Transcription de la vidéo
Dans cette vidéo, nous allons apprendre à trouver les valeurs maximales et minimales absolues d’une fonction sur un intervalle à l’aide de dérivées. Vous devriez normalement déjà savoir comment déterminer les valeurs minimales et maximales relatives, ou locales, et à déterminer leur nature à l’aide de dérivées. Nous allons maintenant chercher à étendre ces notions pour trouver les valeurs minimales et maximales absolues, c’est-à-dire la valeur la plus petite et la valeur la plus grande qu’une fonction peut prendre sur un intervalle.
Pour commencer, rappelons le théorème des valeurs extrêmes. Il stipule que si 𝑓 est continue sur un intervalle fermé de 𝑎 à 𝑏, alors il existe deux nombres 𝑐 et 𝑑 qui sont supérieurs ou égaux à 𝑎 et inférieurs ou égaux à 𝑏. Tels que 𝑓 de 𝑐 est la valeur maximale absolue de la fonction et 𝑓 de 𝑑 est la valeur minimale de la fonction sur cet intervalle fermé.
En d’autres termes, pour une fonction continue sur un intervalle fermé, nous avons la garantie qu’elle a à la fois un maximum absolu et un minimum absolu. Ce théorème est important pour trouver des extremums absolus sur un intervalle fermé. Cela signifie que nous ne chercherons jamais quelque chose qui n’existe pas. On peut dire que ces valeurs extrêmes sont obtenues aux points où se produisent les points critiques ou aux bornes de l’intervalle.
Nous pouvons ainsi définir quelques étapes qui peuvent nous aider à trouver les extremums absolus d’une fonction continue 𝑓. On commence par trouver tous les points critiques dans l’intervalle fermé de 𝑎 à 𝑏. On calcule ensuite les valeurs de la fonction en ces points critiques. Puis, on calcule les valeurs de la fonction aux bornes de l’intervalle. Nous cherchons ici des valeurs qui pourraient être plus petites que tous les minimums relatifs ou plus grandes que tous les maximums relatifs. Voyons comment appliquer cette méthode avec un exemple.
Déterminez les valeurs maximales et minimales absolues de la fonction 𝑓 de 𝑥 égale deux 𝑥 puissance quatre moins huit 𝑥 au carré moins 13 dans l’intervalle fermé de moins un à deux.
On rappelle que pour trouver les extremums absolus d’une fonction continue 𝑓, on peut suivre ces trois étapes. On commence par trouver tous les points critiques de la fonction dans l’intervalle fermé. On calcule les valeurs de 𝑓 en ces points critiques. On calcule également les valeurs de la fonction aux bornes de l’intervalle, en cherchant des valeurs qui pourraient être plus petites que tous les minimums relatifs ou plus grandes que tous les maximums relatifs. Les points critiques se produisent lorsque la dérivée de la fonction est égale à zéro ou n’est pas définie. Commençons donc par déterminer la dérivée de notre fonction.
La dérivée de 𝑓 de 𝑥 s’écrit 𝑓 prime de 𝑥, et elle est égale à quatre fois deux 𝑥 puissance trois moins deux fois huit 𝑥. Et, bien sûr, la dérivée de moins 13 est nulle. Par conséquent, la dérivée de notre fonction est huit 𝑥 au cube moins 16𝑥. Nous allons à présent la poser égale à zéro et résoudre l’équation. On commence par factoriser le membre droit et on obtient huit 𝑥 fois 𝑥 au carré moins deux.
Et pour que huit 𝑥 fois 𝑥 au carré moins deux soit égal à zéro, huit 𝑥 doit être égal à zéro, ce qui signifie que 𝑥 est égal à zéro. Ou 𝑥 au carré moins deux doit être égal à zéro. Et en résolvant cette équation, on trouve 𝑥 égale plus ou moins racine carrée de deux. La fonction présente donc des points critiques en 𝑥 égale zéro, 𝑥 égale moins racine carrée de deux et 𝑥 égale racine carrée de deux.
La deuxième étape consiste à calculer la fonction en ces points critiques. C’est-à-dire 𝑓 de zéro, 𝑓 de racine carrée de deux et 𝑓 de moins racine carrée de deux. 𝑓 de zéro égale deux fois zéro puissance quatre moins huit fois zéro au carré moins 13, ce qui fait moins 13. 𝑓 de racine carrée de deux égale deux racine carrée de deux puissance quatre moins huit racine carrée de deux au carré moins 13, ce qui donne moins 21. Et 𝑓 de moins racine carrée deux est en fait aussi égal à moins 21. Maintenant, ces informations seules ne nous aident pas beaucoup. Moins 21 et moins 13 sont des extremums relatifs, mais nous devons savoir s’il s’agit d’extremums absolus.
Nous allons donc évaluer la fonction aux bornes de l’intervalle. Rappelez-vous en effet que si une fonction est continue sur un intervalle fermé de 𝑎 à 𝑏, alors nous avons la garantie qu’elle atteint un maximum absolu et un minimum absolu sur cet intervalle. Et ces valeurs extrêmes sont obtenues à l’endroit ou aux endroits où se produisent des extrema locaux ou aux bornes de l’intervalle.
Nous allons donc calculer 𝑓 de moins un et 𝑓 de deux. 𝑓 de moins un égale deux fois moins un puissance quatre moins huit fois moins un au carré moins 13, ce qui fait moins 19. Et 𝑓 de deux égale deux fois deux puissance quatre moins huit fois deux au carré moins 13, ce qui est égal à moins 13. Nous pouvons alors voir clairement que la valeur maximale absolue de notre fonction dans l’intervalle fermé de moins un à deux est moins 13. Et que sa valeur minimale absolue est moins 21. Cet exemple impliquait des dérivées assez simples, nous allons donc maintenant voir un exemple nécessitant un peu plus de travail.
Déterminez les valeurs maximales et minimales absolues de la fonction 𝑦 égale 𝑥 sur deux 𝑥 plus huit sur l’intervalle fermé de deux à six.
On rappelle que pour trouver les extremums absolus d’une fonction 𝑓 sur un intervalle fermé, on peut suivre ces trois étapes. On commence par trouver tous les points critiques de la fonction dans cet intervalle fermé. On calcule ensuite les valeurs de 𝑓 en ces points critiques. Enfin, on calcule les valeurs de la fonction aux bornes de l’intervalles en recherchant des valeurs inférieures à tous les minimums relatifs ou supérieures à tous les maximums relatifs.
Rappelez-vous que les points critiques sont les points où la dérivée de la fonction est nulle ou n’est pas définie. Nous devons donc déterminer la dérivée de notre fonction et la poser égale à zéro. Mais comment peut-on dériver 𝑥 sur deux 𝑥 plus huit ? Il existe en réalité plusieurs méthodes pour cela. Mais comme il s’agit du quotient de deux fonctions dérivables, nous pouvons utiliser la formule de la dérivée d’un quotient.
Elle stipule que la dérivée du quotient de deux fonctions dérivables 𝑢 et 𝑣 est 𝑣 fois d𝑢 sur d𝑥 moins 𝑢 fois d𝑣 sur d𝑥, le tout sur 𝑣 au carré. Le numérateur de notre fraction est 𝑥, donc on définit 𝑢 égale 𝑥 et 𝑣 égale deux 𝑥 plus huit. d𝑢 sur d𝑥 est alors égale à un. Et d𝑣 sur d𝑥 est égale à deux.
Par conséquent, la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥 est deux 𝑥 plus huit fois d𝑢 sur d𝑥, soit un, moins 𝑢 fois d𝑣 sur d𝑥, c’est-à-dire 𝑥 fois deux, le tout sur 𝑣 au carré, soit deux 𝑥 plus huit au carré. On peut donc dire que d𝑦 sur d𝑥 est égal à huit sur deux 𝑥 plus huit au carré. Nous allons ensuite poser cette expression égale à zéro et résoudre l’équation. Mais regardez ce qui se passe quand on fait cela.
Pour qu’une fraction soit égale à zéro, le numérateur doit lui-même être égal à zéro. Dans ce cas, on se retrouve avec l’équation zéro égale huit, qui est bien sûr fausse. Cela signifie que d𝑦 sur d𝑥 ne peut pas être égale à zéro dans ce cas. Il n’y a aucun point où la dérivée s’annule. Nous pouvons donc passer directement à la troisième étape et calculer la valeur de la fonction aux bornes de l’intervalle. C’est-à-dire 𝑓 de deux et 𝑓 de six.
𝑓 de deux égale deux sur deux fois deux plus huit, soit deux sur 12, ce qui se simplifie par un sur six. Et 𝑓 de six égale six sur deux fois six plus huit. Cela fait six sur 20, ce qui se simplifie par trois sur 10. Trois sur 10 est supérieur à un sur six, nous pouvons donc dire que la valeur maximale absolue de notre fonction est de trois sur 10 et que sa valeur minimale absolue est de un sur six. Mais revenons un peu en arrière.
Nous avons dit que les points critiques se produisaient aux endroits où la dérivée de la fonction était nulle ou n’existait pas, et il y existe ici un point où la dérivée de notre fonction n’est pas définie. Il s’agit du point où deux 𝑥 plus huit est égal à zéro, donc quand 𝑥 est égal à moins quatre. Mais comme cette valeur n’appartient pas à l’intervalle fermé de deux à six, il n’était pas nécessaire de prendre en compte ce point critique dans ce cas. Et nous avons pu nous concentrer uniquement sur les valeurs aux bornes de l’intervalle : 𝑓 de deux et 𝑓 de six.
Dans le prochain exemple, nous allons voir comment rechercher les extremums absolus d’une fonction définie par morceaux.
Déterminez les valeurs maximales et minimales absolues de la fonction 𝑓 de 𝑥 égale six 𝑥 moins trois au carré, pour 𝑥 inférieur ou égal à deux et 𝑓 de 𝑥 égale deux moins neuf 𝑥, pour 𝑥 supérieur à deux dans l’intervalle fermé de un à six.
On rappelle que pour trouver les extremums absolus d’une fonction continue dans un intervalle, on peut suivre ces trois étapes. On commence par trouver tous les points critiques de la fonction dans l’intervalle fermé étudié. On calcule ensuite les valeurs de la fonction en ces points critiques. Enfin, on calcule les valeurs de la fonction aux bornes de l’intervalle en recherchant des valeurs inférieures à tous les minimums relatifs ou supérieures à tous les maximums relatifs.
Mais nous avons un petit problème ici. Cette fonction est définie par morceaux. Et nous ne savons pas encore si cette fonction par morceaux est elle-même continue. Nous savons cependant que la fonction six 𝑥 moins trois au carré est continue et que la fonction deux moins neuf 𝑥 est continue. Donc, ce que nous allons faire est de considérer que 𝑥 égale deux pourrait être un point critique. Et pour tester cela, nous allons calculer la dérivée de notre fonction à droite et à gauche de 𝑥 égale deux.
Commençons donc par calculer la dérivée de 𝑓 à droite de 𝑥 égale deux. Elle est égale à la limite lorsque ℎ tend vers zéro depuis la droite de 𝑓 de deux plus ℎ moins 𝑓 de deux sur ℎ. Nous calculons la dérivée à droite, donc nous nous intéressons à la fonction lorsque 𝑥 est supérieur à deux. C’est-à-dire 𝑓 de 𝑥 égale deux moins neuf 𝑥.
On calcule donc la limite lorsque ℎ tend vers zéro depuis la droite de deux moins neuf fois deux plus ℎ moins deux moins neuf fois deux, le tout sur ℎ. Cela fait deux moins 18 moins neuf ℎ moins deux plus 18 sur ℎ. Et cela se simplifie assez rapidement par moins neuf ℎ sur ℎ. En simplifiant davantage, on trouve qu’il s’agit de la limite lorsque ℎ tend vers zéro depuis la droite de moins neuf. Mais cette expression est indépendante de ℎ, donc la limite est égale à moins neuf. Ce qui signifie que la dérivée à droite est égale à moins neuf.
Nous allons maintenant répéter ce raisonnement pour la dérivée à gauche. Cette fois, on calcule la limite de 𝑓 de deux plus ℎ moins 𝑓 de deux sur ℎ lorsque ℎ tend vers zéro depuis la gauche. Nous nous intéressons donc à la partie de 𝑓 de 𝑥 où 𝑥 est inférieur ou égal à deux. Cela donne alors la limite lorsque ℎ tend vers zéro depuis la gauche de six fois deux plus ℎ moins trois au carré moins six fois deux moins trois au carré, le tout sur ℎ. Ce qui se simplifie par neuf plus six ℎ au carré moins neuf au carré sur ℎ.
Et en développant le carré, on trouve la limite lorsque ℎ tend vers zéro depuis la gauche de 108ℎ plus 36ℎ au carré sur ℎ. On peut simplifier un peu plus et cela devient la limite de 108 plus 36ℎ. On voit alors que lorsque ℎ tend vers zéro depuis la gauche, il nous reste 108.
On constate donc que les dérivées à gauche et à droite ne sont pas égales. Donc, 𝑓 prime de 𝑥, la dérivée, n’est pas définie en 𝑥 égale deux. Nous avons ainsi un point critique en 𝑥 égale deux. Nous allons donc devoir calculer 𝑓 de 𝑥 en ce point. Mais nous devons également vérifier les potentiels autres points critiques de chaque partie de notre fonction par morceaux. Nous allons donc dériver chaque partie par rapport à 𝑥 et la poser égale à zéro.
On peut utiliser la formule de la dérivée d’une puissance pour dériver six 𝑥 moins trois au carré par rapport à 𝑥. Cela fait deux fois six 𝑥 moins trois. Où on réduit l’exposant de de un. Que l’on multiplie par la dérivée de six 𝑥 moins trois, qui est simplement six. Donc la dérivée de cette fonction est 12 fois six 𝑥 moins trois. Et la dérivée de deux moins neuf 𝑥 est moins neuf.
On voit alors que la dérivée de la deuxième partie ne peut pas être égale à zéro. Car elle est constante et a pour valeur moins neuf. Mais on peut poser 12 fois six 𝑥 moins trois égal à zéro. Et lorsque l’on résout cette équation, on obtient 𝑥 égale 0,5. Donc, nous avons un autre point critique en 𝑥 égale 0,5. Nous allons maintenant calculer la valeur de notre fonction aux points 𝑥 égale deux et 𝑥 égale 0,5. Faisons un peu de place pour cela.
0,5 est inférieur à deux, on calcule donc la fonction en ce point en utilisant six 𝑥 moins trois au carré. Et lorsque l’on remplace 𝑥 par 0,5 on obtient zéro. Donc, 𝑓 de 0,5 égale zéro. On utilise ensuite la même partie de la fonction pour calculer 𝑓 de deux. Et on trouve qu’elle est égale à 81. Nous avons ainsi calculé 𝑓 de 𝑥 en ses points critiques. Nous devons ensuite calculer la valeur de la fonction aux bornes de l’intervalle.
Ce sont 𝑓 de un et 𝑓 de six. On utilise à nouveau six 𝑥 moins trois au carré pour calculer 𝑓 de un. Et cela nous donne neuf. Mais six est supérieur à deux. Donc, pour calculer 𝑓 de six, on doit utiliser deux moins neuf 𝑥, ce qui nous donne moins 52. On en déduit alors que la valeur maximale absolue de la fonction est 81 et que sa valeur minimale absolue est moins 52. Le point clé à retenir ici est que si la fonction est définie par morceaux, il faut vérifier le comportement de la fonction aux bornes de chacun de des sous-intervalles. Dans le dernier exemple, nous allons voir comment rechercher les extremums absolus d’une fonction exponentielle.
Déterminez les valeurs maximales et minimales absolues arrondies au centième près de la fonction 𝑓 de 𝑥 égale cinq 𝑥𝑒 de moins 𝑥, pour 𝑥 appartenant à l’intervalle fermé de zéro à quatre.
On rappelle que pour trouver les extremums absolus d’une fonction, on peut suivre ces trois étapes. On commence par trouver tous les points critiques de la fonction dans cet intervalle fermé. On calcule ensuite les valeurs de 𝑓 en ces points critiques. On calcule enfin les valeurs de la fonction aux bornes de l’intervalle pour vérifier si ce sont des extremums absolus. Les points critiques d’une fonction sont les points où sa dérivée est égale à zéro ou n’est pas définie. Nous allons donc trouver la dérivée de cette fonction et la poser égale à zéro.
On remarque que cette fonction est en fait le produit de deux fonctions dérivables. Nous allons donc utiliser la formule de la dérivée d’un produit. Elle stipule que la dérivée du produit de deux fonctions dérivables 𝑢 et 𝑣 est 𝑢 fois d𝑣 sur d𝑥 plus 𝑣 fois d𝑢 sur d𝑥. On définit donc 𝑢 égal à cinq 𝑥 et 𝑣 égal à 𝑒 de moins 𝑥. d𝑢 sur d𝑥 est alors égale à cinq et d𝑣 sur d𝑥 est égal à moins 𝑒 de moins 𝑥. Cela signifie que la dérivée de notre fonction est cinq 𝑥 fois moins 𝑒 de moins 𝑥 plus 𝑒 de moins 𝑥 fois cinq, ce que l’on peut simplifier par cinq 𝑒 de moins 𝑥 fois un moins 𝑥.
On la pose alors égale à zéro. Maintenant, il n’est pas possible que cinq 𝑒 de moins 𝑥 soit égal à zéro. Donc pour que cinq 𝑒 de moins 𝑥 fois un moins 𝑥 soit égal à zéro, un moins 𝑥 lui-même doit être égal à zéro, ce qui signifie que 𝑥 égale un est un point critique. Nous allons donc calculer la valeur de la fonction en ce point critique et aux bornes de l’intervalle, c’est-à-dire 𝑓 de un, 𝑓 de zéro et 𝑓 de quatre.
𝑓 de un égale cinq fois un fois 𝑒 de moins un, soit 1,8393 que l’on peut arrondir au centième par 1,84. 𝑓 de zéro égale zéro. Et 𝑓 de quatre égale cinq fois quatre fois 𝑒 de moins quatre, ce qui fait 0,37 au centième près. Par conséquent, la valeur maximale absolue de la fonction est 1,84 et sa valeur minimale absolue est zéro.
Dans cette vidéo, nous avons appris que si une fonction est continue sur un intervalle fermé, nous avons la garantie qu’elle a un maximum absolu et un minimum absolu. Nous avons également vu que ces valeurs extrêmes sont obtenues aux points où se produisent ses extremums relatifs ou aux bornes de l’intervalle. Nous avons enfin montré que ces définitions et méthodes s’appliquent aux fonctions exponentielles, aux produits et aux quotients de fonctions dérivables et qu’il faut s’assurer de vérifier également les bornes de tous les sous-intervalles pour des fonctions définies par morceaux.