il peut être nécessaire de calculer l’une de ces valeurs en utilisant d’autres informations données dans la question, par exemple en utilisant la somme des angles dans un triangle ou les angles supplémentaires.
  3. Remplacer les valeurs dans la formule airesin=12𝑎𝑏𝐶;𝑎 et 𝑏 représentent les longueurs des côtés et 𝐶 représente la mesure de l’angle compris entre eux.

On peut aussi travailler à l’envers si on a l’aire d’un triangle, la longueur d’un côté et la mesure d’un angle pour déterminer la longueur du deuxième côté qui forme l’angle. Cela nous mène à poser une équation à résoudre, comme nous l’allons montrer dans le prochain exemple.

Exemple 3: Déterminer la longueur d’un côté d’un triangle étant données son aire, la longueur d’un côté et la mesure d’un angle

𝐴𝐵𝐶 est un triangle où 𝐴𝐵=18cm, 𝑚𝐵=60 et son aire est 743cm. Déterminez la longueur de 𝐵𝐶 en donnant la réponse au centième près.

Réponse

On commence par dessiner un triangle 𝐴𝐵𝐶 en utilisant les informations données dans la question.

Puis, on rappelle la formule trigonométrique de l’aire d’un triangle : airesin=12𝑎𝑏𝐶.

Nous rappelons que 𝑎 et 𝑏 représentent les longueurs de deux côtés et 𝐶 représente l’angle compris entre eux, ainsi, pour notre triangle nous pouvons exprimer l’aire, en utilisant les côtés 𝐴𝐵 et 𝐵𝐶 et l’angle compris de mesure 60, comme airesin=12×𝐴𝐵×𝐵𝐶×60.

En remplaçant l’aire par 743 et 𝐴𝐵 par 18, on peut former une équation avec une seule inconnue : 743=12×18×𝐵𝐶×60.sin

On rappelle que sin60=32 et on résout notre équation dont l’inconnue est 𝐵𝐶 en annulant d’abord 3 de chaque côté puis en isolant 𝐵𝐶: 9×𝐵𝐶×32=7439𝐵𝐶2=74𝐵𝐶=74×29=16,44416,44.

La longueur de 𝐵𝐶 au centième près est 16,44 cm.

Les problèmes que nous avons traités jusqu’à présent concerne uniquement un seul triangle. Il est également possible d’appliquer la formule trigonométrique pour calculer les aires des figures composées de triangles. Nous pouvons avoir besoin d’utiliser d’autres techniques, telles que la trigonométrie du triangle rectangle, afin de calculer les longueurs manquantes dont nous avons besoin, comme nous le verrons dans notre prochain exemple.

Exemple 4: Déterminer l’aire d’une figure composée en utilisant la formule trigonométrique de l’aire des triangles

Déterminez l’aire de la figure ci-dessous en donnant la réponse au millième près.

Réponse

La figure se compose de deux triangles, le triangle 𝐴𝐵𝐶 et le triangle 𝐴𝐶𝐷. Considérons d’abord le triangle 𝐴𝐶𝐷. C’est un triangle équilatéral avec un côté de 34 m et par suite chacun des angles intérieurs est de 60. On rappelle la formule trigonométrique de l’aire d’un triangle : airesin=12𝑎𝑏𝐶;𝑎 et 𝑏 représentent les longueurs de deux côtés et 𝐶 représente l’angle compris entre eux. Dans le triangle 𝐴𝐶𝐷, chaque côté mesure 34 m et chaque angle est 60, donc en remplaçant ces valeurs dans la formule on obtient airedutrianglesinsin𝐴𝐶𝐷=12×34×34×60=57860.

Sachant que sin60=32, nous avons airedutriangle𝐴𝐶𝐷=578×32=2893.

Puis, on considère le triangle 𝐴𝐵𝐶, qui est un triangle rectangle. Nous avons la mesure d’un autre angle et on peut déduire que la longueur de son hypoténuse, 𝐴𝐶, est 34 m. Pour appliquer la formule trigonométrique de l’aire d’un triangle, on doit d’abord calculer la longueur du deuxième côté qui forme l’angle 𝐶, le côté 𝐵𝐶.

Par rapport à l’angle 𝐶, 𝐵𝐶 est le côté adjacent. En utilisant les rapports de trigonométrie dans un triangle rectangle, on a cosadjacenthypoténuse60==𝐵𝐶34.

En réarrangeant, on trouve 𝐵𝐶=3460=34×12=17.cos

On peut maintenant appliquer la formule trigonométrique pour calculer l’aire des triangles en utilisant les côtés 𝐵𝐶 et 𝐴𝐶 et l’angle compris entre eux 𝐶: airedutrianglesin𝐴𝐵𝐶=12×17×34×60=28932.

L’aire totale de la figure composée est la somme des aires des deux triangles : airetotaleairedutriangleairedutriangle=𝐴𝐶𝐷+𝐴𝐵𝐶=2893+28932=86732=750,8440750,844.

L’aire de la figure, au millième près, est 750,844 m2.

Dans l’exemple précédent, nous avons appliqué la formule trigonométrique pour calculer l’aire d’un triangle rectangle en utilisant les longueurs de deux côtés et l’angle compris entre eux, qui, dans ce cas, n’était pas l’angle droit. Il est intéressant de noter ce qui se passe si on applique la formule trigonométrique en utilisant l’angle droit et les deux côtés qui le forme. Ces deux côtés sont la base et la hauteur du triangle, comme illustré dans la figure ci-dessous.

En appliquant la formule trigonométrique de l’aire d’un triangle, on obtient airesin=12×𝑏××90.

Rappelant que sin90=1, ainsi aire=12𝑏; ce qui est cohérent avec la formule usuelle pour l’aire d’un triangle en utilisant sa base et sa hauteur. Par conséquent, nous avons montré que la formule trigonométrique se réduit à la formule de l’aire usuelle si elle est appliquée à un triangle rectangle.

Nous avons vu comment appliquer la formule trigonométrique pour calculer l’aire des triangles aux figures composées, mais elle peut être également utilisée pour calculer les aires d’autres figures géométriques, notamment les parallélogrammes. Si de telles figures peuvent être divisées en triangles, alors, à condition d’avoir les informations nécessaires, nous pouvons utiliser cette formule pour déterminer leurs aires comme la somme des aires des triangles qu’elles forment. Considérons maintenant un exemple dans lequel nous appliquons cette formule pour calculer l’aire d’un parallélogramme.

Exemple 5: Déterminer l’aire d’un parallélogramme en utilisant la formule trigonométrique pour calculer l’aire des triangles

𝐴𝐵𝐶𝐷 est un parallélogramme, où 𝐴𝐵=41cm, 𝐵𝐶=27cm et 𝑚𝐵=159. Déterminez l’aire de 𝐴𝐵𝐶𝐷, en donnant la réponse au centimètre carré près.

Réponse

Nous commençons par dessiner le parallélogramme, comme illustré ci-dessous.

D’habitude, pour calculer l’aire d’un parallélogramme, on applique la formule airebasehauteur=×.

Cependant, on n’a pas la hauteur de ce parallélogramme. En revanche, nous savons que 𝐴𝐵𝐶𝐷 est un parallélogramme, chacune de ses diagonales le divise en deux triangles superposables. Traçons la diagonale 𝐴𝐶 sur le dessin.

Comme les triangles 𝐴𝐵𝐶 et 𝐴𝐷𝐶 sont superposables, ils ont la même aire. L’aire du parallélogramme peut alors être calculée comme le double de l’aire du triangle 𝐴𝐵𝐶, où nous connaissons les longueurs de deux côtés et la mesure de l’angle compris entre eux. On peut donc appliquer la formule trigonométrique pour l’aire d’un triangle : airedutrianglesin𝐴𝐵𝐶=12×41×27×159.

L’aire du parallélogramme est le double de celle-ci : airedesin𝐴𝐵𝐶𝐷=2×12×41×27×159.

Après simplification, on obtient airedesin𝐴𝐵𝐶𝐷=41×27×159=396,713397.

L’aire de 𝐴𝐵𝐶𝐷, au centimètre carré près, est 397 cm2.

Terminons par récapituler certains points clés de cette fiche explicative.

Points clés

  • L’aire de tout triangle peut être calculée en utilisant les longueurs de deux de ses côtés et le sinus de l’angle compris entre eux.
  • La formule trigonométrique pour calculer l’aire d’un triangle est airesin=12𝑎𝑏𝐶;𝑎 et 𝑏 sont les longueurs des deux côtés et 𝐶 est la mesure de l’angle compris entre eux.
  • Si l’aire d’un triangle et deux pièces d’information parmi les longueurs de ses côtés 𝑎 et 𝑏 et la mesure de l’angle 𝐶 sont données, la formule trigonométrique peut être utilisée pour calculer la longueur de l’autre côté ou la mesure de l’angle.
  • La formule trigonométrique peut également être utilisée pour calculer les aires d’autres figures géométriques ou des figures composées qui peuvent être divisées en triangles.

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