Vidéo de la leçon: Moments en 3D Mathématiques

Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à interpréter et calculer des moments en 3D. Plus précisément, nous allons apprendre à représenter un moment à l’aide d’un vecteur et à calculer la norme, la direction et le sens d’un moment en utilisant le produit vectoriel.

Commençons par rappeler ce qu’est un moment. On peut généralement considérer qu’un moment est une force de rotation ou de torsion. Par exemple, si on tourne un boulon à l’aide d’une clé à molette, on peut dire qu’on exerce un moment sur le boulon. On définit toujours un moment par rapport à un point de l’espace. Et on dit qu’un moment s’exerce par rapport à ce point. Par exemple, si on appliquait une force 𝐹 sur l’extrémité de la clé, alors il serait possible de calculer le moment par rapport au centre du boulon. Et la norme de ce moment décrirait l’importance de l’effet de rotation.

Dans des systèmes en deux dimensions comme celui-ci, on calcule généralement le moment en multipliant la force par la distance. Plus précisément, on multiplie la norme de la force appliquée, ici 𝐹, par la distance entre la ligne d’action de la force et le point par rapport auquel on calcule le moment. Donc, dans cet exemple, si on veut calculer le moment par rapport au centre du boulon, et si la force s’exerce selon la droite pointillée, alors la distance utilisée dans notre calcul est la distance orthogonale entre cette droite pointillée et le centre du boulon. Ici, cela correspond à la distance entre le centre du boulon et le point d’application de la force.

En multipliant ces deux quantités, on obtient la norme du moment par rapport au centre du boulon. Il faut également noter le sens de la rotation produite par le moment: ici, la force s’exerce de façon à faire tourner le boulon dans le sens antihoraire. Tout ceci fonctionne très bien en deux dimensions. Mais dans un système en trois dimensions, parler de sens horaire ou antihoraire n’est pas très pertinent. On doit plutôt s’assurer de définir exactement le sens du moment. On y parvient en représentant le moment à l’aide d’un vecteur.

Pour comprendre comment, revenons à notre exemple de la clé à molette qui tourne un boulon. Mais cette fois-ci, tout ne se passe pas dans le plan de notre écran, mais dans un espace en 3D.

Ainsi, la tête du boulon se situe à l’origine d’un repère en 3D. L’axe des 𝑥 pointe vers la droite, l’axe des 𝑦 pointe vers le haut et l’axe des 𝑧 pointe vers nous. Le manche de la clé est aligné avec l’axe des 𝑥. Imaginons à présent que le vecteur de la force qui s’exerce sur le manche pointe à l’opposé de nous. Donc, il est orthogonal à l’axe des 𝑥 et colinéaire à l’axe des 𝑧. Intéressons-nous au moment que cette force produit par rapport au centre de la tête du boulon.

Notons ici que si l’on regardait le système du dessus, c’est-à-dire en direction du côté négatif de l’axe des 𝑦, on verrait que la force produit un moment antihoraire. Mais si l’on regardait le système du dessous, en direction du côté positif de l’axe des 𝑦, on verrait que la force produit un moment dans le sens horaire. Cela montre bien la limite des termes sens horaire et sens antihoraire dans un système en 3D. Au lieu d’utiliser ces termes, on peut définir l’orientation exacte du moment produit en le représentant par un vecteur.

Ici, on peut représenter le moment produit par la force 𝐅 par rapport au centre du boulon par un vecteur aligné avec l’axe des 𝑦 et pointant dans son sens positif. Notons-le 𝐌, puisqu’il représente un moment. Sans surprise, la norme de ce vecteur correspond à la norme du moment. Ainsi, plus le moment qui s’exerce par rapport au centre du boulon est grand, plus la flèche du vecteur est longue. Mais il est un peu moins évident d’interpréter sa direction et son sens. Car après tout, on se représente un moment comme une quantité de rotation. Et dans notre cas, la rotation se produit dans le plan défini par l’axe des 𝑥 et l’axe des 𝑧. Donc, il peut sembler étrange que le vecteur moment pointe vers le haut.

Il est important de noter que la direction et le sens du vecteur moment ne correspondent pas à la direction et au sens de l’action physique du moment. En fait, le vecteur moment a la même direction que l’axe de rotation. Et pour visualiser la relation qui existe entre le sens de rotation et le sens du vecteur moment, on peut utiliser la règle de la main droite. Si on referme le poing de notre main droite et qu’on tend le pouce dans le sens du vecteur moment, alors l’enroulement des autres doigts indique le sens de la rotation produite par le moment.

Dans notre exemple, le sens du vecteur moment 𝐌 indique que la force fait tourner la clé à molette dans ce sens. On a vu comment interpréter un vecteur moment. Mais comment le calculer ? Dans les problèmes en deux dimensions, on utilise souvent l’équation 𝑀 égale 𝐹 fois 𝑑. C’est-à-dire que la norme du moment est égale à la norme de la force multipliée par la distance entre le point par rapport auquel on calcule le moment et la ligne d’action de la force.

Pour les problèmes en 3D, on utilise une version vectorielle de cette équation. Donc, au lieu de calculer uniquement la norme d’un moment 𝑀, on veut maintenant calculer un vecteur moment. De même, au lieu d’utiliser la norme d’une force dans notre calcul, on utilise maintenant un vecteur force. Comme on l’a déjà dit, 𝑑 représente la distance entre la ligne d’action de la force et le point par rapport auquel on calcule le moment. On peut considérer la version vectorielle de cette quantité comme le vecteur déplacement entre le point par rapport auquel on calcule le moment, que l’on note 𝐴, et le point d’application de la force, que l’on note 𝐵. Quant à ce vecteur qui nous amène de 𝐴 à 𝐵, on peut simplement le noter 𝐑.

En multipliant le vecteur force par ce vecteur 𝐑, on obtient le vecteur moment 𝐌. On peut donc voir que cette équation vectorielle en 3D est similaire à l’équation que l’on utilise dans les problèmes en deux dimensions. Il ne faut cependant pas oublier que multiplier des vecteurs est plus compliqué que multiplier des nombres. En particulier, pour trouver le vecteur moment 𝐌, on doit déterminer le produit vectoriel du vecteur déplacement 𝐑 et du vecteur force 𝐅. Ici, il est important de noter que le produit vectoriel de 𝐑 et 𝐅 n’est pas équivalent au produit vectoriel de 𝐅 et 𝐑. Si on change l’ordre de ces deux vecteurs, on obtient un résultat différent. Il est donc important de toujours multiplier ces deux vecteurs dans le bon ordre.

Le produit vectoriel de 𝐑 et 𝐅 est donné par le déterminant de cette matrice trois trois. Les éléments de la première ligne de cette matrice sont 𝐢 chapeau, 𝐣 chapeau et 𝐤 chapeau. Ce sont les vecteurs unitaires de l’axe des 𝑥, des 𝑦 et des 𝑧, respectivement. Dans la deuxième ligne de cette matrice, on a 𝐑 𝑥, 𝐑 𝑦 et 𝐑 𝑧, qui sont les coordonnées 𝑥, 𝑦 et 𝑧 du vecteur déplacement 𝐑. Enfin, dans la troisième ligne de cette matrice, on a 𝐅 𝑥, 𝐅 𝑦 et 𝐅 𝑧, qui sont les coordonnées 𝑥, 𝑦 et 𝑧, respectivement, du vecteur force 𝐅.

Nous verrons plus précisément comment calculer le déterminant d’une matrice trois trois comme celle-ci dans le prochain exemple. Mais pour l’instant, notons simplement que le calcul de ce déterminant nous donne un vecteur moment en trois dimensions. Il se compose donc de trois composantes : 𝐌 𝑥 fois 𝐢 chapeau, 𝐌 𝑦 fois 𝐣 chapeau et 𝐌 𝑧 fois 𝐤 chapeau. Donc 𝐌 𝑥 nous donne la composante selon l’axe des 𝑥, 𝐌 𝑦 la composante selon l’axe des 𝑦 et 𝐌 𝑧 la composante selon l’axe des 𝑧. La somme de toutes ces composantes est égale au vecteur 𝐌.

On peut se représenter chacune des composantes d’un vecteur moment comme la quantité de force de rotation autour d’un axe pointant dans une certaine direction. Par exemple, la composante 𝑥 de notre vecteur moment décrit la composante du moment qui ferait tourner un objet autour d’un axe parallèle à l’axe des 𝑥. En observant notre diagramme, on peut voir que dans cet exemple, le vecteur moment produit a exactement la même direction que l’axe des 𝑦. On en déduit que l’axe de la rotation produite par ce moment est parallèle à l’axe des 𝑦.

On peut aussi voir que bien que le vecteur force 𝐅 s’exerce dans la direction de l’axe des 𝑧 et le vecteur déplacement 𝐑 dans la direction de l’axe des 𝑥, les composantes 𝑥 et 𝑧 du vecteur moment sont nulles. Cela s’explique par le fait que le produit vectoriel de deux vecteurs est toujours orthogonal à ces deux vecteurs.

Maintenant que l’on a vu comment interpréter et calculer un vecteur moment, passons à un exemple.

Soit une force 𝐅 égale à six 𝐢 moins sept 𝐣 moins huit 𝐤 s’exerçant en un point 𝐴, de coordonnées cinq, moins huit, 11. Déterminez la norme de la composante du moment de 𝐅 selon l’axe des 𝑦.

On peut commencer par dessiner un diagramme de la situation. On nous dit que la coordonnée 𝑥 du point 𝐴 est égale à cinq, sa coordonnée 𝑦 à huit et sa coordonnée 𝑧 à 11. Donc, il est à peu près ici. On nous dit qu’un vecteur force 𝐅 égal à six 𝐢 moins sept 𝐣 moins huit 𝐤 s’exerce en ce point. Donc, on peut représenter ce vecteur force sur notre diagramme par une flèche comme celle-ci. Et il nous est demandé de déterminer la norme de la composante du moment de 𝐅 selon l’axe des 𝑦. Décomposons la question pour voir comment y répondre étape par étape.

Tout d’abord, on peut rappeler qu’un moment, c’est-à-dire une force de rotation, peut être représenté par un vecteur. On peut généralement noter ce vecteur 𝐌. On peut déterminer ce vecteur 𝐌 en calculant le produit vectoriel du vecteur position du point d’application de la force relativement au point par rapport auquel on calcule le moment, et du vecteur force. Donc, calculer ce produit vectoriel nous donne le moment produit par la force 𝐅. Ou autrement dit, cela nous donne le moment de 𝐅.

Lorsqu’on calcule le produit vectoriel de deux vecteurs en trois dimensions, comme 𝐑 et 𝐅, le résultat est un vecteur ayant le même nombre de dimensions. Cela signifie qu’en calculant le vecteur moment 𝐌, on obtiendra un vecteur en trois dimensions. Les trois composantes de ce vecteur peuvent s’écrire 𝐌 𝑥 fois 𝐢 chapeau plus 𝐌 𝑦 fois 𝐣 chapeau plus 𝐌 𝑧 fois 𝐤 chapeau. Chacun de ces termes est l’une des composantes du moment.

On peut voir dans l’énoncé qu’on nous demande la norme de l’une des composantes. Et plus précisément, de la composante selon l’axe des 𝑦. Pour comprendre ce que cela signifie, on peut rappeler qu’un vecteur moment a la même direction que l’axe de la rotation produite par ce moment. Cela signifie que la composante 𝑥 d’un vecteur moment décrit la composante de ce moment qui produit une rotation autour d’un axe parallèle à l’axe des 𝑥. La composante 𝑦 du vecteur moment décrit la composante de ce moment qui produit une rotation autour d’un axe parallèle à l’axe des 𝑧. Et la composante 𝑧 de ce moment décrit la composante du moment qui produit une rotation autour d’un axe parallèle à l’axe des 𝑧.

Ainsi, si on calcule un moment par rapport à l’origine, la composante 𝑥 du vecteur moment décrit la composante du moment qui produit une rotation autour de l’axe des 𝑥 lui-même. De la même manière, la composante 𝑦 de ce vecteur moment, qui est celle qui nous intéresse ici, décrit la composante du moment qui produit une rotation autour de l’axe des 𝑦.

Enfin, seule la norme de cette composante nous est demandée, donc on doit simplement donner sa longueur et on n’a pas besoin de l’écrire sous forme de vecteur. Cette partie est assez triviale. Si la composante 𝑦 est 𝐌 𝑦 fois 𝐣 chapeau, alors le vecteur unitaire 𝐣 chapeau nous donne seulement la direction de la composante. Il s’agit de la direction de l’axe des 𝑦. Et la norme de la composante est simplement donnée par la valeur absolue de 𝐌 𝑦. Donc, pour trouver ce qu’on nous demande, on doit calculer le moment produit par la force 𝐅 par rapport à l’origine. Et pour cela, on doit calculer le produit vectoriel de ces deux vecteurs.

On rappelle que le vecteur 𝐑 est le vecteur position du point où s’exerce la force, ici noté 𝐴, relativement au point par rapport auquel on calcule le moment. Ici, il s’agit de l’origine. Donc, le vecteur 𝐑 est le vecteur position qui va de l’origine au point 𝐴. Cela signifie que 𝐑, écrit comme la somme de ses composantes, est donné par les coordonnées du point 𝐴 multipliées par les vecteurs unitaires respectifs. Ainsi, on peut dire que 𝐑 est égal à cinq fois 𝐢 chapeau moins huit fois 𝐣 chapeau plus 11 fois 𝐤 chapeau.

Pour obtenir le produit vectoriel de 𝐑 et 𝐅, on doit calculer le déterminant de cette matrice trois trois, où les éléments de la première ligne sont nos trois vecteurs de base. Les éléments de la deuxième ligne de la matrice sont les trois coordonnées du premier vecteur du produit vectoriel. Ici, il s’agit de 𝐑. Et les éléments de la troisième ligne sont les coordonnées du second vecteur du produit vectoriel, ici, le vecteur 𝐅. Notez bien que l’ordre des vecteurs 𝐑 et 𝐅 est important ici. Le produit vectoriel de 𝐑 et 𝐅 n’est pas le même que le produit vectoriel de 𝐅 et 𝐑.

Le calcul du déterminant de cette matrice se fait en trois étapes. Tout d’abord, on a le vecteur unitaire 𝐢 chapeau multiplié par 𝐑 𝑦 fois 𝐹 𝑧 moins 𝐑 𝑧 fois 𝐅 𝑦. Ensuite, on soustrait le vecteur unitaire 𝐣 chapeau multiplié par 𝐑 𝑥 fois 𝐅 𝑧 moins 𝐑 𝑧 fois 𝐅 𝑥. Et enfin, on a le vecteur unitaire 𝐤 chapeau multiplié par 𝐑 𝑥 fois 𝐅 𝑦 moins 𝐑 𝑦 fois 𝐅 𝑥. Ces trois termes sont les composantes 𝑥, 𝑦 et 𝑧 du vecteur moment 𝐌. Cependant, comme nous n’avons besoin que de la norme de la composante selon l’axe des 𝑦 de ce vecteur moment, seul le deuxième terme nous intéresse. La norme de cette composante est donnée par la valeur absolue de moins 𝐑 𝑥 fois 𝐅 𝑧 moins 𝐑 𝑧 fois 𝐅 𝑥.

𝐑 𝑥 est la coordonnée 𝑥 du vecteur déplacement 𝐑. Ici, elle est égale à cinq. Et 𝐅 𝑧 est coordonée 𝑧 du vecteur force 𝐹. Elle est égale moins huit. 𝐑 𝑧 est la coordonnée 𝑧 de 𝐑, qui est égale à 11. Et 𝐅 𝑥 est la coordonnée 𝑥 de 𝐅, qui est égale à six. Au total, cela nous donne moins cinq fois moins huit moins 11 fois six. Cinq fois moins huit font moins 40 et 11 fois six font 66. Moins 40 moins 66 est égal à moins 106. Mais comme il y a un signe moins devant la parenthèse, cela nous donne une réponse finale de 106. Comme aucune unité de mesure n’est précisée dans l’énoncé pour la force ou le déplacement, on peut simplement dire que notre réponse finale est 106 unités de moment.

Récapitulons à présent les points clé de cette vidéo. Tout d’abord, nous avons vu qu’un moment peut être représenté par un vecteur en trois dimensions 𝐌 de même direction que l’axe de rotation du moment. Mathématiquement, le moment par rapport à un point 𝐴 produit par une force 𝐅 s’exerçant en un point 𝐵 est donné par le produit vectoriel de 𝐑 et 𝐅, où 𝐑 est le vecteur position du point 𝐵 par rapport au point 𝐴. On peut aussi utiliser la règle de la main droite pour mémoriser la relation entre le sens du vecteur moment et le sens de rotation. Si on referme le poing de notre main droite et qu’on tend le pouce dans le sens du vecteur moment, alors l’enroulement des autres doigts indique le sens de la rotation produite par le moment.