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Etant donnée la figure suivante, déterminez l’aire d’un polygone semblable 𝐴 prime 𝐵 prime 𝐶 prime dans lequel 𝐴 prime 𝐵 prime égale trois.
La première chose à prendre en compte est le fait qu’on parle d’un polygone semblable. Seulement, qu’est-ce que cela veut dire ? Alors, deux polygones sont dits semblables si les côtés de l’un sont proportionnels à ceux de l’autre et leurs angles égaux. Nous pouvons aussi le voir ainsi : l’un des polygones est un agrandissement de l’autre. Ainsi, ici, nous pouvons chercher l’échelle de l’agrandissement pour résoudre ce problème.
Nous avons une formule pour trouver l’échelle. L’échelle est égale à la nouvelle longueur sur la longueur initiale. Dans le nouveau polygone 𝐴 prime 𝐵 prime 𝐶 prime, nous nous intéressons au côté 𝐴 prime 𝐵 prime et nous savons qu’il mesure trois unités ; et le côté correspondant dans le triangle ici, sur le graphique, est 𝐴𝐵. Nous voyons que la longueur de ce côté correspondant est de cinq unités. Ainsi, l’échelle est la nouvelle longueur, qui est trois, divisée par la longueur initiale, qui est cinq. L’échelle est donc de trois sur cinq.
Or, la question nous demande de trouver l’aire du nouveau triangle ou du nouveau polygone. Bien, nous savons que l’aire d’un triangle est égale à un demi fois la base fois la hauteur. Voici la hauteur, plus précisément la hauteur perpendiculaire. Si nous regardons la figure que nous avons tracée, nous connaissons la base, soit trois. Cependant, nous ne connaissons pas la hauteur. Alors, comment la trouver ?
Bien, nous pouvons utiliser l’échelle que nous avons trouvée. Si nous regardons le triangle initial, nous voyons que la hauteur est de sept unités. Ainsi, si nous voulons trouver ℎ, la hauteur, dans le nouveau triangle, elle est égale à sept multiplié par 0,6. Nous avons 0,6 puisque nous avons trouvé une échelle de trois cinquièmes ou trois sur cinq, c’est-à-dire 0,6 sous forme de nombre décimal. Ainsi, la hauteur est égale à 4,2.
Nous pouvons donc, à présent utiliser la formule de l’aire d’un triangle. Nous allons donc multiplier un demi par la base par la hauteur. Ainsi, nous avons un demi multiplié par trois multiplié par 4,2. Ceci donne 6,3. Ainsi, d’après la figure, l’aire d’un polygone semblable 𝐴 prime 𝐵 prime 𝐶 prime et pour lequel 𝐴 prime 𝐵 prime mesure trois, est égale à 6,3.
