Video Transcript
Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment utiliser les identités de Pythagore pour déterminer les valeurs des fonctions trigonométriques. Nous allons commencer par rappeler quelques formules et définitions clés.
Nous savons que les fonctions trigonométriques sont périodiques et ont un nombre infini de solutions. Cependant, dans cette vidéo, nous allons nous focaliser sur les solutions entre zéro et 360 degrés en utilisant le diagramme CAST. Les axes des 𝑥 et des 𝑦 créent quatre quadrants comme indiqué. Le quadrant un a des valeurs de 𝑥 et 𝑦 positives; le quadrant deux a des valeurs de 𝑥 négatives et des valeurs de 𝑦 positives; le quadrant trois, 𝑥 négatif et 𝑦 négatif; et le quadrant quatre, 𝑥 positif et 𝑦 négatif.
Lorsqu’on traite des fonctions trigonométriques, on mesure les angles dans le sens antihoraire à partir de l’axe des 𝑥 positif. Cela signifie que le quadrant un contient des angles entre zéro et 90 degrés; le quadrant deux, entre 90 et 180 degrés; et ainsi de suite. On peut étiqueter les quadrants avec l’acronyme CAST comme indiqué. Dans le quadrant un, marqué A, le sin de l’angle 𝜃, le cos de l’angle 𝜃 et le tan de l’angle 𝜃 sont tous positifs. Dans le quadrant deux, le sin de l’angle 𝜃 est positif. Cependant, le cos de l’angle 𝜃 et la tan de l’angle 𝜃 sont négatifs. Dans le quadrant trois, lorsque 𝜃 est compris entre 180 et 270 degrés, le tan de 𝜃 est positif, tandis que le sin de 𝜃 et le cos de 𝜃 sont négatifs. Enfin, dans le quadrant quatre, le cos de 𝜃 est positif et sin et tan de 𝜃 sont négatifs.
Dans cette vidéo, nous allons également rappeler les trois identités trigonométriques inverses. La cosec de l’angle 𝜃 est égal à un sur le sin de l’angle 𝜃. La sec de l’angle 𝜃 est égale à un sur le cos de l’angle 𝜃. Et la cot de l’angle 𝜃 est égal à un sur le tan de l’angle 𝜃. Si les fonctions sin 𝜃, cos 𝜃 et tan 𝜃 sont positives ou négatives, alors leurs inverses seront également positifs ou négatifs. Cela signifie que les six fonctions sont positives dans le premier quadrant. Dans le deuxième quadrant, entre 90 et 180 degrés, le sin de 𝜃 et la cosec de 𝜃 seront positifs, alors que les quatre autres fonctions seront négatives. Ce schéma continue dans les quadrants trois et quatre.
Dans les prochaines questions de cette vidéo, nous allons utiliser ces informations pour décider si nos réponses sont positives ou négatives.
Nous allons maintenant considérer les trois identités de Pythagore. Tout d’abord, on a sin carré de 𝜃 plus cos carré de 𝜃 est égal à un. La deuxième identité est tan carré de 𝜃 plus un est égal à sec carré de 𝜃. Bien que nous n’ayons pas besoin de prouver ces identités dans cette vidéo, on peut passer de la première identité à la deuxième en divisant chaque terme par cos carré de 𝜃. sin carré de 𝜃 divisé par cos carré de 𝜃 est égal à tan carré de 𝜃, étant donné que sin 𝜃 sur cos 𝜃 est égal à tan 𝜃. Lorsqu’on divise cos carré de 𝜃 par cos carré de 𝜃 on obtient un. Des identités trigonométriques, nous savons que un divisé par cos carré de 𝜃 est égal à sec carré de 𝜃. La troisième identité de Pythagore est un plus cot carré de 𝜃 est égal à cosec carré de 𝜃. On peut obtenir cela en divisant chaque terme de la première identité par sin carré de 𝜃.
sin carré de 𝜃 divisé par sin carré de 𝜃 est égal à un. cos carré de 𝜃 divisé par sin carré de 𝜃 est égal à un sur tan carré de 𝜃. Et cela est égal à cot carré de 𝜃. Enfin, un divisé par sin carré de 𝜃 est égal à cosec carré de 𝜃. Nous allons maintenant utiliser ces trois identités avec le diagramme CAST pour résoudre certaines équations trigonométriques.
Évaluez cos 𝜃 sachant que sin 𝜃 est égal à moins trois cinquièmes, où 𝜃 est supérieur ou égal à 270 degrés et inférieur à 360 degrés.
Il existe de nombreuses façons à résoudre ce problème. Dans cette vidéo, nous allons utiliser l’identité de Pythagore sin carré de 𝜃 plus cos carré de 𝜃 est égal à un. Avant de substituer notre valeur de sin 𝜃, il convient de noter que 𝜃 doit être supérieur ou égal à 270 degrés et inférieur à 360 degrés. De nos connaissances du diagramme CAST, cela signifie que 𝜃 doit se situer dans le quatrième quadrant. Dans ce quadrant, le cos de l’angle 𝜃 est positif, alors que sin de 𝜃 et tan de 𝜃 sont négatifs. Cela est en accord avec le fait que sin 𝜃 est égale moins trois cinquièmes. Nous savons que notre réponse pour cos 𝜃 doit être positive.
Nous pouvons maintenant substituer la valeur de sin 𝜃 dans notre identité de Pythagore. Cela nous donne moins trois cinquièmes au carré plus cos carré de 𝜃 égale un. Le carré d’un nombre négatif est un nombre positif. Par conséquent, moins trois cinquièmes au carré est égal à neuf sur vingt-cinq. On peut ensuite soustraire cela des deux côtés de notre équation. cos carré de 𝜃 est égal à 16 sur 25 ou seize vingt-cinquièmes. Lorsqu’on applique la racine carrée des deux côtés de cette équation, on voit que cos de 𝜃 est égal à plus ou moins racine carrée de 16 sur 25. Lorsqu’on applique la racine carrée d’une fraction, on applique simplement la racine carrée au numérateur et au dénominateur séparément. La racine carrée de 16 est quatre, et la racine carrée de 25 est cinq. Puisque le cos de 𝜃 doit être positif, nous pouvons conclure que le cos de 𝜃 est quatre cinquièmes.
Dans la prochaine question, on doit évaluer la fonction sinus étant donné la fonction cosinus et le quadrant d’un angle.
Déterminez la valeur de sin 𝜃 sachant que cos de 𝜃 est égal à moins 21 sur 29, où 𝜃 est supérieur à 90 degrés et inférieur à 180 degrés.
Pour répondre à cette question, nous allons utiliser l’identité de Pythagore sin carré de 𝜃 plus cos carré de 𝜃 égale un. On nous dit que 𝜃 est compris entre 90 et 180 degrés, il est donc utile de considérer le diagramme CAST. L’angle se situe dans le deuxième quadrant, ce qui signifie que le sin de l’angle 𝜃 doit être positif. Le cos de l’angle 𝜃 et la tan de l’angle 𝜃 doivent être négatifs. Cela correspond au fait qu’on nous dit que le cos de 𝜃 est égal à moins 21 sur 29. Cela nous aide également dans le sens où nous savons que la réponse de sin 𝜃 doit être positive.
Nous pouvons substituer la valeur de cos 𝜃 dans l’identité de Pythagore. Le carré de moins 21 sur 29 est 441 sur 841. Nous pouvons alors soustraire cela des deux côtés de notre équation de sorte que sin carré de 𝜃 soit égal à un moins 441 sur 841. Le côté droit devient 400 sur 841. Nous pouvons alors appliquer la racine carrée des deux côtés de notre équation de sorte que sin de 𝜃 soit égal à plus ou moins la racine carrée de 400 sur 841.
Lorsqu’on applique la racine carrée, le numérateur devient 20 et le dénominateur devient 29. Sachant que le sin de 𝜃 doit être positif, si cos de 𝜃 est moins 21 sur 29 et 𝜃 est compris entre 90 et 180 degrés, alors sin de 𝜃 est égal à 20 sur 29.
Dans notre prochaine question, nous allons utiliser les identités de Pythagore pour évaluer une expression.
Déterminez la valeur de sin 𝜃 cos 𝜃 sachant que sin 𝜃 plus cos 𝜃 est égal à cinq quarts.
Pour résoudre ce problème, nous allons rappeler les identités de Pythagore. Nous allons commencer par l’équation sin 𝜃 plus cos 𝜃 égale cinq sur quatre. Nous pouvons mettre les deux côtés de cette équation au carré. Le côté gauche devient sin 𝜃 plus cos 𝜃 multiplié par sin 𝜃 plus cos 𝜃. Le côté droit est égal à 25 sur 16, car on calcule simplement le carré du numérateur et du dénominateur séparément.
Lorsqu’on développe les parenthèses ou en utilisant la double distributivité, on obtient sin carré de 𝜃 plus sin 𝜃 cos 𝜃 plus sin 𝜃 cos 𝜃 plus cos carré de 𝜃. Nous pouvons regrouper ou collecter les termes du milieu. sin carré de 𝜃 plus deux sin 𝜃 cos 𝜃 plus cos carré de 𝜃 est égal à 25 sur 16. L’une des identités de Pythagore indique que sin carré de 𝜃 plus cos carré de 𝜃 est égal à un. Cela signifie qu’on peut réécrire le côté gauche de notre équation et avoir deux sin 𝜃 cos 𝜃 plus un. On peut ensuite soustraire un des deux côtés de cette équation. 25 sur 16 moins un est égal à neuf sur 16.
On divise ensuite les deux côtés de cette nouvelle équation par deux, ce qui nous donne sin 𝜃 cos 𝜃 est égal à neuf sur 32. Si sin 𝜃 plus cos 𝜃 est égal à cinq sur quatre, alors sin 𝜃 multiplié par cos 𝜃 est égal à neuf sur 32.
Dans notre dernière question, nous allons utiliser une autre identité de Pythagore.
Évaluez la sec de 𝜃 moins la tan de 𝜃 si la sec de 𝜃 plus la tan de 𝜃 est égal à moins 14 sur 27.
Nous rappelons que la différence de deux carrés indique que 𝑥 au carré moins 𝑦 au carré est égal à 𝑥 plus 𝑦 multiplié par 𝑥 moins 𝑦. Cela signifie que sec 𝜃 plus tan 𝜃 multiplié par sec 𝜃 moins tan 𝜃 est égal à sec carré de 𝜃 moins tan carré de 𝜃. La question nous donne la valeur de sec 𝜃 plus tan 𝜃. C’est égal à moins 14 sur 27. Et nous devons calculer la valeur de sec 𝜃 moins tan 𝜃.
Une des identités de Pythagore indique que tan carré de 𝜃 plus un est égal à sec carré de 𝜃. Si on soustrait tan carré de 𝜃 des deux côtés de cette équation, on a sec carré de 𝜃 moins tan carré de 𝜃 est égal à un. Cela est l’équivalent du côté droit de notre équation. Moins 14 sur 27 multiplié par sec 𝜃 moins tan 𝜃 est égal à un. On peut ensuite diviser les deux côtés de cette équation par moins 14 sur 27. Nous savons que diviser par une fraction revient à multiplier par la l’inverse de cette fraction. Par conséquent, le côté droit est égal à un multiplié par moins 27 sur 14.
Si sec de 𝜃 plus tan de 𝜃 est égal à moins 14 sur 27, alors sec de 𝜃 moins tan de 𝜃 est égal à moins 27 sur 14. Ces valeurs sont les réciproques l’une de l’autre.
Nous allons maintenant résumer les points clés de cette vidéo. Les trois identités de Pythagore sont les suivantes. sin carré de 𝜃 plus cos carré de 𝜃 est égal à un. tan carré de 𝜃 plus un est égal à sec carré de 𝜃. Un plus cot carré de 𝜃 est égal à cosec carré de 𝜃. Nous avons vu dans cette vidéo qu’on peut utiliser ces identités pour évaluer des fonctions trigonométriques. Lorsqu’on résout une équation trigonométrique, il est également important de rappeler quelles fonctions sont positives et négatives dans chaque quadrant. Une façon de le faire est d’utiliser le diagramme CAST comme indiqué.
