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Déterminez l’ensemble des zéros de la fonction définie par 𝑓 de 𝑥 égale sept 𝑥 à la puissance six moins 112𝑥 à la puissance quatre.
On nous demande de trouver l’ensemble des zéros de cette fonction 𝑓 de 𝑥 qui est un polynôme. Les zéros ou les racines d’un polynôme 𝑓 de 𝑥 sont les valeurs pour lesquelles 𝑥 égale 𝑎 telles que 𝑓 de 𝑎 est égale à zéro. Essentiellement, ce sont les valeurs de la variable 𝑥 qui rendent la valeur de la fonction nulle.
Pour trouver les zéros de 𝑓 de 𝑥 alors, nous posons la fonction égale à zéro. Nous observons ensuite que les deux termes ont un facteur commun de 𝑥 à la puissance quatre. Nous pouvons donc factoriser par 𝑥 à la puissance quatre pour donner 𝑥 à la puissance quatre multiplié par sept 𝑥 au carré moins 112 est égal à zéro. En outre, comme sept est un facteur de 112, nous pouvons également factoriser par sept pour donner sept 𝑥 à la puissance quatre multiplié par 𝑥 au carré moins 16 est égal à zéro. Nous avons maintenant un produit de deux facteurs qui est égal à zéro.
Il s’ensuit qu’au moins un des facteurs doit être égal à zéro. Et donc nous avons sept 𝑥 à la puissance quatre est égal à zéro, ou 𝑥 au carré moins 16 est égal à zéro. Nous pouvons maintenant résoudre ces équations séparément pour trouver les zéros de 𝑓 de 𝑥.
La première équation peut être simplifiée en divisant les deux membres par sept. Puis, si 𝑥 à la puissance quatre est égal à zéro, il s’ensuit que 𝑥 lui-même doit être égal à zéro. Pour résoudre la deuxième équation, nous commençons par ajouter 16 aux deux membres pour donner 𝑥 au carré égal à 16. 𝑥 est alors égal à plus ou moins la racine carrée de 16, qui est plus ou moins quatre.
Nous avons trouvé toutes les solutions à ces équations, et nous avons donc trouvé tous les zéros de 𝑓 de 𝑥. On nous demande de donner la réponse sous forme d’ensemble. Nous avons donc l’ensemble des zéros de la fonction 𝑓 de 𝑥 qui est l’ensemble contenant les valeurs zéro, quatre et moins quatre.
