Lesson Explainer: Évaluer des fonctions trigonométriques en utilisant les identités de Pythagore
Mathématiques • First Year of Secondary School
Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à utiliser les identités de Pythagore pour déterminer les valeurs des fonctions trigonométriques.
Ces valeurs de fonctions trigonométriques sont souvent trouvées grâce à l’application d’une ou plusieurs identités de Pythagore, qui relient les différentes fonctions trigonométriques et ses inverses.
Les identités trigonométriques ont plusieurs applications concrètes dans divers domaines tels que la physique, l’ingénierie, l’architecture, la robotique, la théorie de musique, la navigation et bien d’autres exemples. En physique, elles peuvent être utilisées dans le mouvement de projectiles, la modélisation de la mécanique des ondes électromagnétiques, l’analyse des courants alternatifs et continus et la détermination de la trajectoire d’un corps autour d’un corps massif sous la force de la gravité.
Commençons par rappeler les fonctions trigonométriques, dont nous examinerons les identités de Pythagore. On considère un triangle rectangle:
Les fonctions trigonométriques peuvent être exprimées en fonction du rapport des longueurs des côtés du triangle comme suit
Ces fonctions satisfont l’identité trigonométrique suivante:
On note que ces rapports trigonométriques sont définis pour des angles aigus, , et les fonctions trigonométriques sont définies sur le cercle unité pour toute valeur de .
Supposons qu’un point se déplace le long du cercle trigonométrique dans le sens antihoraire. En un point du cercle trigonométrique avec l’angle , la fonction sinus est définie comme et la fonction cosinus est donnée par , comme illustré dans la figure ci-dessus. En d’autres termes, les fonctions trigonométriques sont définies en utilisant les coordonnées du point d’intersection du cercle trigonométrique avec le côté terminal de à la position standard.
Les équations trigonométriques inverses sont définies à partir des équations trigonométriques standards comme suit.
Définition : Fonctions trigonométriques inverses
Les fonctions cosécante, sécante et cotangente sont définies comme suit:
Énonçons également les identités de Pythagore, que nous allons explorer dans cette fiche explicative.
Définition : Identités de Pythagore pour les fonctions trigonométriques
Les identités de Pythagore pour les équations trigonométriques sont données par
On note qu’à partir de l’identité de Pythagore , on peut retrouver les autres identités. Particulièrement, en divisant par , on a
De même, en divisant par , on peut obtenir une identité liant et :
Ce qui signifie que nous ne devons pas mémoriser les trois identités de Pythagore, car toutes les autres identités se retrouvent en utilisant seulement la formule élémentaire impliquant les fonctions sinus et cosinus.
Déterminons la valeur d’une expression particulière en appliquant uniquement une identité. Cela signifie que les valeurs seront toujours les mêmes, quel que soit l’angle ou la valeur de la fonction trigonométrique à cet angle.
Exemple 1: Appliquer les identités de Pythagore pour évaluer certaines expressions
Déterminez la valeur de .
Réponse
Dans cet exemple, nous allons trouver la valeur d’une expression trigonométrique en appliquant une identité de Pythagore.
Puisque l’exemple utilise les fonctions sinus et cosinus, on rappelle l’identité de Pythagore
Si on développe l’expression donnée et on applique cette identité, on obtient
La fonction sinus est équivalente à la fonction cosinus par une translation de à gauche, qui peut être observée en comparant les graphes des deux fonctions.
En particulier, nous avons les règles suivantes pour le calcul des angles et :
On peut également illustrer ceci graphiquement sur le cercle trigonométrique comme suit:
De manière similaire, en remplaçant par , on obtient les identités de cofonction suivantes pour les angles complémentaires et :
Nous pouvons illustrer ceci comme suit:
La figure représente le triangle rectangle avec l’angle dans la position standard, qui coupe le cercle unité en et son angle est aigu, .
Nous pouvons utiliser ces identités de cofonctions avec les identités de Pythagore pour simplifier les expressions trigonométriques. Par exemple, si on a l’expression ces identités peuvent être combinées afin d’exprimer d’autres identités mêlant d’autres fonctions trigonométriques faisant intervenir les fonctions sinus et cosinus.
Les fonctions trigonométriques satisfont les identités de cofonctions pour tout dans leurs domaines de définition. En particulier, on a
Nous pouvons construire des identités de cofonctions pour d’autres fonctions trigonométriques en les reliant aux identités impliquant sinus et cosinus. Par exemple, pour la fonction tangente, on a
Toutes ces identités tiennent aussi en radians, en particulier, en remplaçant en degrés par en radians.
Maintenant, examinons un exemple où cette identité est utilisée avec la fonction sinus afin de simplifier une expression trigonométrique donnée, avec une identité de Pythagore.
Exemple 2: Simplifier des expressions trigonométriques à l’aide des identités de cofonction et de Pythagore
Simplifiez .
Réponse
Dans cet exemple, nous allons trouver la valeur d’une expression trigonométrique en appliquant une identité de Pythagore et une identité de cofonction.
Comme cet exemple implique la fonction sinus, nous rappelons l’identité de Pythagore et l’identité de cofonction
En utilisant cette identité de cofonction pour l’expression donnée et en appliquant l’identité de Pythagore, on obtient
Nous pouvons déterminer la valeur d’une expression trigonométrique à partir de la valeur d’une fonction trigonométrique. Dans l’exemple suivant, nous allons déterminer la valeur d’une expression en utilisant les informations sur les longueurs d’un triangle rectangle.
Exemple 3: Évaluer les identités de Pythagore pour des angles dans des triangles rectangles
Trouvez , sachant que est un triangle rectangle en , où et .
Réponse
Dans cet exemple, notre objectif est de calculer la valeur d’une expression trigonométrique particulière à l’aide des informations sur les longueurs d’un triangle rectangle (afin de déterminer la valeur d’une fonction trigonométrique particulière) et en appliquant des identités de Pythagore.
Nous pouvons trouver la valeur de l’expression désirée en utilisant deux méthodes différentes. Premièrement, en utilisant les identités de Pythagore, et deuxièmement, en utilisant le théorème de Pythagore. Commençons par la première méthode qui vise à déterminer cette valeur en utilisant les identités de Pythagore.
Méthode 1
Comme cet exemple comprend la fonction tangente, on rappelle l’identité de Pythagore
Par definition, la fonction sécante est
Le côté est opposé à l’angle et le côté est l’hypoténuse du triangle rectangle. Ainsi, on peut calculer le sinus de cet angle en prenant le rapport de ces longueurs. On a
Par l’identité de Pythagore et la définition de la fonction sécante,
Déterminons d’abord le dénominateur du membre droit de cette expression, qui dépend de la valeur de , alors que l’on sait la valeur de . Puisqu’il s’agit des fonctions sinus et cosinus, on rappelle l’identité de Pythagore reliant ces deux valeurs: qu’on peut exprimer encore comme et où on peut remplacer la valeur donnée de la fonction sinus afin d’obtenir
Ainsi, pour l’expression donnée, on a
Méthode 2
On pourrait aussi procéder autrement en appliquant le théorème de Pythagore pour évaluer la longueur du côté adjacent du triangle rectangle afin de calculer la valeur de , donnée par le rapport entre la longueur du côté opposé et celle du côté adjacent. Par le théorème de Pythagore pour le triangle rectangle, on a
Ainsi, on a . Maintenant, nous pouvons déterminer la tangente de l’angle donné par le rapport du côté opposé par le côté adjacent :
On note que c’est la même valeur que celle du rapport du sinus et le cosinus de l’angle, car implique que , puisque est un angle aigu, et donc
Maintenant, élevons au carré cette valeur et ajoutons 1 pour trouver la valeur de l’expression requise:
Dans l’exemple suivant, nous allons déterminer la valeur du carré d’une fonction trigonométrique, , à partir de la valeur donnée du carré d’une autre fonction trigonométrique, , en utilisant les identités de Pythagore.
Exemple 4: Utiliser les identités de Pythagore pour évaluer une fonction trigonométrique
Déterminez la valeur de sachant que .
Réponse
Dans cet exemple, nous allons déterminer la valeur du carré d’une fonction trigonométrique à partir de la valeur du carré d’une autre fonction trigonométrique.
Comme cet exemple comprend des fonctions cotangentes et cosécantes, on rappelle l’identité de Pythagore
Ainsi, si on isole et on remplace , on obtient
Nous pouvons aussi déterminer la valeur d’une expression trigonométrique à partir de celle d’une autre expression, sans réellement mettre en évidence les valeurs des fonctions, seulement par application de l’identité de Pythagore. Considérons un exemple pour illustrer ce propos.
Exemple 5: Utiliser des identités de Pythagore pour évaluer une expression trigonométrique
Déterminez la valeur de sachant que .
Réponse
Dans cet exemple, nous allons trouver la valeur d’une expression trigonométrique donnée à partir de la valeur d’une autre expression.
Comme cet exemple comprend des fonctions sinus et cosinus, nous allons rappeler l’identité de Pythagore
Étant donné que l’identité de Pythagore comprend des carrés de fonctions sinus et cosinus, il est logique de commencer par élever au carré les deux membres de l’équation. Si on prend le carré de l’expression donnée , que l’on développe et que l’on applique cette identité, on trouve
Maintenant, déterminons la valeur d’une autre expression trigonométrique, cette fois-ci en utilisant plusieurs identités de Pythagore et la définition des fonctions trigonométriques inverses.
Exemple 6: Évaluer des expressions trigonométriques sachant des équations trigonométriques
Déterminez la valeur de sachant que .
Réponse
Dans cet exemple, nous allons trouver la valeur d’une expression trigonométrique particulière donnée à partir de la valeur d’une autre expression.
Nous pouvons déterminer la valeur de l’expression donnée de deux manières différentes:en utilisant les identités de Pythagore, et d’autre part, en élevant au carré l’équation donnée et en simplifiant l’équation obtenue. Commençons par la méthode des identités de Pythagore.
Méthode 1
Comme cet exemple comprend des fonctions tangentes et cotangentes, on rappelle les identités de Pythagore
Notons que les fonctions cosécante, sécante et cotangente sont définies comme suit:
Le membre à gauche de l’expression trigonométrique donnée peut être écrit comme suit
Étant donné que le membre à gauche de cette expression comprend les fonctions sinus et cosinus, on rappelle l’identité de Pythagore qui peut être utilisée pour simplifier le numérateur de l’expression
Ainsi, l’expression donnée est équivalente à
Maintenant, pour l’expression dont on cherche la valeur, on peut appliquer les identités de Pythagore pour obtenir
Méthode 2
Notons que nous pouvons également trouver cette valeur sans utiliser les identités de Pythagore, seulement en élevant au carré l’expression donnée, , et en utilisant la définition de la fonction cotangente:
Ainsi, on obtient la valeur comme suit
Jusqu’à présent, les exemples que nous avons traités visaient à déterminer la valeur d’une expression trigonométrique en appliquant les identités de Pythagore. Pour certains exemples, nous avons également utilisé des valeurs connues d’une fonction trigonométrique ou d’une autre expression. Mais comment faire si on veut déterminer la valeur d’une fonction trigonométrique à partir de la valeur d’une autre expression trigonométrique?Dans certains cas, on aura besoin de savoir dans quel quadrant l’angle se situe car les signes des fonctions trigonométriques peuvent être différents pour chaque quadrant.
Les identités de Pythagore comprennent des carrés de valeurs de fonctions trigonométriques, par suite, nous aurons besoin de prendre la racine carrée pour obtenir la valeur d’une autre fonction trigonométrique, qui peut être positive ou négative. Le signe des fonctions trigonométriques dépendra du quadrant que nous considérons. Le diagramme CAST nous aide à se rappeler des signes des fonctions trigonométriques pour chaque quadrant.
Rappelons le diagramme CAST.
Règle : Le diagramme CAST
Dans le premier quadrant, toutes les fonctions trigonométriques sont positives.
Dans le deuxième quadrant, la fonction sinus est positive.
Dans le troisième quadrant, la fonction tangente est positive.
Dans le quatrième quadrant, la fonction cosinus est positive.
Les identités de Pythagore nous permettent de déterminer la valeur d’une fonction trigonométrique, par exemple , à partir de la valeur d’une autre fonction trigonométrique, . De la première identité de Pythagore, , on obtient
La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants et négative dans les deuxième et troisième quadrants. En d’autres termes, la valeur de la fonction cosinus dépendra de la valeur de et à quel quadrant l’angle appartient.
Maintenant, considérons un exemple où nous déterminons la valeur de la fonction cosinus à partir de celle donnée du sinus dans un quadrant spécifique, en utilisant l’identité de Pythagore.
Exemple 7: Utiliser la valeur du sinus pour trouver le cosinus d’un angle
Trouvez sachant que , où .
Réponse
Dans cet exemple, nous allons déterminer la valeur d’une fonction trigonométrique spécifique à partir de la valeur d’une autre fonction, dans un quadrant spécifique.
Étant donné que cet exemple comprend des fonctions sinus et cosinus, on rappelle l’identité de Pythagore
Si on remplace et que l’on réarrange, on trouve
Comme , cela correspond au quatrième quadrant. On en déduit du diagramme CAST que le signe de la fonction cosinus est positif. Ainsi, en prenant le signe positif,
En fait, on peut écrire les valeurs de l’autre fonction trigonométrique en fonction de et en utilisant la valeur de la fonction cosinus, qui découle des autres identités de Pythagore ou de la définition des fonctions faisant intervenir les fonctions sinus et cosinus. Par exemple, pour la fonction tangente, on a
Le signe de chaque fonction trigonométrique dépendra du signe de et du quadrant auquel l’angle appartient.
Dans l’exemple suivant, nous allons déterminer la valeur de la fonction tangente à partir de la valeur donnée de la fonction sinus dans un quadrant spécifique, en utilisant l’identité de Pythagore.
Exemple 8: Utiliser l’identité de Pythagore pour déterminer la valeur d’une fonction trigonométrique sachant une autre fonction et le quadrant de l’angle.
Sachant que et , trouvez .
Réponse
Dans cet exemple, nous allons déterminer la valeur d’une fonction trigonométrique spécifique à partir de la valeur d’une autre fonction, dans un quadrant spécifique.
Étant donné que cet exemple comprend des fonctions sinus et cosinus, on rappelle l’identité de Pythagore
On note que, par définition de la fonction tangente, on a
Déterminons d’abord le dénominateur de cette expression. En réarrangeant l’identité de Pythagore et en prenant la racine carrée, on obtient
Comme , qui est le deuxième quadrant, la fonction cosinus est négative, par suite, on prend la racine negative:
En remplaçant la valeur donnée , on obtient
Ainsi, pour la fonction tangente, on a
Maintenant, considérons un exemple où nous allons déterminer la valeur de la fonction sécante à partir d’une expression trigonométrique donnée dans le premier quadrant, où toutes les fonctions trigonométriques sont positives, en utilisant une identité de Pythagore.
Exemple 9: Utiliser les identités de Pythagore pour évaluer une fonction trigonométrique en un angle
Déterminez la valeur de sachant que , où .
Réponse
Dans cet exemple, nous allons déterminer la valeur d’une fonction trigonométrique spécifique à partir de la valeur d’une expression trigonométrique donnée, dans un quadrant spécifique.
Étant donné que cet exemple comprend les fonctions tangentes et sécantes, on rappelle l’identité de Pythagore
On peut aussi réécrire cette identité comme . En utilisant l’identité remarquable de la différence des carrés, , on peut réécrire cette identité sous la forme
Si on remplace l’expression donnée, , nous avons
Maintenant, on peut remplacer afin d’éliminer de l’expression et on résout l’équation où l’inconnue est :
Au lieu de déterminer la valeur d’une fonction trigonométrique spécifique, nous pouvons déterminer la valeur d’une expression particulière à partir d’une valeur ou d’une expression donnée.
Maintenant, considérons un exemple où nous allons déterminer la valeur d’une expression à partir d’une valeur donnée dans le troisième quadrant.
Exemple 10: Utiliser les identités de Pythagore pour évaluer une expression trigonométrique à partir d’une fonction trigonométrique et du quadrant d’un angle
Déterminez la valeur de sachant que et que .
Réponse
Dans cet exemple, nous allons déterminer la valeur d’une expression trigonométrique à partir de la valeur d’une fonction trigonométrique. Nous allons d’abord déterminer la valeur des fonctions sinus et cosinus, séparément, puis on va prendre le produit pour trouver la valeur de l’expression donnée.
On note que les fonctions cosécante et cotangente sont définies comme suit
Pour l’expression donnée, nous pouvons les remplacer et utiliser l’identité de Pythagore pour obtenir une expression en fonction de comme suit
Étant donné que le membre de droite comprend une fonction cosinus et qu’on a la valeur de la fonction sinus, nous utiliserons l’identité de Pythagore: par consequent, nous obtenons
Maintenant, on peut remplacer la valeur donnée, , pour obtenir
Finalement, considérons un exemple où nous allons trouver la valeur d’une expression trigonométrique à partir d’une valeur donnée de la fonction tangente dans le troisième et quatrième quadrant en déterminant d’abord la valeur des fonctions sinus et cosinus et en les remplaçant dans l’expression donnée.
Exemple 11: Utiliser les identités de Pythagore pour évaluer une expression trigonométrique
Déterminez la valeur de sachant que , où .
Réponse
Dans cet exemple, nous allons trouver la valeur d’une expression trigonométrique particulière à partir de la valeur d’une fonction trigonométrique. Nous allons d’abord déterminer la valeur des fonctions sinus et cosinus, séparément, puis prendre le produit pour trouver la valeur de l’expression donnée.
On peut écrire l’expression donnée, , comme étant une valeur de la fonction tangente:
D’après le diagramme CAST, on rappelle que la fonction tangente est positive dans le troisième quadrant et négative dans le quatrième quadrant. Étant donné que la fonction tangente prend une valeur négative et que l’angle se situe soit dans le troisième ou le quatrième quadrant, correspondant à , l’angle doit se situer dans le quatrième quadrant.
Comme nous connaissons la valeur de la fonction tangente, nous pouvons déterminer la valeur de la fonction cosinus à partir de l’identité de Pythagore comprenant les fonctions tangente et sécante: avec la définition de la fonction sécante en fonction de la fonction cosinus
On peut réarranger cette identité de Pythagore pour isoler comme suit
Comme l’angle se situe dans le quatrième quadrant, d’après le diagramme CAST, la fonction cosinus est positive, donc la fonction sécante est positive dans le quatrième quadrant. En remplaçant la valeur de la fonction tangente dans l’expression donnée, nous avons
On peut aussi obtenir la valeur de la fonction cosinus en prenant l’inverse de celle-ci pour obtenir
Maintenant, comme la valeur de la fonction cosinus est connue, nous pouvons déterminer celle de la fonction sinus en utilisant l’identité de Pythagore
Nous pouvons réarranger cette identité, comprenant les fonctions sinus et cosinus, pour isoler :
Comme la fonction sinus est négative dans le quatrième quadrant, nous obtenons
Maintenant, nous pouvons déterminer la valeur de l’expression trigonométrique en remplaçant les valeurs de sinus et cosinus:
Terminons par résumer quelques points clés de cette fiche explicative.
Points Clés
Les identités de Pythagore sont données par
Le cercle trigonométrique nous permet de déterminer les identités d’angles corrélés pour le sinus et le cosinus.
Par exemple, les identités de cofonction (en radians) sont Les identités correspondantes pour les fonctions trigonométriques tangentes et inverses sont trouvées en utilisant leurs définitions à partir des fonctions sinus et cosinus.
Parfois, il est nécessaire d’appliquer plus d’une identité de Pythagore, ou un type d’identité, pour simplifier une expression trigonométrique.
Les identités de Pythagore ne donnent que la valeur absolue d’une fonction trigonométrique. Nous devons utiliser le diagramme CAST pour déterminer le signe d’une fonction trigonométrique dans un quadrant.
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