Fiche explicative de la leçon: Moment d'une force par rapport à un point en 3D | Nagwa Fiche explicative de la leçon: Moment d'une force par rapport à un point en 3D | Nagwa

Fiche explicative de la leรงon: Moment d'une force par rapport ร  un point en 3D Mathématiques • Troisième année secondaire

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment dรฉterminer le moment des forces agissant sur un corps par rapport ร  un point en 3D.

Une force, ou un systรจme de forces, agissant sur un corps peut avoir un effet de rotation sur ce corps. Cet effet de rotation est dรฉcrit par le moment de la force (ou du systรจme de forces). Vous connaissez peut-รชtre dรฉjร  le moment dโ€™une force dรฉfini comme un scalaire par le produit de lโ€™intensitรฉ de la force et de la distance perpendiculaire entre la ligne dโ€™action de la force et le point par rapport auquel le moment est calculรฉโ€‰:โ€‰๐‘€=๐น๐‘‘.โŸ‚

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre que le moment dโ€™une force est proprement dรฉfini comme un vecteur.

Le moment de la force dรฉpend du point sur le corps par rapport auquel il est calculรฉ. La direction du vecteur moment indique le sens de rotation autour de ce point que la force aurait gรฉnรฉrรฉe et sa norme indique lโ€™intensitรฉ de lโ€™effet de rotation de la force.

Voyons dโ€™abord comment le vecteur moment est dรฉfini.

Dรฉfinition : Moment dโ€™une force

Le moment de la force โƒ‘๐น agissant sur un corps, calculรฉ par rapport au point ๐‘‚, est donnรฉ par ๏ƒŸ๐‘€=โƒ‘๐‘Ÿร—โƒ‘๐น, oรน โƒ‘๐‘Ÿ est le vecteur position de ๐ด, le point dโ€™application de la force โƒ‘๐น.

Dans cette dรฉfinition, on voit que le repรจre a รฉtรฉ choisi de telle maniรจre que son origine coรฏncide avec le point par rapport auquel on calcule le moment. Si on souhaite calculer le moment de la force โƒ‘๐น par rapport ร  un point ๐‘ƒ qui nโ€™est pas lโ€™origine, on doit simplement remplacer โƒ‘๐‘Ÿ par ๏ƒŸ๐‘ƒ๐ดโ€‰:โ€‰๏ƒŸ๐‘€=๏ƒŸ๐‘ƒ๐ดร—โƒ‘๐น.๏Œฏ

La lettre ๐‘ƒ est ajoutรฉe en indice ร  ๏ƒŸ๐‘€ pour indiquer que le moment est calculรฉ par rapport au point ๐‘ƒ.

Les propriรฉtรฉs du produit vectoriel permettent de conclure dโ€™abord que ๏ƒŸ๐‘€ est un vecteur orthogonal au plan dรฉfini par โƒ‘๐‘Ÿ et โƒ‘๐น. La direction de ๏ƒŸ๐‘€ est donnรฉe par la rรจgle de la main droite. Cette rรจgle est parfois expliquรฉe en se rรฉfรฉrant ร  la rotation dโ€™une visโ€‰:โ€‰le sens du vecteur โƒ‘๐ดร—โƒ‘๐ต correspond au sens du mouvement (haut ou bas) dโ€™un bouchon de bouteille ou dโ€™un รฉcrou que lโ€™on tournerait dans le mรชme sens de rotation que celui de โƒ‘๐ด ร  โƒ‘๐ต, comme illustrรฉ sur le schรฉma suivant.

Cette rรฉfรฉrence ร  la rotation est logique quand on parle du moment dโ€™une force. Si on prend le schรฉma utilisรฉ dans la dรฉfinition ci-dessus et que lโ€™on imagine maintenant le mouvement dโ€™une barre fixรฉe en ๐‘‚ et soumise ร  une seule force โƒ‘๐น en ๐ด. Il convient de noter que pour des raisons de simplicitรฉ, le repรจre est choisi ici de telle maniรจre que โƒ‘๐‘Ÿ et โƒ‘๐น sont dans le plan ๐‘ฅ๐‘ฆ, donc ๏ƒŸ๐‘€ est parallรจle ร  lโ€™axe des ๐‘ง.

On voit que la barre va tourner dans le sens horaire, des aiguilles dโ€™une montre, jusquโ€™ร  ce quโ€™elle soit alignรฉe avec โƒ‘๐น, cโ€™est-ร -dire lorsque โƒ‘๐น nโ€™aura plus dโ€™effet de rotation sur la barre, ce qui est en effet dรฉcrit par un moment nul (le produit vectoriel de deux vecteurs parallรจles รฉtant en effet nul). Cette rotation dans le sens horaire correspond ร  la rotation du vecteur โƒ‘๐‘Ÿ vers le vecteur โƒ‘๐น.

En utilisant la rรจgle de la main droite comme expliquรฉ ci-dessus, cela signifie que le moment de โƒ‘๐น par rapport ร  ๐‘‚ pointe vers le bas. En dโ€™autres termes, sa seule composante, qui est le long de lโ€™axe des ๐‘ง, est nรฉgative car lโ€™axe des ๐‘ง positifs pointe vers le haut. On rappelle que dans un repรจre cartรฉsien en trois dimensions, lโ€™ensemble de vecteurs unitaires ๏€ปโƒ‘๐‘–;โƒ‘๐‘—;โƒ‘๐‘˜๏‡ vรฉrifie โƒ‘๐‘˜=โƒ‘๐‘–ร—โƒ‘๐‘—.

La norme du moment est donnรฉe par โ€–โ€–๏ƒŸ๐‘€โ€–โ€–=โ€–โ€–โƒ‘๐‘Ÿโ€–โ€–โ€–โ€–โƒ‘๐นโ€–โ€–|๐œƒ|,sin oรน ๐œƒ est lโ€™angle entre โƒ‘๐‘Ÿ et โƒ‘๐น. On a utilisรฉ les symboles de valeur absolue autour de sin๐œƒ ici parce que sin๐œƒ peut รชtre nรฉgatif si on utilise des angles orientรฉs, comme cโ€™est le cas pour la rotation dans le sens horaire dรฉcrite ci-dessus, oรน ๐œƒ est alors un angle nรฉgatif. Si on utilise des angles gรฉomรฉtriques, alors 0โฉฝ๐œƒโฉฝ180โˆ˜, et donc sin๐œƒโฉพ0.

On va maintenant voir pourquoi cette faรงon de dรฉfinir la norme de ๏ƒŸ๐‘€ est รฉquivalente ร  celle que vous avez peut-รชtre dรฉjร  apprise, ร  savoir โ€–โ€–๏ƒŸ๐‘€โ€–โ€–=โ€–โ€–โƒ‘๐นโ€–โ€–๐‘‘โŸ‚ oรน ๐‘‘โŸ‚ est la distance perpendiculaire entre la ligne dโ€™action de โƒ‘๐น et le point par rapport auquel le moment est calculรฉ.

En prenant lโ€™exemple prรฉcรฉdent de la barre, on peut tracer un cercle de centre ๐ด et de rayon โ€–โ€–โƒ‘๐‘Ÿโ€–โ€–. On peut le considรฉrer comme un cercle trigonomรฉtrique mis ร  lโ€™รฉchelle par un facteur โ€–โ€–โƒ‘๐‘Ÿโ€–โ€– et pivotรฉ de telle sorte que lโ€™axe des ๐‘ฅ associรฉ au cercle est dans le mรชme sens que โƒ‘๐น. La composante du vecteur โƒ‘๐‘Ÿ sur lโ€™axe des ๐‘ฆ associรฉ au cercle trigonomรฉtrique est le segment ๐ด๐‘Œ dont la longueur est alors โ€–โ€–โƒ‘๐‘Ÿโ€–โ€–|๐œƒ|sin. Si on considรจre maintenant le segment ๐‘‚๐ถ (notez que les triangles ๐ด๐ต๐‘Œ et ๐‘‚๐ด๐ถ sont superposables), on voit que cette longueur est aussi รฉgale ร  la distance perpendiculaire entre la ligne dโ€™action de โƒ‘๐น et ๐‘‚.

Pour montrer que la distance perpendiculaire entre la ligne dโ€™action de โƒ‘๐น et ๐‘‚ est รฉgale ร  โ€–โ€–โƒ‘๐‘Ÿโ€–โ€–|๐œƒ|sin, on peut aussi utiliser la propriรฉtรฉ selon laquelle deux angles supplรฉmentaires ont le mรชme sinus ((180โˆ’๐›ผ)=๐›ผ)sinsinโˆ˜. Comme โˆ ๐‘‚๐ด๐ถ=180โˆ’๐œƒโˆ˜ (ici, ๐œƒ est un angle gรฉomรฉtrique), on a sinsinโˆ ๐‘‚๐ด๐ถ=๐œƒ. Dans le triangle ๐‘‚๐ด๐ถ, on a ๐‘‚๐ถ=โ€–โ€–โƒ‘๐‘Ÿโ€–โ€–โˆ ๐‘‚๐ด๐ถ=โ€–โ€–โƒ‘๐‘Ÿโ€–โ€–๐œƒ.sinsin

Ce rรฉsultat signifie que pour calculer la norme du moment, on peut prendre nโ€™importe quel angle entre la ligne dโ€™action de โƒ‘๐น et la droite โƒ–๏ƒฉ๏ƒฉ๏ƒฉ๏ƒฉ๏ƒฉโƒ—๐‘‚๐ด et le rรฉsultat sera le mรชme.

Comme indiquรฉ ci-dessus, la norme du moment dโ€™une force indique lโ€™intensitรฉ de lโ€™effet de rotation de la force. On peut connecter lโ€™รฉquation โ€–โ€–๏ƒŸ๐‘€โ€–โ€–=โ€–โ€–โƒ‘๐นโ€–โ€–๐‘‘โŸ‚ ร  un effet que lโ€™on a tous rencontrรฉ dans la vie quotidienneโ€‰:โ€‰lโ€™effet de rotation dโ€™une force augmente si la force est appliquรฉe plus loin du pivot, le point autour duquel lโ€™objet tourne. Cโ€™est le principe de fonctionnement dโ€™un levier.

La mรฉthode pour calculer le produit vectoriel de deux vecteurs ร  partir de leurs composantes peut รชtre appliquรฉe pour calculer le moment dโ€™une force. Si la force โƒ‘๐น et le vecteur position du point dโ€™application de la force โƒ‘๐น sont dรฉfinis dans le repรจre ๏€ป๐‘‚;โƒ‘๐‘–;โƒ‘๐‘—;โƒ‘๐‘˜๏‡ par โƒ‘๐น=๐นโƒ‘๐‘–+๐นโƒ‘๐‘—+๐นโƒ‘๐‘˜๏—๏˜๏™ et โƒ‘๐‘Ÿ=๐‘Ÿโƒ‘๐‘–+๐‘Ÿโƒ‘๐‘—+๐‘Ÿโƒ‘๐‘˜๏—๏˜๏™, le moment de โƒ‘๐น par rapport au point ๐‘‚ est donnรฉ par ๏ƒŸ๐‘€=โƒ‘๐‘Ÿร—โƒ‘๐น=|||||โƒ‘๐‘–โƒ‘๐‘—โƒ‘๐‘˜๐‘Ÿ๐‘Ÿ๐‘Ÿ๐น๐น๐น|||||=๏€น๐‘Ÿ๐นโˆ’๐‘Ÿ๐น๏…โƒ‘๐‘–โˆ’(๐‘Ÿ๐นโˆ’๐‘Ÿ๐น)โƒ‘๐‘—+๏€น๐‘Ÿ๐นโˆ’๐‘Ÿ๐น๏…โƒ‘๐‘˜.๏—๏˜๏™๏—๏˜๏™๏˜๏™๏™๏˜๏—๏™๏™๏—๏—๏˜๏˜๏—

ร‰tudions un exemple oรน nous devons dรฉterminer un vecteur moment en 3 dimensions.

Exemple 1: Dรฉterminer le moment dโ€™une force par rapport ร  un point en trois dimensions

Une force dโ€™intensitรฉ 6 N agit sur ๐ถ et est reprรฉsentรฉe par un vecteur dans un plan perpendiculaire ร  lโ€™axe des ๐‘ฆ comme indiquรฉ sur la figure. Dรฉterminez son vecteur moment par rapport ร  ๐ด en newton centimรจtres.

Rรฉponse

Pour rรฉpondre ร  cette question, on va dโ€™abord dรฉterminer les composantes du vecteur ๏ƒ ๐ด๐ถ allant du point par rapport auquel le moment est calculรฉ au point dโ€™application de la force, et les composantes de la force โƒ‘๐น agissant sur ๐ถ.

Dโ€™aprรจs la figure, on trouve ๐ด(0;0;โˆ’16) et ๐ถ(0;16;8), avec 1 cm est la longueur unitaire du repรจre. Par consรฉquent, ๏ƒ ๐ด๐ถ=(0โˆ’0)โƒ‘๐‘–+(16โˆ’0)โƒ‘๐‘—+(8โˆ’(โˆ’16))โƒ‘๐‘˜๏ƒ ๐ด๐ถ=๏€ป16โƒ‘๐‘—+24โƒ‘๐‘˜๏‡.cm

Lโ€™intensitรฉ de la force โƒ‘๐น est 6 N. On trace โƒ‘๐น sur un plan perpendiculaire ร  lโ€™axe des ๐‘ฆ, cโ€™est-ร -dire dans un plan parallรจle au plan ๐‘ฅ๐‘ง. On doit รชtre prudent avec lโ€™orientation de lโ€™axe des ๐‘ฅ lorsque lโ€™on travaille en trois dimensionsโ€‰!โ€‰On a reprรฉsentรฉ ici le plan en le regardant de gauche ร  droite sur le schรฉma donnรฉ, cโ€™est-ร -dire tel que le vecteur unitaire โƒ‘๐‘— pointe vers le bas par rapport ร  lโ€™รฉcran.

La force โƒ‘๐น se situe dans un plan perpendiculaire ร  lโ€™axe des ๐‘ฆ, par consรฉquent, ๐น=0๏˜. Dโ€™aprรจs la figure, on voit que ๐น=โ€–โ€–โƒ‘๐นโ€–โ€–30=โ€–โ€–โƒ‘๐นโ€–โ€–2,๐น=โˆ’โ€–โ€–โƒ‘๐นโ€–โ€–30=โˆ’โˆš3โ€–โ€–โƒ‘๐นโ€–โ€–2.๏—โˆ˜๏™โˆ˜sincos

Comme โ€–โ€–โƒ‘๐นโ€–โ€–=6, on a โƒ‘๐น=๏€ป3โƒ‘๐‘–โˆ’3โˆš3โƒ‘๐‘˜๏‡.N

On peut maintenant calculer le moment de โƒ‘๐น par rapport ร  ๐ด comme suitโ€‰:โ€‰๏ƒŸ๐‘€=๏ƒ ๐ด๐ถร—โƒ‘๐น=|||||โƒ‘๐‘–โƒ‘๐‘—โƒ‘๐‘˜๐ด๐ถ๐ด๐ถ๐ด๐ถ๐น๐น๐น|||||๏ƒŸ๐‘€=|||||โƒ‘๐‘–โƒ‘๐‘—โƒ‘๐‘˜0162430โˆ’3โˆš3|||||๏ƒŸ๐‘€=๏€ป16โ‹…๏€ปโˆ’3โˆš3๏‡โˆ’0โ‹…24๏‡โƒ‘๐‘–โˆ’๏€ป0โ‹…๏€ปโˆ’3โˆš3๏‡โˆ’3โ‹…24๏‡โƒ‘๐‘—+(0โ‹…0โˆ’3โ‹…16)โƒ‘๐‘˜,๏ƒŸ๐‘€=๏€ปโˆ’48โˆš3โƒ‘๐‘–+72โƒ‘๐‘—โˆ’48โƒ‘๐‘˜๏‡โ‹….๏—๏˜๏™๏—๏˜๏™Ncm

ร‰tudions maintenant un exemple oรน plusieurs forces agissent en un point et produisent un moment.

Exemple 2: Dรฉterminer le vecteur moment par rapport ร  lโ€™origine rรฉsultant de deux forces en trois dimensions

Sur la figure, les forces โƒ‘๐น=โˆ’7โƒ‘๐‘–โˆ’โƒ‘๐‘—+3โƒ‘๐‘˜๏Šง et โƒ‘๐น=โˆ’7โƒ‘๐‘–+8โƒ‘๐‘—โˆ’6โƒ‘๐‘˜๏Šจ agissent au point ๐ด oรน โƒ‘๐น๏Šง et โƒ‘๐น๏Šจ sont mesurรฉes en newtonsโ€‰;โ€‰dรฉterminez le vecteur moment de la rรฉsultante par rapport au point ๐‘‚ en newtons-centimรจtres.

Rรฉponse

Deux forces agissent en ๐ดโ€‰:โ€‰โƒ‘๐น๏Šง et โƒ‘๐น๏Šจ. Comme les deux forces agissent au mรชme point, la somme de leurs moments est รฉgale au moment de leur rรฉsultante. Cโ€™est pourquoi il est demandรฉ de dรฉterminer le moment de leur rรฉsultante (cโ€™est-ร -dire leur somme).

On commence par dรฉterminer la rรฉsultante โƒ‘๐น de โƒ‘๐น๏Šง et โƒ‘๐น๏Šจโ€‰:โ€‰โƒ‘๐น=โƒ‘๐น+โƒ‘๐นโƒ‘๐น=โˆ’7โƒ‘๐‘–โˆ’โƒ‘๐‘—+3โƒ‘๐‘˜โˆ’7โƒ‘๐‘–+8โƒ‘๐‘—โˆ’6โƒ‘๐‘˜โƒ‘๐น=โˆ’14โƒ‘๐‘–+7โƒ‘๐‘—โˆ’3โƒ‘๐‘˜.๏Šง๏Šจ

On souhaite calculer le moment de โƒ‘๐น par rapport ร  lโ€™origine ๐‘‚, on doit donc trouver le vecteur position de ๐ด, โƒ‘๐‘Ÿ. Dโ€™aprรจs la figure, on trouve โƒ‘๐‘Ÿ=9โƒ‘๐‘–+12โƒ‘๐‘—+8โƒ‘๐‘˜.

Le moment de โƒ‘๐น par rapport au point ๐‘‚ est donnรฉ par ๏ƒŸ๐‘€=โƒ‘๐‘Ÿร—โƒ‘๐น=|||||โƒ‘๐‘–โƒ‘๐‘—โƒ‘๐‘˜๐‘Ÿ๐‘Ÿ๐‘Ÿ๐น๐น๐น|||||๏ƒŸ๐‘€=||||โƒ‘๐‘–โƒ‘๐‘—โƒ‘๐‘˜9128โˆ’147โˆ’3||||๏ƒŸ๐‘€=(12โ‹…(โˆ’3)โˆ’7โ‹…8)โƒ‘๐‘–โˆ’(9โ‹…(โˆ’3)โˆ’(โˆ’14)โ‹…8)โƒ‘๐‘—+(9โ‹…7โˆ’(โˆ’14)โ‹…12)โƒ‘๐‘˜๏ƒŸ๐‘€=๏€ปโˆ’92โƒ‘๐‘–โˆ’85โƒ‘๐‘—+231โƒ‘๐‘˜๏‡โ‹….๏—๏˜๏™๏—๏˜๏™Ncm

ร‰tudions maintenant un exemple dans lequel nous devons dรฉterminer les composantes inconnues dโ€™un vecteur force ร  partir du moment de la force par rapport ร  un point.

Exemple 3: Dรฉterminer les composantes inconnues dโ€™une force connaissant son vecteur position et les composantes de son moment autour dโ€™un axe en trois dimensions

Si la force โƒ‘๐น=๐‘šโƒ‘๐‘–+๐‘›โƒ‘๐‘—โˆ’โƒ‘๐‘˜ agit en un point dont le vecteur position est โƒ‘๐‘Ÿ=14โƒ‘๐‘–โˆ’โƒ‘๐‘—+12โƒ‘๐‘˜ et que les composantes en ๐‘ฅ et ๐‘ฆ du moment de la force โƒ‘๐น par rapport ร  lโ€™origine sont respectivement 73 et 242 unitรฉs de moment, dรฉterminez les valeurs de ๐‘š et ๐‘›.

Rรฉponse

On connaรฎt les composantes en ๐‘ฅ et ๐‘ฆ du moment de la force โƒ‘๐น par rapport ร  lโ€™origine, on calcule donc dโ€™abord le moment en utilisant les vecteurs position et force. On obtient les trois composantes du moment en fonction de ๐‘š et ๐‘›โ€‰:โ€‰๏ƒŸ๐‘€=โƒ‘๐‘Ÿร—โƒ‘๐น=|||||โƒ‘๐‘–โƒ‘๐‘—โƒ‘๐‘˜๐‘Ÿ๐‘Ÿ๐‘Ÿ๐น๐น๐น|||||๏ƒŸ๐‘€=||||โƒ‘๐‘–โƒ‘๐‘—โƒ‘๐‘˜14โˆ’112๐‘š๐‘›โˆ’1||||๏ƒŸ๐‘€=((โˆ’1)โ‹…(โˆ’1)โˆ’12๐‘›)โƒ‘๐‘–โˆ’(14โ‹…(โˆ’1)โˆ’12๐‘š)โƒ‘๐‘—+(14๐‘›+๐‘š)โƒ‘๐‘˜๏ƒŸ๐‘€=(1โˆ’12๐‘›)โƒ‘๐‘–+(14+12๐‘š)โƒ‘๐‘—+(14๐‘›+๐‘š)โƒ‘๐‘˜.๏—๏˜๏™๏—๏˜๏™

En รฉgalisant les composantes en ๐‘ฅ et ๐‘ฆ de ๏ƒŸ๐‘€ avec les valeurs fournies dans la question, on a

1โˆ’12๐‘›=73,14+12๐‘š=242.(1)(2)

On rรฉsout lโ€™รฉquation (1)โ€‰:โ€‰โˆ’12๐‘›=72,๐‘›=72โˆ’12=โˆ’6.

Et lโ€™รฉquation (2) donne 12๐‘š=228,๐‘š=22812=19.

La rรฉponse est ๐‘š=19 et ๐‘›=โˆ’6.

ร‰tudions maintenant un autre exemple dans lequel nous devons dรฉterminer les composantes inconnues du vecteur position du point auquel la force agit en utilisant le moment de la force.

Exemple 4: Dรฉterminer les coordonnรฉes inconnues d'un point par lequel passe la ligne dโ€™action dโ€™une force ร  partir de la force et de son moment par rapport ร  un point en trois dimensions

Le moment de la force โƒ‘๐น par rapport ร  lโ€™origine est ๏ƒŸ๐‘€๏Œฎ, oรน โƒ‘๐น=โƒ‘๐‘–โˆ’2โƒ‘๐‘—โˆ’โƒ‘๐‘˜ et ๏ƒŸ๐‘€=20โƒ‘๐‘–+27โƒ‘๐‘—โˆ’34โƒ‘๐‘˜๏Œฎ. Sachant que la force passe par un point dont la coordonnรฉe ๐‘ฆ est 4, dรฉterminez les coordonnรฉes ๐‘ฅ et ๐‘ง du point.

Rรฉponse

Le moment dโ€™une force agissant en un point ๐ด par rapport ร  lโ€™origine est donnรฉ par le produit vectoriel du vecteur position de ๐ด, โƒ‘๐‘Ÿ, et de la force โƒ‘๐นโ€‰:โ€‰๏ƒŸ๐‘€=โƒ‘๐‘Ÿร—โƒ‘๐น.

Dans cette question, on ne connaรฎt pas le point dโ€™application de la force mais il est demandรฉ de trouver la coordonnรฉe ๐‘ฅ dโ€™un point situรฉ sur la ligne dโ€™action de la force.

On sait cependant que โƒ‘๐‘Ÿร—โƒ‘๐น=โ€–โ€–โƒ‘๐‘Ÿโ€–โ€–โ€–โ€–โƒ‘๐นโ€–โ€–|๐œƒ|โƒ‘๐‘›,sin oรน ๐œƒ est lโ€™angle entre โƒ‘๐‘Ÿ et โƒ‘๐น et oรน โƒ‘๐‘› est un vecteur unitaire perpendiculaire au plan dรฉfini par โƒ‘๐‘Ÿ et โƒ‘๐น (ร  condition que โƒ‘๐‘Ÿ et โƒ‘๐น ne soient pas parallรจles). Comme โ€–โ€–โƒ‘๐‘Ÿโ€–โ€–|๐œƒ|sin est รฉgal ร  la distance perpendiculaire entre la ligne dโ€™action de โƒ‘๐น et le point par rapport auquel le moment est calculรฉ (ici lโ€™origine), ๐‘‘โŸ‚, on peut รฉcrire ๏ƒŸ๐‘€=โ€–โ€–โƒ‘๐นโ€–โ€–๐‘‘โƒ‘๐‘›.โŸ‚

On voit que choisir โƒ‘๐‘Ÿ comme vecteur position de tout point sur la ligne dโ€™action de โƒ‘๐น donnera le mรชme moment ๏ƒŸ๐‘€.

Par consรฉquent, on peut maintenant calculer ๏ƒŸ๐‘€๏Œฎ en dรฉterminant โƒ‘๐‘Ÿร—โƒ‘๐น oรน โƒ‘๐‘Ÿ est le vecteur position du point sur la ligne dโ€™action de โƒ‘๐น avec les coordonnรฉes (๐‘ฅ;4;๐‘ง)โ€‰:โ€‰๏ƒŸ๐‘€=โƒ‘๐‘Ÿร—โƒ‘๐น=|||||โƒ‘๐‘–โƒ‘๐‘—โƒ‘๐‘˜๐‘Ÿ๐‘Ÿ๐‘Ÿ๐น๐น๐น|||||๏ƒŸ๐‘€=||||โƒ‘๐‘–โƒ‘๐‘—โƒ‘๐‘˜๐‘ฅ4๐‘ง1โˆ’2โˆ’1||||๏ƒŸ๐‘€=((โˆ’1)โ‹…4โˆ’(โˆ’2)๐‘ง)โƒ‘๐‘–โˆ’((โˆ’1)๐‘ฅโˆ’1โ‹…๐‘ง)โƒ‘๐‘—+((โˆ’2)โ‹…๐‘ฅโˆ’1โ‹…4)โƒ‘๐‘˜๏ƒŸ๐‘€=(โˆ’4+2๐‘ง)โƒ‘๐‘–+(๐‘ฅ+๐‘ง)โƒ‘๐‘—+(โˆ’2๐‘ฅโˆ’4)โƒ‘๐‘˜.๏Œฎ๏—๏˜๏™๏—๏˜๏™๏Œฎ๏Œฎ๏Œฎ

La question indique que ๏ƒŸ๐‘€=20โƒ‘๐‘–+27โƒ‘๐‘—โˆ’34โƒ‘๐‘˜.๏Œฎ

ร‰galiser les deux expressions de ๏ƒŸ๐‘€๏Œฎ donne une รฉquation pour chaque composanteโ€‰:โ€‰โˆ’4+2๐‘ง=20,๐‘ฅ+๐‘ง=27,โˆ’2๐‘ฅโˆ’4=โˆ’34.

La premiรจre รฉquation peut รชtre rรฉsolue de cette maniรจreโ€‰:โ€‰2๐‘ง=24๐‘ง=12.

Et la troisiรจme รฉquation donne la valeur de ๐‘ฅโ€‰:โ€‰๐‘ฅ=โˆ’34+4โˆ’2๐‘ฅ=15.

On peut maintenant vรฉrifier que ces solutions vรฉrifient la deuxiรจme รฉquation pour sโ€™assurer que le systรจme dโ€™รฉquations est cohรฉrentโ€‰:โ€‰๐‘ฅ+๐‘ง=15+12=27.

La force passe par le point de coordonnรฉes (15;4;12).

ร‰tudions un exemple dans lequel nous devons dรฉterminer la distance perpendiculaire entre la ligne dโ€™action de la force et un point.

Exemple 5: Dรฉterminer le vecteur moment dโ€™une force agissant en un point donnรฉ et la distance perpendiculaire entre lโ€™origine et la ligne dโ€™action de la force

Dรฉterminez le moment ๏ƒŸ๐‘€ de la force โƒ‘๐น par rapport ร  lโ€™origine sachant que โƒ‘๐น=โˆ’2โƒ‘๐‘–+โƒ‘๐‘—+โƒ‘๐‘˜ et quโ€™elle agit en un point ๐ด dont le vecteur position est โƒ‘๐‘Ÿ=6โƒ‘๐‘–+6โƒ‘๐‘—โˆ’3โƒ‘๐‘˜ par rapport ร  lโ€™origineโ€‰;โ€‰puis dรฉterminez la longueur ๐ฟ du segment perpendiculaire issue de lโ€™origine ร  la ligne dโ€™action de la force โƒ‘๐น.

Rรฉponse

On doit dโ€™abord dรฉterminer le moment de la force โƒ‘๐น par rapport ร  lโ€™origine. Il est donnรฉ par ๏ƒŸ๐‘€=โƒ‘๐‘Ÿร—โƒ‘๐น=|||||โƒ‘๐‘–โƒ‘๐‘—โƒ‘๐‘˜๐‘Ÿ๐‘Ÿ๐‘Ÿ๐น๐น๐น|||||๏ƒŸ๐‘€=||||โƒ‘๐‘–โƒ‘๐‘—โƒ‘๐‘˜66โˆ’3โˆ’211||||๏ƒŸ๐‘€=(6โ‹…1โˆ’1โ‹…(โˆ’3))โƒ‘๐‘–โˆ’(6โ‹…1โˆ’(โˆ’2)โ‹…(โˆ’3))โƒ‘๐‘—+(6โ‹…1โˆ’(โˆ’2)โ‹…6)โƒ‘๐‘˜๏ƒŸ๐‘€=9โƒ‘๐‘–+18โƒ‘๐‘˜.๏—๏˜๏™๏—๏˜๏™

On doit ensuite dรฉterminer la longueur ๐ฟ du segment perpendiculaire issue de lโ€™origine ร  la ligne dโ€™action de la force โƒ‘๐น. La longueur ๐ฟ est ce quโ€™on appelle communรฉment la distance perpendiculaire entre lโ€™origine et la ligne dโ€™action de โƒ‘๐น, notรฉe ๐‘‘โŸ‚.

Sachant que โ€–โ€–๏ƒŸ๐‘€โ€–โ€–=โ€–โ€–โƒ‘๐‘Ÿโ€–โ€–โ€–โ€–โƒ‘๐นโ€–โ€–|๐œƒ|=โ€–โ€–โƒ‘๐นโ€–โ€–๐‘‘,sinโŸ‚ et que ๐ฟ=๐‘‘โŸ‚, on voit que ๐ฟ est รฉgale ร  ๐ฟ=โ€–โ€–๏ƒŸ๐‘€โ€–โ€–โ€–โ€–โƒ‘๐นโ€–โ€–.

On a โ€–โ€–๏ƒŸ๐‘€โ€–โ€–=๏„๐‘€+๐‘€+๐‘€โ€–โ€–๏ƒŸ๐‘€โ€–โ€–=โˆš9+18โ€–โ€–๏ƒŸ๐‘€โ€–โ€–=โˆš9+9โ‹…2โ€–โ€–๏ƒŸ๐‘€โ€–โ€–=โˆš9โ‹…5โ€–โ€–๏ƒŸ๐‘€โ€–โ€–=9โˆš5๏Šจ๏—๏Šจ๏˜๏Šจ๏™๏Šจ๏Šจ๏Šจ๏Šจ๏Šจ๏Šจ et โ€–โ€–โƒ‘๐นโ€–โ€–=๏„๐น+๐น+๐นโ€–โ€–โƒ‘๐นโ€–โ€–=โˆš2+1+1โ€–โ€–โƒ‘๐นโ€–โ€–=โˆš6.๏Šจ๏—๏Šจ๏˜๏Šจ๏™๏Šจ๏Šจ๏Šจ

Par consรฉquent, ๐ฟ=โ€–โ€–๏ƒŸ๐‘€โ€–โ€–โ€–โ€–โƒ‘๐นโ€–โ€–๐ฟ=9โˆš5โˆš6๐ฟ=9โˆš306๐ฟ=3โˆš302.unitรฉsdelongueur

Rรฉsumons maintenant ce que nous avons appris dans cette fiche explicative.

Points clรฉs

  • Le moment dโ€™une force par rapport ร  un point dรฉcrit lโ€™effet de rotation, autour de ce point, de la force.
  • Le moment de la force โƒ‘๐น agissant sur un corps, calculรฉ par rapport ร  lโ€™origine du repรจre ๐‘‚, est donnรฉ par ๏ƒŸ๐‘€=โƒ‘๐‘Ÿร—โƒ‘๐น=|||||โƒ‘๐‘–โƒ‘๐‘—โƒ‘๐‘˜๐‘Ÿ๐‘Ÿ๐‘Ÿ๐น๐น๐น|||||,๏—๏˜๏™๏—๏˜๏™ oรน โƒ‘๐‘Ÿ est le vecteur position de ๐ด, le point dโ€™application de la force โƒ‘๐น.
    Lorsque le moment de la force โƒ‘๐น est calculรฉ par rapport ร  un point ๐‘ƒ qui nโ€™est pas lโ€™origine, on remplace โƒ‘๐‘Ÿ dans lโ€™รฉquation ci-dessus par ๏ƒŸ๐ด๐‘ƒ.
  • Dโ€™aprรจs les propriรฉtรฉs du produit vectoriel, la norme du moment est donnรฉe par โ€–โ€–๏ƒŸ๐‘€โ€–โ€–=โ€–โ€–โƒ‘๐‘Ÿโ€–โ€–โ€–โ€–โƒ‘๐นโ€–โ€–|๐œƒ|,sin oรน ๐œƒ est lโ€™angle entre โƒ‘๐‘Ÿ et โƒ‘๐น.
  • Comme la distance perpendiculaire ๐‘‘โŸ‚ entre la ligne dโ€™action de la force โƒ‘๐น et le point par rapport auquel le moment est calculรฉ est รฉgale ร  โ€–โ€–โƒ‘๐‘Ÿโ€–โ€–|๐œƒ|sin (ou โ€–โ€–๏ƒŸ๐ด๐‘ƒโ€–โ€–|๐œƒ|sin), on a โ€–โ€–๏ƒŸ๐‘€โ€–โ€–=โ€–โ€–โƒ‘๐นโ€–โ€–๐‘‘;โŸ‚ cโ€™est-ร -dire ๐‘‘=โ€–โ€–๏ƒŸ๐‘€โ€–โ€–โ€–โ€–โƒ‘๐นโ€–โ€–.โŸ‚

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