Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à calculer des aires de polygones semblables à partir de deux côtés correspondants ou à partir de l’échelle entre eux et de l’aire de l’un des polygones.
Nous pouvons commencer par rappeler la définition de deux polygones semblables.
Définition : Polygones semblables
Deux polygones sont semblables s’ils ont le même nombre de côtés, si leurs angles correspondants sont égaux et si leurs côtés correspondants sont proportionnels.
Par exemple, on peut considérer les rectangles suivants.
Le rectangle est semblable au rectangle . Les deux rectangles ont 4 côtés, tous les angles correspondants sont égaux, et on peut écrire que
On peut trouver l’échelle du rectangle par rapport au rectangle en divisant l’une des longueurs des côtés de par la longueur du côté correspondant de . Par exemple,
Si l’échelle dans un sens est , alors l’échelle dans le sens inverse est .
On peut déterminer le rapport des longueurs entre deux polygones semblables par le rapport de la longueur d’un côté d’un polygone à la longueur du côté correspondant de l’autre polygone. Dans les rectangles ci-dessus, on peut écrire le rapport des longueurs : comme . Substituer par les largeurs de ces rectangles donnerait un rapport équivalent, .
Nous allons maintenant explorer comment nous pouvons utiliser le rapport des longueurs de polygones semblables pour trouver le rapport de leurs aires.
On peut considérer le triangle suivant de base et de hauteur . Un triangle semblable est créé par un agrandissement d’échelle . Par conséquent, les dimensions de sont et .
On peut se poser les questions suivantes : quelle est la relation entre l’aire de et l’aire de ? Est-elle également fois plus grande ?
On rappelle que l’aire d’un triangle de base et de hauteur est calculée par
Par conséquent, l’aire de est
Pour , l’aire est
On peut comparer les aires des deux triangles en observant que
Lorsque ce polygone, le triangle , est agrandi avec une échelle pour donner le triangle , les aires ont une échelle de . Ce résultat est vrai pour tous les polygones.
Définition : Aires de polygones semblables en fonction de leur échelle
Si l’échelle de longueur entre deux polygones semblables est , alors l’échelle de leurs aires est .
Nous allons maintenant examiner comment nous pouvons utiliser le rapport des longueurs entre des polygones semblables pour identifier le rapport de leurs aires.
On considère les parallélogrammes semblables suivants, et .
On peut trouver le rapport des longueurs en calculant le rapport des longueurs de deux côtés correspondants. Par exemple, on peut écrire comme . En le simplifiant, on a
On peut maintenant étudier les aires de chaque parallélogramme. On rappelle que l’aire d’un parallélogramme est obtenue en multipliant la longueur de sa base par sa hauteur.
Par conséquent, on calcule
On peut calculer l’aire de par
On peut écrire le rapport des aires comme
En comparant le rapport des longueurs avec le rapport des aires , on remarque que chacun des termes du rapport des longueurs est mis au carré pour obtenir le terme correspondant du rapport des aires. C’est-à-dire
Cela est vrai pour tous les polygones. Nous pouvons formaliser cela ci-dessous.
Définition : Rapport des aires de polygones semblables
Si le rapport des longueurs correspondantes de deux polygones semblables est , alors le rapport de leurs aires est .
Nous allons maintenant voir comment nous pouvons appliquer cela dans les exemples suivants.
Exemple 1: Déterminer l’aire d’un rectangle semblable à partir de deux longueurs correspondantes et d’un schéma
À partir du schéma suivant, déterminez l’aire d’un polygone semblable pour lequel = 6.
Réponse
On peut rappeler que deux polygones sont semblables s’ils ont le même nombre de côtés, si leurs angles correspondants sont égaux et si leurs côtés correspondants sont proportionnels. Un polygone semblable à est également un rectangle, de côtés proportionnels.
On peut trouver le rapport des longueurs des rectangles en écrivant les longueurs . On sait que , et on peut utiliser le schéma pour établir que unités. En substituant ces valeurs dans le rapport, on a donc
On peut utiliser le rapport des longueurs pour déterminer le rapport des aires entre deux polygones semblables. Si le rapport des longueurs de deux polygones semblables est , alors le rapport de leurs aires est . Par conséquent, on a
On peut écrire
Pour trouver l’aire d’un rectangle, on multiplie sa longueur par sa largeur. En utilisant le schéma, on observe que la longueur de est égale à 5 unités et que sa largeur est égale à 3 unités. Pour déterminer l’aire de , on calcule donc
Si on définit l’aire de comme , alors le rapport des aires est
Pour que les rapports soient équivalents, la valeur de doit être 60 car
On peut également considérer que le rapport des aires signifie simplement que l’aire de est 4 fois plus grande que l’aire de . Comme le plus petit rectangle a une aire de 15 unités carrées, alors unités carrées.
Par conséquent, l’aire du polygone est .
Nous allons maintenant voir un exemple où nous devons déterminer le rapport des aires de deux polygones semblables à partir du rapport de leurs longueurs.
Exemple 2: Déterminer le rapport des aires de deux polygones semblables à partir du rapport de leurs longueurs
Le rectangle est semblable au rectangle , leurs côtés ayant un rapport de . Si les dimensions de chaque rectangle sont doublées, déterminez le rapport des aires des grands rectangles.
Réponse
On rappelle que deux polygones sont semblables si leurs angles correspondants sont égaux et si leurs côtés correspondants sont proportionnels. On peut utiliser le rapport des longueurs des rectangles donné pour calculer le rapport de leurs aires.
Deux polygones semblables dont les côtés correspondants ont un rapport des longueurs de ont un rapport des aires de .
On connaît le rapport des longueurs des rectangles, il est de . Par conséquent, on peut calculer le rapport des aires par
Il est indiqué que les dimensions de chaque rectangle sont doublées. On peut définir ces nouveaux rectangles comme et . Par conséquent, chaque longueur de et est le double de la longueur d’origine. Si on suppose que les longueurs ont une valeur fixe, par exemple, si les longueurs correspondantes sont 8 cm et 9 cm, alors ces longueurs doublées sont 16 cm et 18 cm. Sous forme de rapport, , cela se simplifie en .
Par conséquent, si on a deux polygones semblables avec un rapport des longueurs donné, et qu’une même échelle est appliquée aux deux rectangles, alors le rapport des longueurs reste le même. En outre, le rapport des aires reste également le même. Par conséquent, le rapport des aires de ces rectangles plus grands, doublés, est .
Dans l’exemple suivant, nous allons utiliser des informations sur le périmètre d’un carré pour nous aider à déterminer les rapports des longueurs et des aires de deux polygones semblables.
Exemple 3: Déterminer l’aire d’un polygone semblable à partir d’une échelle de longueur et d’un périmètre
Le carré est plus grand que le carré , on obtient les longueurs du second carré par une échelle de par rapport à celles du premier carré. Si le périmètre du carré est égal à 56 cm, quelle est l’aire du carré ? Donnez votre réponse au centième près.
Réponse
On sait que le carré est un agrandissement du carré par une échelle de . Tous les carrés sont semblables : ils ont tous des angles correspondants égaux et toutes les paires de côtés correspondants sont proportionnelles. Comme l’échelle est de , les quatre côtés de mesurent de la longueur de ceux de .
Nous n’avons pas d’informations sur les longueurs des côtés de ou , mais on peut calculer la longueur du côté du carré en utilisant les informations sur son périmètre. On rappelle que le périmètre est la longueur du contour d’une figure. Si on définit la longueur du côté de par , comme il y a 4 côtés de même longueur, on peut alors écrire
On substitue la valeur donnée du périmètre de 56 cm pour obtenir
On sait maintenant que la longueur du côté du carré est 14 cm. Pour trouver l’aire, on rappelle maintenant que l’aire d’un carré de côté est égale à Par conséquent, pour déterminer l’aire du carré , on remplace par la longueur , ce qui donne
Sachant que l’échelle des longueurs du carré par rapport au carré est , on peut calculer l’échelle de leurs aires.
On rappelle que si l’échelle des longueurs de deux polygones semblables est , alors l’échelle de leurs aires est . Comme le rapport des longueurs de par rapport à est , le rapport de leurs aires est
On peut alors écrire
En substituant la valeur de l’aire de , 196 cm2, on a
Par conséquent, l’aire du carré est .
Nous allons maintenant étudier un autre exemple.
Exemple 4: Calculer le périmètre d’un polygone semblable à un autre à partir de la valeur des deux aires
Les aires de deux polygones semblables sont 361 cm2 et 81 cm2. Sachant que le périmètre du premier polygone est de 38 cm, déterminez le périmètre du second polygone.
Réponse
Dans cette question, comme les polygones sont semblables, on sait qu’ils ont le même nombre de côtés, que leurs angles correspondants sont égaux et que leurs côtés correspondants sont proportionnels. On peut utiliser les aires données pour écrire le rapport de leurs aires puis établir le rapport des longueurs entre les deux polygones.
On peut écrire le rapport des aires de comme
Deux polygones semblables, dont les côtés correspondants ont un rapport de longueurs , ont un rapport des aires de .
Par conséquent, pour calculer le rapport des longueurs de , on prend la valeur positive de la racine carrée de chacun des termes du rapport. Cela donne
On peut utiliser ce rapport des longueurs pour calculer le périmètre du second polygone, le polygone 2. Dans ce cas, peu importe la forme spécifique du polygone, que ce soit un triangle, un carré ou un hexagone. Comme le périmètre est une mesure de longueur, le rapport des longueurs s’applique toujours.
On peut définir le périmètre du polygone 2 comme et égaliser le rapport des longueurs avec le rapport des périmètres comme suit :
Sachant que 38 est le double de 19, les deux valeurs du rapport des longueurs doivent être doublées pour obtenir celles du rapport des périmètres. Par conséquent,
Par conséquent, le périmètre du second polygone est .
Nous allons maintenant voir un exemple où nous devons prouver que deux rectangles sont semblables afin de résoudre un problème concret.
Exemple 5: Résoudre un problème concret impliquant une aire
Cela a coûté 3 799 livres sterling d’installer du parquet dans une classe de dimensions 28 m par 10 m. Combien cela coûterait-il d’installer du parquet dans une pièce semblable de dimensions 84 m par 30 m ?
Réponse
Comme cette question donne deux dimensions de tailles différentes, on peut supposer que les deux salles de classe sont de forme rectangulaire. Soient le premier rectangle et le second. Une façon de résoudre ce problème consiste à déterminer si ces salles de classe rectangulaires sont en fait semblables. Deux polygones sont semblables s’ils ont le même nombre de côtés, si leurs angles correspondants sont égaux et si leurs côtés correspondants sont proportionnels.
On sait que les rectangles ont le même nombre de côtés et que leurs angles correspondants sont tous de même mesure, car ils sont tous égaux à . On doit vérifier si leurs côtés sont proportionnels. Tracer un schéma peut être utile.
On peut écrire le rapport des largeurs comme
Ce rapport se simplifie par
Le rapport des longueurs peut être écrit comme ce qui se simplifie par
Afin de vérifier si les côtés correspondants de deux polygones sont tous proportionnels, on doit vérifier tous les côtés. Cependant, comme il s’agit d’un rectangle, on sait qu’il y a deux paires de côtés de même longueur. On a donc montré que les longueurs et largeurs sont dans le même rapport, , et donc que tous les côtés sont proportionnels. Par conséquent, les deux classes rectangulaires sont semblables.
Le rapport des longueurs de est égal à . On peut alors utiliser la propriété selon laquelle des polygones semblables dont les côtés correspondants ont un rapport des longueurs de ont un rapport des aires de . On peut calculer le rapport des aires de par
Alternativement, on pourrait calculer le rapport des aires en calculant l’aire de chaque rectangle. L’aire d’un rectangle de longueur et de largeur est
L’aire du rectangle de longueur 28 m et de largeur 10 m est
L’aire du rectangle peut être calculée comme suit
Simplifier le rapport de ces aires donne
Les deux méthodes donnent le même rapport des aires, .
Afin de déterminer le coût du parquet, on doit utiliser le rapport des aires plutôt que le rapport des longueurs. En effet, le coût du parquet est directement proportionnel à l’aire de la pièce et non à l’une de ses dimensions.
On connaît le coût du parquet pour le rectangle de dimensions 28 m par 10 m, le rectangle . On définit le coût du parquet pour le rectangle comme . On égalise les rapports des aires et des coûts
Chaque valeur du rapport de coûts doit être 3 799 fois supérieure à la valeur correspondante du rapport des aires. Par conséquent,
Le coût d’installation du parquet dans la salle de classe de dimensions 84 m par 30 m est donc de .
Nous pouvons maintenant résumer les points clés.
Points clés
- Deux polygones sont semblables s’ils ont le même nombre de côtés, si leurs angles correspondants sont égaux et si leurs côtés correspondants sont proportionnels.
- Si l’échelle de longueur entre deux polygones semblables est , alors l’échelle de leurs aires est .
- Si le rapport des longueurs de deux polygones semblables est , alors le rapport de leurs aires est .
- Comme le périmètre est une longueur, on peut aussi dire que le rapport des aires de deux polygones semblables est égal au carré du rapport de leurs périmètres.
