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Vrai ou faux : le théorème des valeurs extrêmes indique que seules les fonctions continues sur des intervalles fermés bornés ont des maxima et des minima.
Dans cette question, on nous donne une affirmation sur le théorème des valeurs extrêmes et on doit déterminer si elle est vraie ou fausse. Et étonnamment, il existe plusieurs façons de répondre à cette question. La méthode la plus simple serait de rappeler l’énoncé exact du théorème des valeurs extrêmes. Commençons cependant par analyser l’affirmation qui nous est donnée.
On nous dit que seules les fonctions continues sur un intervalle fermé borné ont des maxima et des minima. Plusieurs conditions doivent être vérifiées pour que cette affirmation soit vraie. Par exemple, l’affirmation dit que la fonction doit être continue, donc si on trouve une fonction non continue qui admet un maximum et un minimum, alors l’affirmation est fausse.
De la même manière, on pourrait chercher une fonction continue sur un intervalle ouvert ou une fonction continue sur un intervalle non borné qui admettrait un maximum et un minimum. Ces différentes conditions nous mènent en fait à de nombreux contre-exemples de l’affirmation. Examinons quelques-uns de ces contre-exemples. Considérons tout d’abord la fonction constante égale à un. On trace son graphe dans un repère. Il s’agit de la droite horizontale d’équation 𝑦 égale un. Comme c’est une fonction constante, on sait qu’elle est continue. Mais au lieu de la considérer sur un intervalle fermé borné, on la considère sur l’ensemble des réels, qui n’est pas un ensemble borné.
Et on peut voir d’après la définition de la fonction ou à partir de sa représentation graphique qu’elle a des maxima et des minima. La valeur maximale de cette fonction est un et sa valeur minimale est également un, car toutes les images de la fonction sont égales à un. Donc, en particulier, la fonction a une valeur maximale et une valeur minimale.
Cependant, l’affirmation donnée dans la question dit que seules les fonctions continues sur des intervalles fermés bornés ont cette propriété. Nous avons donné un contre-exemple à cela. On a trouvé une fonction continue sur un intervalle non borné qui a cette propriété. Donc on a montré que l’affirmation donnée dans la question n’est pas un théorème, car elle a un contre-exemple. Nous n’avons même pas eu besoin pour cela de rappeler l’énoncé exact du théorème des valeurs extrêmes.
Notons qu’on aurait pu trouver plusieurs contre-exemples pour chacune des autres conditions. On pourrait par exemple considérer la même fonction que précédemment mais cette fois sur l’ensemble ouvert de zéro à un. Cela nous donne une fonction continue sur un intervalle borné. Mais cet intervalle n’est pas fermé. Et pourtant, la fonction a encore des maxima et des minima.
Pour finir, donnons un contre-exemple à la condition de continuité de la fonction.
On considère le graphe de la fonction définie par morceaux 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥, où 𝑓 de 𝑥 égale un si 𝑥 est inférieur ou égal à zéro et 𝑓 de 𝑥 égale moins un si 𝑥 est strictement supérieur à zéro. On peut voir sur le graphe de la fonction qu’elle n’est pas continue. Il y a une discontinuité de saut en 𝑥 égale zéro. Cependant, on peut voir sur le graphique de notre fonction que sa plus grande valeur possible est un et sa plus petite valeur possible est moins un. Donc la fonction a une valeur maximale et une valeur minimale. Pourtant, ce n’est pas une fonction continue. Donc on a à nouveau montré que l’affirmation donnée dans la question ne peut pas être vraie.
Rappelons maintenant ce que le théorème des valeurs extrêmes dit vraiment. D’après le théorème des valeurs extrêmes, si 𝑓 est une fonction à valeurs réelles continue sur un intervalle fermé de 𝑎 à 𝑏, alors 𝑓 admet une valeur maximale et une valeur minimale sur l’intervalle fermé de 𝑎 à 𝑏. Donc le théorème des valeurs extrêmes ne nous donne pas une propriété partagée par toutes les fonctions qui admettent un maximum et un minimum. Il nous donne une propriété partagée par toutes les fonctions continues sur un intervalle fermé borné. Par conséquent, nous avons montré que l’affirmation donnée dans la question est fausse.
