Vidéo de la leçon: Zéros de fonctions polynômes Mathématiques

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Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment déterminer l’ensemble des zéros d’une fonction polynôme du second degré, cubique ou de degré supérieur. Ce sont les valeurs d’entrée pour 𝑥 pour lesquelles 𝑓 de 𝑥 est égal à zéro.

Si 𝑓 de 𝑎 est égal à zéro, alors nous disons que 𝑎 est un zéro, ou racine, de la fonction 𝑓. Considérons, par exemple, la fonction affine 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 plus un. 𝑓 de moins un égale moins un plus un, ce qui est égal à zéro. Donc, moins un est un zéro, ou racine, de la fonction 𝑓. Il existe plusieurs méthodes pour trouver les racines d’une fonction. Si on nous donne le graphique de la fonction 𝑓 de 𝑥, les racines de 𝑓 sont les valeurs de 𝑥 où la courbe coupe l’axe des 𝑥. Dans cet exemple, la courbe coupe l’axe des 𝑥 en 𝑥 est égal à moins un, 𝑥 est égal à zéro, et 𝑥 est égal à deux. Sur le graphique, nous pouvons voir que 𝑓 de moins un est égal à zéro, 𝑓 de zéro est égal à zéro, et 𝑓 de deux est égal à zéro. Par conséquent, les zéros, ou racines, de 𝑓 sont moins un, zéro et deux.

En notation d’ensemble, nous pourrions écrire l’ensemble des zéros de 𝑓 entre deux accolades, moins un, zéro et deux. Certaines fonctions n’auront bien sûr pas de zéros du tout, par exemple, la fonction 𝑓 de 𝑥 est égal à un. Dans cette fonction, chaque valeur de sortie est toujours un, donc aucune entrée ne donnera jamais une sortie de zéro.

Une autre méthode pour trouver les zéros d’une fonction polynomiale est algébriquement, par factorisation. Considérons, par exemple, la fonction du second degré 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 au carré plus cinq 𝑥 plus six. Pour trouver les zéros de la fonction, nous définissons cette expression égale à zéro. Cette expression peut être factorisée en trouvant une paire de nombres qui se multiplient pour donner six et s’ajoutent pour donner cinq. Lors de l’inspection, deux et trois s’ajoutent pour donner cinq et se multiplient pour donner six. On peut donc factoriser cette expression en deux binômes : 𝑥 plus deux et 𝑥 plus trois.

Nous avons maintenant exprimé 𝑓 de 𝑥 comme un produit de deux facteurs ; appelons-les 𝑎 et 𝑏. Si nous fixons 𝑓 de 𝑥 est égal à zéro, alors 𝑎𝑏 est égal à zéro. Cela implique que 𝑎 ou 𝑏 doit être égal à zéro ou tous les deux. Par conséquent, si 𝑓 de 𝑥 est égal à zéro, alors soit 𝑥 plus deux est égal à zéro ou 𝑥 plus trois est égal à zéro. Ces équations linéaires peuvent être facilement résolues pour trouver 𝑥, ce qui donne 𝑥 est égal à moins deux et 𝑥 est égal à moins trois. Par conséquent, les zéros de 𝑓 sont moins deux et moins trois.

Il convient de noter que les racines d’une fonction de second degré peuvent bien sûr être trouvées en utilisant également la formule des racines du polynôme du second degré, ce qui est particulièrement utile si les racines ne sont pas des nombres entiers. Nous pouvons trouver les zéros des polynômes d’ordre supérieur, tels que les cubiques et les quartiques, en utilisant la même méthode. Mais la factorisation peut prendre plus d’étapes.

Considérons, par exemple, la fonction 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 au cube plus 𝑥 au carré moins quatre 𝑥 moins quatre. À première vue, il semble difficile de factoriser cette expression, car les termes ne partagent pas individuellement un facteur commun. Cependant, l’expression peut être factorisée par groupement. Notez que 𝑥 au cube est simplement 𝑥 fois 𝑥 carré et 𝑥 carré est juste 𝑥 fois lui-même. De même, quatre 𝑥 est 𝑥 fois quatre, et quatre est juste un fois lui-même. Les deux premiers termes contiennent un facteur de 𝑥 et de un. Et de même, les deux derniers termes contiennent un facteur de 𝑥 et de un. L’autre facteur dans les deux premiers termes est 𝑥 au carré, et l’autre facteur dans les deux derniers termes est quatre. Par conséquent, nous pouvons factoriser les deux premiers termes avec un facteur de 𝑥 au carré et les deux derniers termes avec un facteur de quatre, donnant 𝑥 au carré fois 𝑥 plus un moins quatre fois 𝑥 plus un.

Maintenant, parce que nous avons choisi de factoriser les deux premiers termes et les deux derniers termes avec ce terme commun de 𝑥 plus un, nous pouvons les factoriser à nouveau avec un facteur commun de 𝑥 plus un. Cela nous donne 𝑥 au carré moins quatre fois 𝑥 plus un. Maintenant, remarquez que quatre est un nombre carré. Donc, 𝑥 carré moins quatre peut lui-même être facilement factorisé à nouveau en utilisant la différence de deux carrés. Cela nous donne 𝑥 moins deux fois 𝑥 plus deux fois 𝑥 plus un. Il nous reste maintenant un produit de binômes linéaires. Nous ne pouvons donc pas factoriser davantage.

Maintenant, nous avons un produit de trois termes égal à zéro. Donc au moins un des termes doit être égal à zéro. Par conséquent, 𝑥 moins deux est égal à zéro ou 𝑥 plus deux est égal à zéro ou 𝑥 plus un est égal à zéro. Par conséquent, dans la notation des ensembles, les zéros de 𝑓 sont moins deux, moins un et deux.

Voyons maintenant quelques exemples du monde réel de ces techniques pour déterminer les zéros des polynômes, en commençant par une fonction affine.

Trouvez l’ensemble des zéros de la fonction 𝑓 de 𝑥 égale un tiers fois 𝑥 moins quatre.

Pour trouver les zéros d’une fonction, nous définissons la fonction égale à zéro, ce qui signifie qu’un tiers fois 𝑥 moins quatre est égal à zéro. Il s’agit d’une équation affine en 𝑥, elle est donc facilement résolue sans factorisation. Nous pouvons commencer par multiplier les deux membres par trois, ce qui donne 𝑥 moins quatre est égal à zéro. Ajouter quatre des deux membres donne 𝑥 égale quatre. Par conséquent, l’ensemble des zéros de la fonction 𝑓 est la valeur unique quatre.

Dans le deuxième exemple, nous allons trouver les zéros d’une fonction du second degré en factorisant.

Trouvez, en factorisant, les zéros de la fonction 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 au carré plus deux 𝑥 moins 35.

Pour trouver les zéros d’une fonction, nous définissons la fonction égale à zéro, ce qui signifie que 𝑥 au carré plus deux 𝑥 moins 35 est égal à zéro. Nous pouvons résoudre cette équation pour trouver 𝑥 pour déterminer les zéros de 𝑓. Il y a plusieurs façons de le faire, mais la question nous demande de trouver les zéros en factorisant. Pour factoriser l’expression, nous devons trouver deux nombres qui s’ajoutent pour donner deux et qui se multiplient pour donner moins 35. Un moyen facile de le faire est d’énumérer les paires de facteurs de 35. Ce sont un et 35 lui-même et cinq et sept. De toute évidence, un et 35 ne vont pas additionner ou soustraire pour faire deux, mais cinq et sept le feront. Donc, ce sont les facteurs dont nous avons besoin.

Puisque nous devons former moins 35, l’un de ces nombres devra être négatif et l’autre positif. Si nous prenons moins cinq et plus sept, ils s’ajouteront pour donner deux. Nous pouvons donc factoriser cela pour donner 𝑥 moins cinq fois 𝑥 plus sept est égal à zéro. Puisque nous avons un produit de deux termes égal à zéro, au moins l’un des termes doit être égal à zéro lui-même. Par conséquent, 𝑥 moins cinq est égal à zéro ou 𝑥 plus sept est égal à zéro. Nous pouvons résoudre la première équation pour trouver 𝑥 en ajoutant cinq des deux membres, ce qui donne 𝑥 est égal à cinq, et la deuxième équation en soustrayant sept des deux membres, ce qui donne 𝑥 est égal à moins sept. Par conséquent, l’ensemble des zéros de la fonction est moins sept et cinq.

Il convient de noter qu’avec des fonctions polynômes plus compliquées, nous pouvons toujours vérifier que ces valeurs sont correctes en les replaçant dans l’équation d’origine de la fonction et en montrant que la sortie est en effet égale à zéro. En faisant cela avec notre première valeur, moins sept, nous obtenons moins sept au carré plus deux fois moins sept moins 35, ce qui est égal à 49 moins 14 moins 35, ce qui est en effet égal à zéro. Et en faisant de même pour notre deuxième valeur, 𝑓 de cinq est égal à cinq au carré plus deux fois cinq moins 35, ce qui est encore égal à zéro. Par conséquent, ces deux valeurs sont en effet des zéros de la fonction 𝑓. Nous savons également qu’ils doivent être les seuls zéros de 𝑓, puisqu’une fonction de second degré ne peut jamais avoir plus de deux zéros.

Dans l’exemple suivant, nous allons trouver les racines d’une fonction non unitaire du second degré, également en factorisant.

Trouvez, en factorisant, les zéros de la fonction 𝑓 de 𝑥 est égal à neuf 𝑥 au carré plus neuf 𝑥 moins 40.

Pour trouver les zéros d’une fonction, nous définissons la fonction égale à zéro, ce qui signifie que neuf 𝑥 au carré plus neuf 𝑥 moins 40 est égal à zéro. Nous pouvons résoudre cette équation pour trouver 𝑥 pour déterminer les zéros de 𝑓.

La question nous demande de trouver les zéros en factorisant. Mais ici, nous avons la légère complication selon laquelle le polynôme est non unitaire. Nous devrons donc également choisir les coefficients corrects pour les termes en 𝑥 dans les facteurs. Pour factoriser une fonction non unitaire du second degré, nous pouvons utiliser la méthode de factorisation par groupement. Nous devons trouver une paire de facteurs de 𝑎𝑐 qui s’ajoutent pour donner 𝑏, où 𝑎 est le coefficient de 𝑥 au carré, 𝑏 est le coefficient de 𝑥 et 𝑐 est le coefficient constant. En prenant le produit, 𝑎𝑐 est neuf fois moins 40, ce qui est moins 360. 𝑏 est bien sûr seulement neuf. Donc, nous devons trouver une paire de nombres qui se multiplieront pour donner moins 360 et s’ajouteront pour donner neuf.

Puisque les nombres se multiplient pour donner un nombre négatif, l’un d’entre eux doit être négatif et l’autre doit être positif. La première paire de nombres à laquelle on pourrait penser qui s’ajoutent pour faire neuf est moins un et 10. Mais il est clair que ces nombres sont trop petits pour être multipliés pour donner moins 360. Pour trouver une autre paire de nombres qui s’ajouteront pour donner neuf, nous pouvons soustraire un du nombre négatif et ajouter un au nombre positif. Nous pouvons passer sur quelques-uns, disons, moins 11 et 20. Ceux-ci se multiplient pour donner moins 220. Donc nous sommes encore un peu loin. Si nous procédons de cette manière, nous finirons par trouver que moins 15 et 24 additionnent pour former neuf et se multiplient pour former moins 360.

Un moyen peut-être plus rapide de le faire est d’énumérer toutes les paires de facteurs de 360, de choisir l’une des paires pour être négative et de voir quelle paire s’ajoute à neuf. Dans ce cas, cependant, 360 se trouve être un nombre divisible. Cela pourrait donc prendre plus de temps. Maintenant que nous avons la paire de facteurs, nous pouvons réécrire le neuf 𝑥 d’origine dans l’équation comme moins 15𝑥 plus 24𝑥. La méthode de factorisation par groupement garantit que nous avons maintenant le même facteur commun entre les deux premiers termes et les deux derniers termes, dans ce cas trois 𝑥 moins cinq. Nous pouvons réécrire l’expression sur le membre de gauche comme trois 𝑥 fois trois 𝑥 moins cinq plus huit fois trois 𝑥 moins cinq. Ce même facteur, trois 𝑥 moins cinq, est également commun à ces deux termes. Nous pouvons donc réécrire ceci comme trois 𝑥 plus huit fois trois 𝑥 moins cinq.

Nous avons maintenant un produit de deux binômes qui sont linéaires en 𝑥 et n’ont plus de facteurs communs. Nous ne pouvons donc pas factoriser davantage. Nous avons un produit de deux termes égal à zéro. Par conséquent, au moins l’un des termes doit être égal à zéro lui-même. Cela signifie que soit trois 𝑥 plus huit est égal à zéro, soit trois 𝑥 moins cinq est égal à zéro. Nous pouvons résoudre pour trouver 𝑥 dans la première équation en soustrayant huit et en divisant par trois, donnant 𝑥 est égal à moins huit sur trois. Et nous pouvons résoudre pour trouver 𝑥 dans la deuxième équation en ajoutant cinq et en divisant par trois, ce qui donne 𝑥 est égal à cinq sur trois. Par conséquent, l’ensemble des zéros de la fonction 𝑓 est moins huit sur trois et cinq sur trois.

Nous pouvons vérifier que ce sont bien les zéros de 𝑓 en substituant les valeurs dans le polynôme d’origine. 𝑓 de moins huit sur trois est égal à neuf fois moins huit sur trois tous au carré plus neuf fois moins huit sur trois moins 40, ce qui est égal à neuf fois 64 sur neuf plus moins 72 sur trois moins 40, ce qui est égal à 64 moins 24 moins 40, ce qui est en effet égal à zéro. Et de même, nous pouvons prendre 𝑓 de cinq sur trois, qui se simplifie finalement à 25 plus 15 moins 40, ce qui est également égal à zéro. Par conséquent, ce sont en effet les zéros de 𝑓. Et puisque 𝑓 est une fonction du second degré, nous savons qu’elle ne peut plus y avoir de zéros.

Dans les exemples restants, nous trouverons les zéros des polynômes de degré trois ou de degré supérieur.

Trouvez l’ensemble des zéros de la fonction 𝑓 de 𝑥 égale moins neuf 𝑥 à la puissance quatre plus 225𝑥 au carré.

Pour trouver les zéros d’une fonction, nous définissons la fonction égale à zéro, ce qui signifie que moins neuf 𝑥 à la puissance quatre plus 225𝑥 au carré est égal à zéro. Nous pouvons résoudre cette équation pour trouver 𝑥 pour déterminer les zéros de 𝑓. Nous pouvons d’abord essayer une factorisation. Notez que nous avons clairement un facteur commun de 𝑥 au carré dans tous les termes du membre de gauche. Nous pouvons également regarder les coefficients pour voir si nous avons un facteur commun. Neuf est divisible par un, trois et lui-même. En partant du plus grand diviseur, neuf, est-ce que 225 est divisible par neuf ? Et ça l’est. Neuf fois 25 est égal à 225. Nous avons donc également un facteur commun de neuf, ainsi que 𝑥 au carré. Par conséquent, nous pouvons factoriser cela avec neuf 𝑥 au carré. Ensuite, à l’intérieur des parenthèses, nous avons moins 𝑥 au carré plus 25.

Maintenant, nous devons voir si nous pouvons factoriser davantage. À l’intérieur des parenthèses, nous avons le nombre 25 et le moins 𝑥 au carré. 25 est un nombre carré, cinq au carré, donc nous avons une différence de deux carrés. Rappelons que si nous avons la différence de deux carrés, 𝑎 au carré et 𝑏 au carré, nous pouvons factoriser avec le produit 𝑎 moins 𝑏 fois 𝑎 plus 𝑏. On peut donc factoriser à nouveau le membre de gauche pour donner neuf 𝑥 au carré fois cinq moins 𝑥 fois cinq plus 𝑥. Et nous avons maintenant un produit de binômes linéaires en 𝑥 et d’un monôme en 𝑥 au carré. Nous ne pouvons donc pas factoriser davantage.

Puisque nous avons un produit de trois termes égal à zéro, au moins un des termes doit être égal à zéro. Par conséquent, neuf 𝑥 au carré est égal à zéro, cinq moins 𝑥 est égal à zéro ou cinq plus 𝑥 est égal à zéro. Nous pouvons résoudre pour trouver 𝑥 dans la première équation en divisant par neuf et en prenant la racine carrée, donnant 𝑥 est égal à zéro. Pour la deuxième équation, nous pouvons simplement ajouter 𝑥 des deux membres pour donner 𝑥 égal à cinq. Et pour la troisième équation, nous pouvons simplement soustraire cinq des deux membres pour donner 𝑥 est égal à moins cinq. Par conséquent, l’ensemble des zéros pour 𝑓 est moins cinq, zéro, cinq.

Dans l’exemple suivant, nous déterminerons les zéros d’une fonction cubique en utilisant la factorisation.

Trouvez l’ensemble des zéros de la fonction 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 fois 𝑥 au carré moins 81 moins deux fois 𝑥 au carré moins 81.

Pour trouver les zéros d’une fonction, nous définissons la fonction égale à zéro, ce qui signifie que 𝑥 fois 𝑥 au carré moins 81 moins deux fois 𝑥 au carré moins 81 est égal à zéro. Nous pouvons résoudre cette équation pour trouver 𝑥 pour déterminer les zéros de 𝑓. Nous pouvons voir immédiatement que tous les termes du membre de gauche ont un facteur commun de 𝑥 au carré moins 81. Nous pouvons donc factoriser le membre de gauche avec ce terme. Cela nous donne 𝑥 moins deux fois 𝑥 au carré moins 81 est égal à zéro.

Maintenant, remarquez que 81 est un nombre carré, neuf au carré. Donc, dans ce deuxième terme, nous avons une différence de deux carrés. Lorsque nous avons une expression de la forme 𝑎 au carré moins 𝑏 au carré, nous pouvons la factoriser pour donner 𝑎 moins 𝑏 fois 𝑎 plus 𝑏. Dans notre cas, cela signifie que nous pouvons factoriser 𝑥 au carré moins 81 pour donner 𝑥 moins neuf fois 𝑥 plus neuf. Nous avons maintenant un produit des termes binomiaux, linéaires en 𝑥. Nous ne pouvons donc pas factoriser davantage. Ceci est un produit de trois termes, qui est égal à zéro. Par conséquent, au moins un des termes doit lui-même être égal à zéro. Par conséquent, soit 𝑥 moins deux est égal à zéro, soit 𝑥 moins neuf est égal à zéro, ou 𝑥 plus neuf est égal à zéro.

Nous pouvons résoudre la première équation en ajoutant deux des deux membres pour donner 𝑥 égal à deux, la deuxième équation en ajoutant neuf aux deux membres pour donner 𝑥 égale neuf, et la troisième équation en soustrayant neuf des deux membres pour donner 𝑥 égal à moins neuf. Par conséquent, l’ensemble des zéros de 𝑓 est moins neuf, deux et neuf.

Dans l’exemple suivant, nous déterminerons la valeur d’une constante en utilisant l’ensemble des zéros de deux fonctions polynomiales.

La fonction 𝑓 de 𝑥 égale 𝑎 au carré 𝑥 au carré plus 54𝑥 plus 81 et la fonction 𝑔 de 𝑥 égale 𝑎𝑥 plus neuf ont le même ensemble de zéros. Trouvez 𝑎 et l’ensemble des zéros.

Pour trouver les zéros d’une fonction, nous mettons la fonction égale à zéro. Pour 𝑓, nous avons 𝑎 au carré 𝑥 au carré plus 54𝑥 plus 81 est égal à zéro. Et pour 𝑔, nous avons 𝑎𝑥 plus neuf est égal à zéro. Nous avons deux équations et deux inconnues. Une façon de résoudre ces équations simultanées est de réorganiser une équation pour exprimer une inconnue par rapport à l’autre, puis de la remplacer dans la deuxième équation.

Nous pouvons choisir l’équation linéaire la plus simple à réorganiser pour donner 𝑥 en fonction de 𝑎. En soustrayant neuf et en divisant par 𝑎, nous avons 𝑥 égale moins neuf sur 𝑎. Cela suppose que 𝑎 est différent de zéro, puisque nous ne pouvons pas diviser par zéro. Cependant, si 𝑎 était égal à zéro, l’équation originale n’aurait aucune solution, puisque nous avons neuf est égal à zéro, ce qui est bien sûr faux pour toute valeur de 𝑥. La substitution de cette expression de 𝑥 dans l’équation pour 𝑓 de 𝑥 nous donne 𝑎 au carré fois moins neuf sur 𝑎 le tout au carré plus 54 fois moins neuf sur 𝑎 plus 81 est égal à zéro. Elever au carré et développer les parenthèses donne 𝑎 au carré fois 81 sur 𝑎 au carré moins 486 sur 𝑎 plus 81 est égal à zéro.

Le facteur 𝑎 au carré se simplifiera avec le 𝑎 au carré au dénominateur, laissant 81 moins 486 sur 𝑎 plus 81 égale zéro, ce qui simplifiera en moins 486 sur 𝑎 plus 162 égale zéro. Nous pouvons réorganiser pour isoler 𝑎 en soustrayant 162, en divisant par moins 486, et en prenant l’inverse, ce qui donne 𝑎 est égal à moins 486 sur moins 162, ce qui est égal à trois. Nous avons donc la première partie de notre réponse : la valeur de 𝑎 est trois.

La substitution de cette valeur de 𝑎 dans l’équation réarrangée de 𝑔 nous donne 𝑥 est égal à moins neuf sur trois, ce qui est égal à moins trois. Puisque 𝑔 est une fonction linéaire, elle a au plus un zéro. Donc, cette valeur de 𝑥 doit être le seul zéro pour 𝑓 et 𝑔. Par conséquent, l’ensemble complet des zéros de 𝑓 et 𝑔 est moins trois.

Il convient de noter que la fonction 𝑓, une fonction du second degré, pourrait avoir jusqu’à deux zéros. Cependant, l’exigence selon laquelle elle partage des zéros avec 𝑔 et que toutes deux, 𝑓 de 𝑥 est égal à zéro et 𝑔 de 𝑥 est égal à zéro garantit qu’elle n’en a qu’un. En effet, la valeur de 𝑎 pour ces conditions est trois. La substitution de cette valeur dans l’équation de 𝑓 nous donne neuf 𝑥 au carré plus 54𝑥 plus 81 est égal à zéro. Chaque terme de cette équation est divisible par neuf. Donc, nous pouvons diviser par neuf pour donner 𝑥 au carré plus six 𝑥 plus neuf est égal à zéro. Cela peut être factorisé en deux binômes, avec 𝑥 plus trois fois 𝑥 plus trois. Nous avons donc une racine répétée de moins trois, ce qui nous donne la même réponse qu’avant.

Dans le dernier exemple, nous utiliserons la méthode de factorisation par groupement pour déterminer l’ensemble des zéros d’un polynôme cubique.

Trouvez l’ensemble des zéros de la fonction 𝑓 de 𝑥 est égal à 𝑥 au cube moins quatre 𝑥 au carré moins 25𝑥 plus 100 est égal à zéro, où les trois zéros prennent des valeurs entières.

Pour trouver les zéros d’une fonction, nous mettons la fonction égale à zéro. Nous avons donc 𝑥 au cube moins quatre 𝑥 au carré moins 25𝑥 plus 100 est égal à zéro. On nous donne que les trois zéros de la fonction prennent des valeurs entières. Nous pouvons donc être en mesure de factoriser le polynôme via la méthode de factorisation par groupement. Dans les deux premiers termes, nous avons un facteur commun de 𝑥 au carré, que nous pouvons factoriser avec 𝑥 moins quatre. Nous avons également un facteur commun de moins 25 dans les deux derniers termes. Et cela se factorise également avec le terme 𝑥 moins quatre. Par conséquent, nous avons un facteur commun de 𝑥 moins quatre entre les deux premiers termes et les deux derniers termes. On peut donc factoriser le polynôme pour donner 𝑥 moins quatre fois 𝑥 au carré moins 25. 25 est un nombre carré, cinq au carré. Donc, dans ce deuxième terme, nous avons une différence de deux carrés.

Rappelons que lorsque nous avons une expression sous la forme 𝑎 au carré moins 𝑏 au carré, elle peut être factorisée comme 𝑎 moins 𝑏 fois 𝑎 plus 𝑏. On peut donc factoriser 𝑥 au carré moins 25 comme 𝑥 moins cinq fois 𝑥 plus cinq. Nous avons maintenant un produit de trois binômes linéaires en 𝑥. Nous ne pouvons donc pas factoriser davantage. Puisque nous avons un produit de trois termes égal à zéro, au moins l’un d’entre eux doit être égal à zéro lui-même. Par conséquent, 𝑥 moins quatre est égal à zéro, 𝑥 moins cinq est égal à zéro, ou 𝑥 plus cinq est égal à zéro. Et nous pouvons résoudre ces trois équations pour trouver 𝑥 pour donner 𝑥 égale quatre, 𝑥 égale cinq et 𝑥 égale moins cinq. Par conséquent, l’ensemble des zéros de 𝑓 est moins cinq, quatre et cinq.

Terminons cette vidéo en résumant quelques points clés. Les zéros ou racines d’un polynôme 𝑓 de 𝑥 sont les valeurs 𝑥 égale 𝑎 telle que 𝑓 de 𝑎 égale zéro. Si 𝑥 moins 𝑎 est un facteur du polynôme 𝑓 de 𝑥, alors 𝑎 est un zéro de 𝑓. Autrement dit, 𝑓 de 𝑎 est égal à zéro. De même, l’affirmation inverse est vraie. Si 𝑓 de 𝑎 est égal à zéro, alors le binôme 𝑥 moins 𝑎 est un facteur du polynôme 𝑓 de 𝑥. Nous pouvons vérifier que 𝑥 est égal à 𝑎 est un zéro d’un polynôme donné 𝑓 de 𝑥 en vérifiant que 𝑓 de 𝑎 est égal à zéro. Il existe de nombreuses techniques que nous pouvons utiliser pour nous aider à déterminer les racines des polynômes, notamment la formule des racines du polynôme du second degré, la factorisation par groupement et la différence de deux carrés.