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Fiche explicative de la leçon : Moment d'une force par rapport à un point en 3D Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment déterminer le moment des forces agissant sur un corps par rapport à un point en 3D.

Une force, ou un système de forces, agissant sur un corps peut avoir un effet de rotation sur ce corps. Cet effet de rotation est décrit par le moment de la force (ou du système de forces). Vous connaissez peut-être déjà le moment d’une force défini comme un scalaire par le produit de l’intensité de la force et de la distance perpendiculaire entre la ligne d’action de la force et le point par rapport auquel le moment est calculé:𝑀=𝐹𝑑.

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre que le moment d’une force est proprement défini comme un vecteur.

Le moment de la force dépend du point sur le corps par rapport auquel il est calculé. La direction du vecteur moment indique le sens de rotation autour de ce point que la force aurait générée et sa norme indique l’intensité de l’effet de rotation de la force.

Voyons d’abord comment le vecteur moment est défini.

Définition : Moment d’une force

Le moment de la force 𝐹 agissant sur un corps, calculé par rapport au point 𝑂, est donné par 𝑀=𝑟×𝐹,𝑟 est le vecteur position de 𝐴, le point d’application de la force 𝐹.

Dans cette définition, on voit que le repère a été choisi de telle manière que son origine coïncide avec le point par rapport auquel on calcule le moment. Si on souhaite calculer le moment de la force 𝐹 par rapport à un point 𝑃 qui n’est pas l’origine, on doit simplement remplacer 𝑟 par 𝑃𝐴:𝑀=𝑃𝐴×𝐹.

La lettre 𝑃 est ajoutée en indice à 𝑀 pour indiquer que le moment est calculé par rapport au point 𝑃.

Les propriétés du produit vectoriel permettent de conclure d’abord que 𝑀 est un vecteur orthogonal au plan défini par 𝑟 et 𝐹. La direction de 𝑀 est donnée par la règle de la main droite. Cette règle est parfois expliquée en se référant à la rotation d’une vis:le sens du vecteur 𝐴×𝐵 correspond au sens du mouvement (haut ou bas) d’un bouchon de bouteille ou d’un écrou que l’on tournerait dans le même sens de rotation que celui de 𝐴 à 𝐵, comme illustré sur le schéma suivant.

Cette référence à la rotation est logique quand on parle du moment d’une force. Si on prend le schéma utilisé dans la définition ci-dessus et que l’on imagine maintenant le mouvement d’une barre fixée en 𝑂 et soumise à une seule force 𝐹 en 𝐴. Il convient de noter que pour des raisons de simplicité, le repère est choisi ici de telle manière que 𝑟 et 𝐹 sont dans le plan 𝑥𝑦, donc 𝑀 est parallèle à l’axe des 𝑧.

On voit que la barre va tourner dans le sens horaire, des aiguilles d’une montre, jusqu’à ce qu’elle soit alignée avec 𝐹, c’est-à-dire lorsque 𝐹 n’aura plus d’effet de rotation sur la barre, ce qui est en effet décrit par un moment nul (le produit vectoriel de deux vecteurs parallèles étant en effet nul). Cette rotation dans le sens horaire correspond à la rotation du vecteur 𝑟 vers le vecteur 𝐹.

En utilisant la règle de la main droite comme expliqué ci-dessus, cela signifie que le moment de 𝐹 par rapport à 𝑂 pointe vers le bas. En d’autres termes, sa seule composante, qui est le long de l’axe des 𝑧, est négative car l’axe des 𝑧 positifs pointe vers le haut. On rappelle que dans un repère cartésien en trois dimensions, l’ensemble de vecteurs unitaires 𝑖;𝑗;𝑘 vérifie 𝑘=𝑖×𝑗.

La norme du moment est donnée par 𝑀=𝑟𝐹|𝜃|,sin𝜃 est l’angle entre 𝑟 et 𝐹. On a utilisé les symboles de valeur absolue autour de sin𝜃 ici parce que sin𝜃 peut être négatif si on utilise des angles orientés, comme c’est le cas pour la rotation dans le sens horaire décrite ci-dessus, où 𝜃 est alors un angle négatif. Si on utilise des angles géométriques, alors 0𝜃180, et donc sin𝜃0.

On va maintenant voir pourquoi cette façon de définir la norme de 𝑀 est équivalente à celle que vous avez peut-être déjà apprise, à savoir 𝑀=𝐹𝑑𝑑 est la distance perpendiculaire entre la ligne d’action de 𝐹 et le point par rapport auquel le moment est calculé.

En prenant l’exemple précédent de la barre, on peut tracer un cercle de centre 𝐴 et de rayon 𝑟. On peut le considérer comme un cercle trigonométrique mis à l’échelle par un facteur 𝑟 et pivoté de telle sorte que l’axe des 𝑥 associé au cercle est dans le même sens que 𝐹. La composante du vecteur 𝑟 sur l’axe des 𝑦 associé au cercle trigonométrique est le segment 𝐴𝑌 dont la longueur est alors 𝑟|𝜃|sin. Si on considère maintenant le segment 𝑂𝐶 (notez que les triangles 𝐴𝐵𝑌 et 𝑂𝐴𝐶 sont superposables), on voit que cette longueur est aussi égale à la distance perpendiculaire entre la ligne d’action de 𝐹 et 𝑂.

Pour montrer que la distance perpendiculaire entre la ligne d’action de 𝐹 et 𝑂 est égale à 𝑟|𝜃|sin, on peut aussi utiliser la propriété selon laquelle deux angles supplémentaires ont le même sinus ((180𝛼)=𝛼)sinsin. Comme 𝑂𝐴𝐶=180𝜃 (ici, 𝜃 est un angle géométrique), on a sinsin𝑂𝐴𝐶=𝜃. Dans le triangle 𝑂𝐴𝐶, on a 𝑂𝐶=𝑟𝑂𝐴𝐶=𝑟𝜃.sinsin

Ce résultat signifie que pour calculer la norme du moment, on peut prendre n’importe quel angle entre la ligne d’action de 𝐹 et la droite 𝑂𝐴 et le résultat sera le même.

Comme indiqué ci-dessus, la norme du moment d’une force indique l’intensité de l’effet de rotation de la force. On peut connecter l’équation 𝑀=𝐹𝑑 à un effet que l’on a tous rencontré dans la vie quotidienne:l’effet de rotation d’une force augmente si la force est appliquée plus loin du pivot, le point autour duquel l’objet tourne. C’est le principe de fonctionnement d’un levier.

La méthode pour calculer le produit vectoriel de deux vecteurs à partir de leurs composantes peut être appliquée pour calculer le moment d’une force. Si la force 𝐹 et le vecteur position du point d’application de la force 𝐹 sont définis dans le repère 𝑂;𝑖;𝑗;𝑘 par 𝐹=𝐹𝑖+𝐹𝑗+𝐹𝑘 et 𝑟=𝑟𝑖+𝑟𝑗+𝑟𝑘, le moment de 𝐹 par rapport au point 𝑂 est donné par 𝑀=𝑟×𝐹=|||||𝑖𝑗𝑘𝑟𝑟𝑟𝐹𝐹𝐹|||||=𝑟𝐹𝑟𝐹𝑖(𝑟𝐹𝑟𝐹)𝑗+𝑟𝐹𝑟𝐹𝑘.

Étudions un exemple où nous devons déterminer un vecteur moment en 3 dimensions.

Exemple 1: Déterminer le moment d’une force par rapport à un point en trois dimensions

Une force d’intensité 6 N agit sur 𝐶 et est représentée par un vecteur dans un plan perpendiculaire à l’axe des 𝑦 comme indiqué sur la figure. Déterminez son vecteur moment par rapport à 𝐴 en newton centimètres.

Réponse

Pour répondre à cette question, on va d’abord déterminer les composantes du vecteur 𝐴𝐶 allant du point par rapport auquel le moment est calculé au point d’application de la force, et les composantes de la force 𝐹 agissant sur 𝐶.

D’après la figure, on trouve 𝐴(0;0;16) et 𝐶(0;16;8), avec 1 cm est la longueur unitaire du repère. Par conséquent, 𝐴𝐶=(00)𝑖+(160)𝑗+(8(16))𝑘𝐴𝐶=16𝑗+24𝑘.cm

L’intensité de la force 𝐹 est 6 N. On trace 𝐹 sur un plan perpendiculaire à l’axe des 𝑦, c’est-à-dire dans un plan parallèle au plan 𝑥𝑧. On doit être prudent avec l’orientation de l’axe des 𝑥 lorsque l’on travaille en trois dimensions!On a représenté ici le plan en le regardant de gauche à droite sur le schéma donné, c’est-à-dire tel que le vecteur unitaire 𝑗 pointe vers le bas par rapport à l’écran.

La force 𝐹 se situe dans un plan perpendiculaire à l’axe des 𝑦, par conséquent, 𝐹=0. D’après la figure, on voit que 𝐹=𝐹30=𝐹2,𝐹=𝐹30=3𝐹2.sincos

Comme 𝐹=6, on a 𝐹=3𝑖33𝑘.N

On peut maintenant calculer le moment de 𝐹 par rapport à 𝐴 comme suit:𝑀=𝐴𝐶×𝐹=|||||𝑖𝑗𝑘𝐴𝐶𝐴𝐶𝐴𝐶𝐹𝐹𝐹|||||𝑀=|||||𝑖𝑗𝑘016243033|||||𝑀=1633024𝑖033324𝑗+(00316)𝑘,𝑀=483𝑖+72𝑗48𝑘.Ncm

Étudions maintenant un exemple où plusieurs forces agissent en un point et produisent un moment.

Exemple 2: Déterminer le vecteur moment par rapport à l’origine résultant de deux forces en trois dimensions

Sur la figure, les forces 𝐹=7𝑖𝑗+3𝑘 et 𝐹=7𝑖+8𝑗6𝑘 agissent au point 𝐴𝐹 et 𝐹 sont mesurées en newtons;déterminez le vecteur moment de la résultante par rapport au point 𝑂 en newtons-centimètres.

Réponse

Deux forces agissent en 𝐴:𝐹 et 𝐹. Comme les deux forces agissent au même point, la somme de leurs moments est égale au moment de leur résultante. C’est pourquoi il est demandé de déterminer le moment de leur résultante (c’est-à-dire leur somme).

On commence par déterminer la résultante 𝐹 de 𝐹 et 𝐹:𝐹=𝐹+𝐹𝐹=7𝑖𝑗+3𝑘7𝑖+8𝑗6𝑘𝐹=14𝑖+7𝑗3𝑘.

On souhaite calculer le moment de 𝐹 par rapport à l’origine 𝑂, on doit donc trouver le vecteur position de 𝐴, 𝑟. D’après la figure, on trouve 𝑟=9𝑖+12𝑗+8𝑘.

Le moment de 𝐹 par rapport au point 𝑂 est donné par 𝑀=𝑟×𝐹=|||||𝑖𝑗𝑘𝑟𝑟𝑟𝐹𝐹𝐹|||||𝑀=||||𝑖𝑗𝑘91281473||||𝑀=(12(3)78)𝑖(9(3)(14)8)𝑗+(97(14)12)𝑘𝑀=92𝑖85𝑗+231𝑘.Ncm

Étudions maintenant un exemple dans lequel nous devons déterminer les composantes inconnues d’un vecteur force à partir du moment de la force par rapport à un point.

Exemple 3: Déterminer les composantes inconnues d’une force connaissant son vecteur position et les composantes de son moment autour d’un axe en trois dimensions

Si la force 𝐹=𝑚𝑖+𝑛𝑗𝑘 agit en un point dont le vecteur position est 𝑟=14𝑖𝑗+12𝑘 et que les composantes en 𝑥 et 𝑦 du moment de la force 𝐹 par rapport à l’origine sont respectivement 73 et 242 unités de moment, déterminez les valeurs de 𝑚 et 𝑛.

Réponse

On connaît les composantes en 𝑥 et 𝑦 du moment de la force 𝐹 par rapport à l’origine, on calcule donc d’abord le moment en utilisant les vecteurs position et force. On obtient les trois composantes du moment en fonction de 𝑚 et 𝑛:𝑀=𝑟×𝐹=|||||𝑖𝑗𝑘𝑟𝑟𝑟𝐹𝐹𝐹|||||𝑀=||||𝑖𝑗𝑘14112𝑚𝑛1||||𝑀=((1)(1)12𝑛)𝑖(14(1)12𝑚)𝑗+(14𝑛+𝑚)𝑘𝑀=(112𝑛)𝑖+(14+12𝑚)𝑗+(14𝑛+𝑚)𝑘.

En égalisant les composantes en 𝑥 et 𝑦 de 𝑀 avec les valeurs fournies dans la question, on a

112𝑛=73,14+12𝑚=242.(1)(2)

On résout l’équation (1):12𝑛=72,𝑛=7212=6.

Et l’équation (2) donne 12𝑚=228,𝑚=22812=19.

La réponse est 𝑚=19 et 𝑛=6.

Étudions maintenant un autre exemple dans lequel nous devons déterminer les composantes inconnues du vecteur position du point auquel la force agit en utilisant le moment de la force.

Exemple 4: Déterminer les coordonnées inconnues d'un point par lequel passe la ligne d’action d’une force à partir de la force et de son moment par rapport à un point en trois dimensions

Le moment de la force 𝐹 par rapport à l’origine est 𝑀, 𝐹=𝑖2𝑗𝑘 et 𝑀=20𝑖+27𝑗34𝑘. Sachant que la force passe par un point dont la coordonnée 𝑦 est 4, déterminez les coordonnées 𝑥 et 𝑧 du point.

Réponse

Le moment d’une force agissant en un point 𝐴 par rapport à l’origine est donné par le produit vectoriel du vecteur position de 𝐴, 𝑟, et de la force 𝐹:𝑀=𝑟×𝐹.

Dans cette question, on ne connaît pas le point d’application de la force mais il est demandé de trouver la coordonnée 𝑥 d’un point situé sur la ligne d’action de la force.

On sait cependant que 𝑟×𝐹=𝑟𝐹|𝜃|𝑛,sin𝜃 est l’angle entre 𝑟 et 𝐹 et où 𝑛 est un vecteur unitaire perpendiculaire au plan défini par 𝑟 et 𝐹 (à condition que 𝑟 et 𝐹 ne soient pas parallèles). Comme 𝑟|𝜃|sin est égal à la distance perpendiculaire entre la ligne d’action de 𝐹 et le point par rapport auquel le moment est calculé (ici l’origine), 𝑑, on peut écrire 𝑀=𝐹𝑑𝑛.

On voit que choisir 𝑟 comme vecteur position de tout point sur la ligne d’action de 𝐹 donnera le même moment 𝑀.

Par conséquent, on peut maintenant calculer 𝑀 en déterminant 𝑟×𝐹𝑟 est le vecteur position du point sur la ligne d’action de 𝐹 avec les coordonnées (𝑥;4;𝑧):𝑀=𝑟×𝐹=|||||𝑖𝑗𝑘𝑟𝑟𝑟𝐹𝐹𝐹|||||𝑀=||||𝑖𝑗𝑘𝑥4𝑧121||||𝑀=((1)4(2)𝑧)𝑖((1)𝑥1𝑧)𝑗+((2)𝑥14)𝑘𝑀=(4+2𝑧)𝑖+(𝑥+𝑧)𝑗+(2𝑥4)𝑘.

La question indique que 𝑀=20𝑖+27𝑗34𝑘.

Égaliser les deux expressions de 𝑀 donne une équation pour chaque composante:4+2𝑧=20,𝑥+𝑧=27,2𝑥4=34.

La première équation peut être résolue de cette manière:2𝑧=24𝑧=12.

Et la troisième équation donne la valeur de 𝑥:𝑥=34+42𝑥=15.

On peut maintenant vérifier que ces solutions vérifient la deuxième équation pour s’assurer que le système d’équations est cohérent:𝑥+𝑧=15+12=27.

La force passe par le point de coordonnées (15;4;12).

Étudions un exemple dans lequel nous devons déterminer la distance perpendiculaire entre la ligne d’action de la force et un point.

Exemple 5: Déterminer le vecteur moment d’une force agissant en un point donné et la distance perpendiculaire entre l’origine et la ligne d’action de la force

Déterminez le moment 𝑀 de la force 𝐹 par rapport à l’origine sachant que 𝐹=2𝑖+𝑗+𝑘 et qu’elle agit en un point 𝐴 dont le vecteur position est 𝑟=6𝑖+6𝑗3𝑘 par rapport à l’origine;puis déterminez la longueur 𝐿 du segment perpendiculaire issue de l’origine à la ligne d’action de la force 𝐹.

Réponse

On doit d’abord déterminer le moment de la force 𝐹 par rapport à l’origine. Il est donné par 𝑀=𝑟×𝐹=|||||𝑖𝑗𝑘𝑟𝑟𝑟𝐹𝐹𝐹|||||𝑀=||||𝑖𝑗𝑘663211||||𝑀=(611(3))𝑖(61(2)(3))𝑗+(61(2)6)𝑘𝑀=9𝑖+18𝑘.

On doit ensuite déterminer la longueur 𝐿 du segment perpendiculaire issue de l’origine à la ligne d’action de la force 𝐹. La longueur 𝐿 est ce qu’on appelle communément la distance perpendiculaire entre l’origine et la ligne d’action de 𝐹, notée 𝑑.

Sachant que 𝑀=𝑟𝐹|𝜃|=𝐹𝑑,sin et que 𝐿=𝑑, on voit que 𝐿 est égale à 𝐿=𝑀𝐹.

On a 𝑀=𝑀+𝑀+𝑀𝑀=9+18𝑀=9+92𝑀=95𝑀=95 et 𝐹=𝐹+𝐹+𝐹𝐹=2+1+1𝐹=6.

Par conséquent, 𝐿=𝑀𝐹𝐿=956𝐿=9306𝐿=3302.unitésdelongueur

Résumons maintenant ce que nous avons appris dans cette fiche explicative.

Points clés

  • Le moment d’une force par rapport à un point décrit l’effet de rotation, autour de ce point, de la force.
  • Le moment de la force 𝐹 agissant sur un corps, calculé par rapport à l’origine du repère 𝑂, est donné par 𝑀=𝑟×𝐹=|||||𝑖𝑗𝑘𝑟𝑟𝑟𝐹𝐹𝐹|||||,𝑟 est le vecteur position de 𝐴, le point d’application de la force 𝐹.
    Lorsque le moment de la force 𝐹 est calculé par rapport à un point 𝑃 qui n’est pas l’origine, on remplace 𝑟 dans l’équation ci-dessus par 𝐴𝑃.
  • D’après les propriétés du produit vectoriel, la norme du moment est donnée par 𝑀=𝑟𝐹|𝜃|,sin𝜃 est l’angle entre 𝑟 et 𝐹.
  • Comme la distance perpendiculaire 𝑑 entre la ligne d’action de la force 𝐹 et le point par rapport auquel le moment est calculé est égale à 𝑟|𝜃|sin (ou 𝐴𝑃|𝜃|sin), on a 𝑀=𝐹𝑑; c’est-à-dire 𝑑=𝑀𝐹.

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