Vidéo : Extrema absolus

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à trouver les valeurs maximales et minimales globales d’une fonction sur un intervalle donné à l’aide de dérivées.

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Dans cette vidéo, nous allons apprendre à trouver les valeurs maximales et minimales globales d’une fonction sur un intervalle donné à l’aide de dérivées. À ce stade, vous devez être à l’aise pour trouver des minima et des maxima relatifs ou locaux afin d’évaluer la nature de ceux-ci en considérant les dérivées. Nous allons maintenant essayer d’étendre ces idées afin de trouver des minima et des maxima globaux, autrement dit les valeurs les plus grandes et les plus petites qu’une fonction prendra.

Pour commencer, rappelons le théorème des valeurs extrêmes. Cela dit que si 𝑓 de 𝑥 est continue sur un intervalle fermé 𝑎 à 𝑏, alors il y a deux nombres 𝑐 et 𝑑 qui sont supérieurs ou égaux à 𝑎 et inférieurs ou égaux à 𝑏. De telle sorte que, 𝑓 de 𝑐 est un maximum global de la fonction, et 𝑓 de 𝑑 est un minimum global de la fonction sur cet intervalle fermé.

En d’autres termes, si nous avons une fonction continue sur un intervalle fermé, nous avons alors la garantie d’avoir à la fois un maximum global et un minimum global. Ce théorème est important pour trouver des extrema globaux sur un intervalle fermé. Cela signifie que nous ne rechercherons jamais quelque chose qui n’existe pas. On peut dire que ces valeurs extrêmes sont obtenues soit à l’endroit ou aux endroits où se produisent les points critiques, soit aux extrémités de l’intervalle.

Cela signifie que nous avons quelques étapes qui peuvent nous aider à trouver des extrema globaux pour une fonction continue 𝑓. Nous commençons par trouver tous les points critiques dans l’intervalle fermé de 𝑎 à 𝑏. Nous trouvons ensuite les valeurs de notre fonction en ces points critiques. Et ensuite, nous évaluons notre fonction aux extrémités de notre intervalle. Nous recherchons ici des valeurs pouvant être inférieures à tout minimum relatif ou supérieures à tout maximum relatif. Voyons comment appliquer ce processus à un exemple.

Déterminer les valeurs maximale et minimale globales de la fonction 𝑓 de 𝑥 est égal à deux 𝑥 à la puissance quatre moins huit 𝑥 au carré moins 13 dans l’intervalle fermé moins un à deux.

Rappelez-vous, pour trouver les extrema globaux d’une fonction continue 𝑓 de 𝑥, nous suivons trois étapes. Nous commençons par trouver tous les points critiques dans l’intervalle fermé. Nous vérifions les valeurs de 𝑓 de 𝑥 en ces points critiques. Et ensuite, nous vérifions les bornes pour tout extrema global, des valeurs pouvant être inférieures à tout minimum relatif ou supérieures à tout maximum relatif. Les points critiques surviennent lorsque la dérivée de la fonction est égale à zéro ou n’existe pas. Alors, commençons par trouver la dérivée de notre fonction.

La dérivée de 𝑓 de 𝑥 s’écrit 𝑓 prime de 𝑥, et elle vaut quatre fois deux 𝑥 à la puissance trois moins deux fois huit 𝑥. Et bien entendu, la dérivée de moins 13 est zéro. Ainsi, nous voyons que la dérivée de notre fonction est huit 𝑥 au cube moins 16𝑥. Nous la fixons à zéro et la résolvons en 𝑥. On factorise ici l’expression à droite pour obtenir huit 𝑥 fois 𝑥 au carré moins deux.

Et on voit que pour huit 𝑥 fois 𝑥 au carré moins deux égal à zéro, soit huit 𝑥 doivent être égaux à zéro, ce qui signifie que 𝑥 est égal à zéro. Ou on peut dire que 𝑥 au carré moins deux doit être égal à zéro. Et la résolution de cela, nous voyons que 𝑥 est égal à plus ou moins racine carrée de deux. Donc, nous avons des points critiques sur notre fonction à 𝑥 égale à zéro, 𝑥 égale à moins racine deux et 𝑥 égale à la racine deux.

Notre deuxième étape consiste à évaluer la fonction en ces points critiques. C’est 𝑓 de zéro, 𝑓 de racine de deux, et 𝑓 de moins racine de deux. 𝑓 de zéro est deux fois zéro à la puissance quatre moins huit fois zéro au carré moins 13, ce qui donne moins 13. 𝑓 racine de deux est deux racine deux à la puissance quatre moins huit racine carrée de deux moins 13, ce qui est moins 21. Et en fait, 𝑓 de moins racine de deux est également moins 21. Maintenant, cela en soi ne nous aide pas beaucoup. Il semble que les moins 21 et les moins 13 soient des extrema locaux, mais nous devons savoir s’ils sont des extrema globaux.

Donc, nous allons évaluer notre fonction aux bornes de notre intervalle. N’oubliez pas que c’est parce que nous savons que si nous avons une fonction continue sur un intervalle fermé 𝑎 à 𝑏, nous avons alors la garantie d’avoir à la fois un maximum global et un minimum global. Et ces valeurs extrêmes sont obtenues soit à l’endroit ou aux endroits où se produisent des extrema locaux, soit aux extrémités de l’intervalle.

Nous allons donc évaluer 𝑓 de moins un et 𝑓 de deux. 𝑓 de moins un est deux fois moins un à la puissance quatre moins huit fois moins un au carré moins 13, ce qui donne moins 19. 𝑓 de deux est deux fois deux à la puissance quatre moins huit fois le carré de deux moins 13, ce qui est moins 13. Nous pouvons alors voir clairement que la valeur maximale globale de notre fonction dans l’intervalle fermé, moins un à deux, est moins 13. Et la valeur minimale globale est moins 21. Cet exemple implique une dérivation assez simple, nous allons donc maintenant regarder un exemple qui implique un peu plus de travail.

Déterminer le maximum global et les valeurs minimales de la fonction 𝑦 égale 𝑥 sur deux 𝑥 plus huit sur l’intervalle fermé deux à six.

Rappelez-vous, pour trouver les extrema globaux de notre fonction 𝑓 de 𝑥 sur un intervalle fermé, nous suivons trois étapes. Nous commençons par rechercher tous les points critiques dans notre intervalle fermé. On trouve ensuite les valeurs de 𝑓 de 𝑥 en ces points critiques. Ensuite, nous vérifions les extrémités des extrema globaux, c’est-à-dire des valeurs inférieures au minimum relatif ou supérieures au maximum relatif.

Rappelez-vous que les points critiques sont les points de notre courbe où la dérivée est égale à zéro ou n’existe peut-être pas. Nous devons donc trouver la dérivée de notre fonction et la fixer à zéro. Mais comment pouvons-nous dériver 𝑥 sur deux 𝑥 plus huit ? En fait, nous pouvons utiliser un certain nombre de méthodes. Mais puisqu’il s’agit du quotient de deux fonctions dérivables, nous pouvons utiliser la règle du quotient.

Ceci indique que la dérivée du quotient de deux fonctions dérivables 𝑢 et 𝑣 est 𝑣 fois d𝑢 sur d𝑥 moins 𝑢 fois d𝑣 sur d𝑥 le tout sur 𝑣 au carré. Le numérateur de notre fraction est 𝑥, donc nous allons poser 𝑢 égal à 𝑥 et 𝑣 égal à deux 𝑥 plus huit. Alors, d𝑢 sur d𝑥 est égal à un. Et d𝑣 sur d𝑥 est égal à deux.

Ainsi, la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥 est deux 𝑥 plus huit fois d𝑢 sur d𝑥, qui est un, moins 𝑢 fois d𝑣 par d𝑥, qui est 𝑥 fois deux, le tout sur 𝑣 au carré, qui est deux 𝑥 plus huit le tout au carré. On peut donc dire que d𝑦 sur d𝑥 est égal à huit sur deux 𝑥 plus huit le tout au carré. Ensuite, nous allons la fixer à zéro et résoudre en 𝑥. Mais regardez ce qui se passe quand nous le faisons.

Pour qu’une fraction algébrique soit égale à zéro, le numérateur doit lui-même être égal à zéro. Dans ce cas, on se retrouve avec l’affirmation que zéro est égal à huit, ce qui est impossible. Cela signifie que d𝑦 sur d𝑥, dans ce cas, ne peut pas être égal à zéro. Nous n’avons aucun point critiques à évaluer. Nous passons donc directement à la troisième étape et évaluons la fonction aux extrémités de l’intervalle. C’est 𝑓 de deux et 𝑓 de six.

𝑓 de deux est deux sur deux fois deux plus huit, qui est deux douzièmes, ce qui se simplifie en un sixième. 𝑓 de six est six fois plus deux six plus huit. C’est six vingtièmes, ce qui se simplifie en trois dixièmes. Trois dixièmes étant supérieurs à un sixième, nous pouvons donc dire que la valeur maximale globale de notre fonction est de trois dixièmes et que la valeur minimale globale est de un sixième. Maintenant, revenons un peu en arrière.

Nous avons dit que des points critiques se produisent à des endroits de la fonction où la dérivée n’existe pas et qu’il y a un point pour notre fonction où la dérivée n’existe pas. C’est le point où deux 𝑥 plus huit est égal à zéro, ou 𝑥 est égal à moins quatre. Maintenant, comme c’était en dehors de l’intervalle de fermeture deux à six, nous n’avions pas besoin de nous inquiéter de ce point critique. Et nous pourrions nous concentrer uniquement sur les points d’extrémité des intervalles 𝑓 de deux et 𝑓 de six.

Dans notre prochain exemple, nous verrons comment appliquer le processus à la recherche d’extrema globaux pour les fonctions par morceaux.

Déterminer le maximum global et le minimum global de la fonction 𝑓 de 𝑥 est égale à six 𝑥 moins trois au carré, si 𝑥 est inférieure ou égale à deux et deux moins neuf 𝑥, si 𝑥 est strictement supérieure à deux dans l’intervalle fermé un à six .

N’oubliez pas que pour trouver des extrema globaux pour des fonctions continues, nous suivons trois étapes. Nous commençons par rechercher tous les points critiques de l’intervalle fermé que nous examinons. On retrouve les valeurs de notre fonction 𝑓 de 𝑥 en ces points critiques. Ensuite, nous vérifions les extrémités des extrema globaux, des valeurs inférieures au minimum relatif ou supérieures au maximum relatif.

Maintenant, nous avons un léger problème ici. Ceci est une fonction par morceaux. Et nous ne savons pas encore si cette fonction par morceaux est elle-même continue. Nous avons une connaissance que la fonction six 𝑥 moins trois le tout au carré est continue, et la fonction deux moins neuf 𝑥 est continue. Nous allons donc considérer que 𝑥 égale à deux pourrait être un point critique. Et pour tester cela, nous allons évaluer les dérivées à droite et à gauche de notre fonction en 𝑥 égal deux.

Nous allons commencer par évaluer la dérivée à droite de 𝑓 en 𝑥 égale deux. Ceci est donné par la limite lorsque ℎ approche zéro par la droite de 𝑓 de deux plus ℎ moins 𝑓 de deux sur ℎ. Nous examinons la dérivé à droite, nous nous intéressons donc à la fonction qui s’applique lorsque 𝑥 est supérieure à deux. C’est 𝑓 de 𝑥 est égal à deux moins neuf 𝑥.

Nous cherchons donc la limite lorsque ℎ approche zéro par la droite de deux moins neuf fois deux plus moins deux moins neuf fois deux sur. C’est deux moins 18 moins neuf ℎ moins deux plus 18 le tout sur ℎ. Cela se résume assez vite en moins neuf ℎ sur ℎ. Et ensuite, nous simplifions encore plus, et nous voyons que nous cherchons la limite lorsque ℎ tend vers zéro par la droite de moins neuf. Mais ceci est indépendant de ℎ, nous savons donc que cela va simplement être égal à neuf. Et donc, notre dérivée de droite est moins neuf.

Nous allons maintenant répéter ce processus pour la dérivée à gauche. Cette fois, nous évaluons 𝑓 de deux plus ℎ moins 𝑓 de deux sur ℎ lorsque ℎ approche de zéro par la gauche. Et ainsi, nous nous intéressons à la partie de 𝑓 de 𝑥 où 𝑥 est inférieure ou égal à deux. Nous avons donc la limite lorsque ℎ approche zéro par la gauche de six fois deux plus ℎ moins trois le tout au carré moins six fois deux moins trois le tout au carré le tout sur ℎ. Cela se simplifie en neuf plus six ℎ le tout au carré moins neuf au carré sur ℎ.

Et puis, si nous développons les parenthèses, nous voyons que nous avons la limite lorsque ℎ approche de zéro par la gauche de 108ℎ plus 36ℎ au carré. Nous pouvons faire un peu de simplification, et cela devient 108 plus 36ℎ. Et ensuite, nous voyons que lorsque ℎ approche de zéro par la gauche, il nous reste 108.

Nous pouvons voir que nos dérivées à gauche et à droite ne sont pas égales. Et ainsi, 𝑓 prime de 𝑥, notre dérivée, n’existe pas en 𝑥 égale à deux. Et donc, nous savons que nous avons un point critique en 𝑥 égal à deux. Et nous savons que nous allons devoir trouver 𝑓 de 𝑥 en ce point. Nous devrions également vérifier les points critiques de chaque partie de notre fonction par morceaux. Nous allons donc dériver chaque partie par rapport à 𝑥 et la fixer à zéro.

Nous pouvons utiliser la règle générale sur les puissances pour dériver six 𝑥 moins trois le tout au carré par rapport à 𝑥. C’est deux fois six 𝑥 moins trois. Et puis, on réduit la puissance d’une unité. Et puis, on multiplie cela par la dérivée de six 𝑥 moins trois, ce qui n’est que six. Donc, la dérivée de ce bout est 12 fois six 𝑥 moins trois. Et la dérivé de deux moins neuf 𝑥 est moins neuf.

Il devrait être clair que rien ne permet à moins neuf d’être égal à zéro. La dérivée de cette partie de notre fonction est toujours moins neuf. Mais nous pouvons définir 12 fois six 𝑥 moins trois égal à zéro. Et lorsque nous résolvons en 𝑥, nous obtenons 𝑥 est égal à 0.5. Nous avons donc un autre point critique en 𝑥 égal à 0.5. Nous allons donc évaluer notre fonction aux points 𝑥 est égal à deux et 𝑥 est égal à 0.5. Libérons de l’espace.

0.5 est inférieur à deux, donc nous évaluons la fonction en ce point en utilisant six 𝑥 moins trois le tout au carré. Et quand on substitue 0.5 à l’intérieur, on obtient zéro. Ainsi, 𝑓 de 0.5 est égal à zéro. Nous utilisons la même partie de notre fonction par morceaux pour évaluer 𝑓 de deux. Et quand nous le faisons, nous obtenons 81. Donc, nous avons trouvé 𝑓 de 𝑥 aux points critiques de notre fonction. Ensuite, nous devons vérifier les bornes.

Ce sont 𝑓 de un et 𝑓 de six. Nous utilisons encore six 𝑥 moins trois au carré pour évaluer 𝑓 de un. Et cela nous en donne neuf. Mais six est supérieur à deux. Donc, pour évaluer 𝑓 de six, nous utilisons deux moins neuf 𝑥 et nous obtenons moins 52. Nous pouvons voir que la valeur maximale globale de notre fonction est 81 et la valeur minimale globale est moins 52. Le point essentiel à retenir ici est que si nous avons affaire à une fonction par morceaux, nous devons vérifier le comportement à la fin de chaque élément de notre fonction. Dans notre dernier exemple, nous examinerons comment appliquer des idées sur la recherche d’extrema globaux pour des fonctions exponentielles.

Trouver le maximum global et le minimum global arrondi à deux décimales de la fonction 𝑓 de 𝑥 est égale à cinq 𝑥𝑒 puissance moins 𝑥, étant donnée 𝑥 sur l’intervalle fermé zéro à quatre.

Rappelez-vous, pour trouver les extrema globaux pour notre fonction 𝑓 de 𝑥, nous suivons trois étapes. Nous trouvons tous les points critiques dans notre intervalle fermé. On trouve ensuite les valeurs de 𝑓 de 𝑥 en ces points critiques. Et ensuite, nous vérifions les extrémités pour savoir si ce sont des extrema globaux. Les points critiques sont les points où la dérivée est égale à zéro ou n’existe pas. Nous allons donc trouver la dérivée de notre fonction et la définir égale à zéro.

Et ici, nous remarquons que cela est lui-même le produit de deux fonctions dérivables. Nous allons donc utiliser la règle du produit. Cela dit que la dérivée du produit de deux fonctions dérivables 𝑢 et 𝑣 est 𝑢 fois d𝑣 sur d𝑥 plus 𝑣 fois d𝑢 sur d𝑥. Donc, on laisse 𝑢 être égal à cinq 𝑥 et 𝑣 égal à 𝑒 de moins 𝑥. Ensuite, d𝑢 sur d𝑥 est égale à cinq et d𝑣 sur d𝑥 𝑥 est égal à moins 𝑒 de moins 𝑥. Cela signifie que la dérivée de notre fonction est de cinq 𝑥 fois moins 𝑒 de moins 𝑥 plus 𝑒 de moins 𝑥 fois cinq, que nous pouvons simplifier en cinq 𝑒 de moins 𝑥 fois un moins six.

Fixons cela égal à zéro. Maintenant, il n’y a aucun moyen pour que 𝑒 de moins 𝑥 soit égal à zéro. Donc, pour la déclaration de cinq 𝑒 de moins 𝑥 fois un moins 𝑥 égal à zéro pour être vrai, nous savons qu’un moins 𝑥 lui-même doit être égal à zéro, ce qui signifie que 𝑥 est égal à un est un point critique. Nous allons donc évaluer notre fonction en ce point critique et aux extrémités de la fonction, si 𝑓 de un, 𝑓 de zéro, et 𝑓 de quatre.

𝑓 de un est cinq fois un fois 𝑒 puissance moins un, soit 1.8393 et ainsi de suite, ou arrondissez-le à deux décimales, si besoin, 1.84. 𝑓 de zéro est zéro. Et 𝑓 de quatre est cinq fois quatre fois 𝑒 de moins quatre, ce qui correspond à 0.37 à deux décimales près. Et nous pouvons donc dire que la valeur maximale globale de notre fonction est 1.84 et la valeur minimale globale est zéro.

Dans cette vidéo, nous avons appris que si nous avons une fonction continue sur un intervalle fermé, nous avons alors la garantie d’avoir à la fois un maximum global et un minimum global. Nous avons également vu que ces valeurs extrêmes sont obtenues soit à l’endroit ou aux endroits où se produisent des extrema locaux, soit aux extrémités de l’intervalle. Nous avons vu que nous pouvions appliquer ces idées à des fonctions exponentielles et à des fonctions qui sont à la fois des produits et des quotients d’autres fonctions dérivables, mais nous devons être prudents avec les fonctions définies par morceaux pour évaluer les extrémités de chaque partie de la fonction.

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