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Vidéo de la leçon: Déterminer l’aire d’un triangle en utilisant la trigonométrie Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment déterminer l'aire d'un triangle à partir des longueurs de deux côtés et le sinus de l'angle compris entre eux.

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Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment déterminer l'aire d'un triangle à partir des longueurs de deux côtés et le sinus de l'angle compris entre eux. Nous avons vu précédemment que nous pouvons trouver l’aire d’un triangle en utilisant sa base et sa hauteur. Cependant, comme ces mesures ne sont pas toujours données, nous utiliserons notre connaissance des rapports trigonométriques pour trouver la formule trigonométrique de l’aire d’un triangle.

Commençons par considérer le triangle 𝐴𝐵𝐶 comme indiqué. Nous allons laisser les longueurs des côtés en minuscules 𝑎, 𝑏 et 𝑐, où ces longueurs des côtés sont opposées à leurs angles correspondants en majuscules. Si nous connaissons les longueurs de deux des côtés du triangle ainsi que l’angle compris entre eux, nous pourrons trouver la formule trigonométrique. Supposons que nous connaissions les longueurs de deux côtés 𝑎 et 𝑏 et l’angle compris entre eux 𝐶.

Rappelant que la formule habituelle pour l’aire d’un triangle est la moitié de sa base multipliée par sa hauteur, nous pouvons donc tracer une ligne issue du sommet 𝐵 qui est perpendiculaire à la base 𝐴𝐶, et nous allons désigner cela par ℎ. Considérant le triangle rectangle 𝐵𝐷𝐶 ainsi que le rapport trigonométrique qui indique que sinus 𝜃 est égal à l’opposé sur l’hypoténuse, nous savons que le sinus de l’angle 𝐶 est égal au côté opposé ℎ sur l’hypoténuse 𝑎. La multiplication des deux membres de cette équation par 𝑎 nous donne ℎ qui est égal à 𝑎 multiplié par sin 𝐶.

Nous pouvons alors substituer cette expression à ℎ dans la formule générale. L’aire du triangle 𝐴𝐵𝐶 est donc égale à la moitié de 𝑏 multipliée par 𝑎 sinus 𝐶, qui peut être réécrite comme un demi 𝑏 sinus 𝐶. La formule trigonométrique pour l’aire d’un triangle est un demi 𝑎𝑏 sinus 𝐶, où 𝑎 et 𝑏 sont les longueurs de deux côtés et 𝐶 est la mesure de l’angle compris entre eux.

Il est important de noter que nous pouvons utiliser n’importe quels deux côtés quelconques avec l'angle compris entre eux. Par exemple, sur notre figure, un demi 𝑏𝑐 sinus 𝐴 et un demi 𝑎𝑐 sinus 𝐵 nous donneraient également l’aire du triangle. Il est donc préférable de ne pas trop se concerner des lettres exactes utilisées et de comprendre ce qu’elles représentent en termes de positionnement relatif des côtés et de l’angle dans le triangle.

Nous allons maintenant examiner quelques exemples spécifiques.

𝐴𝐵𝐶 est un triangle, où 𝐵𝐶 est égal à 15 centimètres, 𝐴𝐶 est égal à 25 centimètres et la mesure de l’angle 𝐶 est de 41 degrés. Trouvez l’aire de 𝐴𝐵𝐶 en donnant votre réponse au millième près.

Nous commencerons par tracer le triangle 𝐴𝐵𝐶. On nous dit que la longueur de 𝐵𝐶 est de 15 centimètres, 𝐴𝐶 est égale à 25 centimètres et la mesure de l’angle 𝐶 est de 41 degrés. Comme on nous donne les longueurs des deux côtés du triangle 𝑎 et 𝑏 ainsi que l’angle compris entre eux 𝐶, nous pouvons calculer l’aire du triangle en utilisant la formule un demi 𝑎𝑏 sinus 𝐶, où 𝑎 minuscule est égale à 𝐵𝐶 et 𝑏 minuscule est égal au côté 𝐴𝐶. L’aire de notre triangle est donc égale à un demi multiplié par 15 multiplié par 25 multiplié par le sinus de 41 degrés. En nous assurant que notre calculatrice est en mode degré, nous pouvons taper cela directement, ce qui nous donne 123,011067 et ainsi de suite.

On nous demande de donner notre réponse au millième près. Comme le quatrième nombre après la virgule est un zéro, nous arrondissons, nous donnant 123,011. Puisque les longueurs des triangles ont été données en centimètres, l’aire du triangle 𝐴𝐵𝐶 au millième près est de 123,011 centimètres carrés.

Dans cette question, on nous a donné deux longueurs de côtés et l’angle compris entre eux. Cependant, dans notre exemple suivant, on nous donne un ensemble d’informations légèrement différent. Cela nous obligera à effectuer quelques calculs avant d’utiliser la formule de l’aire d’un triangle.

Un triangle isocèle possède deux côtés de longueur 48 centimètres et des angles de base de 73 degrés. Trouvez l’aire du triangle en donnant la réponse au millième près.

Nous commençons par tracer le triangle, en rappelant que les angles de base d’un triangle isocèle sont les angles formés par chacun des côtés égaux avec le troisième côté. Les deux côtés égaux ont une longueur de 48 centimètres et les angles de base du triangle égalent 73 degrés. On nous demande de trouver l’aire du triangle. Et une méthode de le faire est d’utiliser la formule un demi 𝑎𝑏 sinus 𝐶, où 𝑎 et 𝑏 sont les longueurs des deux côtés du triangle et 𝐶 est l’angle inclus entre eux.

Si nous étiquetons le triangle 𝐴𝐵𝐶 comme indiqué, alors puisque les angles d’un triangle ont une somme de 180 degrés, la mesure de l’angle 𝐶 est de 180 degrés moins 73 degrés plus 73 degrés. Cela revient à soustraire 146 degrés à 180 degrés. La mesure de l’angle 𝐶 est donc égale à 34 degrés. En substituant dans les longueurs des côtés avec l’angle compris entre eux, nous avons l’aire du triangle égale un demi multiplié par 48 multiplié par 48 multiplié par le sinus de 34 degrés. Saisir cela dans notre calculatrice en mode degré nous donne 644,190224.

On nous demande d’arrondir notre réponse au millième près. Et puisque le quatrième chiffre après la virgule est un deux, nous arrondissons par défaut. Cela nous donne une réponse de 644,190. L’aire du triangle isocèle au millième près est de 644,190 centimètres carrés.

Dans notre prochain exemple, nous allons travailler à l’envers pour déterminer la longueur d’un deuxième côté d’un triangle lorsque on donne l’aire, une autre longueur de côté et la mesure d’un angle.

𝐴𝐵𝐶 est un triangle, où 𝐴𝐵 est égal à 18 centimètres, la mesure de l’angle 𝐵 est de 60 degrés et l’aire du triangle est de 74 racine de trois centimètres carrés. Trouvez la longueur 𝐵𝐶, en donnant la réponse au centième près.

Nous commencerons par tracer le triangle 𝐴𝐵𝐶 en utilisant les informations données. On nous dit que la longueur du côté 𝐴𝐵 est égale à 18 centimètres. La mesure de l’angle 𝐵 est de 60 degrés. Et l’aire du triangle est de 74 racine de trois centimètres carrés. On nous demande de trouver la longueur de 𝐵𝐶.

Nous rappelons que nous pouvons calculer l’aire de n’importe quel triangle lorsque l’on nous donne les longueurs de deux côtés ainsi que la mesure de l’angle compris entre eux, connu sous le nom d’angle inclus. La formule pour l’aire peut être écrite un demi 𝑎𝑐 sinus 𝐵, où 𝑎 et 𝑐 sont les deux longueurs de côtés et 𝐵 est l’angle inclus.

Comme déjà mentionné dans cette question, nous savons que l’aire du triangle est de 74 racine de trois centimètres carrés. Ceci est donc égal à un demi multiplié par 𝑥 multiplié par 18 multiplié par sinus de 60 degrés, où 𝑥 est la longueur de 𝐵𝐶 donnée en centimètres. 60 degrés est l’un des angles remarquables, et le sin de 60 degrés est la racine de trois sur deux. Comme la moitié de 18 est égale à neuf, le membre droit se simplifie en neuf racine de trois sur deux multiplié par 𝑥.

Afin de déterminer la valeur de 𝑥 dans cette équation, nous pouvons d’abord diviser par la racine de trois. La multiplication des deux membres par deux et la division par neuf nous donnent 𝑥 est égal à deux multiplié par 74 sur neuf, ou deux neuvièmes de 74. Cela équivaut à 148 sur neuf, soit 16,4 à répétition. Arrondi au centième près, cela équivaut à 16,44. Et nous pouvons donc conclure que la longueur du côté 𝐵𝐶 est égale à 16,44 centimètres au centième près.

Dans notre dernier exemple, nous verrons comment utiliser la formule trigonométrique pour l’aire d’un triangle pour calculer l’aire d’un parallélogramme.

𝐴𝐵𝐶𝐷 est un parallélogramme, où 𝐴𝐵 est égal à 41 centimètres, 𝐵𝐶 est égal à 27 centimètres et la mesure de l’angle 𝐵 est de 159 degrés. Trouvez l’aire de 𝐴𝐵𝐶𝐷, en donnant la réponse au centimètre carré près.

Nous commencerons par tracer le parallélogramme 𝐴𝐵𝐶𝐷 comme indiqué. On nous dit que le côté 𝐴𝐵 est égal à 41 centimètres et le côté 𝐵𝐶 est égal à 27 centimètres. Comme les côtés opposés sont de même longueur, nous pouvons ajouter les longueurs de 𝐴𝐷 et 𝐷𝐶. On nous dit aussi que la mesure de l’angle 𝐵 est de 159 degrés.

Nous savons que pour calculer l’aire de tout parallélogramme, nous pouvons multiplier la longueur de sa base par sa hauteur. Cependant, dans cette question, on ne nous donne pas la hauteur du parallélogramme. Au lieu de cela, nous remarquons que le parallélogramme peut être divisé en deux triangles superposables : triangle 𝐴𝐵𝐶 et triangle 𝐴𝐷𝐶. Comme les triangles sont superposables, l’aire du parallélogramme sera égale à deux fois l’aire de l’un des triangles.

L’aire de n’importe quel triangle peut être calculée si nous connaissons la longueur de deux côtés ainsi que la mesure de l’angle compris entre eux de telle sorte que l’aire soit égale à un demi 𝑎𝑐 sinus 𝐵, où 𝑎 et 𝑐 sont les longueurs des deux côtés du triangle et 𝐵 est l’angle compris entre eux. L’aire du triangle 𝐴𝐵𝐶 est donc égale à un demi multiplié par 27 multiplié par 41 multiplié par sinus de 159 degrés. Et puisque l’aire du parallélogramme est le double de cela, elle est égale à deux multiplié par un-demi multiplié par 27 multiplié par 41 multiplié par le sin de 159 degrés. Après avoir annulé un facteur commun de deux du numérateur et du dénominateur, nous pouvons saisir ceci dans notre calculatrice, nous donnant 396,713 et ainsi de suite.

On nous demande de donner notre réponse au centimètre carré près. Et comme le chiffre après la virgule est supérieur à cinq, nous arrondissons par excès. L’aire du parallélogramme 𝐴𝐵𝐶𝐷 au centimètre carré près est de 397 centimètres carrés.

Nous allons maintenant terminer cette vidéo en résumant les points clés. L’aire de tout triangle peut être calculée en utilisant les longueurs de deux de ses côtés et le sinus de l’angle compris entre eux, de sorte que la formule trigonométrique pour l’aire d’un triangle est égale à un demi 𝑎𝑏 sinus 𝐶, où 𝑎 et 𝑏 sont les longueurs de deux côtés et 𝐶 est la mesure de l’angle compris entre eux. Nous avons vu dans cette vidéo que, étant donnée l’aire d’un triangle et deux informations des longueurs de côtés 𝑎 et 𝑏 et de l’angle 𝐶, la formule trigonométrique peut être utilisée pour trouver le côté manquant ou la mesure d’angle. Enfin, nous avons vu que la formule trigonométrique pour l’aire d’un triangle peut être utilisée pour calculer les aires d’autres formes géométriques ou de formes composées qui peuvent être divisées en triangles.

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