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Vidéo de la leçon : Les lois des logarithmes Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment utiliser les lois des logarithmes pour simplifier des expressions logarithmiques.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment utiliser les lois des logarithmes pour simplifier des expressions logarithmiques. Nous allons commencer par rappeler la définition d’un logarithme et sa relation avec l’exponentiation. Nous allons ensuite utiliser cette relation pour développer quelques lois des logarithmes qui nous aideront à simplifier des expressions logarithmiques.

Commençons par considérer une puissance de deux. Nous savons que deux puissance cinq est égal à 32. Autrement, on peut se demander quelle puissance de deux nous donne 32. On peut écrire cela sous forme logarithmique comme log de 32 en base deux est égal à quoi. Eh bien, nous avons déjà vu que c’est égal à cinq. Ces deux équations sont des façons équivalentes d’exprimer la même relation.

En général, soient un nombre réel positif, 𝑏, différent de un et deux autres nombres positifs, 𝑥 et 𝑦. Alors log de 𝑦 en base 𝑏 égale 𝑥 est équivalent à 𝑏 puissance 𝑥 égale 𝑦. 𝑏 est la base, 𝑥 est l’exposant et 𝑦 est l’argument.

Maintenant, nous nous intéressons aux lois des logarithmes et à comment elles peuvent nous aider à simplifier les expressions algorithmiques. Et puisqu’un logarithme est une façon équivalente d’exprimer la relation entre un nombre et son exposant, on peut réécrire nos lois des exposants. La première loi des exposants que nous allons rappeler est 𝑏 puissance 𝑥 un fois 𝑏 puissance 𝑥 deux est égal à 𝑏 puissance 𝑥 un plus 𝑥 deux. En d’autres termes, pour des constantes réelles 𝑏, tant que les base sont égales, on additionne simplement les exposants.

La loi des logarithmes équivalente stipule que log de 𝑥 un fois 𝑥 deux en base 𝑏 est égal à log de 𝑥 un en base 𝑏 plus log de 𝑥 deux en base 𝑏. De même, on compare la loi des exposants pour la division à la loi des logarithmes. Et on obtient que log de 𝑥 un sur 𝑥 deux en base 𝑏 est égal à log de 𝑥 un en base 𝑏 moins log de 𝑥 deux en base 𝑏.

Maintenant, démontrer ces expressions est hors du cadre de cette vidéo. Mais si on continue ainsi, on peut trouver une loi pour traiter les puissances. On a log de 𝑥 puissance 𝑝 en base 𝑏 est égal à 𝑝 fois log de 𝑥 en base 𝑏. Et puis on a la formule de changement de base. Qui est, log de 𝑥 un en base 𝑏 sur log de 𝑥 deux en base 𝑏 est égal à log de 𝑥 un en base 𝑥 deux. Il convient également de noter les deux lois suivantes. Log de 𝑏 en base 𝑏 est égal à un et log de un en base 𝑏 est égal à zéro. Ce qui nous intéresse vraiment, c’est d’expliquer comment utiliser ces lois pour simplifier les logarithmes.

Calculez log de 192 en base deux moins log de trois en base deux.

Commençons par rappeler la loi des logarithmes appropriée. Elle stipule que pour une base fixée, 𝑏 supérieure à zéro, différente de un et des nombres positifs 𝑥 un et 𝑥 deux, log de 𝑥 un divisé par 𝑥 deux en base 𝑏 est égal à log de 𝑥 un en base 𝑏 moins log de 𝑥 deux en base 𝑏. La réciproque est vraie. Lorsqu’on soustrait des logarithmes avec la même base, on divise simplement leurs arguments.

Dans notre cas, nous pouvons considérer que 𝑏 est égal à deux, 𝑥 un est égal à 192 et 𝑥 deux est égal à trois. Et nous pouvons donc dire que log de 192 en base deux moins log de trois en base deux est égal à log de 192 divisé par trois en base deux. 192 divisé par trois égale 64. On peut donc écrire ceci comme log de 64 en base deux. Eh bien, nous avons simplifié, mais nous devons encore évaluer ce logarithme. En d’autres termes, nous devons déterminer la valeur de log de 64 en base deux. Et nous devons donc rappeler la définition d’un logarithme.

En général, on dit que log de 𝑦 en base 𝑏 égale 𝑥 est équivalent à 𝑏 puissance 𝑥 égale 𝑦. Et donc, essentiellement, on se demande quel exposant de deux donne 64. Eh bien, nous savons que deux puissance six est égal à 64. Et donc log de 64 en base deux est égal à six. Et donc la réponse est six.

Considérons un autre exemple.

Évaluez log de 10 en base deux plus log de 16 en base deux moins log de cinq en base deux sans utiliser la calculatrice.

Tout d’abord, nous allons rappeler l’ordre des opérations. Cela stipule que lorsqu’il y a une addition et une soustraction dans la même somme, on effectue les opérations de gauche à droite. Nous allons donc commencer par évaluer log de 10 en base deux plus log de 16 en base 2. Et ensuite nous allons soustraire log de cinq en base deux. Et donc nous allons rappeler quelques lois des logarithmes.

La première est souvent appelée la loi des produits. Et elle stipule que pour une base fixée 𝑏, supérieure à zéro et différente de un, et des nombres positifs 𝑥 un et 𝑥 deux, log de 𝑥 un fois 𝑥 deux en base 𝑏 est égal à log de 𝑥 un en base 𝑏 plus log de 𝑥 deux en base 𝑏. Bien sûr, la réciproque est vraie. On peut donc dire que pour additionner des logarithmes avec la même base, on multiplie simplement les arguments.

De même, avec les quotients, log de 𝑥 un divisé par 𝑥 deux en base 𝑏 est égal à log de 𝑥 un en base 𝑏 moins log de 𝑥 deux en base 𝑏. Et donc on peut dire que log de 10 en base deux plus log de 16 en base deux est égal à log de 10 fois 16 en base deux. En principe, nous aurions évalué cela, mais nous n’allons pas le faire maintenant. Nous allons plutôt directement soustraire log de cinq en base deux. Et nous savons que cela signifie qu’on doit diviser les arguments. On a donc log de 10 fois 16 divisé par cinq en base deux.

Et nous voyons maintenant que puisqu’on n’a pas évalué l’expression, on peut diviser le numérateur et le dénominateur de notre fraction par cinq, ce qui donne log de deux fois 16 sur un en base deux, qui est simplement log de 32 en base deux. Mais, nous voulons déterminer la valeur de ce logarithme. Nous rappelons donc la définition d’un logarithme. On dit que log de 𝑦 en base 𝑏 égale 𝑥 est équivalent à 𝑏 puissance 𝑥 égale 𝑦. Eh bien, ici, notre base est de deux. On se demande quel exposant de deux nous donne 32. Eh bien, nous savons que deux puissance cinq égale 32, et donc log de 32 en base 2 est égal à cinq. La valeur de log de 10 en base deux plus log de 16 en base deux moins log de cinq en base deux est égal à cinq.

Nous allons maintenant considérer un exemple qui nécessite l’utilisation de la formule de changement de base.

Évaluez log de 32 en base sept plus log de huit en base sept divisé par log de 10 en base sept moins log de cinq en base sept sans utiliser la calculatrice.

Rappelons quelques lois des logarithmes. Nous savons que lorsqu’on additionne des logarithmes qui ont la même base, on multiplie simplement les arguments. Donc, log de 𝑥 un en base 𝑏 plus log de 𝑥 deux en base 𝑏 est égal à log de 𝑥 un fois 𝑥 deux en base 𝑏. Il y a une loi similaire pour la soustraction, mais cette fois on divise les arguments. Et donc utilisons ces lois pour évaluer le numérateur et le dénominateur de notre fraction. Log de 32 en base sept plus log de huit en base sept est égal à log de 32 fois huit en base sept, mais 32 fois huit égale 256. Donc, le numérateur devient log de 256 en base sept. Ainsi, le dénominateur est log de 10 divisé par cinq en base sept, qui est égal à log de deux en base sept. Nous avons simplifié notre fraction et elle devient log de 256 en base sept divisé par log de deux en base sept.

Maintenant, nous devons être très prudents ici. Une erreur qu’on fait souvent c’est de penser que, étant donné que lorsqu’on divise les arguments on soustrait les deux logarithmes, on peut juste soustraire ces valeurs. Rappelons que ce n’est pas exactement ce que disent nos lois des logarithmes. Nous allons plutôt utiliser la formule de changement de base, ainsi appelée, car elle nous permet littéralement de changer la base de nos logarithmes.

Pour que cela fonctionne, on doit avoir une fraction composée de deux logarithmes dont les bases sont égales. Ainsi, log de 𝑥 un en base 𝑏 divisé par log de 𝑥 deux en base 𝑏 est égal à log de 𝑥 un en base 𝑥 deux. Lorsqu’on compare cette forme générale à notre fraction, on constate que la base 𝑏 est égale à sept. 𝑥 un est l’argument du logarithme sur le numérateur de notre fraction, soit 256. Et 𝑥 deux est l’argument du logarithme sur notre dénominateur, soit deux. Cela signifie que nous pouvons maintenant écrire log de 256 en base sept sur log de deux en base sept comme log de 256 en base deux.

Cependant, nous n’avons pas encore terminé. Nous l’avons juste simplifié, mais nous devons l’évaluer. Et rappelons donc la définition d’un logarithme. Si log de 𝑦 en base 𝑏 égale 𝑥, alors de manière équivalente 𝑏 puissance 𝑥 est égal à 𝑦. Et donc, ici, puisque la base est égale à deux, on se demande, quel exposant de deux nous donne une valeur de 256 ? Eh bien, deux puissance huit est égal à 256. Et cela signifie alors que log de 256 en base 2 est égal à huit. Log de 32 en base sept plus log de huit en base sept le tout divisé par log de 10 en base sept moins log de cinq en base sept est égal à huit.

Dans notre prochain exemple, nous allons voir comment résoudre un problème dans lequel la base n’est pas explicitement écrite.

Quelle des options suivantes est égale à cinq log de trois sur log de quatre plus log de six ?

Cette expression peut sembler un peu étrange car nos logarithmes semblent ne pas avoir de base. Si un log n’a pas de base, on suppose généralement que la base est égale à 10. Et donc nous réécrivons notre fraction comme cinq log de trois en base 10 sur log de quatre en base 10 plus log de six en base 10.

Nous allons donc maintenant rappeler certaines lois des logarithmes. Premièrement, on sait que log de 𝑥 un en base 𝑏 plus log de 𝑥 deux en base 𝑏 est égal à log de 𝑥 un fois 𝑥 deux en base 𝑏. Tant que les bases sont égales, on multiplie simplement les arguments. Et donc le dénominateur de notre fraction devient log de quatre fois six en base 10, qui est égal à log de 24 en base 10.

Et qu’en est-il du numérateur ? Eh bien, log de 𝑥 puissance 𝑝 en base 𝑏 pour une constante réelle 𝑝 est égal à 𝑝 fois log de 𝑥 en base 𝑏. La réciproque est vraie. Nous pouvons donc écrire notre numérateur comme log de trois puissance cinq en base 10. Mais trois puissance cinq est égal à 243. Et donc on a log de 243 en base 10 sur log de 24 en base 10.

Notez qu’il s’agit d’une fraction avec deux logarithmes dont les bases sont égales. Et on peut donc utiliser la formule de changement de base. Cela signifie qu’on peut écrire log de 𝑥 un en base 𝑏 divisé par log de 𝑥 deux en base 𝑏 comme log de 𝑥 un en base 𝑥 deux. Donc, essentiellement, si les bases sont égales, l’argument du dénominateur devient la nouvelle base. Et l’argument du numérateur devient le nouvel argument. Dans ce cas, la base de notre logarithme est 24 et son nouvel argument est 243. Nous pouvons donc écrire notre fraction comme log de 243 en base 24. Et la bonne réponse est donc (C).

Notez que cela signifie que la base que nous avons utilisée importe peu. Parce qu’au final on a deux logarithmes avec la même base, on utilise juste la formule de changement de base. On aurait pu choisir deux ou trois comme base. Mais rappelons que, la règle générale est de supposer que la base est 10.

Nous allons examiner un dernier exemple sur comment utiliser la formule de changement de base.

Simplifiez log de 16 en base trois fois log de 243 en base deux.

Nous devons faire très attention ici. La première erreur qui est très courante serait de confondre les lois des logarithmes et penser qu’on peut additionner 16 et 243. Cela est bien sûr le contraire de la loi des produits et ne peut être appliquée de toute façon, puisque les bases sont différentes ici. Et donc, nous allons plutôt rappeler la formule de changement de base. Elle stipule qu’on peut écrire log de 𝑥 un en base 𝑏 divisé par log de 𝑥 deux comme log de 𝑥 un en base 𝑥 deux. On a besoin d’une fraction avec des logarithmes sur le numérateur et le dénominateur. La base de ces logarithmes doit être égale. Et si tel est le cas, on peut réécrire ceci comme un logarithme avec une nouvelle base qui est l’argument du dénominateur.

Maintenant, en fait, nous évaluons le produit de deux logarithmes, nous allons donc réécrire notre formule. Nous allons multiplier les deux côtés de l’équation par log de 𝑥 deux en base 𝑏. Et puis nous allons comparer cela à notre expression. Notez que dans le produit, la base du premier log est égale à l’argument du second. Mais, cela ne fonctionne pas vraiment. On n’a pas de valeur commune pour 𝑥 deux dans l’expression, mais on peut réécrire le premier logarithme. Nous savons que 16 est égal à deux puissance quatre. On écrit donc log de 16 en base trois comme log de deux puissance quatre en base trois. Et puis on utilise la loi de l’exposant et on écrit ceci comme quatre fois log de deux en base trois. Donc, notre expression devient quatre log de deux en base trois fois log de 243 en base deux.

Puisque la multiplication est commutative, on peut l’effectuer dans n’importe quel ordre, on peut ajouter des parenthèses. Et nous allons d’abord évaluer log de deux en base trois fois log de 243 en base deux. Nous allons supposer que 𝑥 deux est égal à deux. Ainsi 𝑥 un est égal à 243 et 𝑏 est égal à trois. Cela signifie qu’on peut écrire log de deux en base trois fois log de 243 en base deux comme log de 243 en base trois. Et notre expression devient quatre fois log de 243 en base trois. Mais, nous pouvons évaluer log de 243 en base trois. En rappelant la définition du logarithme, on se demande, eh bien, quel exposant de trois donne 243 ?

Nous savons que trois puissance cinq est égal à 243. Donc, log de 243 en base trois est égal à cinq. Et donc notre expression devient quatre fois cinq, qui est égale à 20. Log de 16 en base trois fois log de 243 en base deux, en utilisant la formule de changement de base est égal à 20.

Dans cette vidéo, nous avons appris que pour une base fixée 𝑏 supérieure à zéro et différente de un et des nombres positifs 𝑥 un, 𝑥 deux et 𝑥, log de 𝑥 un en base 𝑏 plus log de 𝑥 deux en base 𝑏 est égal à log de 𝑥 un fois 𝑥 deux en base 𝑏. De même, log de 𝑥 un en base 𝑏 moins log de 𝑥 deux en base 𝑏 est égal à log de 𝑥 un divisé par 𝑥 deux en base 𝑏. Et pour une constante réelle 𝑝, log de 𝑥 puissance 𝑝 en base 𝑏 est égal à 𝑝 fois log de 𝑥 en base 𝑏. Nous avons vu que la formule de changement de base stipule que log de 𝑥 un en base 𝑏 divisé par log de 𝑥 deux en base 𝑏 est égal à log de 𝑥 un en base 𝑥 deux. Nous notons que log de 𝑏 en base 𝑏 est égal à un et log de un en base 𝑏 est égal à zéro et que si une expression logarithmique n’a pas de base, on suppose que sa base est égale à 10.

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