Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment dรฉterminer le moment des forces agissant sur un corps par rapport ร un point en 3D.
Une force, ou un systรจme de forces, agissant sur un corps peut avoir un effet de rotation sur ce corps. Cet effet de rotation est dรฉcrit par le moment de la force (ou du systรจme de forces). Vous connaissez peut-รชtre dรฉjร le moment dโune force dรฉfini comme un scalaire par le produit de lโintensitรฉ de la force et de la distance perpendiculaire entre la ligne dโaction de la force et le point par rapport auquel le moment est calculรฉโ:โ
Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre que le moment dโune force est proprement dรฉfini comme un vecteur.
Le moment de la force dรฉpend du point sur le corps par rapport auquel il est calculรฉ. La direction du vecteur moment indique le sens de rotation autour de ce point que la force aurait gรฉnรฉrรฉe et sa norme indique lโintensitรฉ de lโeffet de rotation de la force.
Voyons dโabord comment le vecteur moment est dรฉfini.
Dรฉfinition : Moment dโune force
Le moment de la force agissant sur un corps, calculรฉ par rapport au point , est donnรฉ par oรน est le vecteur position de , le point dโapplication de la force .
Dans cette dรฉfinition, on voit que le repรจre a รฉtรฉ choisi de telle maniรจre que son origine coรฏncide avec le point par rapport auquel on calcule le moment. Si on souhaite calculer le moment de la force par rapport ร un point qui nโest pas lโorigine, on doit simplement remplacer par โ:โ
La lettre est ajoutรฉe en indice ร pour indiquer que le moment est calculรฉ par rapport au point .
Les propriรฉtรฉs du produit vectoriel permettent de conclure dโabord que est un vecteur orthogonal au plan dรฉfini par et . La direction de est donnรฉe par la rรจgle de la main droite. Cette rรจgle est parfois expliquรฉe en se rรฉfรฉrant ร la rotation dโune visโ:โle sens du vecteur correspond au sens du mouvement (haut ou bas) dโun bouchon de bouteille ou dโun รฉcrou que lโon tournerait dans le mรชme sens de rotation que celui de ร , comme illustrรฉ sur le schรฉma suivant.
Cette rรฉfรฉrence ร la rotation est logique quand on parle du moment dโune force. Si on prend le schรฉma utilisรฉ dans la dรฉfinition ci-dessus et que lโon imagine maintenant le mouvement dโune barre fixรฉe en et soumise ร une seule force en . Il convient de noter que pour des raisons de simplicitรฉ, le repรจre est choisi ici de telle maniรจre que et sont dans le plan , donc est parallรจle ร lโaxe des .
On voit que la barre va tourner dans le sens horaire, des aiguilles dโune montre, jusquโร ce quโelle soit alignรฉe avec , cโest-ร -dire lorsque nโaura plus dโeffet de rotation sur la barre, ce qui est en effet dรฉcrit par un moment nul (le produit vectoriel de deux vecteurs parallรจles รฉtant en effet nul). Cette rotation dans le sens horaire correspond ร la rotation du vecteur vers le vecteur .
En utilisant la rรจgle de la main droite comme expliquรฉ ci-dessus, cela signifie que le moment de par rapport ร pointe vers le bas. En dโautres termes, sa seule composante, qui est le long de lโaxe des , est nรฉgative car lโaxe des positifs pointe vers le haut. On rappelle que dans un repรจre cartรฉsien en trois dimensions, lโensemble de vecteurs unitaires vรฉrifie .
La norme du moment est donnรฉe par oรน est lโangle entre et . On a utilisรฉ les symboles de valeur absolue autour de ici parce que peut รชtre nรฉgatif si on utilise des angles orientรฉs, comme cโest le cas pour la rotation dans le sens horaire dรฉcrite ci-dessus, oรน est alors un angle nรฉgatif. Si on utilise des angles gรฉomรฉtriques, alors , et donc .
On va maintenant voir pourquoi cette faรงon de dรฉfinir la norme de est รฉquivalente ร celle que vous avez peut-รชtre dรฉjร apprise, ร savoir oรน est la distance perpendiculaire entre la ligne dโaction de et le point par rapport auquel le moment est calculรฉ.
En prenant lโexemple prรฉcรฉdent de la barre, on peut tracer un cercle de centre et de rayon . On peut le considรฉrer comme un cercle trigonomรฉtrique mis ร lโรฉchelle par un facteur et pivotรฉ de telle sorte que lโaxe des associรฉ au cercle est dans le mรชme sens que . La composante du vecteur sur lโaxe des associรฉ au cercle trigonomรฉtrique est le segment dont la longueur est alors . Si on considรจre maintenant le segment (notez que les triangles et sont superposables), on voit que cette longueur est aussi รฉgale ร la distance perpendiculaire entre la ligne dโaction de et .
Pour montrer que la distance perpendiculaire entre la ligne dโaction de et est รฉgale ร , on peut aussi utiliser la propriรฉtรฉ selon laquelle deux angles supplรฉmentaires ont le mรชme sinus . Comme (ici, est un angle gรฉomรฉtrique), on a . Dans le triangle , on a
Ce rรฉsultat signifie que pour calculer la norme du moment, on peut prendre nโimporte quel angle entre la ligne dโaction de et la droite et le rรฉsultat sera le mรชme.
Comme indiquรฉ ci-dessus, la norme du moment dโune force indique lโintensitรฉ de lโeffet de rotation de la force. On peut connecter lโรฉquation ร un effet que lโon a tous rencontrรฉ dans la vie quotidienneโ:โlโeffet de rotation dโune force augmente si la force est appliquรฉe plus loin du pivot, le point autour duquel lโobjet tourne. Cโest le principe de fonctionnement dโun levier.
La mรฉthode pour calculer le produit vectoriel de deux vecteurs ร partir de leurs composantes peut รชtre appliquรฉe pour calculer le moment dโune force. Si la force et le vecteur position du point dโapplication de la force sont dรฉfinis dans le repรจre par et , le moment de par rapport au point est donnรฉ par
รtudions un exemple oรน nous devons dรฉterminer un vecteur moment en 3 dimensions.
Exemple 1: Dรฉterminer le moment dโune force par rapport ร un point en trois dimensions
Une force dโintensitรฉ 6 N agit sur et est reprรฉsentรฉe par un vecteur dans un plan perpendiculaire ร lโaxe des comme indiquรฉ sur la figure. Dรฉterminez son vecteur moment par rapport ร en newton centimรจtres.
Rรฉponse
Pour rรฉpondre ร cette question, on va dโabord dรฉterminer les composantes du vecteur allant du point par rapport auquel le moment est calculรฉ au point dโapplication de la force, et les composantes de la force agissant sur .
Dโaprรจs la figure, on trouve et , avec 1 cm est la longueur unitaire du repรจre. Par consรฉquent,
Lโintensitรฉ de la force est 6 N. On trace sur un plan perpendiculaire ร lโaxe des , cโest-ร -dire dans un plan parallรจle au plan . On doit รชtre prudent avec lโorientation de lโaxe des lorsque lโon travaille en trois dimensionsโ!โOn a reprรฉsentรฉ ici le plan en le regardant de gauche ร droite sur le schรฉma donnรฉ, cโest-ร -dire tel que le vecteur unitaire pointe vers le bas par rapport ร lโรฉcran.
La force se situe dans un plan perpendiculaire ร lโaxe des , par consรฉquent, . Dโaprรจs la figure, on voit que
Comme , on a
On peut maintenant calculer le moment de par rapport ร comme suitโ:โ
รtudions maintenant un exemple oรน plusieurs forces agissent en un point et produisent un moment.
Exemple 2: Dรฉterminer le vecteur moment par rapport ร lโorigine rรฉsultant de deux forces en trois dimensions
Sur la figure, les forces et agissent au point oรน et sont mesurรฉes en newtonsโ;โdรฉterminez le vecteur moment de la rรฉsultante par rapport au point en newtons-centimรจtres.
Rรฉponse
Deux forces agissent en โ:โ et . Comme les deux forces agissent au mรชme point, la somme de leurs moments est รฉgale au moment de leur rรฉsultante. Cโest pourquoi il est demandรฉ de dรฉterminer le moment de leur rรฉsultante (cโest-ร -dire leur somme).
On commence par dรฉterminer la rรฉsultante de et โ:โ
On souhaite calculer le moment de par rapport ร lโorigine , on doit donc trouver le vecteur position de , . Dโaprรจs la figure, on trouve
Le moment de par rapport au point est donnรฉ par
รtudions maintenant un exemple dans lequel nous devons dรฉterminer les composantes inconnues dโun vecteur force ร partir du moment de la force par rapport ร un point.
Exemple 3: Dรฉterminer les composantes inconnues dโune force connaissant son vecteur position et les composantes de son moment autour dโun axe en trois dimensions
Si la force agit en un point dont le vecteur position est et que les composantes en et du moment de la force par rapport ร lโorigine sont respectivement 73 et 242 unitรฉs de moment, dรฉterminez les valeurs de et .
Rรฉponse
On connaรฎt les composantes en et du moment de la force par rapport ร lโorigine, on calcule donc dโabord le moment en utilisant les vecteurs position et force. On obtient les trois composantes du moment en fonction de et โ:โ
En รฉgalisant les composantes en et de avec les valeurs fournies dans la question, on a
On rรฉsout lโรฉquation (1)โ:โ
Et lโรฉquation (2) donne
La rรฉponse est et .
รtudions maintenant un autre exemple dans lequel nous devons dรฉterminer les composantes inconnues du vecteur position du point auquel la force agit en utilisant le moment de la force.
Exemple 4: Dรฉterminer les coordonnรฉes inconnues d'un point par lequel passe la ligne dโaction dโune force ร partir de la force et de son moment par rapport ร un point en trois dimensions
Le moment de la force par rapport ร lโorigine est , oรน et . Sachant que la force passe par un point dont la coordonnรฉe est 4, dรฉterminez les coordonnรฉes et du point.
Rรฉponse
Le moment dโune force agissant en un point par rapport ร lโorigine est donnรฉ par le produit vectoriel du vecteur position de , , et de la force โ:โ
Dans cette question, on ne connaรฎt pas le point dโapplication de la force mais il est demandรฉ de trouver la coordonnรฉe dโun point situรฉ sur la ligne dโaction de la force.
On sait cependant que oรน est lโangle entre et et oรน est un vecteur unitaire perpendiculaire au plan dรฉfini par et (ร condition que et ne soient pas parallรจles). Comme est รฉgal ร la distance perpendiculaire entre la ligne dโaction de et le point par rapport auquel le moment est calculรฉ (ici lโorigine), , on peut รฉcrire
On voit que choisir comme vecteur position de tout point sur la ligne dโaction de donnera le mรชme moment .
Par consรฉquent, on peut maintenant calculer en dรฉterminant oรน est le vecteur position du point sur la ligne dโaction de avec les coordonnรฉes โ:โ
La question indique que
รgaliser les deux expressions de donne une รฉquation pour chaque composanteโ:โ
La premiรจre รฉquation peut รชtre rรฉsolue de cette maniรจreโ:โ
Et la troisiรจme รฉquation donne la valeur de โ:โ
On peut maintenant vรฉrifier que ces solutions vรฉrifient la deuxiรจme รฉquation pour sโassurer que le systรจme dโรฉquations est cohรฉrentโ:โ
La force passe par le point de coordonnรฉes .
รtudions un exemple dans lequel nous devons dรฉterminer la distance perpendiculaire entre la ligne dโaction de la force et un point.
Exemple 5: Dรฉterminer le vecteur moment dโune force agissant en un point donnรฉ et la distance perpendiculaire entre lโorigine et la ligne dโaction de la force
Dรฉterminez le moment de la force par rapport ร lโorigine sachant que et quโelle agit en un point dont le vecteur position est par rapport ร lโorigineโ;โpuis dรฉterminez la longueur du segment perpendiculaire issue de lโorigine ร la ligne dโaction de la force .
Rรฉponse
On doit dโabord dรฉterminer le moment de la force par rapport ร lโorigine. Il est donnรฉ par
On doit ensuite dรฉterminer la longueur du segment perpendiculaire issue de lโorigine ร la ligne dโaction de la force . La longueur est ce quโon appelle communรฉment la distance perpendiculaire entre lโorigine et la ligne dโaction de , notรฉe .
Sachant que et que , on voit que est รฉgale ร
On a et
Par consรฉquent,
Rรฉsumons maintenant ce que nous avons appris dans cette fiche explicative.
Points clรฉs
- Le moment dโune force par rapport ร un point dรฉcrit lโeffet de rotation, autour de ce point, de la force.
- Le moment de la force agissant sur un corps, calculรฉ par rapport ร lโorigine du repรจre , est donnรฉ par oรน est le vecteur position de , le point dโapplication de la force .
Lorsque le moment de la force est calculรฉ par rapport ร un point qui nโest pas lโorigine, on remplace dans lโรฉquation ci-dessus par . - Dโaprรจs les propriรฉtรฉs du produit vectoriel, la norme du moment est donnรฉe par oรน est lโangle entre et .
- Comme la distance perpendiculaire entre la ligne dโaction de la force et le point par rapport auquel le moment est calculรฉ est รฉgale ร (ou ), on a cโest-ร -dire