Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment déterminer l'ensemble des zéros d'une fonction polynôme du second degré, cubique, ou de degré supérieur.
Les fonctions polynomiales apparaissent partout en sciences et dans de nombreuses applications de la vie courante. Par exemple, une balle lancée en l’air suivra un arc parabolique qui peut être modélisé par une équation du second degré. En particulier, la hauteur de la balle par rapport au sol sera exprimée par une fonction du second degré. Par conséquent, si nous voulons déterminer combien de temps il faudrait à la balle pour tomber au sol, nous devrons déterminer les valeurs pour lesquelles une fonction du second degré est égale à zéro.
Les valeurs d’entrée de pour lesquelles une fonction a des valeurs de sortie nulles sont appelées les zéros (ou racines) de la fonction, et nous pouvons les exprimer plus formellement comme suit.
Définition : Zéros ou racines d’une fonction
Si , alors on dit que est un zéro (ou une racine) de la fonction .
Par exemple, pour la fonction , on peut voir que alors est une racine de cette fonction.
Il existe quelques méthodes pour déterminer les racines d’une fonction. Par exemple, comme on cherche les valeurs de où , on peut tracer la courbe d'équation , alors les points sur la courbe où la valeur de sortie est nulle représentent les racines ; il s’agit des points d’intersection de la courbe avec l’axe des . Pour voir cela, on considère la courbe suivante d'équation .
D’après la courbe représentative, nous pouvons constater que , et ; ce sont les racines de la fonction. Puisqu’il peut y avoir plusieurs racines pour une fonction, nous les écrivons habituellement dans un ensemble appelé l’ensemble des zéros de la fonction ; dans ce cas, l’ensemble des zéros de est .
Toutes les fonctions n’ont pas nécessairement de zéros. On considère la fonction . Pour cette fonction, chaque valeur de sortie est toujours égale à 1, de sorte qu’aucune valeur d’entrée ne peut donner 0. En fait, la fonction constante de la forme n’aura de zéros que si . Lorsqu’une fonction n’a pas de zéros, on peut dire que l’ensemble des zéros est .
Il y a des avantages et des inconvénients de la méthode qui consiste à déterminer les zéros d’une fonction graphiquement par rapport à la méthode algébrique. Dans cette fiche explicative, nous nous concentrerons sur la recherche de racines de polynômes algébriquement, car nous obtenons ainsi des valeurs exactes pour les racines.
On peut déterminer les zéros des polynômes par factorisation. Par exemple, considérons la fonction . Nous pouvons la factoriser en déterminant deux nombres qui se multiplient pour donner 6 et qui s’additionnent pour donner 5 ; on voit que et . Par conséquent,
Ainsi, les zéros de la fonction sont les solutions de l’équation
Sur le membre gauche de cette équation, nous avons un produit qui doit être égal à zéro. Nous notons que pour qu’un produit soit nul, l’un des facteurs doit être égal à zéro. Ainsi, soit
Nous pouvons résoudre ces deux équations séparément pour obtenir et comme étant les zéros de la fonction. Il est à noter que nous aurions pu utiliser la formule des racines du polynôme du second degré pour déterminer les racines de l’équation, mais nous ne pouvons l’utiliser que lorsque nous avons une fonction du second degré.
Nous rappelons que nous pouvons factoriser certains polynômes d’ordre supérieur par groupement. Par exemple, pour la fonction , on peut factoriser les deux premiers termes pour obtenir et les deux derniers termes pour obtenir . Comme ces termes partagent un facteur, nous pouvons le retirer de l’expression pour obtenir
On peut factoriser en utilisant la différence des carrés, dont nous nous souvenons et qui stipule que nous pouvons factoriser en utilisant la différence de deux carrés comme suit : . Cela donne
Par conséquent, les zéros de cette fonction sont les solutions à l’équation
En résolvant chaque facteur pour être égal à zéro, on obtient comme étant les zéros de la fonction..
Voyons quelques exemples d’application de ces techniques pour déterminer les zéros de polynômes. Nous commencerons par une fonction affine.
Exemple 1: Déterminer les zéros d’une fonction affine
Détermine l’ensemble des zéros de la fonction .
Réponse
Nous rappelons que est un zéro de la fonction si . Par conséquent, pour trouver les zéros de cette fonction, nous devons résoudre l’équation
Voici l’équation
La multiplication par 3 donne
On ajoute ensuite 4 aux deux membres de l’équation
On voit que le seul zéro de la fonction est 4. Par conséquent, l’ensemble des zéros de la fonction est .
Dans notre deuxième exemple, nous allons déterminer les zéros d’une fonction du second degré par factorisation.
Exemple 2: Déterminer les zéros d’une fonction unitaire du second degré par factorisation
Déterminez, en factorisant, les zéros de la fonction .
Réponse
On rappelle que les zéros d’une fonction sont les valeurs d’entrée telles que . Par conséquent, pour déterminer les zéros de la fonction du second degré donnée, nous devons résoudre l’équation
Il existe plusieurs méthodes pour le faire. Par exemple, on peut utiliser la formule du second degré. Cependant, nous allons factoriser complètement la fonction du second degré. Rappelons que pour factoriser une fonction du second degré , nous devons déterminer deux nombres qui se multiplient pour donner et qui s’additionnent pour donner . Dans notre cas, nous avons et . On peut indiquer la liste des paires de facteurs possibles de :
| 35 | |
| 7 | |
| 5 | |
| 1 |
Parmi ces paires, nous voyons que . On peut les utiliser pour réécrire le terme dans la fonction du second degré comme
Utiliser ces nombres pour réécrire l’équation nous donne
On peut alors factoriser les deux premiers termes et les deux derniers termes séparément :
On factorise alors le facteur commun de pour obtenir
Pour que le produit de deux nombres soit égal à zéro, l’un des facteurs doit être égal à zéro. Ainsi, soit ou . Nous pouvons résoudre chaque équation séparément.
D’abord,
On soustrait 7 des deux côtés de l’équation pour obtenir
Deuxièmement,
On ajoute 5 aux deux membres de l’équation pour obtenir
Par conséquent, les zéros de la fonction du second degré sont et 5.
Il est à noter que nous pouvons vérifier si un nombre est zéro d’un polynôme en le replaçant dans la fonction et en l’évaluant. Par exemple, dans l’exemple précédent, nous avons constaté que les zéros de sont et . Nous pouvons vérifier ces deux zéros en évaluant et . Nous avons
Étant donné que la fonction génère zéro à ces valeurs de , nous avons confirmé qu’il s’agit de zéros de la fonction. Ceci est une vérification utile pour s’assurer que nos réponses sont correctes.
Dans notre prochain exemple, nous allons déterminer les racines d’une fonction non unitaire du second degré par factorisation.
Exemple 3: Déterminer les zéros d’une fonction non unitaire du second degré par factorisation
Déterminez, en factorisant, les zéros de la fonction .
Réponse
Nous rappelons que est un zéro de quand . Par conséquent, pour trouver les zéros de cette fonction, nous devons résoudre l’équation
Nous pourrions le faire en utilisant la formule des racines du polynôme du second degré ; cependant, nous utiliserons la factorisation par groupement. On rappelle que pour factoriser une fonction du second degré , nous devons déterminer deux facteurs de produit qui s’additionnent pour donner . Dans cette fonction du second degré, nous avons , et , donc nous devons déterminer deux nombres qui se multiplient pour donner et qui s’additionnent pour donner 9. On remarque que
Pour appliquer la factorisation par groupement pour cette fonction du second degré, nous utilisons ces deux nombres pour réécrire le deuxième terme de cette fonction comme suit :
Par conséquent, nous pouvons réécrire l’équation du second degré comme
Nous factorisons ensuite les deux premiers termes et les deux seconds termes séparément :
On peut factoriser le facteur commun de :
Pour qu’un produit soit égal à zéro, l’un des facteurs doit être égal à zéro. Ainsi, soit
Nous pouvons résoudre chaque équation séparément. D’abord,
On ajoute 5 aux deux membres de l’équation pour obtenir puis, on divise par 3, ce qui nous donne
Deuxièmement,
On soustrait 8 aux deux membres de l’équation pour obtenir puis, on divise par 3, ce qui nous donne
Par conséquent, les zéros de la fonction sont et .
Jusqu’à présent, nous n’avons trouvé que les zéros des polynômes de degré 2 ou moins. Dans les exemples restants, nous trouverons les zéros de polynômes de degré 3 ou plus.
Exemple 4: Déterminer les zéros d’une fonction quadratique par factorisation
Déterminez l’ensemble des zéros de la fonction .
Réponse
Nous rappelons que les zéros ou racines d’une fonction sont les valeurs d’entrée pour lesquelles la fonction a des valeurs de sortie nulles. Par conséquent, pour déterminer les zéros de nous devons résoudre l’équation , qui est
Nous pouvons résoudre cette équation par factorisation. Nous notons que les deux termes partagent un facteur de ; alors en retirant ce facteur, on obtient
Si l’on retire alors un facteur de , on a
Nous pouvons factoriser davantage en rappelant la différence de deux carrés, qui stipule que
Appliquant ceci avec nous donne
On peut alors réécrire l’équation :
Comme , nous avons maintenant le produit de facteurs linéaires, donc nous ne pouvons pas factoriser davantage.. Nous pouvons maintenant déterminer les zéros de l’équation en rappelant que si un produit est égal à zéro, alors l’un des facteurs doit être égal à zéro. Nous pouvons résoudre chacun des facteurs nuls séparément. D’abord,
On divise par :
Ensuite, on prend la racine carrée des deux membres de l’équation, en notant que zéro est la seule racine :
Deuxièmement,
On ajoute 5 aux deux membres de l’équation :
Troisièmement,
On soustrait 5 aux deux membres de l’équation, ce qui nous donne le dernier zéro de la fonction :
Il est important de noter que, comme on ne nous a pas demandé de factoriser complètement le polynôme, nous aurions pu déterminer les valeurs de pour lesquelles chaque facteur de l’expression est égal à zéro directement. On aurait alors que nous pouvons résoudre en prenant la racine carrée des deux membres de l’équation, où nous nous souvenons qu’il y aurait une racine carrée positive et une racine carrée négative :
De même, nous avons
En les écrivant comme un ensemble, on conclut que l’ensemble des zéros de cette fonction est .
Exemple 5: Déterminer les zéros d’une fonction cubique partiellement factorisée
Déterminez l’ensemble des zéros de la fonction .
Réponse
Nous rappelons que est un zéro de la fonction si . Par conséquent, pour trouver les zéros de cette fonction, nous devons résoudre l’équation
Voici l’équation
Comme les deux termes du membre gauche de cette équation partagent un facteur de , nous allons la résoudre en factorisant. En retirant le facteur commun, on obtient
Nous pouvons factoriser davantage en rappelant que la différence de deux carrés nous indique que pour toute constante , . En définissant , nous avons . Par conséquent, nous pouvons réécrire l’équation comme
Puisqu’il s’agit de trois facteurs linéaires, nous avons complètement factorisé l’expression. Pour qu’un produit soit égal à zéro, l’un des facteurs doit être égal à zéro. Par conséquent, nous avons
Nous pouvons résoudre chaque équation séparément. D’abord,
On ajoute 9 aux deux membres de l’équation pour obtenir
Deuxièmement,
On soustrait 9 aux deux membres de l’équation, ce qui nous donne
Troisièmement,
On ajoute 2 aux deux membres de l’équation pour obtenir
Par conséquent, nous avons trois solutions : , ou 2.
Il est à noter que, comme on ne nous a pas demandé de factoriser complètement le polynôme, nous aurions pu déterminer les valeurs de pour lesquelles chaque facteur de l’expression est égal à zéro directement. On aurait alors que nous pouvons résoudre en prenant la racine carrée des deux membres de l’équation, où nous nous souvenons qu’il y aurait une racine carrée positive et une racine carrée négative :
De même, nous avons
Ce sont les zéros de la fonction. En les écrivant dans un ensemble, on conclut que l’ensemble des zéros de est .
Dans notre suivant exemple, nous utiliserons le théorème de factorisation des polynômes pour déterminer les racines d’un polynôme cubique.
Exemple 6: Déterminer un coefficient inconnu dans une fonction de second degré et une fonction affine sachant qu’ils ont le même ensemble des zéros
La fonction et la fonction ont le même ensemble de zéros. Trouver et l’ensemble des zéros.
Réponse
On rappelle que l’ensemble des zéros d’une fonction est l’ensemble contenant toutes les valeurs telle que . On voit que est une fonction affine ; nous pouvons déterminer son ensemble de zéros en résolvant l’équation . Nous avons
En soustrayant 9 des deux membres, on obtient
Nous voulons diviser par , mais on ne peut le faire que si est non nul. Notez que si , alors . Ainsi, serait une fonction constante et n’a pas de zéros. Cependant,
Nous pouvons voir que cela a un zéro en résolvant
Comme et doivent avoir le même ensemble de zéros, on peut conclure que doit être non nul. On peut maintenant diviser les deux membres de l’équation par :
Comme est une fonction affine, c’est sa seule racine. On peut aussi conclure que doit avoir une double racine de . Nous savons que , alors substituons dans :
On peut évaluer pour obtenir
Nous pouvons maintenant résoudre pour trouver ; on addition aux deux membres de l’équation pour obtenir
On multiplie ensuite les deux membres de l’équation par pour obtenir
Enfin, nous divisons l’équation par 162 et évaluons pour obtenir
Nous avons montré que ces fonctions ont un seul zéro en , de sorte que nous pouvons trouver ce zéro en substituant . On a .
Par conséquent, et l’ensemble des zéros des deux fonctions est .
Dans notre dernier exemple, nous utiliserons la factorisation par regroupement pour déterminer l’ensemble des zéros d’un polynôme cubique.
Exemple 7: Déterminer l’ensemble des zéros d’une fonction cubique
Déterminez l’ensemble des zéros de la fonction , où les trois zéros prennent des valeurs entières.
Réponse
Rappelons que est un zéro de la fonction si . Pour trouver les zéros d’une fonction, nous devons résoudre l’équation
Par conséquent, dans cette question, nous devons résoudre l’équation
Observez que est une fonction cubique, et rappelons que nous pouvons factoriser certains polynômes d’ordre supérieur en les groupant. Comme on nous dit que les trois zéros de ce polynôme cubique prennent des valeurs entières, alors il y a une chance que nous puissions repérer un motif parmi les termes pour pouvoir les grouper.
En fait, on peut factoriser les deux premiers termes pour obtenir et les deux derniers termes pour obtenir . Comme ces deux expressions ont un facteur commun de , on peut factoriser ce terme pour obtenir
Ensuite, notez que est de la forme , que nous rappelons est connu comme une différence de deux carrés et peut être factorisé en utilisant la formule . Cela donne
Nous pouvons maintenant trouver les zéros de la fonction initiale, qui sont les solutions à l’équation
En mettant chaque facteur à zéro, on obtient , et 4 comme les zéros de la fonction. En écrivant ces valeurs dans un ensemble, nous avons que l’ensemble des zéros de est .
Terminons cette fiche explicative en récapitulant certains points clés..
Points clés
- Les zéros ou les racines d’un polynôme sont les valeurs telle que .
- Si est un polynôme et que , alors est un facteur de . La réciproque de cette affirmation est vraie : si est un facteur du polynôme , alors .
- Nous pouvons vérifier que est le zéro d’un polynôme donné en vérifiant que . Cela peut être une vérification utile pour s’assurer qu’un nombre est un zéro du polynôme.
- Il y a de nombreuses techniques que nous pouvons utiliser pour nous aider à déterminer les racines des polynômes, y compris la formule des racines du polynôme du second degré, la factorisation par groupement et la division de polynômes.
