Dans, cette fiche explicative, nous allons apprendre comment déterminer les valeurs maximales et minimales globales d’une fonction sur un intervalle donné grâce à sa dérivée.
Nous pouvons calculer la dérivée d’une fonction en un point pour nous aider à déterminer le comportement local de cette fonction. Par exemple, nous savons que les extrema locaux d’une fonction sont nécessairement des points critiques. On rappelle qu’un point est un point critique d’une fonction si ou n’est pas défini.
Cependant, cela ne donne qu’une borne locale à notre fonction. Qu’en est-il du cas où nous voudrions borner la fonction sur un intervalle plus grand ?
Considérons par exemple la courbe suivante.
Nous pouvons voir qu’il y a deux valeurs minimales, une en et une autre en . On dira du point en que c’est un minimum local car il s’agit de la plus petite valeur de la fonction dans un voisinage de ; cependant, le minimum situé en est la valeur la plus petite que prend la fonction sur tout l'intervalle considéré, ainsi il serait intéressant de lui donner un autre nom.
Définition : Extremum global
On dit d’une fonction qu’elle a :
- un maximum global en , si pour tout dans l’ensemble de définition ;
- un minimum global en , si pour tout dans l’ensemble de définition de .
Nous appelons le maximum global de et le minimum global de .
Il y a quelques problèmes pour trouver des extrema globaux en général. Premièrement, toutes les fonctions n’ont pas nécessairement d’extrema globaux. Par exemple, la fonction définie par n’est pas bornée ; on peut toujours choisir des valeurs plus élevées de pour obtenir des images plus grandes que toute borne (et il en va de même pour toute borne inférieure). Deuxièmement, parfois, les fonctions sont bornées mais n’atteignent pas leurs extrema globaux. Par exemple, la fonction définie par est toujours positive, de sorte que nous savons qu’elle est bornée inférieurement par 0, mais nous pouvons toujours trouver des antécédents donnant des images de plus en plus petites.
Pour contourner ces problèmes, nous allons introduire une restriction sur nos fonctions ; au lieu de chercher des extrema globaux des fonctions sur tout leur ensemble de définition, nous chercherons des extrema globaux sur un sous-ensemble de leur ensemble de définition.
Définition : Extremum global d’une fonction sur un intervalle fermé
Soit une fonction sur un intervalle ,
- on dit que la fonction a un maximum global en sur l’intervalle , si pour toutes les valeurs de ;
- on dit que la fonction a un minimum global en sur l’intervalle , si pour toutes les valeurs de .
Nous appelons le maximum global et le minimum global de sur l’intervalle .
Essentiellement, ce ne sont que les valeurs maximales et minimales qu’une fonction peut prendre sur l’intervalle fermé.
Il y a encore un autre problème : si on nous donne une fonction qui n’est pas continue sur un intervalle, alors la fonction n’est pas nécessairement bornée sur cet intervalle. Par exemple, n’est pas bornée sur l’intervalle . Nous pouvons constater cela au voisinage de sur notre graphique ci-dessus.
Cependant, si nous étudions une fonction continue, nous pouvons utiliser un résultat très utile appelé le théorème des valeurs extrêmes (ou encore théorème de Weierstrass).
Théorème : Théorème des valeurs extrêmes
Si est continue sur l’intervalle , alors il existe tels que est le maximum global et est le minimum global de sur l’intervalle .
Il peut être utile de voir cela sur un exemple. Considérons la courbe d’équation sur l’intervalle .
Nous pouvons voir un exemple du théorème des valeurs extrêmes en action sur cette figure ; le minimum global de notre fonction sur cet intervalle est au point où la fonction change de variation, et le maximum global de notre fonction est sur la borne de l’intervalle .
Si la preuve de ce théorème dépasse le cadre de cette fiche explicative, celui-ci nous apporte cependant des informations très utiles pour notre étude. Premièrement, si on nous demande de trouver les extrema globaux d’une fonction continue sur un intervalle fermé, alors le théorème des valeurs extrêmes garantit qu’ils existent. Deuxièmement, si on nous donne une fonction continue par morceaux, nous pouvons appliquer le théorème des valeurs extrêmes à chacune des sous-fonctions et ensuite traiter séparément les points de discontinuité.
Enfin, pour trouver ces extrema, nous devons faire quelques rappels sur les extrema locaux et les fonctions croissantes/décroissantes sur des intervalles. Nous savons que des extrema locaux correspondront à des points critiques et, bien que nous puissions être tentés de supposer que des extrema globaux doivent également être des extrema locaux, cela n’est pas nécessairement vrai aux bornes de l’intervalle ; Comme notre fonction pourrait être croissante/décroissante au-delà de ces bornes, nous devons également vérifier les bornes de l’intervalle séparément.
Ceci nous donne une méthode pour déterminer les extrema globaux d’une fonction continue sur un intervalle fermé.
Comment trouver les extrema globaux d’une fonction continue sur un intervalle fermé
Si est une fonction continue, alors nous pouvons trouver les extrema globaux de sur l’intervalle en
- trouvant tous les points critiques de sur l’intervalle ,
- évaluant sur tous ses points critiques dans ,
- vérifiant la valeur de la fonction aux bornes de .
La plus grande de ces images est le maximum global de sur et la plus petite est le minimum global de sur .
Nous pouvons utiliser cette méthode sur toute fonction continue sur un intervalle fermé. Pour les fonctions continues par morceaux, nous pouvons analyser chaque sous-fonction continue en utilisant cette méthode, puis vérifier les points de discontinuité séparément.
Dans notre premier exemple, nous verrons comment appliquer ce raisonnement pour trouver les extrema globaux d’une fonction polynomiale.
Exemple 1: Déterminer le maximum et le minimum global d’une fonction polynomiale sur un intervalle fermé
Déterminez le maximum et le minimum global de la fonction définie par sur l’intervalle .
Réponse
Nous sommes chargés de déterminer le maximum et le minimum global d’une fonction sur un intervalle fermé. Rappelons que les extrema locaux de notre fonction correspondent à des points critiques, tandis que les extrema globaux peuvent également correspondre aux bornes de l’intervalle, nous devrons donc vérifier tous ces points pour trouver nos extrema.
La première chose que nous devons vérifier est la continuité de notre fonction ; dans ce cas, est une fonction polynomiale, donc est continue sur l’ensemble des nombres réels. Cela signifie que les extrema globaux de sur doivent correspondre à des points critiques ou aux bornes de l’intervalle.
Ensuite, nous commencerons par trouver les points critiques de sur cet intervalle ; on rappelle que ce sont les points qui annulent la dérivée ou pour lesquels la dérivée n’est pas définie. Bien sûr, une fonction polynomiale étant dérivable pour tout réel, il suffit de chercher les points qui annulent la dérivée.
Nous pouvons le faire en calculant la dérivée de :
Ensuite, on cherche les solutions quand cette expression est égale à zéro en factorisant :
Cette équation a pour solutions . On rappelle que l’on ne s’intéresse qu’aux points critiques de l’intervalle , ainsi, seulement deux de ces points critiques se situent dans cet intervalle. Il s’agit des points et .
La fonction a potentiellement des extrema globaux en ces points, on doit donc l’évaluer en ces points et comparer les valeurs obtenues aux points aux extrémités de la courbe :
Puisque les extrema pourraient être aux bornes de l’intervalle , nous devons vérifier la valeur de la fonction en ces points :
Nous avons maintenant vérifié tous les points possibles où il peut y avoir des extrema dans l’intervalle . La plus grande des images est , qui est donc le maximum global de sur , et la plus petite est , qui est donc le minimum global de sur . Ceci est illustré par la courbe représentative de la fonction restreinte à .
Cela nous donne notre réponse finale. Sur l’intervalle , la fonction a un maximum global égal à en et et un minimum global égal à en .
Exemple 2: Déterminer le maximum et le minimum global d’une fonction rationnelle sur un intervalle
Déterminez le maximum et le minimum global de la courbe d’équation sur l’intervalle .
Réponse
Nous devons trouver le maximum et le minimum global d’une fonction sur un intervalle fermé. Pour ce faire, nous devons trouver les extrema locaux et vérifier la valeur que prend la fonction aux bornes de l’intervalle.
Ainsi, la première chose que nous devons faire est de vérifier la continuité de notre fonction ; cela nous permettra alors de trouver des extrema sur chaque partie continue séparément. Dans ce cas, notre fonction est rationnelle et nous savons que toutes les fonctions rationnelles sont continues partout sauf aux points qui annulent le dénominateur. Pour cette fonction, c’est le cas lorsque , qui n’est pas dans l’intervalle .
Ainsi, cette fonction est continue sur l’intervalle ; donc, par le théorème des valeurs extrêmes, il doit exister à la fois un maximum global et un minimum global dans cet intervalle. Pour déterminer les extrema globaux de cette fonction, nous devons comparer la valeur que prend la fonction en ses points critiques avec la valeur qu’elle prend aux bornes de l’intervalle.
Commençons par trouver les points critiques (où la dérivée est égale à 0 ou n’est pas définie). Nous calculons la dérivée de la fonction en appliquant la formule de la dérivée d’un quotient de fonctions qui est, on le rappelle, pour deux fonctions dérivables ,
En appliquant cela à notre fonction, et en posant et , on obtient :
On voit que la dérivée existe partout sauf en , qui n’est pas dans l’ensemble de définition de notre fonction, nous devons donc uniquement déterminer les valeurs de qui annulent la dérivée. Pour que la dérivée soit nulle, le numérateur doit être égal à 0 ; cependant, le numérateur est constant et égal à 8. Par conséquent, cette fonction n’a pas de point critique dans cet intervalle. Cela signifie que nous avons seulement besoin de vérifier les valeurs prises par la fonction aux bornes de l’intervalle.
Au point ,
Au point ,
Ainsi, est le maximum global de la fonction sur cet intervalle et est le minimum global. Nous pouvons le voir sur la courbe représentative de la fonction restreinte à l’intervalle .
Nous avons pu montrer que le maximum de sur l’intervalle est , en , et que son minimum sur le même intervalle est , en .
Jusqu’ici, nous avons seulement étudié le cas de fonctions continues sur l’intervalle où nous cherchions les extrema. Cependant, nous pouvons également traiter séparément les points de discontinuités d’une fonction. Voyons un exemple d’application de ce raisonnement avec une fonction définie par morceaux.
Exemple 3: Déterminer le maximum et le minimum global d’une fonction définie par morceaux sur un intervalle donné
Déterminez le maximum et le minimum global de la fonction définie par sur l’intervalle .
Réponse
Nous devons déterminer le maximum et le minimum global d’une fonction sur un intervalle fermé ; nous pouvons le faire en comparant la valeur que prend la fonction en ses points critiques et aux bornes de l’intervalle, à condition que cette fonction soit continue. Donc, nous devrions commencer par vérifier la continuité de notre fonction.
La fonction est définie par morceaux et chacune de ses sous-fonction est une fonction polynomiale. Cela garantit que est continue partout sauf, peut-être, en la borne commune des sous-domaines, c’est-à-dire en . Pour voir si est continue en , on vérifie ce qu’il se passe quand dans chacune des sous-fonctions :
Les valeurs des deux sous-fonctions de ne coïncident pas au point . Ainsi, la fonction a un point de discontinuité ici.
Nous pourrions nous en inquiéter et penser que cela va nous empêcher de déterminer le maximum et le minimum global de la fonction sur l’intervalle ; cependant, nous savons que la fonction est continue et égale à lorsque et que est continue et égale à lorsque . Ainsi, nous pouvons traiter ces deux cas séparément.
Premièrement, lorsque , on a . Nous recherchons des extrema dans l’intervalle , donc doit appartenir à l’intervalle . Pour trouver les extrema de cette sous-fonction, nous voulons calculer tous ses points critiques, puis vérifier les valeurs prises aux bornes de l’intervalle .
Nous commencerons par trouver les points critiques, c’est-à-dire les point où la dérivée s’annule ou n’est pas définie :
On remarque que la dérivée est définie pour tout réel et vaut zéro lorsque , qui est donc le seul point critique de la première sous-fonction ; cependant, nous ne sommes intéressés que par les valeurs de dans l’intervalle . Il suffit donc d’évaluer sur les bornes de ce premier intervalle :
Nous n’en avons pas encore fini ; il nous faut encore étudier ce qui se produit lorsque .
Dans ce cas, on a , dont nous voulons déterminer les extrema sur l’intervalle . Nous avons ici un problème car l’intervalle n’est pas fermé. Donc, pour contourner cela, nous allons chercher les extrema sur l’intervalle , et, si on trouve un extremum en , nous devrons tracer la courbe représentative de la fonction pour comprendre comment elle se comporte autour de ce point.
Pour éviter toute confusion, posons . On veut trouver les extrema de cette fonction sur l’intervalle , nous avons donc besoin de trouver les points critiques, La dérivée est donc bien définie pour tout et ne peut pas s’annuler, ainsi n’a pas de points critiques. Cela signifie que nous devons simplement regarder les valeurs prises par la fonction sur les bornes de l’intervalle :
Nous avons maintenant trouvé tous les extrema possibles pour la fonction initiale définie par morceaux sur l’intervalle , il ne reste plus qu’à comparer ces valeurs.
| 1 | 6 | |||
| 9 | 81 |
On voit sur ce tableau que le maximum global est égal à 81, et est atteint en , et que le minimum global est égal à , qui est atteint en . Nous pouvons également lire cette information sur le graphe de la fonction restreinte à l’intervalle .
Dans les exemples suivants, nous allons voir qu’il est parfois nécessaire d’utiliser des techniques de dérivation avancées pour pouvoir déterminer les points critiques de la fonction qu’on étudie.
Exemple 4: Déterminer le maximum et le minimum global d’une fonction sur un intervalle donné en utilisant la règle de dérivation d’un produit
Déterminez le maximum et le minimum global, arrondis au centième près, de la fonction définie par .
Réponse
Nous voulons calculer le maximum et le minimum global de cette fonction et nous pouvons immédiatement remarquer que est le produit de deux fonctions continues, ainsi est, elle aussi, continue. Pour déterminer les extrema globaux de cette fonction sur cet intervalle fermé, nous devons trouver tous les points critiques de la fonction et calculer les valeurs que la fonction prend aux bornes de l’intervalle.
Commençons par trouver tous les points critiques ; c’est-à-dire les points qui annulent la dérivée ou tels que la dérivée n’est pas définie, nous allons donc commencer par dériver en utilisant la règle de dérivation d’un produit.
Rappelons que, si et sont deux fonctions dérivables, alors
En appliquant cette formule pour calculer la dérivée de , en posant et , on obtient
Cette dérivée est bien définie pour tout appartenant à , de sorte que les seuls points critiques de la fonction sont les points qui annulent la dérivée :
Puisque pour tout , le seul point critique de est le point . Tout ce qu’il reste à faire maintenant est de comparer les valeurs prises par la fonction au point critique et sur les bornes de l’intervalle :
Par conséquent, au centième près, le maximum global est égal à 1,84, et le minimum global est égal à 0.
Exemple 5: Déterminer le maximum et le minimum global d’une fonction racine sur un intervalle donné
Déterminez, s’ils existent, le maximum et le minimum global de la fonction définie par , avec .
Réponse
Nous voulons trouver les extrema globaux d’une fonction sur un intervalle fermé ; la première chose que nous pouvons remarquer est que étant une fonction composée de deux fonctions continues, alors est continue sur son ensemble de définition. Nous voulons vérifier que est bien définie lorsque ; pour ce faire, nous devons nous assurer que nous ne prenons pas la racine carrée d’un nombre strictement négatif. Nous pouvons remarquer que pour dans cet intervalle, de sorte que notre fonction est définie pour tout appartenant à l’intervalle .
La fonction étudiée étant continue, ses extrema sur cet intervalle seront atteints soit en ses points critiques, soit aux bornes de l’intervalle. Nous pouvons calculer ces valeurs une à une.
Commençons par trouver les points critiques de la fonction ; il s’agit des points qui annulent la dérivée de ou des points pour lesquels la dérivée n’est pas définie.
En utilisant, soit le théorème de dérivation des fonctions composées, soit la formule de dérivation des fonctions puissances, on obtient :
Les points qui annulent sont les points qui annulent le numérateur, mais celui-ci est constant et égal à 3. Par conséquent, il n’y a pas de valeurs de telles que . Les points pour lesquels n’est pas défini sont soit les points qui annulent le dénominateur, soit les points tels que le nombre sous la racine est strictement négatif ; cependant, aucun de ces points n’est dans l’ensemble de définition de . Ainsi, la fonction n’a pas de points critiques.
Par conséquent, il suffit de comparer les valeurs prises par aux bornes de l’intervalle :
On trouve donc que cette fonction a un maximum global de 5 et un minimum global de 2.
Ceci peut être lu sur le graphe de la fonction restreinte à l’intervalle .
La fonction est strictement croissante sur tout l’intervalle, de sorte que son minimum global est la borne inférieure de l’intervalle et que son maximum global est la borne supérieure de l’intervalle.
Concluons en récapitulant les points clés de la recherche de maximum et minimim globaux pour des fonctions sur des intervalles fermés.
Points clés
- D’après le théorème des valeurs extrêmes (ou de Weierstrass), toute fonction continue sur un intervalle fermé est bornée et atteint son maximum et son minimum global sur cet intervalle.
- Nous pouvons déterminer le maximum et le minimum global d’une fonction continue sur un intervalle fermé en comparant les valeurs atteintes par la fonction en ses points critiques et aux bornes de l’intervalle.
- On peut étendre cette méthode aux cas de fonctions discontinues en étudiant chacun des points de discontinuité séparément.
