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Fiche explicative de la leçon : Lois des logarithmes Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment utiliser les lois des logarithmes pour simplifier les expressions logarithmiques.

Tout d’abord, rappelons ce qu’est un logarithme. Une fonction logarithmique est la fonction réciproque d’une fonction exponentielle. Nous pouvons utiliser des logarithmes pour déterminer des exposants inconnus dans des équations exponentielles et les utiliser pour réécrire une équation de sorte que l’exposant soit l’inconnu de l’équation. Nous le faisons en utilisant la définition suivante.

Définition : Logarithmes

Si une équation exponentielle est de la forme 𝑎=𝑛, 𝑎>0, alors elle peut être écrite comme une équation logarithmique:log𝑛=𝑥,𝑎 est la base du logarithme, 𝑛 est l’argument et 𝑥 est l’exposant.

Par conséquent, 𝑎=𝑛𝑛=𝑥log.

Tout comme avec les exposants, nous avons des lois pour les logarithmes. Comme les fonctions logarithmiques sont les réciproques des fonctions exponentielles, les lois des logarithmes sont contraires aux lois des exposants. Nous pouvons également utiliser les lois des exposants pour nous aider à déduire les lois des logarithmes, ce que nous ferons tout au long de cette fiche explicative. Rappelons d’abord les lois des exposants.

Règle : Lois des exposants

  • 𝑎×𝑎=𝑎,
  • 𝑎÷𝑎=𝑎,𝑎0,
  • (𝑎)=𝑎,
  • 𝑎=𝑎,𝑛0,
  • 𝑎=1𝑎,𝑎0,
  • 𝑎=𝑎,𝑎0,
  • 𝑎=1,𝑎0.

Nous commencerons par déduire deux cas particuliers des logarithmes en utilisant la définition d’un logarithme et deux des lois des exposants comme suit.

Comme 𝑎=𝑛𝑛=𝑥log, alors en posant 𝑥=1 on peut dire que 𝑎=𝑎𝑎=1,log𝑎0.

De même, en posant 𝑥=0 on peut dire que 𝑎=11=0,log𝑎0.

Cela nous mène aux propriétés ci-dessous.

Propriété : Valeurs particulières des logarithmes

Pour un logarithme de base 𝑎, 𝑎>0,

  • log𝑎=1,
  • log1=0.

En raison du fait que les logarithmes sont définis comme étant les réciproques des fonctions exponentielles et que 𝑓𝑓(𝑥)=𝑥 et 𝑓(𝑓(𝑥))=𝑥, les propriétés suivantes sont conservées.

Propriétés : Composition des fonctions exponentielles et logarithmiques

Pour 𝑎>0, nous avons

  • 𝑎=𝑥log,
  • log𝑎=𝑥.

Aussi, notez que 𝑥>0 est une condition pour la première propriété car nous ne pouvons pas prendre le logarithme d’un nombre négatif.

Nous allons maintenant déduire chacune des lois des logarithmes de même base tour à tour.

Premièrement, nous allons déduire la loi d’un produit pour les logarithmes, qui est liée à la loi d’un produit pour les exposants.

Disons que nous avons deux équations logarithmiques 𝑚=𝑥log et 𝑛=𝑦log que les deux sont de base 𝑎, 𝑎>0 et d’arguments 𝑥,𝑦>0. En les réécrivant comme des exposants, on obtient 𝑚=𝑥𝑎=𝑥log et𝑛=𝑦𝑎=𝑦.log

En multipliant ces deux équations exponentielles ensemble et en utilisant la loi d’un produit pour les exposants, on obtient 𝑥×𝑦=𝑎×𝑎𝑥𝑦=𝑎.

Si nous réécrivons cela comme une équation logarithmique de base 𝑎 et d’argument 𝑥𝑦 on obtient log𝑥𝑦=𝑚+𝑛.

Puis, en remplaçant 𝑚=𝑥log et 𝑛=𝑦log on obtient logloglog𝑥𝑦=𝑚+𝑛=𝑥+𝑦.

Par conséquent, logloglog𝑥𝑦=𝑥+𝑦.

Ensuite, nous déduirons la loi d’un quotient pour les logarithmes, qui est liée à la loi d’un quotient pour les exposants.

Disons que nous avons deux équations logarithmiques, 𝑚=𝑥log et 𝑛=𝑦log qui sont de base 𝑎, 𝑎>0 et d’arguments 𝑥,𝑦>0. En les réécrivant comme des exposants, on obtient 𝑚=𝑥𝑎=𝑥log et 𝑛=𝑦𝑎=𝑦.log

En divisant la première équation exponentielle par la seconde et en utilisant la loi d’un quotient pour les exposants, on obtient 𝑥𝑦=𝑎𝑎𝑥𝑦=𝑎.

Si nous réécrivons cela comme une équation logarithmique de base 𝑎 et d’argument 𝑥𝑦 on obtient log𝑥𝑦=𝑚𝑛.

Puis, en remplaçant 𝑚=𝑥log et 𝑛=𝑦log on obtient logloglog𝑥𝑦=𝑚𝑛=𝑥𝑦.

Par conséquent, logloglog𝑥𝑦=𝑥𝑦.

Enfin, nous déduirons la loi d’une puissance pour les logarithmes, qui est liée à la loi d’une puissance pour les exposants.

Disons que nous avons une équation logarithmique 𝑚=𝑥log de base 𝑎, 𝑎>0 et d’argument 𝑥>0. En réécrivant ceci sous forme d’exposant, nous obtenons 𝑚=𝑥𝑎=𝑥.log

Si nous élevons alors les deux membres à la puissance 𝑛 et utilisons la loi d’une puissance pour les exposants, nous obtenons (𝑎)=𝑥𝑎=𝑥.

Si nous réécrivons cela comme une équation logarithmique, de base 𝑎 et d’argument 𝑥 on obtient 𝑎=𝑥𝑥=𝑚𝑛.log

Puis, en remplaçant 𝑚=𝑥log dans l’équation logarithmique, on obtient logloglog𝑥=𝑚𝑛=𝑥𝑛=𝑛𝑥.

Par conséquent, loglog𝑥=𝑛𝑥.

Après avoir déduit les trois lois du logarithme pour des bases égales, nous les résumons dans les propriétés suivantes.

Propriété : Lois des logarithmes de même base

Pour les logarithmes de même base 𝑎, 𝑎>0, les règles suivantes des logarithmes s’appliquent:

  • Loi d’un produit:logloglog𝑥𝑦=𝑥+𝑦,𝑥>0 et 𝑦>0.
  • Loi d’un quotient:logloglog𝑥𝑦=𝑥𝑦,𝑥>0 et 𝑦>0.
  • Loi d’une puissance:loglog𝑥=𝑛𝑥,𝑥>0.

Dans le premier exemple, nous déterminerons si une affirmation à propos des logarithmes est vraie ou fausse en utilisant les lois des logarithmes de même base.

Exemple 1: Utiliser les lois des logarithmes pour vérifier les affirmations d’égalité

Est-il vrai que logloglog(𝑥+𝑦)=𝑥+𝑦?

Réponse

Nous savons d’après la loi d’un produit de logarithmes que logloglog𝑥𝑦=𝑥+𝑦,𝑎>0, 𝑥>0 et 𝑦>0.

Comme loglog𝑥+𝑦 est le membre droit de l’équation, alors on peut dire loglogloglog(𝑥+𝑦)=𝑥+𝑦=𝑥𝑦.

Par conséquent, pour que les deux membres soient égaux, les arguments doivent être égaux, ce qui signifie 𝑥+𝑦=𝑥𝑦.

Comme cela n’est pas vrai pour toutes les valeurs de 𝑥 et 𝑦, alors l’affirmation est fausse.

Dans l’exemple suivant, nous utiliserons les lois des logarithmes de même base pour calculer un logarithme, où il serait difficile de le calculer sans une calculatrice ou des tables de logarithmes.

Exemple 2: Calculer des expressions logarithmiques en utilisant les lois des logarithmes

Calculez loglog1923.

Réponse

Pour calculer loglog1923, on peut utiliser la loi des logarithmes de même base, car les deux termes ont la même base. Comme l’opération est une soustraction, nous utiliserons la loi d’un quotient de logarithmes, qui dit que logloglog𝑥𝑦=𝑥𝑦,𝑎>0, 𝑥>0 et 𝑦>0.

En appliquant cette loi, on obtient loglogloglog1923=1923=64.

Comme la base est 2, on écrit alors l’argument 64 comme une puissance de 2, on peut utiliser la loi d’une puissance de logarithmes, qui dit que loglog𝑥=𝑛𝑥,𝑎>0 et 𝑥>0.

Donc, cela nous donne alors logloglog64=2=62.

Comme nous le savons log2=1, ainsi on obtient 62=6.log

Par conséquent, loglog1923=6.

En plus d’utiliser les lois des logarithmes pour simplifier et calculer les expressions avec plusieurs termes, nous pouvons également les utiliser pour développer un seul logarithme. Dans l’exemple suivant, nous utiliserons les lois des logarithmes de même base pour le faire, mais avant de le faire, nous rappellerons une notation pour les bases particulières.

Définition : Notation pour les logarithmes de bases particulières

Pour les logarithmes dont les bases sont les suivantes, nous utilisons la notation suivante.

  • Pour un logarithme de base 10, on omet la base et on écrit uniquement log. C’est-à-dire loglog𝑥=𝑥, qui est appelé le « logarithme commun ».
  • Pour un logarithme de base 𝑒, 𝑒 est le nombre d’Euler, on omet la base et on écrit ln. C’est-à-dire logln𝑥=𝑥, qui s’appelle le « logarithme népérien ».

Nous utiliserons log𝑥 pour un logarithme de base 10 dans l’exemple suivant.

Exemple 3: Développer les logarithmes

Développez log𝑎𝑏𝑐 en utilisant les propriétés du log.

Réponse

Comme on nous demande de développer un logarithme en utilisant les propriétés du log, nous devrons utiliser les lois des logarithmes de même base, qui sont les suivantes:loidunproduit:logloglogloidunquotient:logloglogloidunepuissance:loglog𝑥𝑦=𝑥+𝑦,𝑥𝑦=𝑥𝑦,𝑥=𝑛𝑥,𝑎>0, 𝑥>0 et 𝑦>0.

Afin de développer, nous appliquons les règles dans l’ordre inverse des opérations indiquées. Étant donné que la multiplication et la division sont du même ordre, il est généralement conseillé d’appliquer la loi d’un quotient car elle est moins susceptible de conduire à une erreur d’étourderie (surtout si l’opération de multiplication est utilisée au numérateur et au dénominateur). Cela nous donne logloglog𝑎𝑏𝑐=𝑎𝑏𝑐.

Ensuite, nous appliquerons la loi d’un produit au premier logarithme, ce qui nous donne logloglogloglog𝑎𝑏𝑐=𝑎+𝑏𝑐.

Enfin, nous appliquerons la loi d’une puissance à chaque terme, ce qui nous donne loglogloglogloglog𝑎+𝑏𝑐=2𝑎+3𝑏5𝑐.

Par conséquent, loglogloglog𝑎𝑏𝑐=2𝑎+3𝑏5𝑐.

En plus des lois des logarithmes de même base, nous avons ensuite des lois pour changer la base d’un logarithme. Ceci est particulièrement utile quand il y a différents logarithmes de différentes bases dans une équation, car cela nous permet de rendre les bases identiques.

Nous déduisons la règle du changement de base d’une manière similaire aux règles des logarithmes de mêmes bases, mais au lieu de définir deux équations logarithmiques de même base, changeons la base et posons-les avec le même argument. Nous le faisons comme suit.

Disons que nous avons deux équations logarithmiques 𝑚=𝑥log et 𝑛=𝑥log qui ont des bases 𝑦 et 𝑎, 𝑦,𝑎>0 et le même argument 𝑥, 𝑥>0. En les réécrivant comme exposants, on obtient 𝑚=𝑥𝑦=𝑥log et 𝑛=𝑥𝑎=𝑥.log

Puis, en substituant 𝑥=𝑦 dans 𝑛=𝑥log on obtient 𝑛=𝑦.log

En utilisant la loi d’une puissance de logarithmes, on obtient 𝑛=𝑚𝑦.log

En remplaçant 𝑚=𝑥log, cela nous donne 𝑛=𝑥𝑦.loglog

Par conséquent, comme 𝑛=𝑥log on obtient logloglog𝑥=𝑥𝑦, qui lors de la division par log𝑦 est logloglog𝑥=𝑥𝑦, qui est la règle de changement de base pour les logarithmes, comme indiqué dans la règle ci-dessous.

Règle : Règle de changement de base pour les logarithmes

Pour log𝑥 de base 𝑦>0 et d’argument 𝑥>0, on l’écrit avec une base choisie 𝑎>0, en utilisant la règle suivante:logloglog𝑥=𝑥𝑦.

Note:comme on ne peut pas diviser par 0, alors log𝑦0, et 𝑦1 (car log1=0 ).

En utilisant la règle de changement de base, nous pouvons déduire une autre règle pour les logarithmes, qui est la loi de l’inverse pour la multiplication.

Disons que pour certains logarithmes log𝑥, de base 𝑦>0 et d’argument 𝑥>0, si on utilise la règle de changement de base pour changer la base en 𝑥, alors cela nous donnerait logloglog𝑥=𝑥𝑦.

On sait d’après les valeurs particulières des logarithmes que log𝑥=1 (comme la base et l’argument sont égaux);par conséquent, loglog𝑥=1𝑦.

Ceci est rendu explicite dans la règle ci-dessous.

Règle : Loi de l’inverse pour les logarithmes

Pour log𝑥 de base 𝑦>0 et d’argument 𝑥>0, nous pouvons échanger la base et l’argument en utilisant la loi de l’inverse, qui dit que loglog𝑥=1𝑦.

Note:comme on ne peut pas diviser par 0, alors log𝑦0, et 𝑦1 (car log1=0 ).

Dans l’exemple suivant, nous utiliserons la règle de changement de base pour identifier quelle expression est égale à quelle autre.

Exemple 4: Utiliser les lois des logarithmes pour relier des expressions

Sélectionnez l’expression égale à loglog𝑥𝑦.

  1. loglog𝑦𝑥
  2. loglog𝑎𝑎
  3. loglog𝑥𝑦
  4. loglog𝑏𝑏

Réponse

Pour déterminer laquelle des expressions est égale à loglog𝑥𝑦, nous examinerons chaque expression à tour de rôle et appliquerons les lois des logarithmes lorsque cela est nécessaire.

Pour l’option A, si loglogloglog𝑥𝑦=𝑦𝑥, alors puisque tous les logarithmes des deux expressions sont de base 𝑎, on peut dire que les arguments au numérateur sont égaux et les arguments au dénominateur sont égaux, ce qui nous donne 𝑥=𝑦𝑦=𝑥().etcequiestpareil

Par conséquent, ceci n’est vrai que lorsque 𝑥=𝑦 et ainsi n’est pas vrai pour toutes les valeurs possibles de 𝑥 et 𝑦, ce qui signifie que la réponse n’est pas l’option A.

Pour l’option B, si loglogloglog𝑥𝑦=𝑎𝑎, alors nous pouvons voir que l’argument et la base ont été échangés pour les deux logarithmes au numérateur et le dénominateur de l’expression initiale pour obtenir les logarithmes dans la deuxième expression. Par conséquent, pour vérifier si cela est vrai, nous pouvons appliquer la loi de l’inverse pour les logarithmes, qui dit que loglog𝑥=1𝑦,𝑥>0, 𝑦>0 et 𝑦1.

En appliquant ceci au numérateur de l’expression initiale, on obtient loglog𝑥=1𝑎.

Et en appliquant cela au dénominateur de l’expression initiale, on obtient loglog𝑦=1𝑎.

Par conséquent, lors de la substitution dans l’expression initiale, nous avons loglogloglogloglog𝑥𝑦==1𝑎×𝑎1=𝑎𝑎.loglog

Comme il s’agit de l’inverse de l’option B et non de l’option B, cela ne peut pas être équivalent pour toutes les valeurs de 𝑥 et 𝑦. Donc, la réponse n’est pas l’option B.

Pour l’option C, si loglogloglog𝑥𝑦=𝑥𝑦, alors nous pouvons voir que les arguments de la deuxième expression sont les mêmes que les arguments de la première expression, mais la base a changé. Par conséquent, nous pouvons voir si les deux expressions sont équivalentes en utilisant la règle de changement de base, qui est la suivante:logloglog𝑥=𝑥𝑦,𝑎>0, 𝑥>0, 𝑦>0 et 𝑦1.

En appliquant la règle de changement de base au membre de gauche de l’équation et en passant à la base 𝑦 on obtient logloglog𝑥𝑦=𝑥.

Par conséquent, comme le membre gauche est le même que le membre droit, alors loglogloglog𝑥𝑦=𝑥𝑦.

Par conséquent, l’option C est la bonne réponse.

Notez que bien que nous ayons trouvé que l’option C est correcte, nous verrons brièvement pourquoi l’option D ne l’est pas. Comme l’option D est très similaire à l’option B (mais avec un argument différent), alors en appliquant la même méthode que celle utilisée pour l’option B, nous pouvons montrer que l’option D est fausse.

Dans l’exemple suivant, nous appliquerons la règle de changement de base pour réécrire une expression en fonction d’une autre base.

Exemple 5: Utiliser la règle du changement de base

Utilisez la formule du changement de base pour écrire log42 en fonction du logarithme népérien.

Réponse

Comme on nous demande d’utiliser la règle du changement de base, nous commencerons par énoncer la règle:logloglog𝑥=𝑥𝑦,𝑥>0, 𝑦>0 et 𝑦1.

Comme on nous demande de l’écrire en fonction de logarithmes népériens, où logln𝑥=𝑥, alors nous allons définir la base dans la formule comme étant 𝑒 ce qui nous donne loglogloglnln42=426=426.

Par conséquent, lnln426 est log42 en fonction de logarithmes népériens, comme demandé.

Dans le dernier exemple, nous utiliserons les lois des logarithmes pour résoudre un problème dans un contexte réel.

Exemple 6: Utiliser les lois des logarithmes pour déterminer le périmètre d’une figure donnée

Calculez le périmètre de la figure ci-dessous.

Réponse

Premièrement, nous allons trouver une expression pour le périmètre en fonction des logarithmes en additionnant les longueurs du rectangle. Cela nous donne les éléments suivants:périmètredurectanglelongueurlargeurloglog=2(+)=29+81.

Pour simplifier cela, nous pouvons utiliser les lois des logarithmes de même base. Nous commencerons par la loi d’un produit, qui dit que logloglog𝑥𝑦=𝑥+𝑦,𝑎>0, 𝑥>0 et 𝑦>0.

Cela nous donne alors 29+81=29×81=2729.loglogloglog

Puisque 729 est 27, alors nous pouvons simplifier l’expression et la calculer en utilisant la loi d’une puissance, qui dit que loglog𝑥=𝑛𝑥,𝑎>0 et 𝑥>0.

Par conséquent, 2729=227=2227=427.loglogloglog

Comme log27=1, alors le périmètre du rectangle est 4 cm.

Dans cette fiche explicative, nous avons déduit les lois des logarithmes de même base, la règle du changement de base et la loi de l’inverse. Nous avons utilisé ces règles pour simplifier et développer les logarithmes ainsi que pour résoudre des problèmes impliquant des logarithmes. Récapitulons les points clés.

Points Clés

  • Pour les logarithmes de même base 𝑎>0, nous avons les lois suivantes:
    • Loi d’un produit:logloglog𝑥𝑦=𝑥+𝑦,𝑥>0 et 𝑦>0.
    • Loi d’un quotient:logloglog𝑥𝑦=𝑥𝑦,𝑥>0 et 𝑦>0.
    • Loi d’une puissance:loglog𝑥=𝑛𝑥,𝑥>0.
  • Nous avons deux cas particuliers de logarithmes, qui sont
    • log𝑎=1, 𝑎>0,
    • log1=0, 𝑎>0.
  • On peut changer la base d’un logarithme en utilisant les lois suivantes:
    • Règle du changement de base:logloglog𝑥=𝑥𝑦,𝑎>0, 𝑥>0, 𝑦>0 et 𝑦1,
    • Propriété de l’inverse:loglog𝑥=1𝑦,𝑥>0, 𝑦>0 et 𝑦1.

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