Transcription de la vidéo
Si la force 𝐹, où 𝐹 égale moins deux 𝑖 plus 𝐿 𝑗 moins neuf 𝑘, agit en le point 𝐴 - quatre, cinq, moins deux - et si le moment 𝑀 indice B de la force par rapport au point 𝐵 - moins quatre, moins quatre, trois - est moins 91𝑖 plus 82𝑗 plus deux 𝑘, alors déterminez la valeur de 𝐿.
Etant donnée la force 𝐹 ainsi que les coordonnées des points 𝐴 et 𝐵 et aussi étant donné le moment 𝑀 indice 𝐵 de la force autour du point 𝐵, nous voulons calculer la valeur de 𝐿 donnée dans l’équation en 𝐹. Nous allons commencer par dessiner les points 𝐴 et 𝐵 sur un repère d’axes coordonnés.
Avec nos directions 𝑖, 𝑗 et 𝑘 indiquées, nous pouvons localiser les points 𝐴 et 𝐵 sur ce graphique. Le point 𝐴 a les coordonnées 𝑖 égale quatre, 𝑗 égale cinq et 𝑘 égale moins deux. Et le point 𝐵 a des coordonnées 𝑖 égal moins quatre, 𝑗 égal moins quatre et 𝑘 est égal trois. La force 𝐹 agit au point 𝐴. Nous ne sommes pas tout à fait sûr de la direction parce que nous ne savons pas sa composante 𝑗.
Si nous relions les points 𝐴 et 𝐵 par un vecteur, nous pouvons appeler ce vecteur 𝑅. C’est le vecteur de distance entre le point 𝐴, le point d’application de la force et le point 𝐵 où notre moment est mesuré. En se basant sur notre schéma, nous pouvons dire que 𝑅 est égal à 𝐴 moins 𝐵. Et quand nous remplaçons par les coordonnées de ces deux points et nous calculons 𝑅, nous trouvons que c’est un vecteur avec les composantes huit 𝑖, neuf 𝑗 et moins cinq 𝑘.
Alors, nous allons noter 𝑅, 𝐹 et 𝑀 𝐵 sur le côté afin que nous puissions commencer à calculer 𝐿. Maintenant que nous connaissons le vecteur de déplacement 𝑅, la force 𝐹 et le moment autour du point 𝐵, 𝑀 𝐵, nous devons rappeler que ce moment est égal au produit vectoriel de 𝑅 et 𝐹. Ce produit vectoriel est égal au déterminant de cette matrice, avec nos vecteurs unitaires écrits suivis des composantes de nos deux vecteurs.
Lorsque nous appliquons cette relation à notre cas, nous voyons que c’est la composante 𝐹 𝑗 que nous voulons calculer. Si nous savons cela, alors nous saurons 𝐿. Nous pouvons déterminer 𝐹 𝑗 ou 𝐿 en nous concentrant soit sur la composante 𝑖, soit sur la composante 𝑘 de 𝑀 𝐵. Juste pour choisir l’une de ces deux façons, concentrons-nous sur la composante 𝑖 et laissez-nous conduire à la valeur de 𝐿.
La 𝑖-ème composante du moment, que nous pouvons appeler 𝑀 𝐵𝑖, est égale à 𝑅 𝑗 fois 𝐹 𝑘 moins 𝑅 𝑘 fois 𝐹 𝑗. Et nous pouvons remplacer 𝐹 𝑗 par 𝐿 parce que c’est ce qu’elle est. Maintenant, la i-ème composante de 𝑀 𝐵 est moins 91. C’est égal à la 𝑗-ème composante de 𝑅, qui est plus neuf, fois la 𝑘-ème composante de 𝐹, qui est moins neuf, moins la 𝑘-ème composante de 𝑅, moins cinq, multiplié par 𝐿.
Moins neuf fois neuf est moins 81. Et l’ajout de 81 des deux côtés nous donne l’expression moins 10 égal cinq 𝐿, ou 𝐿 égal moins deux. C’est la valeur de la 𝑗-ème composante de 𝐹.
