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Déterminez la valeur de cosinus 𝑥 plus sinus 𝑥 au carré plus cosinus 𝑥 moins sinus 𝑥 au carré.
A première vue, nous pourrions ne pas savoir quoi faire pour répondre à la question. Nous allons donc simplement commencer par distribuer chaque paire de parenthèses. Nous allons donc écrire cosinus 𝑥 plus sinus 𝑥 au carré comme cosinus 𝑥 plus sinus 𝑥 fois cosinus 𝑥 plus sinus 𝑥.
Nous multiplions le premier terme de chaque expression. Cosinus 𝑥 fois cosinus 𝑥 donne cosinus carré 𝑥. Nous multiplions ensuite les termes externes. Nous obtenons cosinus 𝑥 sinus 𝑥. Nous multiplions les termes intérieurs pour nous donner un autre cosinus 𝑥 sinus 𝑥. Enfin, nous multiplions les deux derniers termes. Nous obtenons sinus carré 𝑥.
Nous pouvons simplifier cosinus 𝑥 sinus 𝑥 plus cosinus 𝑥 sinus 𝑥 à deux cosinus 𝑥 sinus 𝑥. Bien sûr, nous savons que l’identité de Pythagore nous dit que cosinus carré 𝑥 plus sinus carré 𝑥 est égal à un. Nous trouvons donc que cosinus 𝑥 plus sinus 𝑥 le tout au carré est égal à deux cosinus 𝑥 sinus 𝑥 plus un.
Répétons ce processus pour cosinus 𝑥 moins sinus 𝑥 au carré, en l’écrivant d’abord sous la forme cosinus 𝑥 moins sinus 𝑥 fois cosinus 𝑥 moins sinus 𝑥. En distribuant ces parenthèses, nous obtenons cosinus carré 𝑥 moins cosinus 𝑥 sinus 𝑥 moins cosinus 𝑥 sinus 𝑥 plus sin carré 𝑥. Nous rassemblons les termes similaires et nous obtenons moins deux cosinus 𝑥 sinus 𝑥. Encore une fois, nous utilisons l’identité pythagoricienne disant que cosinus carré 𝑥 plus sinus carré 𝑥 est égal à un. Nous pouvons utiliser ces deux expressions et nous pouvons écrire que cosinus 𝑥 plus sinus 𝑥 au carré plus cosinus 𝑥 moins sinus 𝑥 au carré est égal à deux cosinus 𝑥 sinus 𝑥 plus un plus moins deux cosinus 𝑥 sinus 𝑥 plus un.
Maintenant, bien sûr, l’addition est commutative. Elle peut être effectuée dans n’importe quel ordre. Nous n’avons donc pas besoin de ces parenthèses. Ensuite, nous voyons que deux cosinus 𝑥 sinus 𝑥 plus moins deux cosinus 𝑥 sinus 𝑥 est nul. Puis, un plus un donne deux. Nous avons donc trouvé que la valeur de cosinus 𝑥 plus sinus 𝑥 au carré plus cosinus 𝑥 moins sinus 𝑥 au carré était égale à deux.
