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Fiche explicative de la leçon: Aire d'un polygone semblable Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à calculer des aires de polygones semblables à partir de deux côtés correspondants ou à partir de l’échelle entre eux et de l’aire de l’un des polygones.

Nous pouvons commencer par rappeler la définition de deux polygones semblables.

Définition : Polygones semblables

Deux polygones sont semblables s’ils ont le même nombre de côtés, si leurs angles correspondants sont égaux et si leurs côtés correspondants sont proportionnels.

Par exemple, on peut considérer les rectangles suivants.

Le rectangle 𝐴𝐵𝐶𝐷 est semblable au rectangle 𝑃𝑄𝑅𝑆. Les deux rectangles ont 4 côtés, tous les angles correspondants sont égaux, et on peut écrire que 𝐴𝐵𝑃𝑄=𝐵𝐶𝑄𝑅=𝐶𝐷𝑅𝑆=𝐷𝐴𝑆𝑃.

On peut trouver l’échelle du rectangle 𝐴𝐵𝐶𝐷 par rapport au rectangle 𝑃𝑄𝑅𝑆 en divisant l’une des longueurs des côtés de 𝑃𝑄𝑅𝑆 par la longueur du côté correspondant de 𝐴𝐵𝐶𝐷. Par exemple, échelle=𝑃𝑄𝐴𝐵=48=12.

Si l’échelle dans un sens est 𝑘, alors l’échelle dans le sens inverse est 1𝑘.

On peut déterminer le rapport des longueurs entre deux polygones semblables par le rapport de la longueur d’un côté d’un polygone à la longueur du côté correspondant de l’autre polygone. Dans les rectangles ci-dessus, on peut écrire le rapport des longueurs 𝐴𝐵𝐶𝐷:𝑃𝑄𝑅𝑆 comme 84=21. Substituer par les largeurs de ces rectangles donnerait un rapport équivalent, 31,5=21.

Nous allons maintenant explorer comment nous pouvons utiliser le rapport des longueurs de polygones semblables pour trouver le rapport de leurs aires.

On peut considérer le triangle suivant 𝐸𝐷𝐹 de base 𝑏 et de hauteur . Un triangle semblable 𝐸𝐷𝐹 est créé par un agrandissement d’échelle 𝑘. Par conséquent, les dimensions de 𝐸𝐷𝐹 sont 𝑘𝑏 et 𝑘.

On peut se poser les questions suivantes:quelle est la relation entre l’aire de 𝐸𝐷𝐹 et l’aire de 𝐸𝐷𝐹?Est-elle également 𝑘 fois plus grande?

On rappelle que l’aire d’un triangle de base 𝑏 et de hauteur est calculée par aireduntriangle=𝑏×2.

Par conséquent, l’aire de 𝐸𝐷𝐹 est airede𝐸𝐷𝐹=𝑏2.

Pour 𝐸𝐷𝐹, l’aire est airede𝐸𝐷𝐹=𝑘𝑏×𝑘2=𝑘𝑏2=𝑘𝑏2.

On peut comparer les aires des deux triangles en observant que airedeairede𝐸𝐷𝐹=𝑘𝐸𝐷𝐹.

Lorsque ce polygone, le triangle 𝐸𝐷𝐹, est agrandi avec une échelle 𝑘 pour donner le triangle 𝐸𝐷𝐹, les aires ont une échelle de 𝑘. Ce résultat est vrai pour tous les polygones.

Définition : Aires de polygones semblables en fonction de leur échelle

Si l’échelle de longueur entre deux polygones semblables est 𝑘, alors l’échelle de leurs aires est 𝑘.

Nous allons maintenant examiner comment nous pouvons utiliser le rapport des longueurs entre des polygones semblables pour identifier le rapport de leurs aires.

On considère les parallélogrammes semblables suivants, 𝑃𝑄𝑅𝑆 et 𝑃𝑄𝑅𝑆.

On peut trouver le rapport des longueurs en calculant le rapport des longueurs de deux côtés correspondants. Par exemple, on peut écrire 𝑆𝑅𝑆𝑅 comme 410. En le simplifiant, on a rapportdeslongueurs=25.

On peut maintenant étudier les aires de chaque parallélogramme. On rappelle que l’aire d’un parallélogramme est obtenue en multipliant la longueur de sa base par sa hauteur.

Par conséquent, on calcule airede𝑃𝑄𝑅𝑆=4×3=12.

On peut calculer l’aire de 𝑃𝑄𝑅𝑆 par airede𝑃𝑄𝑅𝑆=10×7,5=75.

On peut écrire le rapport des aires 𝑃𝑄𝑅𝑆𝑃𝑄𝑅𝑆 comme rapportdesaires=1275=425.

En comparant le rapport des longueurs 25 avec le rapport des aires 425, on remarque que chacun des termes du rapport des longueurs est mis au carré pour obtenir le terme correspondant du rapport des aires. C’est-à-dire rapportdeslongueursrapportdesaires=25,=25=425.

Cela est vrai pour tous les polygones. Nous pouvons formaliser cela ci-dessous.

Définition : Rapport des aires de polygones semblables

Si le rapport des longueurs correspondantes de deux polygones semblables est 𝑎𝑏, alors le rapport de leurs aires est 𝑎𝑏.

Nous allons maintenant voir comment nous pouvons appliquer cela dans les exemples suivants.

Exemple 1: Déterminer l’aire d’un rectangle semblable à partir de deux longueurs correspondantes et d’un schéma

À partir du schéma suivant, déterminez l’aire d’un polygone semblable 𝐴𝐵𝐶𝐷 pour lequel 𝐴𝐵 = 6.

Réponse

On peut rappeler que deux polygones sont semblables s’ils ont le même nombre de côtés, si leurs angles correspondants sont égaux et si leurs côtés correspondants sont proportionnels. Un polygone semblable à 𝐴𝐵𝐶𝐷 est également un rectangle, de côtés proportionnels.

On peut trouver le rapport des longueurs des rectangles 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴𝐵𝐶𝐷 en écrivant les longueurs 𝐴𝐵𝐴𝐵. On sait que 𝐴𝐵=6, et on peut utiliser le schéma pour établir que 𝐴𝐵=3 unités. En substituant ces valeurs dans le rapport, on a donc rapportdeslongueurs=36=12.

On peut utiliser le rapport des longueurs pour déterminer le rapport des aires entre deux polygones semblables. Si le rapport des longueurs de deux polygones semblables est 𝑎𝑏, alors le rapport de leurs aires est 𝑎𝑏. Par conséquent, on a rapportdesaires=12=14.

On peut écrire airedeairede𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴𝐵𝐶𝐷=14.

Pour trouver l’aire d’un rectangle, on multiplie sa longueur par sa largeur. En utilisant le schéma, on observe que la longueur de 𝐴𝐵𝐶𝐷 est égale à 5 unités et que sa largeur est égale à 3 unités. Pour déterminer l’aire de 𝐴𝐵𝐶𝐷, on calcule donc airedeunitéscarrées𝐴𝐵𝐶𝐷=5×3=15.

Si on définit l’aire de 𝐴𝐵𝐶𝐷 comme 𝑥, alors le rapport des aires 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴𝐵𝐶𝐷 est 15𝑥=14.

Pour que les rapports soient équivalents, la valeur de 𝑥 doit être 60 car 1560=14.

On peut également considérer que le rapport des aires 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴𝐵𝐶𝐷=14 signifie simplement que l’aire de 𝐴𝐵𝐶𝐷 est 4 fois plus grande que l’aire de 𝐴𝐵𝐶𝐷. Comme le plus petit rectangle a une aire de 15 unités carrées, alors 4×15=60 unités carrées.

Par conséquent, l’aire du polygone 𝐴𝐵𝐶𝐷 est 60unitéscarrées.

Nous allons maintenant voir un exemple où nous devons déterminer le rapport des aires de deux polygones semblables à partir du rapport de leurs longueurs.

Exemple 2: Déterminer le rapport des aires de deux polygones semblables à partir du rapport de leurs longueurs

Le rectangle 𝑄𝑅𝑆𝑇 est semblable au rectangle 𝐽𝐾𝐿𝑀, leurs côtés ayant un rapport de 89. Si les dimensions de chaque rectangle sont doublées, déterminez le rapport des aires des grands rectangles.

Réponse

On rappelle que deux polygones sont semblables si leurs angles correspondants sont égaux et si leurs côtés correspondants sont proportionnels. On peut utiliser le rapport des longueurs des rectangles donné pour calculer le rapport de leurs aires.

Deux polygones semblables dont les côtés correspondants ont un rapport des longueurs de 𝑎𝑏 ont un rapport des aires de 𝑎𝑏.

On connaît le rapport des longueurs des rectangles, il est de 89. Par conséquent, on peut calculer le rapport des aires 𝑄𝑅𝑆𝑇𝐽𝐾𝐿𝑀 par rapportdesaires=89=6481.

Il est indiqué que les dimensions de chaque rectangle sont doublées. On peut définir ces nouveaux rectangles comme 𝑄𝑅𝑆𝑇 et 𝐽𝐾𝐿𝑀. Par conséquent, chaque longueur de 𝑄𝑅𝑆𝑇 et 𝐽𝐾𝐿𝑀 est le double de la longueur d’origine. Si on suppose que les longueurs ont une valeur fixe, par exemple, si les longueurs correspondantes sont 8 cm et 9 cm, alors ces longueurs doublées sont 16 cm et 18 cm. Sous forme de rapport, 1618, cela se simplifie en 89.

Par conséquent, si on a deux polygones semblables avec un rapport des longueurs donné, et qu’une même échelle est appliquée aux deux rectangles, alors le rapport des longueurs reste le même. En outre, le rapport des aires reste également le même. Par conséquent, le rapport des aires de ces rectangles plus grands, doublés, est 6481.

Dans l’exemple suivant, nous allons utiliser des informations sur le périmètre d’un carré pour nous aider à déterminer les rapports des longueurs et des aires de deux polygones semblables.

Exemple 3: Déterminer l’aire d’un polygone semblable à partir d’une échelle de longueur et d’un périmètre

Le carré 𝐴 est plus grand que le carré 𝐵, on obtient les longueurs du second carré par une échelle de 23 par rapport à celles du premier carré. Si le périmètre du carré 𝐴 est égal à 56 cm, quelle est l’aire du carré 𝐵?Donnez votre réponse au centième près.

Réponse

On sait que le carré 𝐴 est un agrandissement du carré 𝐵 par une échelle de 23. Tous les carrés sont semblables:ils ont tous des angles correspondants égaux et toutes les paires de côtés correspondants sont proportionnelles. Comme l’échelle est de 23, les quatre côtés de 𝐵 mesurent 23 de la longueur de ceux de 𝐴.

Nous n’avons pas d’informations sur les longueurs des côtés de 𝐴 ou 𝐵, mais on peut calculer la longueur du côté du carré 𝐴 en utilisant les informations sur son périmètre. On rappelle que le périmètre est la longueur du contour d’une figure. Si on définit la longueur du côté de 𝐴 par 𝑥, comme il y a 4 côtés de même longueur, on peut alors écrire périmètrede𝐴=4𝑥.

On substitue la valeur donnée du périmètre de 56 cm pour obtenir 56=4𝑥564=𝑥𝑥=14.cm

On sait maintenant que la longueur du côté du carré 𝐴 est 14 cm. Pour trouver l’aire, on rappelle maintenant que l’aire d’un carré de côté 𝐿 est égale à aireduncarré=𝐿. Par conséquent, pour déterminer l’aire du carré 𝐴, on remplace par la longueur 𝐿=14, ce qui donne airedecm𝐴=14=196.

Sachant que l’échelle des longueurs du carré 𝐵 par rapport au carré 𝐴 est 23, on peut calculer l’échelle de leurs aires.

On rappelle que si l’échelle des longueurs de deux polygones semblables est 𝑘, alors l’échelle de leurs aires est 𝑘. Comme le rapport des longueurs de 𝐵 par rapport à 𝐴 est 23, le rapport de leurs aires est échelledelaire=23=49.

On peut alors écrire airedeairede𝐵×49=𝐴.

En substituant la valeur de l’aire de 𝐴 , 196 cm2, on a airedeairedecm𝐵×49=196𝐵=94×196=441.

Par conséquent, l’aire du carré 𝐵 est 441cm.

Nous allons maintenant étudier un autre exemple.

Exemple 4: Calculer le périmètre d’un polygone semblable à un autre à partir de la valeur des deux aires

Les aires de deux polygones semblables sont 361 cm2 et 81 cm2. Sachant que le périmètre du premier polygone est de 38 cm, déterminez le périmètre du second polygone.

Réponse

Dans cette question, comme les polygones sont semblables, on sait qu’ils ont le même nombre de côtés, que leurs angles correspondants sont égaux et que leurs côtés correspondants sont proportionnels. On peut utiliser les aires données pour écrire le rapport de leurs aires puis établir le rapport des longueurs entre les deux polygones.

On peut écrire le rapport des aires de polygonepolygone12 comme rapportdesaires=36181.

Deux polygones semblables, dont les côtés correspondants ont un rapport de longueurs 𝑎𝑏, ont un rapport des aires de 𝑎𝑏.

Par conséquent, pour calculer le rapport des longueurs de polygonepolygone12, on prend la valeur positive de la racine carrée de chacun des termes du rapport. Cela donne rapportdeslongueurs=36181=199.

On peut utiliser ce rapport des longueurs pour calculer le périmètre du second polygone, le polygone 2. Dans ce cas, peu importe la forme spécifique du polygone, que ce soit un triangle, un carré ou un hexagone. Comme le périmètre est une mesure de longueur, le rapport des longueurs s’applique toujours.

On peut définir le périmètre du polygone 2 comme 𝑝 et égaliser le rapport des longueurs avec le rapport des périmètres comme suit:rapportdeslongueursrapportdespérimètres=199,=38𝑝.

Sachant que 38 est le double de 19, les deux valeurs du rapport des longueurs doivent être doublées pour obtenir celles du rapport des périmètres. Par conséquent, 𝑝=9×2=18.cm

Par conséquent, le périmètre du second polygone est 18cm.

Nous allons maintenant voir un exemple où nous devons prouver que deux rectangles sont semblables afin de résoudre un problème concret.

Exemple 5: Résoudre un problème concret impliquant une aire

Cela a coûté 3‎ ‎799 livres sterling d’installer du parquet dans une classe de dimensions 28 m par 10 m. Combien cela coûterait-il d’installer du parquet dans une pièce semblable de dimensions 84 m par 30 m?

Réponse

Comme cette question donne deux dimensions de tailles différentes, on peut supposer que les deux salles de classe sont de forme rectangulaire. Soient 𝐴 le premier rectangle et 𝐵 le second. Une façon de résoudre ce problème consiste à déterminer si ces salles de classe rectangulaires sont en fait semblables. Deux polygones sont semblables s’ils ont le même nombre de côtés, si leurs angles correspondants sont égaux et si leurs côtés correspondants sont proportionnels.

On sait que les rectangles ont le même nombre de côtés et que leurs angles correspondants sont tous de même mesure, car ils sont tous égaux à 90. On doit vérifier si leurs côtés sont proportionnels. Tracer un schéma peut être utile.

On peut écrire le rapport des largeurs 𝐴𝐵 comme 1030.

Ce rapport se simplifie par 13.

Le rapport des longueurs peut être écrit comme 2884, ce qui se simplifie par 13.

Afin de vérifier si les côtés correspondants de deux polygones sont tous proportionnels, on doit vérifier tous les côtés. Cependant, comme il s’agit d’un rectangle, on sait qu’il y a deux paires de côtés de même longueur. On a donc montré que les longueurs et largeurs sont dans le même rapport, 13, et donc que tous les côtés sont proportionnels. Par conséquent, les deux classes rectangulaires sont semblables.

Le rapport des longueurs de 𝐴𝐵 est égal à 13. On peut alors utiliser la propriété selon laquelle des polygones semblables dont les côtés correspondants ont un rapport des longueurs de 𝑎𝑏 ont un rapport des aires de 𝑎𝑏. On peut calculer le rapport des aires de 𝐴𝐵 par rapportdesaires=13=19.

Alternativement, on pourrait calculer le rapport des aires en calculant l’aire de chaque rectangle. L’aire d’un rectangle de longueur 𝐿 et de largeur 𝑙 est airedunrectangle=𝐿×𝑙.

L’aire du rectangle 𝐴 de longueur 28 m et de largeur 10 m est airedurectanglem𝐴=28×10=280.

L’aire du rectangle 𝐵 peut être calculée comme suit airedurectanglem𝐵=83×30=2520.

Simplifier le rapport de ces aires donne rapportdesaires=2802520=19.

Les deux méthodes donnent le même rapport des aires, 19.

Afin de déterminer le coût du parquet, on doit utiliser le rapport des aires plutôt que le rapport des longueurs. En effet, le coût du parquet est directement proportionnel à l’aire de la pièce et non à l’une de ses dimensions.

On connaît le coût du parquet pour le rectangle de dimensions 28 m par 10 m, le rectangle 𝐴. On définit le coût du parquet pour le rectangle 𝐵 comme 𝑐. On égalise les rapports des aires et des coûts 19(),3799𝑐().rapportdesairesrapportdescoûts

Chaque valeur du rapport de coûts doit être 3 799 fois supérieure à la valeur correspondante du rapport des aires. Par conséquent, 𝑐=9×3799=34191.

Le coût d’installation du parquet dans la salle de classe de dimensions 84 m par 30 m est donc de 34191livressterling.

Nous pouvons maintenant résumer les points clés.

Points clés

  • Deux polygones sont semblables s’ils ont le même nombre de côtés, si leurs angles correspondants sont égaux et si leurs côtés correspondants sont proportionnels.
  • Si l’échelle de longueur entre deux polygones semblables est 𝑘, alors l’échelle de leurs aires est 𝑘.
  • Si le rapport des longueurs de deux polygones semblables est 𝑎𝑏, alors le rapport de leurs aires est 𝑎𝑏.
  • Comme le périmètre est une longueur, on peut aussi dire que le rapport des aires de deux polygones semblables est égal au carré du rapport de leurs périmètres.

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