Transcription de la vidéo
Simplifiez la fonction d’expression 𝑛 de 𝑥 égal à l’expression fractionnaire 𝑥 moins sept sur 𝑥 au carré moins trois 𝑥 moins 28 moins l’expression fractionnaire 𝑥 moins sept divisé par sept moins 𝑥 et déterminez son ensemble de définition.
Après avoir recopié l’expression de la fonction, la première chose que nous allons faire est de voir si nous pouvons factoriser ce dénominateur, 𝑥 au carré moins trois 𝑥 moins 28. Faisons-le ! Pouvons-nous factoriser 𝑥 au carré moins trois 𝑥 moins 28 ? Puisque le coefficient du terme de plus haut degré est égal à un, nous savons que 𝑥 sera le premier terme de chacun des deux facteurs. Maintenant, j’ai besoin de deux facteurs de 28 dont le produit est égal à moins 28 et dont la somme est égale à moins trois.
Pour commencer, un et 28. Ensuite, nous avons deux et 14. Trois n’est pas un facteur. Nous avons ensuite quatre et sept. Je vois que la différence entre sept et quatre est égale à trois. Ainsi, si je prends moins sept et plus quatre et que je les additionne, je vais obtenir moins trois. Et si nous multiplions ensemble quatre et moins sept, nous obtenons moins 28. Ainsi, ce seront les seconds termes de nos deux facteurs ci-dessus.
Nous prenons ces deux facteurs et nous les plaçons au dénominateur pour simplifier la fonction. À partir de là, arrêtons-nous un moment pour parler de la recherche de l’ensemble de définition. L’ensemble de définition est l’ensemble de tous les antécédents 𝑥 qui ont une image 𝑦. Lorsque nous travaillons avec une expression fractionnaire dont le dénominateur est l’expression d’une fonction, nous devons faire attention à nous rappeler que notre dénominateur ne peut pas être égal à zéro.
Cela signifie que 𝑥 plus quatre ne peut pas être égal à zéro ; 𝑥 moins sept ne peut pas être égal à zéro ; et sept moins 𝑥 ne peut pas être égal à zéro. Ce que nous devons faire pour déterminer l’ensemble de définition, c’est de trouver les valeurs de 𝑥 telles que 𝑥 plus quatre égal zéro et 𝑥 moins sept égal zéro. Nous devons donc ici déterminer 𝑥. Pour ce faire, je peux soustraire quatre à chaque membre de l’équation et je trouve ainsi que 𝑥 ne peut pas être égal à moins quatre.
Pour résoudre 𝑥 moins sept égal zéro, nous ajoutons sept aux deux membres et nous concluons que 𝑥 ne peut pas être égal à sept. Faisons la même chose avec l’équation sept moins 𝑥 égal zéro. Nous pouvons commencer par soustraire sept aux deux membres. Nous voyons que moins 𝑥 ne peut pas être égal à moins sept, puis nous multiplions les deux membres de l’équation par moins un et nous concluons que 𝑥 ne peut pas être égal à sept. Ce que nous pouvons dire de notre ensemble de définition, c’est qu’il contient tous les nombres réels à l’exception des nombres moins quatre et sept.
Nous écrivons donc que c’est l’ensemble de tous les réels moins l’ensemble constitué des nombres moins quatre et sept. Bien, revenons maintenant à la simplification de cette fonction. Ce que nous pouvons voir dans l’un de nos termes, c’est que nous avons 𝑥 moins sept aussi bien au numérateur qu’au dénominateur. Ces valeurs vont se simplifier ; en effet 𝑥 moins sept sur 𝑥 moins sept est égal à un. Cela nous donnera un sur 𝑥 plus quatre. Maintenant, je regarde ce second terme et je me demande quoi faire. 𝑥 moins sept sur sept moins 𝑥. Pouvons-nous simplifier ceci ?
À l’aide de ce symbole de soustraction, nous pouvons simplifier 𝑥 moins sept sur sept moins 𝑥. Voici ce que nous ferons. Au lieu de dire moins ici, nous dirons plus moins une fois 𝑥 moins sept. Ce que vous devez comprendre ici est que nous n’avons pas du tout changé la valeur de ce terme. Nous avons simplement changé la manière de l’écrire. Au lieu d’utiliser la soustraction, nous avons utilisé l’addition et nous multiplierons maintenant par moins un.
Je vais multiplier 𝑥 par moins un, ce qui me donne moins 𝑥. Ensuite, je multiplierai moins un par moins sept, ce qui me donne plus sept. Faites descendre le dénominateur. Si nous regardons de près l’expression moins 𝑥 plus sept, nous voyons que nous pouvons en fait changer l’ordre. En effet, au lieu de dire moins 𝑥 plus sept, on peut dire sept moins 𝑥 sur sept moins 𝑥. D’accord, descendez maintenant le un sur 𝑥 plus quatre.
Et si nous faisons un peu d’espace et que nous recopions sept moins 𝑥 sur sept moins 𝑥, voyez-vous que cela vaut un ? Ainsi, nous allons additionner un sur 𝑥 plus quatre et un. Mais pour additionner des expressions fractionnaires, nous devons avoir un dénominateur commun. Je vais donc écrire un comme 𝑥 plus quatre sur 𝑥 plus quatre. C’est toujours égal à un, mais nous pouvons maintenant additionner ces deux termes ensemble. Lorsque nous additionnons des expressions fractionnaires ayant un dénominateur commun, nous additionnons leurs numérateurs, un plus 𝑥 plus quatre et le dénominateur restera le même soit 𝑥 plus quatre.
Nous pouvons additionner ensemble le un et le quatre. Un plus quatre est égal à cinq et notre dénominateur reste le même c’est à dire 𝑥 plus quatre. La fonction d’expression 𝑛 de 𝑥 pourrait être simplifiée par 𝑥 plus cinq sur 𝑥 plus quatre et son ensemble de définition est l’ensemble de tous les nombres réels moins l’ensemble constitué des éléments moins quatre et sept.
