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Sélectionnez l’expression égale au logarithme de 𝑥 en base 𝑎 divisé par le logarithme de 𝑦 en base 𝑎. Est-ce l’option (A), le logarithme de 𝑦 en base 𝑎 divisé par le logarithme de 𝑥 en base 𝑎 ? L’option (B), le logarithme de 𝑥 en base 𝑏 divisé par le logarithme de 𝑦 en base 𝑏. Est-ce l’option (C), le logarithme de 𝑎 en base 𝑥 divisé par le logarithme de 𝑎 en base 𝑦 ? Ou est-ce l’option (D), le logarithme de 𝑏 en base 𝑥 divisé par le logarithme de 𝑏 en base 𝑦 ?
Dans cette question, on nous donne quatre expressions différentes. Et nous devons déterminer laquelle correspond à l’expression qui nous est donnée dans la question. Et il y a plusieurs manières de procéder. Nous allons utiliser le fait que l’expression qui nous est donnée dans la question est le quotient de deux logarithmes de même base. Et cela peut nous rappeler la formule de changement de base pour les logarithmes, qui nous dit que pour tous les nombres réels positifs 𝑎, 𝑥 et 𝑦, où 𝑎 et 𝑦 ne sont pas égaux à un, le logarithme de 𝑥 en base 𝑎 divisé par le logarithme de 𝑦 en base 𝑎 est égal au logarithme de 𝑥 en base 𝑦.
Pour appliquer cela à l’expression qui nous est donnée dans la question, nous avons besoin que 𝑎, 𝑥 et 𝑦 soient des nombres réels positifs, avec 𝑎 et 𝑦 différents de un. Et nous pouvons voir que c’est vrai dans ce cas. Nous prenons le logarithme de 𝑥, donc 𝑥 est positif. Nous prenons le logarithme de 𝑦, donc 𝑦 est positif. Et 𝑎 est une base du logarithme, donc 𝑎 est positif et différent de un. Enfin, puisque 𝑦 est le logarithme du dénominateur, nous ne pouvons pas diviser par zéro. Donc, 𝑦 ne peut pas être égal à un. Par conséquent, en utilisant la formule de changement de base, nous avons montré que l’expression qui nous est donnée dans la question est égale au log de 𝑥 en base 𝑦. Cependant, aucune des quatre options n’est identique à cette expression. Donc, nous allons devoir la modifier un peu.
Puisque les quatre options sont des quotients de deux logarithmes, nous allons appliquer à nouveau la formule de changement de base. Cette fois, cependant, nous allons changer la base de nos logarithmes en une valeur 𝑏 positive différente de un. Cela nous donne alors que le logarithme de 𝑥 en base 𝑦 est égal au logarithme de 𝑥 en base 𝑏 divisé par le logarithme de 𝑦 en base 𝑏. Et bien sûr, c’est la même chose que l’expression donnée dans la question. Et nous pouvons alors voir que c’est la même chose que la réponse donnée dans l’option (B).
Par conséquent, en utilisant la formule de changement de base, nous avons pu montrer que le logarithme de 𝑥 en base 𝑎 divisé par le logarithme de 𝑦 en base 𝑎 est égal au logarithme de 𝑥 en base 𝑏 divisé par le logarithme de 𝑦 en base 𝑏, à condition que 𝑏 soit un nombre réel positif différent de un. Il s’agit de l’option (B).
