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Vidéo de la leçon : Aires de polygones semblables Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à calculer des aires de polygones semblables à partir de deux côtés correspondants ou à partir de l’échelle entre eux et l’aire de l’un des polygones.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à calculer des aires de polygones semblables à partir de deux côtés correspondants ou à partir de l’échelle entre eux et l’aire de l’un des polygones. Nous commencerons par rappeler la définition de deux polygones semblables.

Deux polygones ayant le même nombre de côtés sont semblables si deux conditions sont satisfaites. Premièrement, les angles correspondants sont égaux et deuxièmement, les côtés correspondants sont proportionnels. Par exemple, considérons ces deux rectangles. Les deux formes ont quatre côtés. Et comme tous les angles intérieurs d’un rectangle sont des angles droits, les angles correspondants sont égaux. Compte tenu de la longueur du côté, si nous divisons la longueur du côté le plus long du premier rectangle par la longueur du côté le plus long du second, nous avons 𝐴𝐵 sur 𝑃𝑄, ce qui équivaut à 𝐶𝐷 sur 𝑅𝑆. Et cela est égal à huit sur quatre, ce qui fait deux.

Si nous considérons les longueurs des côtés les plus courtes, nous avons 𝐵𝐶 sur 𝑄𝑅, qui est le même que 𝐷𝐴 sur 𝑆𝑃. C’est trois sur 1,5, qui est également égal à deux. Ainsi, le rapport est le même pour chaque paire de côtés correspondants, et donc les côtés correspondants sont bien proportionnels. Notez que les deux rectangles de cet exemple ont été dessinés dans des orientations différentes. Les côtés correspondants sont verticaux sur un rectangle, mais horizontaux sur l’autre. C’est donc quelque chose dont nous devons être conscients lorsque nous travaillons avec des polygones semblables. On peut affirmer que 𝐴𝐵𝐶𝐷 est semblable à 𝑃𝑄𝑅𝑆. Et l’ordre des lettres est important ici car il reflète quels sommets des deux polygones correspondent les uns aux autres.

Pour trouver l’échelle d’un polygone à un autre, considérons donc d’abord l’échelle de 𝐴𝐵𝐶𝐷 à 𝑃𝑄𝑅𝑆, nous divisons l’une des longueurs des côtés de 𝑃𝑄𝑅𝑆 par la longueur de côté correspondante de 𝐴𝐵𝐶𝐷. Ainsi, par exemple, l’échelle de 𝐴𝐵𝐶𝐷 à 𝑃𝑄𝑅𝑆 est 𝑃𝑄 sur 𝐴𝐵. C’est quatre sur huit, ce qui équivaut à un demi. Les échelles sont toujours multiplicatives. Cela signifie donc que pour passer d’une longueur sur 𝐴𝐵𝐶𝐷 à une longueur sur 𝑃𝑄𝑅𝑆, nous multiplions par un demi. Pour aller dans l’autre sens, on multiplie par deux.

Nous devons toujours vérifier que toutes les échelles que nous avons calculées ont un sens. Si nous passons du plus grand polygone au plus petit, l’échelle doit être inférieur à un. Alors que si nous allons dans l’autre sens, l’échelle devrait être supérieure à un. En général, si l’échelle dans une direction est 𝑘, alors dans la direction opposée c’est l’inverse, un sur 𝑘.

Une autre façon d’exprimer la relation entre les longueurs des côtés de deux polygones semblables consiste à utiliser un rapport. Par exemple, le rapport de 𝐴𝐵𝐶𝐷 à 𝑃𝑄𝑅𝑆 est le rapport de la longueur du côté 𝐴𝐵 à la longueur du côté 𝑃𝑄. C’est huit à quatre, ce qui simplifie à deux à un. Maintenant, tout ce dont nous avons discuté jusqu’à présent devrait être un récapitulatif de notre connaissance de polygones semblables. Nous allons maintenant étendre cela pour comprendre comment les aires de polygones semblables sont liées les unes aux autres.

Supposons donc que nous ayons deux polygones semblables dans lesquels l’échelle de ressemblance est 𝑘. Notre première pensée peut être que l’échelle entre les aires est également 𝑘. Testons ceci pour les deux triangles semblables montrés ici. L’aire du premier triangle est sa base multipliée par sa hauteur perpendiculaire sur deux. L’aire du deuxième triangle est sa base multipliée par sa hauteur perpendiculaire sur deux. C’est 𝑘𝑏 multiplié par 𝑘ℎ sur deux. Nous pouvons réécrire cela comme 𝑘 au carré multiplié par 𝑏ℎ sur deux. Et comme l’aire du premier triangle est 𝑘 sur deux, on trouve que l’aire du deuxième triangle est 𝑘 au carré multiplié par l’aire du premier. Donc en fait, l’échelle pour les aires n’est pas 𝑘 ; c’est 𝑘 au carré.

Si nous y réfléchissons, cela a du sens car l’aire est bidimensionnelle et les deux dimensions ont été agrandies par ce facteur de 𝑘. Ainsi, l’effet sur l’aire est de l’agrandir d’un facteur de 𝑘 au carré. Ce résultat est vrai pour tous les polygones. Nous devons donc être un peu plus précis lorsque nous nous référons aux échelles pour des polygones semblables. Et utilisez le terme échelle de longueur pour définir l’échelle entre les longueurs et échelle des aires pour décrire l’échelle entre les aires. Nous pouvons énoncer ce résultat généralement comme si l’échelle de longueur entre deux polygones semblables est 𝑘, alors l’échelle des aires est 𝑘 au carré.

En termes de rapports, nous pouvons également affirmer que si le rapport de longueur de deux polygones semblables est de 𝑎 à 𝑏, alors le rapport de leurs aires est de 𝑎 au carré à 𝑏 au carré. Alors maintenant que nous avons déterminé la relation entre les aires de polygones semblables, considérons quelques exemples dans lesquels nous appliquons ces résultats.

Étant donné la figure suivante, trouvez l’aire d’un polygone semblable 𝐴 prime 𝐵 prime 𝐶 prime 𝐷 prime, dans lequel 𝐴 prime 𝐵 prime est égal à six.

On nous dit donc qu’il existe un polygone semblable à celui de la figure dans lequel la longueur du côté 𝐴 prime 𝐵 prime est de six unités. Il est raisonnable de supposer que les mêmes lettres ont été utilisées pour représenter les sommets correspondants sur les deux polygones. Comparons donc la longueur de 𝐴 prime 𝐵 prime à la longueur de 𝐴𝐵 sur le polygone de la figure. Le côté 𝐴𝐵 est horizontal et va de deux à cinq, il a donc une longueur de trois unités. Nous pouvons donc calculer l’échelle de longueur de 𝐴𝐵𝐶𝐷 à 𝐴 prime 𝐵 prime 𝐶 prime 𝐷 prime en divisant la longueur de 𝐴 prime 𝐵 prime par la longueur de 𝐴𝐵. C’est six sur trois, ce qui bien sûr est égal à deux. Cela signifie alors que les longueurs sur le polygone 𝐴 prime 𝐵 prime 𝐶 prime 𝐷 prime sont chacune deux fois plus longues que les longueurs correspondantes sur le polygone 𝐴𝐵𝐶𝐷.

Or c’est en fait l’aire du deuxième polygone qui nous intéresse. On rappelle alors que si l’’échelle de longueur pour deux polygones semblables est 𝑘, l’échelle de leurs aires est 𝑘 au carré. Ainsi, l’échelle des aires de 𝐴𝐵𝐶𝐷 à 𝐴 prime 𝐵 prime 𝐶 prime 𝐷 prime est deux au carré, ce qui fait quatre. Une autre façon de dire cela est que l’aire de 𝐴 prime 𝐵 prime 𝐶 prime 𝐷 prime est quatre fois l’aire de 𝐴𝐵𝐶𝐷. Nous pouvons trouver l’aire du polygone 𝐴𝐵𝐶𝐷 à partir de la figure. C’est un rectangle avec une dimension de longueur de trois unités et l’autre dimension de longueur vaut cinq unités. Son aire est donc de trois multiplié par cinq, soit 15 unités carrées.

L’aire de 𝐴 prime 𝐵 prime 𝐶 prime 𝐷 prime est alors quatre multiplié par 15, ce qui est égal à 60. Donc en rappelant que si l’échelle de longueur entre deux polygones semblables est 𝑘, alors l’échelle de leurs aires est 𝑘 au carré, nous avons trouvé que l’aire du polygone semblable 𝐴 prime 𝐵 prime 𝐶 prime 𝐷 prime est de 60 unités carrées.

Considérons un autre exemple.

Le rectangle 𝑄𝑅𝑆𝑇 est semblable au rectangle 𝐽𝐾𝐿𝑀 avec leurs côtés ayant un rapport de huit à neuf. Si les dimensions de chaque rectangle sont doublées, trouvez le rapport des aires des plus grands rectangles.

On nous dit donc que le rapport de longueur entre les côtés des rectangles d’origine est de huit à neuf. Nous pouvons rappeler que si le rapport des longueurs de deux polygones semblables est de 𝑎 à 𝑏, alors le rapport de leurs aires est de 𝑎 au carré à 𝑏 au carré. On nous dit maintenant que les dimensions de chaque rectangle sont doublées, mais cela n’affecte pas réellement le rapport de longueur car les longueurs de chaque polygone ont été multipliées par le même facteur de deux. Cela équivaudrait simplement à faire le rapport de longueur deux 𝑎 à deux 𝑏. Mais bien sûr, on pourrait alors simplifier ce rapport en divisant les deux côtés par deux pour revenir à 𝑎 à 𝑏. Le rapport de longueur des rectangles agrandis est toujours de huit à neuf. En utilisant le résultat que nous avons noté alors, le rapport des aires des plus grands rectangles est de huit au carré pour neuf au carré, ce qui est de 64 à 81.

Ceci illustre un point général. Si nous avons une paire de polygones semblables avec un rapport de longueur donné, et si la même échelle est appliquée aux deux polygones, alors le rapport de longueur reste le même, et de plus le rapport des aires restera également le même. Nous allons maintenant considérer quelques exemples dans lesquels nous utilisons le périmètre de formes semblables pour résoudre des problèmes impliquant leurs aires.

Le carré A est un agrandissement du carré B par une échelle de deux tiers. Si le périmètre du carré A est égal à 56 centimètres, quelle est l’aire du carré B ? Donnez votre réponse au centième près.

On nous donne que le carré A est un agrandissement du carré B par une échelle de deux tiers. Et comme cette échelle est inférieure à un, cela signifie que le carré A est en fait plus petit. Tous les carrés sont semblables les uns aux autres. Nous pouvons donc utiliser ici les propriétés de ressemblance. On nous dit que le périmètre du carré A est de 56 centimètres. Et nous savons que pour un carré le périmètre est quatre fois la longueur du côté. Ainsi, quatre fois 𝑆 indice A, qui représente la longueur du côté de A, est égal à 56. En divisant les deux membres de cette équation par quatre, nous trouvons que la longueur du côté du carré A est de 14 centimètres.

On peut alors procéder de deux manières différentes. Dans notre première méthode, nous allons calculer la longueur du côté du carré B en utilisant l’échelle de longueur, puis l’aire. Comme l’échelle de longueur du carré B au carré A est de deux tiers, l’échelle de longueur dans la direction opposée est l’inverse de celle-ci ; c’est trois sur deux. Ainsi, la longueur du côté du carré B est de trois sur deux multiplié par la longueur du côté de A. C’est trois sur deux multiplié par 14, ce qui fait 21. Pour trouver l’aire d’un carré, nous élevons au carré la longueur de son côté. Ainsi, l’aire du carré B est de 21 au carré, soit 441.

La deuxième méthode que nous pourrions utiliser consiste à trouver l’aire du carré A puis à considérer la relation entre les aires de ces deux formes semblables. L’aire de A est sa longueur de côté au carré. C’est 14 au carré, soit 196 centimètres au carré. On rappelle alors que si l’échelle de longueur entre deux polygones semblables est 𝑘, l’échelle des aires est 𝑘 au carré. Ainsi, l’échelle des aires de A à B est de trois sur deux au carré, ce qui est neuf sur quatre. L’aire du carré B est alors de neuf sur quatre multiplié par l’aire du carré A. C’est neuf sur quatre multiplié par 196, ce qui est encore 441. La question posée est que nous donnions notre réponse au centième près. Ainsi, nous trouvons que l’aire du carré B est de 441,00 centimètres carrés.

Nous allons maintenant examiner un autre exemple dans lequel nous considérons la relation entre les aires et les périmètres de polygones semblables.

Les aires de deux polygones semblables sont de 361 centimètres carrés et 81 centimètres carrés. Étant donné que le périmètre du premier est de 38 centimètres, trouvez le périmètre du second.

On nous a donné les aires des deux polygones semblables. Et ainsi, nous pouvons écrire le rapport des aires ; c’est 361 à 81. Nous voulons trouver le périmètre du deuxième polygone étant donné le périmètre du premier. Et pour ce faire, nous avons besoin de connaître le rapport de longueur. Nous pouvons rappeler que pour deux polygones semblables avec des côtés correspondants dans un rapport de longueur de à , le rapport des aires est de au carré à 𝑏 au carré, ce qui signifie que si vous voulez travailler à rebours du rapport des aires au calcul du rapport de longueur, nous avons besoin de la racine carrée des deux parties. Ainsi, le rapport de longueur est la racine carrée de 361 à la racine carrée de 81, qui est de 19 à neuf.

Maintenant, les périmètres de formes semblables sont dans le même rapport que leurs longueurs car le périmètre n’est que la somme des longueurs individuelles. Ainsi, les périmètres qui sont de 38 centimètres et d’une valeur actuellement inconnue sont également dans le rapport 19 à neuf. Pour passer de 19 à 38, il faut multiplier par deux. Donc, en faisant la même chose pour les deux parties du rapport, 19 à neuf équivaut à 38 à 18. Donc, en travaillant à rebours de la connaissance du rapport des aires entre ces deux polygones semblables au calcul du rapport de longueur et donc du rapport des périmètres, nous avons trouvé que le périmètre du deuxième polygone est de 18 centimètres.

Considérons maintenant un dernier exemple dans lequel nous appliquerons la théorie des aires de polygones semblables à un problème de la vie courante.

Il en coûte 3799 livres pour installer un parquet en bois dans une classe de dimensions 28 mètres et 10 mètres. Combien cela coûterait-il de poser un parquet dans une pièce semblable de dimensions 84 mètres et 30 mètres ?

On peut supposer que comme on ne nous dit pas la forme des pièces, alors ce sont des rectangles. Maintenant, on nous dit que ces deux pièces sont similaires, ce que nous pouvons supposer signifie mathématiquement semblable. Mais vérifions cela. Nous devons établir que les angles correspondants sont égaux et que les côtés correspondants sont proportionnels. Nous savons que les angles correspondants sont égaux car tous les angles intérieurs d’un rectangle sont à 90 degrés. Pour déterminer si les côtés correspondants sont proportionnels. Vérifions le rapport entre les dimensions des pièces.

En utilisant le côté le plus long de chacun, nous avons 84 sur 28, ce qui équivaut à trois. Et en utilisant les côtés les plus courts, nous avons 30 sur 10, ce qui est également égal à trois. Le rapport est le même. Les côtés correspondants sont donc bien proportionnels et les deux rectangles sont mathématiquement semblables. Nous devons calculer le coût de pose du parquet dans la plus grande pièce, qui dépendra de son aire. On nous dit que le coût de la pièce la plus petite est de 3799 livres. Et nous pouvons calculer l’aire de cette pièce en utilisant la formule de l’aire d’un rectangle. Sa longueur multipliée par la largeur, soit 28 multipliée par 10, 280 mètres carrés.

Nous pouvons également trouver l’aire de la plus grande pièce. C’est 84 multiplié par 30, ce qui fait 2520 mètres carrés. Le rapport des aires pour les deux pièces est de 2520 à 280. Et en fait, cela se simplifie à neuf à un. Nous savons maintenant que l’aire de la plus grande pièce est neuf fois l’aire de la plus petite pièce. Et en supposant que le coût est directement proportionnel à l’aire, le coût du revêtement de sol pour la plus grande pièce sera neuf fois supérieur au coût pour la plus petite pièce. Cela fait neuf fois 3799, soit 34191.

Nous aurions également pu déterminer que l’échelle des aires était de neuf. En rappelant que si l’échelle de longueur entre deux polygones semblables est , alors l’échelle des aires est 𝑘 au carré. Nous avons trouvé que l’échelle de longueur était de trois. L’échelle des aires est donc de trois au carré, ce qui fait neuf. Nous avons constaté que le coût de pose d’un parquet dans la plus grande pièce est de 34 191 livres.

Résumons maintenant les points clés de cette vidéo. Deux polygones avec le même nombre de côtés sont semblables si les angles correspondants sont égaux et les côtés correspondants sont proportionnels. Si l’échelle de longueur entre deux polygones semblables est , alors l’échelle des aires est 𝑘 au carré. Si le rapport de longueur de deux polygones semblables est de à , alors le rapport de leurs aires est de 𝑎 au carré à au carré. Et nous avons vu que nous pouvons travailler dans le sens inverse pour calculer le rapport de longueur étant donné le rapport des aires. Enfin, comme le périmètre est une longueur, on peut aussi dire que le rapport des aires de deux polygones semblables est égal au carré du rapport de leurs périmètres.

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